5.2一次函数(第1课时)

5．2一次函数（1）【学习目标】：1、能用适当的表示法刻画实际问题中的函数关系．2、能结合具体情境理解一次函数和正比例函数的意义．【重点难点】：能结合具体情境理解一次函数和正比例函数的意义．【预习指导】：1、弹簧原长5㎝，在弹性限度内（最多挂5㎏），弹簧每挂1㎏重物弹簧就伸长3㎝；（1）当弹簧上挂0.5㎏重物时，弹簧长 ㎝， （2）当弹簧上挂1㎏重物时，弹簧长 ㎝， （3）当弹簧上挂1.5㎏重物时，弹簧长 ㎝， （4）当弹簧上挂2㎏重物时，弹簧长 ㎝，（5）问在弹性限度内，弹簧长度是弹簧所挂重物质量的函数吗？为什么？（6）如果设弹簧所挂重物质量为x ㎏，弹簧长度为y ㎝，则写出y 与x 之间的函数关系式： ，自变量的取值范围 . 2、某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗油9升.3、电信公司推出无线市话服务，收费标准为月租费25元，本地网通话费为每分钟0.1元.如果用y （元）表示每月应缴费用，用x(min)表示通话时间（不足1min 按1min 计算），那么y 与x 之间的函数关系式为 .4、上面的三个函数关系式有什么共同特点？你还能说出一些具有这种特点的函数关系的实际例子吗？5、一次函数，正比例函数的概念一般地，如果 ， 那么称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）.特别地，当 时， y 叫做x 的正比例函数.注意：1、自变量的指数为一次.2、含自变量的式子为整式.3、k ≠ 0【典题选讲】:例1：下列函数（1）y ＝πx －2 (2)y ＝2x －1 (3)y ＝1x(4)y ＝2－1－3x (5)y ＝x 2－1中，是一次函数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例2：下列变化过程中，变量y是变量x的函数关系吗？是正比例函数吗？写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断.①一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，这棵树的高度为y（厘米）与生长了时间x（月）函数关系；②正方形面积y与边长x之间的函数关系；③正方形周长y与边长x之间的函数关系；④长方形的长为常量a时，面积y与宽x之间的函数关系；⑤如图，高速列车以200km/h的速度驶离A站，在行驶过程中，这列火车离开A站的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系；⑥如图，A,B两地相距200km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A地的路程y(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系.例3、已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时，y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例函数？【学习体会】:【课堂练习】：1、下列说法正确的是（）A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数是一次函数C．正比例函数不是一次函数 D．一次函数不可能是正比例函数2、学校仓库里现有粉笔15000盒，如果每个星期领出60盒子，求仓库内余下的粉笔Q与星期数t之间的函数关系式 .3、某厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，年产值y与年数x之间的函数关系为，五年后产值是 .4、甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续费0.2元，求总邮资y（元）与包裹重量x（千克）之间的函数关系式，并计算5千克重的包裹的邮资是 .5、下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）.6、见下表：根据上表写出y与x之间的关系式是：_____________ ___ ，y是否为x的一次函数？y是否为x有正比例函数？7、已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）．(1) 当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围；(2) 当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．8、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费.设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元.（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数.（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费.(编写者：于娟)。

