一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则A B 等于 ▲ ．【答案】{}1,2 【解析】试题分析：{0}{1012}{12}A B x x =>-=，，，， 考点：集合运算2.已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z = ▲ ． 【答案】5 【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则由216i z z -=+得2()()16i a bi a bi +--=+，即316i,a bi +=+1,2,||a b z ===考点：复数运算3.抛物线22y x =的准线方程为 ▲ ． 【答案】81-=y 【解析】试题分析：22122y x x y =⇒=，所以其准线方程为81-=y考点：抛物线准线方程4.函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为 ▲ ． 【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：2()1,(0f x x x '=->），所以由2()10f x x'=->得2x >，即单调递增区间为(2,)+∞ 考点：函数单调区间5.某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的标准差是 ▲ ． 【答案】1【解析】试题分析：因为平均数为9，所以8,x =标准差1== 考点：标准差6.已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意得6,8m m ==，即681403470x y x y ++=⇒++=，所以它们之间的距离2=考点：两直线平行，两平行直线间距离7.角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α- 的值是 ▲ ．【解析】试题分析：由三角函数定义得：sinα=sin(π)sin αα-==考点：三角函数定义，诱导公式8.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题：① 若αβ∥，则l m ⊥； ② 若αβ⊥，则l m ∥； ③ 若l m ∥，则αβ⊥； ④ 若l m ⊥，则αβ∥． 以上命题中，正确命题的序号是 ▲ ． 【答案】①③ 【解析】试题分析：①由直线l ⊥平面α，αβ∥得直线l ⊥平面β，又直线m ⊂平面β，所以l m ⊥； ②αβ⊥时，l m 与位置关系可为平行，相交，异面；③由直线l ⊥平面α，l m ∥得直线m ⊥平面α，又直线m ⊂平面β，所以αβ⊥； ④l m ⊥时，αβ与置关系可为平行，相交. 考点：线面平行与垂直关系判定9.已知数列{}n a 为等比数列，且3752a a a ⋅=，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若55b a =，则9S = ▲ ． 【答案】18 【解析】试题分析：23755522a a a a a ⋅=⇒=，又50a ≠，所以52a =，即52b =，因此19959()9182b b S b +=== 考点：等差数列性质，等比数列性质10.若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：2221()13a ab b a b ab -+=⇒+=+，而2()a b ab +≤，所以222()1()()42232a b a b a b a b +-+≤⇒+≤⇒-≤+≤，即a b +的最大值是2 考点：基本不等式求最值11.设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】2a ≤ 【解析】试题分析：由题意得函数()||f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增，当2a ≤时()()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增；当2a >时()||f x x x a =-在[,)a +∞上单调递增；在[2,)a 上单调递减，因此实数a 的取值范围是2a ≤ 考点：函数单调性12.点O 在△ABC 的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比是 ▲ ． 【答案】72【解析】试题分析：设112,4OB OB OC OC =-=-,则111428OAC OAC OAB OAB OBC OBC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===，，，而1111OAB OAC OB C S S S ∆∆∆==，因此11111117742882ABC OAC OAB OBC OAC OAC OAC OAC OAC S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=++=++==考点：向量平行四边形法则应用13.如图，椭圆22221y x a b+=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，左焦点为F ，A ，B ，C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于D ，则tan∠BDC 的值为 ▲ ．【答案】-考点：椭圆几何意义14.在△ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且BC，则c b +取得最大值时，内角A 的值为 ▲ ． 【答案】π6【解析】试题分析：由题意得：211sin sin 22a bc A bc A ⨯=⨯=，由余弦定理得：222sin 2cos ,a A b c bc A =+-+2cos ,b c A A c b =+即))3b c A A A c b π++，所以当6A π=时，c bb c +取得最大值 考点：余弦定理，三角函数最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)已知向量(sin ,cos )x x =a , (sin ,sin )x x =b ， (1,0)=-c ． （1）若π3x =，求向量a ，c 的夹角θ；（2）若3ππ,84x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x λ=⋅a b 的最大值为12，求实数λ的值．【答案】（1）5π6θ=（2）2121--==λλ或（第13题）【解析】试题分析：（1）由向量数量积可求出两向量夹角：12⎫=⎪⎝⎭a ，2cos θ⋅===a c ，5π6θ=（2）先化简函数()f x λ=⋅a b 为基本三角函数形式()()(1cos2sin 2)1)224f x x x x λλπ=-+=-，再根据正弦函数性质求最值，当0λ>时，()max 1()1122f x λ=+=，当0λ<时，(max 1()122f x λ==，最后根据最大值为12确定实数λ的值：2121--==λλ或．