苏教高一下数学选修2-3 第二章 2.1随机变量及其概率分布练习题课件

2.1 随机变量及其概率分布(二)一、基础达标1.袋 有大小相同的红球6个，白球5个，从袋 每次任意取 1个球，直到取 的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为________________________________________________________________________. 2.若随机变量X 的概率分布如下表所示，则表 的a 的值为________.3.抛掷2等于________.4.设随机变量ξ等可能取值为1,2，…，n ，若 (ξ<4)＝0.3，则n ＝________.5.设随机变量X 的分布列为 (X ＝ )＝ (23) ， ＝1,2,3，则 的值为________.6.设随机变量X 的分布列为 (X ＝ )＝ck (k ＋1)， ＝1,2,3， 为常数，则 (0.5<X <2.5)＝________.7.一个袋 有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球.(1)从 任意摸 一球，用0表示摸 白球，用1表示摸 红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球.求X 的概率分布.(2)从 任意摸 两个球，用“η＝0”表示两个球全是白球，用“η＝1”表示两个球不全是白球，求η的概率分布.二、能力提升8.袋内有5个白球，6个红球，从 摸 两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两根非全红，则X 的概率分布为____________________________________________________.9.一盒有12个乒乓球，其9个新的，3个旧的，从盒任取3个球用，用完后装回盒，此时盒旧球个数X是一个随机变量，其概率分布为(X)，则(X＝4)的值为________.10.若离散型随机变量X的概率分布为则常数＝________.11.盒装有一打(12个)乒乓球，其9个新的，3个旧的(用过的球即为旧的)，从盒任取3个使用，用完后装回盒，此时盒旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的概率分布.12.设是不等式x2－x－6≤0的解集，整数，n∈.(1)设“使得＋n＝0成立的有序数组(，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝2，求ξ的概率分布.三、探究与创新13.安排四名大学生到A，B，三所学校支，设每名大学生去任何一所学校是等可能的.(1)求四名大学生恰有两人去A校支的概率；(2)设有大学生去支的学校的个数为ξ，求ξ的概率分布.答案精析1.1,2,3，…，72.16解析 ∵12＋16＋16＋a ＝1，∴a ＝16.3.16解析 根据题意，有 (X ≤4)＝ (X ＝2)＋ (X ＝3)＋ (X ＝4).抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故 (X ＝2)＝136， (X ＝3)＝236＝118， (X ＝4)＝336＝112，所以 (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.4.10解析 因为随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n ，所以 (ξ＝ )＝1n ( ＝1,2,3，…，n )，因为0.3＝ (ξ＜4)＝(ξ＝1)＋ (ξ＝2)＋ (ξ＝3)＝3n .解得n ＝10.5.2738解析 ∵ 23＋(23)2＋(23)3 ＝1，∴ ＝2738.6.89解析 1＝ (11×2＋12×3＋13×4)，∴ ＝43.∴ (0.5<X <2.5)＝ (X ＝1)＋ (X ＝2)＝23＋29＝89.7.解 (1)由题意知 (X ＝0)＝37， (X ＝1)＝47.所以X 的概率分布如下表：(2)由题意知 (η＝0)＝C 23C 27＝17，(η＝1)＝1－ (η＝0)＝67.所以η的概率分布如下表：8.解析 (X ＝0)＝C 26C 211＝311， (X ＝1)＝1－311＝811.故X的概率分布如下表.9.27220解析 由题意取 的3个球必为2个旧球1个新球，故 (X ＝4)＝C 23×C 19C 312＝27220.10.13解析 由随机变量分布列的性质可知： ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝1，0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－9c ＋2＝0，0≤9c 2－c ≤1，解得c ＝13.14≤c ≤38，11.解 ξ的所有可能取值为3,4,5,6. (ξ＝3)＝C 33C 312＝1220；(ξ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220；(ξ＝5)＝C 29C 13C 312＝2755；(ξ＝6)＝C 39C 312＝2155.所以ξ的概率分布为12.解 (1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，即 ＝{x －2≤x ≤3}.由于 ，n ∈ ， ，n ∈ 且 ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0). (2)由于 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝ 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 (ξ＝0)＝16， (ξ＝1)＝26＝13， (ξ＝4)＝26＝13，(ξ＝9)＝16.故ξ的概率分布为13.解 (1)所有可能的方式有24·22种， 从而恰有2人到A 校支 的概率为C 24·2234＝827.(2)ξ的所有可能值为1,2,3. 又 (ξ＝1)＝334＝127，(ξ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427，(ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49 (或 (ξ＝3)＝C 24A 3334＝49). 综上可知，ξ的概率分布如下表：。