编号：025 课题:函数的表示方法——第1课时函数的表示方法目标要求1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象发、列表法、解析法）表示函数；2.理解函数图象的作用；3.会求函数的解析式.重点难点重点：函数的图象及其应用；难点：函数的解析式的求法．教学过程基础知识点1.表示函数的三种方法2.本质:两个变量对应关系的三种不同方式的表示.【思考】函数的三种表示方法各有哪些优缺点?提示:【基础小测】1.下列命题中正确的是（）A.任何一个函数都可以用解析法表示出来.B.任何一个函数都可以用图象法表示出来.C.函数的图象一定是连续不断的曲线.D.有的函数的图象可以是一些孤立的点.2.已知函数f(x)的图象如图所示,其中点A,B的坐标分别为(0,3),(3,0),则f(f(3))= ( )A.2B.4C.0D.33.某电脑城新进了100台笔记本电脑,每台售价4 000元,试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系,用解析法表示y=________.关键能力·合作学习类型一函数的表示方法(数学建模)【题组训练】1.已知x∈Q时,f(x)=1;x为无理数时,f(x)=0,我们知道函数表示法有三种:①列表法,②图象法,③解析法,那么该函数y=f(x)应用________表示(填序号).2.做数学选择题游戏的规则是:共5道选择题,基础分为5分,每答错一道题扣1分,答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.【解题策略】关于函数的三种表示方法三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系,各有优缺点,在解题的过程中,可以选取最适合的方法表示函数.【补偿训练】我市公共汽车,行进的站数与票价关系如下表:行进的站数1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?类型二函数的图象及其应用(直观想象)【典例】1.函数21||xyx=-的图象的大致形状是 ( )A B C D2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).(1)画出f(x)图象的简图.(2)根据图象写出f(x)的值域.【解题策略】画函数图象的两种常见方法(1)描点法:一般步骤:①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.(2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.【跟踪训练】作出下列函数的图象并写出其值域.(1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}.(2)2,[2,) y xx=∈+∞.【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些?提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称.(4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象沿y轴对折而成.(5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉x轴下方的图象而成.【拓展训练】已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(|x|)的图象为 ( )类型三 求函数的解析式(逻辑推理、数学运算) 角度1 待定系数法【典例】一辆出租车的营运总利润y (单位:万元)与营运年数x (x ∈N )的变化关系如表所示,要使总利润达到最大值,则该出租车的营运年数是________,营运10年的总利润是________万元.x /年 4 6 8 … y 是x 的二次函数 7117…角度2 代入法 【典例】若211(1)1f x x-=+，则f (x )=________.【变式探究】本例中若已知2211()(0)f x x x xx+=+>,试求函数的解析式及定义域.角度3 解方程组法【典例】已知2()()3f x f x x +-=,求()f x .【解题策略】 1.待定系数法求解析式根据已知的函数类型,设出函数的解析式,再根据条件求系数,常见的函数设法:2.换元法求函数的解析式已知复合函数f (g (x ))的解析式,令t =g (x ), 当x 比较容易解出时,可以解出x 换元代入; 当x 不容易解出时,可以考虑先构造, 如222111()()2f x x x xx x +=+=+-,令1t x x=+,换元代入.换元法还要注意换元t 的范围. 3.解方程组法求函数的解析式方程组法(消去法),适用于自变量具有对称规律的函数表达式,如互为相反数的f (-x ),f (x )的函数方程,通过对称规律再构造一个关于f (-x ),f (x )的方程,联立解出f (x ).【题组训练】1. 