试题解析：（1）当π3x =时，12⎫=⎪⎝⎭a ，所以 2cos |||11θ⋅===⋅⨯a c |a c ，又[0,π]θ∈，因而5π6θ=．…………………………………………………………6分（2）()()(1cos2sin 2)1)f x x x x λλπ=-+=-， ……………………8分因为3ππ,84x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2,424x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当0λ>时，()max 1()1122f x λ=+=，即12λ=， ……………………………10分当0λ<时，(max 1()122f x λ=-=，即1λ=-12分 所以2121--==λλ或． ………………………………………………14分注：（1）没有说明[0,π]θ∈扣2分；（2）数形结合理由没有说清，答案正确扣3分． 考点：向量数量积，三角函数性质 16.(本小题满分14分)如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形． （1）求证：DM ∥平面APC ； （2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）因为BC PBC ⊂平面，所以AP BC ⊥．又因为,BC AC AC AP A ⊥⋂=,AP AC APC ⊂，平面，所以BC APC ⊥平面， …………………………………………………………8分 因为BC ABC ⊂平面，所以平面ABC⊥平面APC ；……………………………10分 （3）由题意可知，MD PBC ⊥平面， 所以MD 是三棱锥D —BCM 的高，所以13M DBC V Sh -== ……………………………………………………14分考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理，锥的体积（第16题）ABCPMD17.(本小题满分14分)现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE ∥OA 、CF ∥OB 交弧AB 于点E 、F ，且BD = AC ，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA =1km ，π2AOB ∠=，π(0)2EOF θθ∠=<<．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y 万元． 试问当θ为多少时，年总收入最大？【答案】（1）II 1=cos 2S θ区域，π(0)2θ<<．（2）π6【解析】试题分析：（1）由BD = AC 得，OD OC =，所以1π()22COF θ∠=-，1π cos cos[()]22OC OF COF θ=⋅∠=-，11sin cos COF S OC OF COF θ∆=⋅⋅⋅∠=，II 1=cos 2S θ区域，定义域为π02θ<<；（2）先分别求出各区域面积，再建立函数关系：I 12S θ=区域，III I II π11cos 422S S S S θθ=--=--总区域区域区域，11π111520cos 10(cos )22422y θθθθ=⨯+⨯+⨯--55ππ5cos (0)222θθθ=++<<，，最后利用导数求其最值试题解析：（1）因为BD AC OB OA ==，，所以OD OC =． 因为π2EOF ∠=，DE ∥OA ，CF ∥OB ， 所以DE OB CF OA ⊥⊥，．又因为OE OF =，所以Rt ODE ∆≌Rt OCF ∆．所以1π()22DOE COF COF θ∠=∠∠=-，． ………………………………2分（ 第17题 ）所以1πcos cos[()]22OC OF COF θ=⋅∠=-．所以11sin cos 24COF S OC OF COF θ∆=⋅⋅⋅∠=，所以II 1=cos 2S θ区域，π(0)2θ<<． …………………………………6分（2）因为I 12S θ=区域，所以III I II π11cos 422S S S S θθ=--=--总区域区域区域．所以11π111520cos 10(cos )22422y θθθθ=⨯+⨯+⨯--55ππ5cos (0)222θθθ=++<<，， …………………………………10分 所以5(12sin )2y θ'=-，令=0y '，则π=6θ． …………………………………12分当π6θ<<0时，0y '>，当ππ62θ<<时，0y '<． 故当π=6θ时，y 有最大值． 答：当θ为π6时，年总收入最大． …………………………………14分 考点：函数应用，利用导数求函数最值 18.(本小题满分16分)如图，12F F ，为椭圆C ：22221y x a b+= (a ＞b ＞0)的左、右焦点，D E ，是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e ，△2DEF的面积为1．若00()M x y ，在椭圆C 上， 则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”．直线l 与椭圆交于A B ，两点，A B ，两点的 “椭点”分别为P Q ，，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点． （1）求椭圆的标准方程；（2）△AOB 的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）1．（第18题）【解析】试题分析：（1）根据两个独立条件确定,a b 值：2c e a b a ==⇒=，△2DEF 的面积为11()12a c b ⇒⨯-=，因此2,1a b ==（2）先从“以PQ 为直径的圆经过坐标原点”出发，确定A B ，坐标关系，再从A B ，坐标出发确定三角形AOB 面积，这其中有一定运算量：设1122(,),(,)A x y B x y ，则1211(,),(,)22x x P y Q y .由OP OQ ⊥，即121204x xy y +=．直线为(0)y kx m m =+≠，利用韦达定理得22412k m +=，又三角形AOB 面积等于121211|||||22AB h x x x x m ⋅=-=-，再利用韦达定理得122||=||x x m -，所以三角形AOB 面积等于1试题解析：（1）2214x y +=． ………………………………………………………5分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则1211(,),(,)22x xP y Q y .由OP OQ ⊥，即121204x xy y +=． （*）………………………………………7分① 当直线AB 的斜率不存在时，1121||||12S x y y =⨯-=．……………………9分 ② 当直线AB 的斜率存在时，设其直线为(0)y kx m m =+≠． 