下载文档原格式
列二元一次方程组解应用题的步骤一、和差倍分问题。
1. 已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数。
- 设甲数为x，乙数为y。
- 根据题意可列方程组：x + y=42 3x = 4y- 由x + y=42可得x = 42 - y，将其代入3x = 4y中，得到3(42 - y)=4y。
- 展开式子得126 - 3y = 4y，移项得126=4y + 3y，即7y = 126，解得y = 18。
- 把y = 18代入x = 42 - y，得x = 42-18 = 24。
2. 两个数的差是5，积是84，求这两个数。
- 设较大的数为x，较小的数为y。
- 则方程组为x - y=5 xy = 84- 由x - y=5可得x = y + 5，将其代入xy = 84中，得到(y + 5)y = 84。
- 展开得y^2+5y - 84 = 0，因式分解得(y + 12)(y - 7)=0，解得y=- 12或y = 7。
- 当y=-12时，x=-12 + 5=-7；当y = 7时，x = 7+5 = 12。
二、行程问题。
3. 甲、乙两人相距30千米，甲速度为x千米/小时，乙速度为y千米/小时，若两人同时出发相向而行，3小时后相遇；若两人同时同向而行，甲6小时可追上乙，求甲、乙两人的速度。
- 根据路程 = 速度×时间。
- 对于相向而行：3x+3y = 30，化简得x + y = 10。
- 对于同向而行：6x-6y = 30，化简得x - y = 5。
- 所以方程组为x + y = 10 x - y = 5- 两式相加得2x = 15，解得x = 7.5。
- 把x = 7.5代入x + y = 10，得y = 10 - 7.5 = 2.5。
4. 一艘轮船顺流航行速度为每小时20千米，逆流航行速度为每小时16千米，求轮船在静水中的速度和水流速度。
- 设轮船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时。
实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）一：列二元一次方程组解决——行程问题甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。
两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20（x-y）=28014（x+y）=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，二：列二元一次方程组解决——工程问题小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.解：三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：①x+y=10②2000x+1500y=18000解得：x=6，y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？解：设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则X + Y = 4000X * 2.25％* 3 + Y * 2.7％* 3 = 303.75解得：X = 1500，Y = 2500。
5.4 应用二元一次方程组——增收节支知识点 列方程组解应用题常用的公式（1）有关销售问题的公式①利润=总产值-总支出②利润率=总产值总支出总产值-×100% ③商品利润=销售价格-进货价格④商品利润率=商品进价商品利润×100% （2）列方程组解应用题常用的关系式还有①工程问题：工作量=工作效率×工作时间②行程问题：路程=速度×时间顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度③浓度问题：溶质=溶液×浓度④储蓄问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息自测：夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各1瓶共花费7元，调价后上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？重难点：列方程组解决有关行程问题例1：从甲地到乙地的路有一段上坡，一段下坡。
如果上坡评教每分钟走50m,下坡平均每分钟走100m,那么从甲地走到乙地需要25min,从乙地走到甲地需要20min，甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？变式：某人沿公路匀速前进，每隔4min就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6min就有一辆公共汽车从背后超过他。
假定公共汽车速度不变，而且迎面开来相邻两车的距离和从背后开来相邻两车的距离都是1200m,求此人前进的速度和公共汽车的速度以及公共汽车每隔几分钟发一班车。
易错点：列方程组解应用题时，没有审清题意而导致的错误例2：某商场以每件a元购进一种服装，如果规定以每件b元卖出，平均每天卖出15件，30天共获利润22500元，为了尽快回收资金，商场决定将每件降价20%卖出，结果平均每天比降价前多卖出10件，这样30天仍然可获利润22500元，试求a,b的值。
（每件服装的利润=每件服装的卖出价-每件服装的进价）。
