2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

问：若此圆C的圆心为（2，
1），且与X轴相切，它的 方程是什么？？
0
C（2，1） C（2，1）
X
x 2
2
y 1 1
2
X
下列方程分别表示什么图形 ? (1) x 2 y 2 0; (3) y 1 x 2 (2)( x 1) 2 8 ( y 2) 2 (4) x 1 y 2
Y
P(x,y)
A (-r,0)
O 0
一、建立适当的 直角坐标系，如 右图所示：以圆 B (r,0) X 心O为原点。
二、取圆上任意一点 P(x,y)，则：OP=r
即：
( x 0) ( y 0) r
2 2
所以此圆的方程为：
即：x 2 y 2 r 2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程 设P(x,y)是圆上任意一点， y
2
2
13
（4）以点A（-4，-1），B（6，-1）为 直径的圆的方程。 （分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。） 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为（1，-1），又以两点距离公式 有：AB 6 42 1 12 10 所以圆的半径为5 2 故圆的方程为： x 1

y 1
2
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练习2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(2) (x+1)2+(y-2)2=9
(3)(x+a)2+y2=a2
1、求以点C（2，1）为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。 解：依图知：圆C的半径 Y 为2，则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x

(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值

故可设圆心坐标为(a,3a－2)．又∵|CA|＝|CB|， 故 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32， 解得 a＝2，∴圆心为(2,4)，半径 r＝|CA|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
规律方法
求圆的标准方程一般有两种思路：①由圆的几何性
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
(1)
(2)
【题后反思】 本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注 重代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数 形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形 象、直观．几种常见代数式的几何意义： (1)x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． y (3)x：过点(x，y)与原点的直线的斜率．
解 法一
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得 3－a2＋1－b2＝r2， －1－a2＋3－b2＝r2， 3a－b－2＝0， a＝2， 解得b＝4， r＝ 10.
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
法二
设圆心为 C，又∵圆心在直线 3x－y－2＝0 上，

(2)在求圆的标准方程时， 尽量利用圆的几何性质， 可以大大地 减少计算量． 一般地，圆心的三个重要几何性质为： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在某一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
题型一
求圆的标准方程
【例 1】 直线 3x－y－2＝0 过已知圆的圆心，点 A(3,1)，B(－ 1,3)均在这个圆上，求此圆的方程． [思路探索] 利用待定系数法，设圆的标准方程，建立关于圆心 坐标，半径的方程组求解，也可借助几何性质确定圆心坐标及 半径来解决．
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
误区警示 考虑问题不全致误 【示例】 已知圆 C 的圆心到 x 轴的距离是到 y 轴的距离的 2 倍，且经过点 A(1,0)，B(3,0)，求圆 C 的方程． [错解] 由题意，可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂 直平分线 x＝2 上，
y＝2x， 由 x＝2，
可得圆心 C(2,4)，r＝|AC|＝ 17，
d ay＋b b a － ，－ 的直线的斜率的 倍． (4) ：过点(x，y)与点 c a c cx＋d
|ax＋by＋c| a2＋b2 (5) ：点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 d d 倍．
【变式 3】 已知实数 x、y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求 x2＋y2的最大值和最小值． 解 设 P(x，y)，则 P 点在已知圆 C： (x－3)2＋(y－3)2＝6 上． 而 x2＋y2的几何意义就是 O 与 P 两点的距离． 如图连接 OC 并 延长交圆于 A、B 两点，显然 P 与 B 重合时|OP|最大，最大值 为|OB|＝3 2＋ 6； 当 P 与 A 重合时|OP|最小，其最小值为|OA|＝3 2－ 6. 综上所述： x2＋y2的最大值是 3 2＋ 6，最小值是 3 2－ 6.