2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，222(41)8440k x kmx m +++-=， 2216(41)k m ∆=+-，21224441m x x k -=+，同理22122441m k y y k -=+，代入（*），整理得22412k m +=． ………………13分 此时2160m ∆=>，12|AB x x =-=，h =，1S ∴=．……………………………………………………… 15分综上，△ABC 的面积为1． ……………………………………………………16分 考点：直线与椭圆位置关系 19.(本小题满分16分)已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，123,,x x x ∈R ，且123x x x <<． （1）当123012x x x ===，，时，求函数()f x 的减区间；（2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是()αβαβ<，，试比较122x x +，232x x + 与αβ，的大小，并说明理由．【答案】（1）(1-+（2）详见解析（3）231222x x x x αβ++<<< 【解析】试题分析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x '=---+=-+，由()0f x <得()f x 减区间(1+；（2）因为32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x '=-+++++，因为2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-'=-<，22323()()024x x x x f +-'=-<，所以231222x x x x αβ++<<<试题解析：（1）()f x 减区间(1-+；…………………………………………4分 （2）法1：32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，………6分 2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x '=-+++++2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->，123x x x <<，……………………8分所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；………………………………10分 法2：122331()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x '=--+--+--， ……………6分 22321()()()0f x x x x x '=--<， …………………………………………………8分 ()f x 是开口向上的二次函数，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；………………………………10分 （3）因为21221()()024x x x x f +-'=-<，………………………………………12分 22323()()024x x x x f +-'=-<， ………………………………………14分又()f x 在(,)α-∞和(,)β+∞增，()f x 在(,)αβ减， 所以231222x x x x αβ++<<<． ………………………………………………16分考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系 20.(本小题满分16分)已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是公差为d )0(>d 的等差数列，且也是公差为d 的等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 对任意m n ∈*N ，，且m n ≠，都有2m n mnm n S a a a a m n m n+-=+++-，求证： 数列{}n a 是等差数列．【答案】（1）1524n a n =-（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先特殊后验证：由是公差为d 的等差数列，得d d 平方化简得：12d =，134a =-此时，12n b n ==满足题意（2）从任意性出发：分别取1,m n n n =+→，及21m n n n =+→-，，目的消去和项，得递推关系式：2114223n n n a a a +-++=即211230n n n a a a ++--+=，即211112(2)2n n n n n n a a a a a a +++-+-=+-，又31220a a a +-=，所以2120n n n a a a +++-=试题解析：（1）设n b n S b n n +=2， 当321，，=n 时，2111=1b S n a =++， ① 2121()222b d S a d +=+=++， ② 2131(2)3333b d S a d +=+=++， ③联立①②③消去1a ，得2211()2b d b d +=+， ④ 2211(2)33b d b d +=+， ⑤ ④3⨯-⑤得：221120b b d d -+=，则1b d =， ⑥将⑥代入⑤解出12d =（=0d 舍去）， …………………………………… 2分从而解得13a =-，所以15n a n =-. ………………………………… 4分此时，12n b n ==对于任意正整数n 满足题意. ………………… 6分（2）因为对任意,m n ∈*N ，m n ≠，都有2m n m n m n S a aa a m n m n+-=+++-， ① 在①中取1m n =+，2111122211n n n n n n S a aa a a n ++++-=++=+， ②… 8分 同理212121212422133n n n n n n n S a a a a a a n ++-+-+--+=++=+， ③…10分 由②③知，2114223n n n a a a +-++=,即211230n n n a a a ++--+=， 即211112(2)2n n n n n n a a a a a a +++-+-=+-， ………………………………… 12分②中令1n =，31220a a a +-=，从而2120n n n a a a +++-=，即211n n n n a a a a +++-=-，……………………… 14分 所以，数列{}n a 成等差数列. ……………………………………………… 16分 考点：等差数列通项，等差数列判定数学附加题21.B 选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．【答案】A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由特征值与特征向量关系得：33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝611⎡⎤⎢⎥⎣⎦，33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即c ＋d ＝6，3c －2d ＝－2，，因此24c d =⎧⎨=⎩即A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而A 的逆矩阵是213211⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．