直线的方程(师)

直线的方程一、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③倾斜角α的范围000180α≤<. （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，即k=tan α，而倾斜角为090的直线斜率不存在。

②经过两点)(),,(p ),y ,(x p 21222111x x y x ≠的直线的斜率公式是)(,211212x x x x y y k ≠--=③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。

（3）直线的倾斜角与斜率注意：1、斜率公式：2121y y k x x -=-与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；2、求斜率的一般方法：（1）已知直线上两点，根据斜率公式 212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；（2）已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

例1．（1）已知直线l 的倾斜角的变化范围为[,)63ππα∈，求该直线斜率的变化范围；（2）已知直线l的斜率[1k ∈-，求该直线的倾斜角的范围.解：（1）∵[,)63ππα∈，∴tan [3α∈． （2）∵tan [1k α=∈-，∴3[,)[0,)43ππαπ∈ ． 例2．已知α和k 分别是l 的倾斜角和斜率，当（1）3sin 5α=；（2）3cos 5α=；（3）3cos 5α=-时，分别求直线l 的斜率k ． 解：当3sin 5α=时，∵0180α≤<，∴3tan 4k α==±． 当3cos 5α=时，∵0180α≤< ，∴090α≤<，∴4tan 3k α==． 当3cos 5α=-时，∵0180α≤< ，∴90180α<< ，∴4tan 3k α==-．练习1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。

2：已知直线L 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。

3：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。

二、 直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。

②斜截式：y=kx +b ，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点),(p ),y ,(x p 222111y x④截矩式：1x ya b+=其中直线l 与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，b ),即l 与x 轴、y 轴的 截距分别为a 、b 。

注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：1x ya b+=或y=kx . ⑤ 一般式：A x +B y +C=0（A ，B 不全为0）注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

（2）各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例3：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12-，经过点A(8，—2)； .(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； .(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-； .(4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .练习1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）A ．C =0，B>0B ．C =0，B>0，A>0C ．C =0，AB<0D ．C =0，AB>02：直线l 的方程为A x —B y —C =0，若A 、B 、C 满足AB>0且BC<0，则l 直线不经的象限是（ ） A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四三、两条直线平行与垂直的判定（1）当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l（2）用一般式方程判定直线的位置关系：已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l （2）;0,0-//1221122121≠-=⇔C A C A B A B A l l （3）;0,0-1221122121=-=⇔C A C A B A B A l l 重合与 （4）1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A如果2220A B C ≠时，则：(1)1221121-=∙⇔⊥B A B A l l (2)⇔21//l l ）不为0,,(222212121C B A C CB B A A ≠=； (3)1l 与2l 重合⇔）不为0,,(222212121C B A C CB B A A ==(4)1l 与2l 相交⇔）不为0,(222121B A B BA A ≠例4.已知两直线1l 1： x +(1+m ) y =2—m 和2l ：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行例5、 已知两直线1l ：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和2l ：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值例6、求两条垂直直线1l ：2x + y +2=0和2l ： mx +4y —2=0的交点坐标例7、 已知直线l 的方程为121+-=x y ， (1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。

四、直线系方程（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程； （2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.五、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点（联立方程组）2.几种距离（1）两点间距离公式：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|=212212)()(y y x x -+-注：点到几种特殊直线的距离（1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =。

（2）点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.（3）点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-。

（4）点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-. （2）点到直线距离公式：一点P(x o ，y o )到直线l ： A x +B y +C =0的距离22o o BA CB A d +++=|y x |（3） 两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：A x +B y +C 1=0，2l ：A x +B y +C 2=0， 则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=例8：求点A(-2,3)到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= 。

例9：已知点（a,2）到直线l : x-y+1=0的距离为2，则a= 。

(a ＜0)例10：求平行线1l ：3x + 4y —12=0与2l ： ax +8y +11=0之间的距离。

例11：已知平行线1l ：3x +2y —6=0与2l ： 6x +4y —3=0，求与它们距离相等的平行线方程。

六、对称问题（1）中心对称①若点及关于对称，则由中点坐标公式得②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。

（2）轴对称①点关于直线的对称 若两点关于直线l ：Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴l 上，而且连接的直线垂直于对称轴l 上，由方程组可得到点1P 关于l 对称的点2P的坐标()22,x y （其中120,A x x ≠≠） ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

例12：已知直线l ：2x —3y +1=0和点P(—1，—2).(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称点Q 坐标(2) 分别求：直线l ：2x —3y +1=0关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称的直线方程. (3) 求直线l 关于点P(—1，—2)对称的直线方程。

(4) 求P(—1，—2)关于直线l 对称的点。

例13：点P(—1，—2)关于直线l ： x +y —2=0的对称点的坐标为 。

七、典型例题题型 一 直线恒过定点或者象限问题例 1. 求直线31y kx k =++恒经过的定点变式.求直线l 程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R) l 必过的定点；题型二：直线与坐标轴形成三角形问题例2：已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．【变式】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；类型三：截距问题例3．求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.A并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？例4．经过点(1,2)请求出这些直线的方程。

【变式1】求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.[变式2].若直线7x＋2y－m＝0在两坐标轴上的截距之差等于5，则m＝( )A．14 B．－14 C．0 D．14或－14总结升华：注意截距与距离的区别，截距可正、可负、可为零，不可与距离混为一谈.截距式方程的使用条件是直线在轴、轴上的截距都存在且不为零，垂直于坐标轴和过原点的直线不能用该方程求解，因此用截距式方程要考虑截距为零的情况.解答此类问题时，容易遗漏所求直线在在轴、轴上的截距为0的情况，在实际解答时要全面考虑.类型四：斜率问题例5：求过点，且与轴的交点到点的距离为5的直线方程.总结升华：解答此类问题时，容易忽视直线斜率不存在时的情况，同学们在实际解答时要全面考虑.斜率不存在的直线(即垂直于轴的直线)不能用点斜式、斜截式方程求解，点斜式、斜截式方程的使用条件是直线斜率必须存在.因此，用点斜式、斜截式方程求解直线方程时要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 【变式】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.题型五、利用对称性求最值问题（和最小，差最大）例 6 直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.【变式】已知点(3,8)A -、(2,2)B ，点P 是x 轴上的点，求当AP PB +最小时的点P 的坐标．课后检测： 一、选择题1.若直线过点(1,2)，(4,2,则此直线的倾斜角是（ ）Ａ 030 Ｂ 045 Ｃ 060 Ｄ 0902. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 274. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与x 轴，y 轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则l 的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有 A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ） （A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0 11．下列说法的正确的是 （ ）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程x a yb+=1表示D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示12．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．360x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y +-=D ．320x y -+=二、填空题13．过点Ｐ（１，２）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是 . 14．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 三、解答题16. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程; ②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.17.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m 的值.。