题型一 条件概率的求法
例1 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是 绿皮的，3个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； 解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮 鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事 件AB.
(1)从 7 个鸭蛋中不放回地依次拿出 2 个的事件数为 n(Ω)＝A27 ＝42.根据分步计数原理，n(A)＝A14×A16＝24. 于是 P(A)＝nnΩA＝2442＝74.
课堂小结
本章通过引入随机变量的概念，研究了几种类型的随机变量的概率 分布，以及条件概率、事件的独立性及相互独立的事件同时发生的 概率公式.通过研究随机变量的数字特征如均值(数学期望)和方差(或 标准差)，以及随机变量的概率分布，对随机变量的总体水平及稳定 程度进行了刻画，并通过样本均值和方差(或标准差)对总体进行估 计.超几何分布、二项分布、n次独立重复试验及正态分布等，都是 重要的概率模型，在社会生产、生活和科学研究中有着广泛的应用.
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方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝24， 所以 P(B|A)＝nnAAB＝1224＝21.
跟踪训练1 一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只 二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样， 设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次 取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A). 解 将产品编号1,2,3号为一等品，4号为二等品，以(i，j)表 示第一次，第二次分别取到第i号、第j号产品，则试验的样 本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…， (4,1)，(4,2)，(4,3)}，
∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)＋P(B)＝0.648.

2.1 随机变量及其概率分布基础训练1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是离散型随机变量的是【 】A ．①B ．②C ．②③D ．①③2．下列叙述中，是离散型随机变量的为【 】A .某人早晨在车站等出租车的时间B .将一颗均匀硬币掷十次，出现正面或反面的次数C .连续不断的射击，首次命中目标所需要的次数D .袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性3.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则【 】A ．3n =B ．4n =C ．10n =D ．不能确定4.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为【 】A ．1112B ．3136C ．536D ．112 5.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是【 】A . ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B . ξ取所有可能值的概率之和为1C . ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D . ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和6．抛掷两枚骰子一次，设η为第一枚骰子与第二枚骰子的点数之差，则它的所有可能取值为【 】A .N ∈≤≤ηη,50B . N ∈≤≤ηη,61C . Z ∈≤≤-ηη,05D . Z ∈≤≤-ηη,557． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η8.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取球两次，设两次小球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数？｛Y＝4｝的概率是多少？拓展训练1．下列叙述中，是随机变量的有【】①某工厂加工的零件，实际尺寸与规定尺寸之差；②标准状态下，水沸腾的温度；③某大桥一天经过的车辆数；④向平面上投掷一点，此点坐标.A．②③B．①②C．①③④D．①③2.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X>4”表示的实验结果是【】A.第一枚6点，第二枚2点B.第一枚5点，第二枚1点C.第一枚1点，第二枚6点D.第一枚6点，第二枚1点3.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能的取值有【】A.17个B.18个C.19个D.20个4.袋中有大小相同的红球６个，白球５个，从袋中每次任取一球（不放回），直到取出球是白球为止，取球次数是一个随机变量，这个随机变量的可能取值为．5.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，（1）他收旅客的租车费η是否也是一个随机变量？如果是，找出租车费η与行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?这种情况下，停车累计时间是否也是一个随机变量？参考答案基础训练1.B2.C3.C4.B5.D6.D7. (1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…8．可取2～10之间的所有整数，共有9个；｛Y ＝4｝表示“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号”.所以253553)4(=⨯==Y P拓展训练1.C2. D3.A4.1，2，3，4，5，65. （1）依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2.随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b (其中a 、b 是常数)也是随机变量.（2）由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟.停车累计时间不足五分钟，按五分钟计.所以，停车累计时间也是随机变量，可能取10～15之间的任一值.。

( ( 2 2 3 3 ) )
例 21 投掷一枚均匀硬币 设X为一次投掷中出现正面的
次数 即
X () 1 0 , , 正 反 , . 面 面 于是X的概率分布为
则 有 P { X 1 } P { 出 现 正 面 } 1 2
P { X 0 } P { 出 现 反 面 } 1 2
P { c X d } d c b a
求随机变量X的分布函数
解 当xa时 F(x)P{Xx}0 综上 可得X的分布函数为
当axb时
0 , x a ,
F ( x ) P { X F (x x} ) PP { {a X xX } x } b x a a F ( x ) b x 1 , a a , a x x b . b ,
2
求其分布函数
F(x)P{Xx}
解 X只有两个可能取值
P{X0}P{X1}1
其概率分布为
综上 X的分布函数为
于是FP 当{ (xX )x P0 0} {时 XP { xX } 01 } 1 2 F ( x ) 1 2 1 0 , , ,0 x x x 1 0 . 1 ,
为样本空间 {1 2 3 4 5 6}上的函数定义为 X()
一、随机变量的概念
定义21(随机变量)
定义在概率空间( P)上 取值为实数的函数XX() ()称为( P)上的一个随机变量
随机变量举例 在投掷一枚硬币进行打赌时 出现正面时投掷者赢一元
钱 出现反面时输一元钱 记赢钱数为随机变量X 则X作为样
当xb时
F(x)P{Xx}
F ( x ) P { X x } P { a X b } b a 1 b a
四、离散型随机变量的分布函数 例 26 投掷一枚均匀硬 当0x1时