二元一次方程组(一)一、重点、难点1、二元一次方程及其解集(1)含有两个未知数，并且未知数项的次数是1的整式方程叫二元一次方程．(2)二元一次方程的解是无数多组．2、二元一次方程组和它的解(1)含有两个一样未知量的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解．3、二元一次方程组的解法(1)代入消元法：把其中的一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，就可以消去一个未知数．(2)加减消元法：先利用等式的性质，用适当的数同乘以需要变形的方程的两边，使两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程的两边分别相加或相减，就可以消去这个未知数．4、三元一次方程组及其解法(1)含有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且是由三个方程组成的方程组叫做三元一次方程组．(2)解三元一次方程组的根本思想是用消元的方法把“三元〞转化为“二元〞(将未知问题转化为问题，再将“二元〞转化为“一元〞)．二、例题分析：例1: 在方程2x-3y=6中，1)用含x的代数式表示y．2)用含y的代数式表示x．答案：1)y= x-2；2)x=3+ y例2:x+y=0，且|x|=2，求y+2的值．解：∵|x|=2∴x=2,或x=-2又∵x+y=0∴y=-2,或y=2故y+2=0,或y+2=4例3：方程组的解是，求a与b的值分析：方程组的解就是适合原方程组，所以将代入方程可以得到关于a,b的新的方程。
解：因为方程组的解是所以〔1〕×2得2a-4=2b (3)〔3〕-〔2〕得-5=2b-2∴b=-将b=- 代入〔1〕得a=∴答案：a= , b=-例4：方程x+3y=10在正整数围的解有_____组，它们是________________。
答案：3；例5：把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式为______．答案：3x-5y+17=0例6：关于x,y的方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2。
二元一次方程应用题2、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价。
在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？解题思路：设甲服装的成本为x元，乙服装的成本为y元。
根据题意，可以列出以下方程组：x + y = 500.（成本总和为500元）0.5x + 0.4y = z。
（按利润定价后的售价总和为z元）0.9x + 0.9y = z + 157.（打9折后的售价总和为z元加上157元的利润）将第二个方程式乘以10，变为：5x + 4y = 10z。
（按利润定价后的售价总和为10z元）将第三个方程式乘以10，变为：9x + 9y = 10z + 1570.（打9折后的售价总和为10z元加上1570元的利润）将第一个方程式乘以4，变为：4x + 4y = 2000.（成本总和为2000元）将上述两个方程式相减，得到：5x + 5y = 5z + 570将上述式子与第四个方程式相减，得到：x = 243代入第一个方程式，得到：y = 257因此，甲服装的成本为243元，乙服装的成本为257元。
3、初三（2）班的一个综合实践活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况，下图是调查后XXX与其他两位同学交流的情况。
根据他们的对话，请你分别求出A、B两个超市今年“五一节”期间的销售额。
解题思路：根据对话中的信息，可以列出以下方程组：去年A超市销售额为x元，今年销售额为y元。
去年B超市销售额为p元，今年销售额为q元。
y = 1.2x。
（今年销售额比去年增加了20%）q = 1.3p。
（今年销售额比去年增加了30%）y + q = .（今年两个超市的销售额总和为元）将第二个方程式代入第三个方程式，得到：1.2x + 1.3p =将第一个方程式代入上述式子，得到：1.2x + 1.3(0.8y) =化简得到：x + 0.8y =将上述式子与第一个方程式相加，得到：2x + 0.8y =解得：x =代入第一个方程式，得到：y =代入第二个方程式，得到：p =q =因此，A超市今年“五一节”期间的销售额为元，B超市今年“五一节”期间的销售额为元。
应用题二元一次方程组的解法二元一次方程组是数学中常见的问题，用于解决两个未知数的关系。
它可以表示为以下形式：方程1：ax + by = c方程2：dx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f是已知的数，x、y是要求解的未知数。
为了求解这个方程组，我们可以使用以下几种方法：1. 消元法：通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数从而得到另一个未知数的值。
具体步骤如下：- 将其中一个方程乘以适当的常数，使得两个方程的某个系数相等（通常是系数a或d）；- 将两个方程相加或相减，消去相同的系数所对应的未知数；- 解得消去后的方程，求解得到一个未知数的值；- 将求得的未知数代入其中一个原方程中，求解另一个未知数的值。
2. 代入法：通过将其中一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中求解未知数的值。
具体步骤如下：- 将其中一个方程表示为未知数的函数，如假设x = g(y)；- 将得到的函数代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程；- 解得代入后的方程，求解得到一个未知数的值；- 将求得的未知数代入原先的函数中，求解另一个未知数的值。
3. Cramer法则：Cramer法则利用矩阵理论求解二元一次方程组。
具体步骤如下： - 构建矩阵A，其中A的第一列为方程组中x的系数，第二列为y的系数；- 构建向量B，其中B为方程组的常数项组成的列向量；- 求解A的行列式D；- 将矩阵A中的第i列替换为B，得到新的矩阵Ai；- 求解Ai的行列式Di；- 未知数x的值等于Di除以D，未知数y的值等于Dy除以D。
以上是三种常用的解二元一次方程组的方法，通过这些方法可以准确地求得方程组的解。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来解决方程组，以满足问题的需求。
总结起来，二元一次方程组的解法包括消元法、代入法和Cramer法则，每种方法都有其独特的求解思路和步骤。
掌握这些方法，我们可以更好地解决实际问题中涉及到的二元一次方程组。
二元一次方程组比例问题应用题二元一次方程组比例问题是初中数学中的一个重要知识点。
我们常常可以在实际的生活中遇到这种问题，比如，在一次旅行中，我们需要计算两个车站之间的距离，或者我们需要计算材料的配比等等，这些都是二元一次方程组比例问题的应用案例。
一、二元一次方程组比例问题的定义二元一次方程组比例问题是指在实际应用中，当我们已知两个量之间的比例时，我们可以用二元一次方程组来解决问题。