若函数()()()h x f x g x =+，其中()f x 是x 的正比例函数，()g x 是x 的反比例函数，且13(),(1)822f h ==，则函数()h x 的解析式为__________.2.已知11()1f x x =+,那么f (x )=________,定义域为________.3.已知12()2()f x f x x+=,求f (x ).【补偿训练】已知f (x )满足1()2()f x f x x=+,则f (x )的解析式为________. 课堂检测·素养达标1.（多选．．）如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中正确的是 ( ) A .这天15时的温度最高 B .这天3时的温度最低C .这天的最高温度与最低温度相差13℃D .这天21时的温度是30℃2.已知函数f(x)满足:2821f x x=--，则()f x=（）A.2x4+3x2B.2x4-3x2C.4x4+x2D.4x4-x23.已知函数()2mf x xx=-,且此函数的图象过点(5,4),则实数m的值为________.4.已知一次函数f(x)满足条件f(x+1)+f(x)=2x,则函数f(x)的解析式为f(x)=________.5.作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y=1-x(x∈Z,且|x|≤2).(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).编号：025 课题:函数的表示方法——第1课时函数的表示方法目标要求1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象发、列表法、解析法）表示函数；2.理解函数图象的作用；3.会求函数的解析式.重点难点重点：函数的图象及其应用；难点：函数的解析式的求法．教学过程基础知识点1.表示函数的三种方法2.本质:两个变量对应关系的三种不同方式的表示.【思考】函数的三种表示方法各有哪些优缺点?提示:【基础小测】1.下列命题中正确的是 （ ） A .任何一个函数都可以用解析法表示出来. B .任何一个函数都可以用图象法表示出来. C .函数的图象一定是连续不断的曲线. D .有的函数的图象可以是一些孤立的点.【解析】选D :A 中×.如时间与空气质量指数的函数关系就无法用解析法表示.B 中×.如函数1,,()1,,x f x x ∈⎧=⎨-∉⎩Q Q 就不能画出函数的图象.C 中×.如1y x=的图象就是不连续的曲线. D 中√.有的函数的图象可以是一些孤立的点，如函数(),{2,1,0,1,2,3}f x x x =∈--的图象就是一些孤立的点.2.已知函数f (x )的图象如图所示,其中点A ,B 的坐标分别为(0,3),(3,0),则f (f (3))= ( )A .2B .4C .0D .3【解析】选D .结合题图可得f (3)=0,则f (f (3))=f (0)=3.3.某电脑城新进了100台笔记本电脑,每台售价4 000元,试求售出台数x (x 为正整数)与收款数y 之间的函数关系,用解析法表示y=________.【解析】用解析法表示y =4 000x ,x ∈{1,2,3,...,100}. 答案:4 000x ,x ∈{1,2,3, (100)关键能力·合作学习类型一函数的表示方法(数学建模)【题组训练】1.已知x∈Q时,f(x)=1;x为无理数时,f(x)=0,我们知道函数表示法有三种:①列表法,②图象法,③解析法,那么该函数y=f(x)应用________表示(填序号).【解析】1.因为Q和无理数的元素无法具体表示,所以①列表法,②图象法,都无法建立x和y之间的对应关系,所以不能表示函数y=f(x).③利用解析法表示为1,,()0,xf xx∈⎧=⎨⎩Q为无理数.答案:③2.做数学选择题游戏的规则是:共5道选择题,基础分为5分,每答错一道题扣1分,答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.【解析】 (1)列表法,列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为:x0 1 2 3 4 5 y 5 4 3 2 1 0 (2)图象法,画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系如图:(3)解析法,参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为:y=5 - x,x∈{0,1,2,3,4,5}.【解题策略】关于函数的三种表示方法三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系,各有优缺点,在解题的过程中,可以选取最适合的方法表示函数.【补偿训练】我市公共汽车,行进的站数与票价关系如下表:行进的站数1 2 3 4 5 6 7 8 9 票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3 此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?