试题解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦可得，33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝611⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即c ＋d ＝6，…………………………………………2分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，可得33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即3c －2d ＝－2，…………………………4分 解得24c d =⎧⎨=⎩即A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ……………………………………………6分所以A 的逆矩阵是211132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………10分 考点：特征值与特征向量，逆矩阵 21.C 选修4—4：极坐标与参数方程已知圆的极坐标方程为：()2πcos 604ρθ--+=．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 【答案】（1）224460x y x y +--+=（2）最大值为6，最小值为2． 【解析】试题分析：（1）由()2πcos 604ρθ--+=得24cos 4sin 60ρρθρθ--+=，又222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=，所以224460x y x y +--+=（2）利用圆的参数方程将函数化为三角函数42sin 4x y πα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，易得其最值试题解析：（1）224460x y x y +--+=；………………………………………4分 （2）圆的参数方程为2,2,x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩…………………………………6分所以42sin 4x y πα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭， ……………………………………… 8分那么x ＋y 最大值为6，最小值为2．………………………………………10分考点：极坐标化直角坐标，利用圆参数方程求最值22.为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[)[)[)[)[]20,25,25,30,30,35,35,40,40,45．（1）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）150（2）9EX=5【解析】试题分析：（1）频率分布直方图中小矩形的面积等于频率，所以除[)40,35外的频率和为0.70，⨯=（2）先由分层抽样得“低于35岁”的人有12在[)40,35频率为0.30，人数为0.3500150名，“年龄不低于35岁”的人有8名．从而随机变量可能取值为0,1,2,3，分别计算其概率，得分布列，再利用定义求出数学期望试题解析：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除[)40,35外的频率和为0.70， 所以10.700.065x -==，所以500名志愿者中，年龄在[)40,35岁的人数为0.065500150⨯⨯=(人)；……3分 （2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名． 故X 的可能取值为0,1,2,3，()28514032038===C C X P ，()9528132028112===C C C X P ， ()9544232018212===C C C X P ，()57113320312===C C X P , 故X 的分布列为：所以1428441117190123285959557955EX =⨯+⨯+⨯+⨯==． …………10分考点：频率分布直方图，分布列及数学期望．23.已知函数()()()22211x f x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a ∈R )．若0x =为()f x 的极值点，解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭． 【答案】{}01x x x <>或 【解析】试题分析：先由极值定义()000f ae '==求出0a =，再利用导数研究函数()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭单调性，进而解出不等式试题解析：因为()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦，所以()()221x f x ax a x a e ⎡⎤'=+++⎣⎦ ， ……………………………1分因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =检验,当0a =时,()xf x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =．……………………………………2分 当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭,整理得()211102xx e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩， …………………6分 令()2112xg x e x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，()()()1x h x g x e x '==-+,()1x h x e '=-， 当0x >时,()10xh x e '=->；当0x <时,()10xh x e '=-<，所以()h x 在(),0-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以()()00h x h >=， 即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =； 故211002xe x x x ⎛⎫-++>⇔>⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭，所以原不等式的解集为{}01x x x <>或．………………………………10分 考点：函数极值，利用导数解不等式。
