数学建模期末试卷A及
答案
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
2009《数学建模》期末试卷A
考试形式：开卷 考试时间：120分钟
姓名： 学号： 成绩： ___
1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。
2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。
在每个生产周期T 内，开始一段时间（00T t ≤≤）
边生产边销售，后一段时间（T t T ≤≤0）只销售不
生产，存贮量)(t q 的变化如图所示。设每次生产开工
费为1c ，每件产品单位时间的存贮费为2c ，以总费用最小为准则确定最优周期T ，并讨论k r <<和k r ≈的情况。
3．（10分）设)(t x 表示时刻t 的人口，试解释阻滞增长（Logistic ）模型 中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。
4．（25分）已知8个城市v 0，v 1，…,v 7之间有一个公路网（如图所示）， 每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．
（1）设你处在城市v 0，那么从v 0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短
（2）求出该图的一棵最小生成树。
5．（15分）求解如下非线性规划:
6．（20分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙.经试验与分析, 发现这两种金属成分所占的百分比之和x 与合金的膨胀系数y 之间有一定的相关关系.先测试了12次, 得数据如下表：
的模型。
7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。
《数学建模》模拟试卷（三）参考解答
1.
数学模型是对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。
数学建模方法
一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。
机理分析是根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的数学模型常有明确的物理意义。
测试分析是将研究对象看作一个"黑箱"(意即内部机理看不清楚)，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合得最好的模型。
数学建模的一般步骤
(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。
(2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假
设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。
(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。
4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。
(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。
(6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。
(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。
2. 单位时间总费用k T r k r c T c T c 2)()(2
1-+=，使)(T c 达到最小的最优周期
)(2T 21*r k r c k c -＝。当k r <<时，r c c 21*2T ＝，相当于不考虑生产的情况；当k
r ≈时，∞→*T ，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。
3. t ——时刻；
)(t x ——t 时刻的人口数量；
r ——人口的固有增长率；
m x ——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；
0x ——初始时刻的人口数量
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。
且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率)(x r 是人口数量)(t x 的的减函数。
假设)(x r 为)(t x 的线性函数：
)0,0()(>>-=s r sx r x r ，
其中，r 称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是0=x ）的增长率。
当m x x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入有
m x r s =，从而有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=m x x r x r 1)(， 根据Malthus 人口模型，有
4. (1)0v 到其它各点的最短路如下图：
各点的父点如下：
v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3
各点的最短路径及最短路长分别为：
v0: 0
v0→v1: 1
v0→v2: 2
v0→v2→v3: 3
v0→v2→v3→v4: 6
v0→v5: 4
v0→v5→v6: 6
v0→v2→→v3→v7: 9
(2)最小生成树如下图：
5．最优解
)1,5(),(*2*1=x x ，最优目标值0*=z 6．
画出散点图(图211), 从散点图上看出, 这13已知的数据点大致在一条抛物线的周围,假定回归函数为
y = 0 + 1x + 2x 2 .
作变换x 1 = x , x 2 = x 2, 用多元线性回归分析方法得到
y = , , … , T ,
31300.18490.43125.14065.37100.13690.371⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= X ,
= (0 , 1 , 2 )T .
X T X =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛337170858374605.208458374605.208450.5205.208450.5200.13, X T y =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛3.482499.120732.30, ( X T X )1 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00795.06362.06958.126362.09166.505.10166958.125.10161.20304，= (X T X )1X T y =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-1660.03866.136231.271.