【解析】设票价为y元,行进的站数为x,解析法:1,1,2,3,2,4,5,6,3,7,8,9,xy xx=⎧⎪==⎨⎪=⎩图象法:类型二函数的图象及其应用(直观想象)【典例】1.函数21||xyx=-的图象的大致形状是 ( )A B C D 【思路导引】分x>0,x<0两种情况作出判断.【解析】选C.函数的定义域为{x|x≠0},当x>0时,211xy xx=- =- ;当x<0时,211xy xx=- =+-,则对应的图象为C.2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).(1)画出f(x)图象的简图.(2)根据图象写出f(x)的值域.【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断.2.先作出图象,再根据图象写值域.【解析】 (1)f(x)图象的简图如图所示.(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3], 即f(x)的值域是[-1,3].【解题策略】画函数图象的两种常见方法(1)描点法:一般步骤:①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.(2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.【跟踪训练】作出下列函数的图象并写出其值域.(1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}.(2)2,[2,) y xx=∈+∞.【解析】(1)列表x-2 0 1 3 y 2 0 -1 -3 函数图象只是四个点(-2,2),(0,0),(1,-1),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.(2)列表x 2 3 4 …y 1 2312…当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数yx=的一部分,观察图象可知其值域为(0,1].【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些?提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称.(4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象沿y轴对折而成.(5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉x轴下方的图象而成.【拓展训练】已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(|x|)的图象为 ( )【解析】选B.函数(),0,(||)(),0,f x xy f xf x x⎧==⎨-<⎩≥x≥时,函数y=f(|x|)的图象与函数y=f(x)的图象相同,当x <0时,f (x )的图象与x >0时的图象关于y 轴对称.所以函数y =f (|x |)的图象为: .【说明】若结论变为求函数|()|y f x =的图象，则选A .类型三 求函数的解析式(逻辑推理、数学运算) 角度1 待定系数法【典例】一辆出租车的营运总利润y (单位:万元)与营运年数x (x ∈N )的变化关系如表所示,要使总利润达到最大值,则该出租车的营运年数是________,营运10年的总利润是________万元.x /年 4 6 8 … y 是x 的二次函数7117…【思路导引】由一元二次函数的对称性可得最大值时的年数;求出函数的解析式,计算营运10年的总利润.【解析】由表格数据可知,f (4)=f (8)=7.f (6)>f (8),则二次函数开口向下,且对称轴为x =6,根据二次函数的性质可知,当x =6时,营运总利润y 最大为11;设y =a (x -6)2+11,则a (4-6)2+11=7,解得a = -1,所以当x =10时,y = -5. 答案:6 -5 角度2 代入法 【典例】若211(1)1f x x-=+，则f (x )=________. 【思路导引】令11t x=-,换元求解析式. 【解析】设11t x =-,则11,1t t x≠-=+,因为211(1)1f x x-=+，所以22()(1)122,1f t t t t t =++=++≠-t , 所以2()22,1f x x x x =++≠-.答案: 222,1x x x ++≠-【变式探究】本例中若已知2211()(0)f x x x xx+=+>,试求函数的解析式及定义域. 【解析】因为222111()()2f x x x x xx x+=+=+-, 令1t x x=+,所以2()2f t t =-,因为0x >,所以12t x x =+=≥, 当且仅当1x =时等号成立,所以2()2,2f x x x =-≥.角度3 解方程组法【典例】已知2()()3f x f x x +-=,求()f x .【思路导引】用x -替换x ,代入后消去()f x -.