比如，我们已知两个量的比例为m:n，那么我们可以写出二元一次方程组：ax+by=m (1) cx+dy=n (2)因为m:n=a:b，所以我们可以得到a=m/n，b=n/m，c=m/n，d=n/m，将a、b、c、d带入公式（1）和（2）中，就可以求出x和y的值，从而完成了二元一次方程组比例问题的求解。
二、二元一次方程组比例问题的应用1.两点间的距离问题在实际应用中，我们需要计算两点之间的距离时，可以用二元一次方程组比例问题来解决。
比如，两个人A和B 同时从两个不同的点出发，他们在同一时间到达一个点C，此时A行驶了x千米，B行驶了y千米。
已知AC:BC=m:n，可以写出二元一次方程组：x:y=m:n (3) x+y=k (4)其中，k为A、B同时到达C点的时间。
我们可以将公式（3）中的比例转化为相等的量，得到x=m/(m+n)k，y=n/(m+n)k。
将x、y代入公式（4）中，就可以得到两点之间的距离。
2.材料的配比问题在生产中，我们需要根据不同的需求，对材料进行不同比例的配比，这时我们也可以用二元一次方程组比例问题来解决。
比如，我们需要将A材料和B材料按照5:3的比例混合，得到1000克的混合物。
已知A材料的单价为x 元/kg，B材料的单价为y元/kg。
可以写出二元一次方程组：5x+3y=k (5) x+y=1000 (6)其中，k为混合物的总价格。
将公式（6）中的y代入公式（5）中，就可以得到x的值，从而计算出混合物的价格。
实际问题与二元一次方程组题型归纳
知识点一：列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关
键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2 ）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.
知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1•行程问题：
（1）追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而
行。
这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。
其等量关系式是遠度-路
程
两者的行程差=开始时两者相距的路程；总士空反几「.；厂L.；
时间醬
⑵相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。
（3）航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；
②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；
③顺水速度—逆水速度=2 X水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2.工程问题：工作效率X工作时间=工作量.
3.商品销售利润问题：
、、、利润率=直址攀处：＜1叩％、、
（1）利润=售价—成本（进价）；（2）=i ; （3）利润=成本（进价）x利润率；
标价=成本（进价）X （1 +利润率）；（5）实际售价=标价x打折率；
注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）
4 .储蓄问题：
（1）基本概念
①本金：顾客存入银行的钱叫做
本金。
②利息：银行付给顾客的
酬金叫做利息。
③本息和：本金与利息的和叫做本息和。
④期数：存入银行的时
间叫做期数。
⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：利
息的税款叫做利息税。
（2）基本关系式
①利息=本金x利率x期数
②本息和=本金+利息=本金+本金x利率x期数=本金x （1 + 利率x期数）
③利息税=利息x利息税率=本金x利率x期数x利息税率。
④税后利息=利息x （1—利息税率）⑤年利率=月利率x 12⑥
月利率宰利率工丄
注意：免税利息=利息
5.配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部
分之间的比例。
6.增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：原量X （1 +增长率）=增长后的量；
原量x （1 —减少率）=减少后的量.
7 .和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X倍量.
&数字问题：
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字T0+个位数
字
9 .浓度问题：溶液质量x浓度=溶质质量.
10.几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
11.年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的
12.优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络
的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：
1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；
3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.
要点诠释：
(1)解实际应用问题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
(4)列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图
表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设
未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④
正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