【解析】因为2()()3f x f x x +-=,用x -替换x ，得2()()3f x f x x -+=-,消去()f x -得3()6(3)9f x x x x =--=,所以()3f x x =.【解题策略】 1.待定系数法求解析式根据已知的函数类型,设出函数的解析式,再根据条件求系数,常见的函数设法:2.换元法求函数的解析式已知复合函数f (g (x ))的解析式,令t =g (x ), 当x 比较容易解出时,可以解出x 换元代入; 当x 不容易解出时,可以考虑先构造, 如222111()()2f x x x xx x +=+=+-,令1t x x=+,换元代入. 换元法还要注意换元t 的范围. 3.解方程组法求函数的解析式方程组法(消去法),适用于自变量具有对称规律的函数表达式,如互为相反数的f (-x ),f (x )的函数方程,通过对称规律再构造一个关于f (-x ),f (x )的方程,联立解出f (x ).【题组训练】1. 若函数()()()h x f x g x =+，其中()f x 是x 的正比例函数，()g x 是x 的反比例函数，且13(),(1)822f h ==，则函数()h x 的解析式为__________. 【思路导引】利用待定系数法及已知条件求函数的解析式.【答案】5()3h x x x=+. 【解析】（1）因为,用x -替换x ，得2()()3f x f x x -+=-,消去()f x -得3()6(3)9f x x x x =--=,所以()3f x x =.（2）由题意，可设函数1()f x k x =，2()k g x x =,∵13()22f =，∴1322k =，解得13k =， 又∵(1)8h =，∴3181k ⨯+=，解得5k =，即5()3h x x x=+. 2.已知11()1f x x =+,那么f (x )=________,定义域为________. 【解析】由11()1f xx =+可知,函数的定义域为{x |x ≠0,且x ≠-1}, 用1x 替换x ,代入上式得: 11()11x f x x=+，得()1x f x x =+答案:1xx +，{x |x ≠0,x ≠-1} 3.已知12()2()f x f xx +=,求f (x ). 【解析】因为12()2()f x f xx+=,① 用1x 替换x 得1()2()2f f x x x+=,② ②×2 - ①得23()4f x x x =-,所以42()(0)33f x x x x=-≠.【补偿训练】已知f (x )满足1()2()f x f x x=+,则f (x )的解析式为________.【解析】因为1()2()f x f x x =+,用1x 替换x 得11()2()f f x x x=+, 代入上式得1()2[2()]f x f x x x=++，解得2()33xf x x =--. 答案: 2()33x f x x =--课堂检测·素养达标1.（多选．．）如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中正确的是 ( ) A .这天15时的温度最高 B .这天3时的温度最低C .这天的最高温度与最低温度相差13℃D .这天21时的温度是30℃【解析】选ABD .这天的最高温度与最低 温度相差为36-22=14(℃)，其余均是正确的.2.已知函数f (x )满足:2(21)821f x x x -=--，则()f x = （ ）A .2x 4+3x 2B .2x 4-3x 2C .4x 4+x 2D .4x 4-x 2【解析】选A .令21t x =-,t ≥0,得212t x +=,故有2222(1)1()82122x t f t ++=⨯-⨯-, 整理得f (t )=2t 4+3t 2,即f (x )=2x 4+3x 2,x ≥0.3.已知函数()2m f x x x =-,且此函数的图象过点(5,4),则实数m 的值为________. 【解析】因为函数()2m f x x x =-的图象过点(5,4),所以2545m ⨯-=,解得30m =. 答案:304.已知一次函数f (x )满足条件f (x +1)+f (x )=2x ,则函数f (x )的解析式为f (x )=________.【解析】设f (x )=kx +b ,k ≠0,因为f (x +1)+f (x )=2x ,所以k (x +1)+b +kx +b =2x ,即2kx +k +2b =2x ，所以2k =2,k +2b =0，解得11,2k b ==-,所以1()2f x x =-. 答案:12x -5.作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y =1-x (x ∈Z ,且|x |≤2).(2)y =2x 2-4x -3(0≤x <3).【解析】(1)因为x ∈Z ,且|x |≤2,所以x ∈{-2,-1,0,1,2},所以该函数图象为直线y =1-x 上的孤立点(如图①).由图象知,y ∈{-1,0,1,2,3}.(2)因为y =2(x -1)2-5,所以当x =0时,y = - 3;当x =3时,y =3;当x =1时,y = - 5.因为x∈[0,3),故图象是一段抛物线(如图②). 由图象可知,y∈[-5,3).。

一次函数的图像教案第一章：一次函数的定义与表达式1.1 一次函数的定义引导学生回顾初中数学中的一次函数的定义。

解释一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，x的次数为1。

1.2 一次函数的表达式介绍一次函数的一般形式y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。

解释斜率和截距的概念，并给出具体的例子进行说明。

第二章：一次函数的图像2.1 直线图像的性质解释直线图像的几个重要性质，如直线是无限延伸的，直线上的点满足一次函数关系等。

通过具体的例子，让学生观察和理解直线的斜率和截距对图像的影响。

2.2 斜率和截距的计算教授斜率和截距的计算方法，并给出具体的例子进行示范。

让学生进行一些练习题，巩固他们对斜率和截距的理解和计算能力。

第三章：一次函数图像的性质3.1 斜率的含义解释斜率是直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

解释斜率的正负性和直线的倾斜程度之间的关系。

3.2 截距的含义解释截距是直线与y轴的交点的纵坐标。

解释截距的意义，并给出具体的例子进行说明。

第四章：一次函数图像的绘制4.1 利用斜率和截距绘制直线教授如何根据斜率和截距的值绘制直线的方法。

给出一些具体的例子，让学生练习绘制直线。

4.2 利用两点绘制直线解释如何根据已知的两点来绘制直线。

给出一些具体的例子，让学生练习绘制直线。

第五章：一次函数图像的应用5.1 实际问题中的一次函数图像通过一些实际问题，让学生理解一次函数图像在实际中的应用。

让学生尝试解决一些实际问题，如计算物品的成本、距离和速度等问题。

5.2 一次函数图像的解析教授如何通过一次函数图像来解析一些问题，如求解方程、求解最值等。

给出一些具体的例子，让学生练习解析一次函数图像。

第六章：一次函数图像的交点6.1 交点的定义解释一次函数图像的交点是指两条直线相交的点。

给出两个一次函数图像的例子，让学生观察和理解交点的含义。

6.2 求解交点的方法教授如何求解两条一次函数图像的交点的方法。

5.2 函数的表示方法学习目标核心素养1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点) 通过学习本节内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．观察教材第5．1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？1．函数的表示方法2．分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ 2．(一题两空)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，那么f (x )的定义域为，值域为．{x |x ≠0} {y |y >－1} [定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}， 当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}．]3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y ＝f (x )．[解] 列表法：笔记本数x 1 2 345钱数y5 10 15 20 25解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 图象法：求函数解析式(1)f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，那么f (x )＝． (2)f (x ＋1)＝x ＋2x ，那么f (x )＝．(3)f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，那么f (x )＝．(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，假设f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，那么f (x )的解析式为．(5)假设f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，那么f (x )＝．[思路点拨] (1)(3)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(4)用待定系数法求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．(1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1 (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0(5)x 2＋4 [(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)， 那么x ＝t －1，x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，那么⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤0.(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4．]求函数解析式的常用方法1待定系数法：函数f x 的函数类型，求f x的解析式时，可根据类型设出其解析式，将条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.2换元法：令t ＝g x ，注明t 的X 围，再求出f t 的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f x ，一定要注意t 的X 围即为fx 中x 的X 围.3配凑法：f g x的解析式，要求f x 时，可从f g x的解析式中拼凑出“gx 〞，即用g x 来表示，再将解析式两边的g x 用x 代替即可.4代入法：y ＝f x的解析式求y ＝fg x 的解析式时，可直接用新自变量g x 替换y ＝f x 中的x .[跟进训练]1．(1)f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，那么f (x )＝．(2)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，那么f (x )＝．(1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)[(1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x．(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，那么x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．]分段函数[例2] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．[思路点拨] 要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．[解] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， －2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34．1．(变结论)本例条件不变，假设f (a )＝3，某某数a 的值．[解] ①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3， 即a 2＋2a －3＝0．所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3． 因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)， 所以a ＝1符合题意．③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意． 综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2．2．(变结论)本例条件不变，假设f (m )>m (m ≤－2或m ≥2)，某某数m 的取值X 围． [解] 假设f (m )>m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋1>m 或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1>m ，即m ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >1，所以m ≤－2或m ≥2．所以m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的X 围，代入相应的解析式求值．2．分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用X 围；也可先判断每一段上的函数值的X 围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值X 围的并集即可． 求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．方程组法求解析式1．解二元一次方程组的主导思想是什么？[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②[提示] 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1．法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1．3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？[提示] 能求A ，B ．仍可以采用上述两种方法． 两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2．[例3] 求解析式．(1)f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．[思路点拨] 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．[解] (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x．(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x．方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[跟进训练]2．f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，那么f (x )的解析式为． f (x )＝－23x －x 3 [因为f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，用1x 替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x ， 代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3．]1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法；(5)方程组法等．1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]2．函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，那么f(10)＝．20[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20．]3．f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，那么f(x)＝．3x －2 [设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2．]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)假设f (x 0)＝8，求x 0的值． [解] (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4． (2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)； 当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4．∴x 0＝4．。

第五章一次函数５．１函数（1）[教学目标]1．通过简单实例，了解常量与变量的意义．2．通过实例，了解函数的概念和表示方法，并能说出一些函数的实例．3．能根据图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．4．能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数的自变量取值范围，并会求出函数值．[教学过程(第一课时)]1．情境创设情境一：在行驶的列车上，围绕位置变化与数量变化的话题，谈论车速、路程、时间的变化，是学生熟悉的场景，能自然贴切地引入常量与变量的概念。

如果学生没有乘坐火车的经历，可改用汽车或创设其他类似情境．情境二：分别用表格、关系式和语言等方式给出不同的实际问题，让学生从这些情境中，发现在各种变化过程中，往往存在着两个相互联系的变量，从而引入函数的概念．2．探索活动活动一：展示一幅列车行驶或车厢内的图片．用下列问题引导学生加入小明、小丽、小亮和小华的讨论，感受常量与变量的意义：(1)列车在行驶，位置在改变，因此与位置有关的数量在改变，这里有不变的数量吗?(2)除了小丽、小明所说的那些不变的数量外，在这个问题中还有不变的数量吗?(3)除了小亮、小华所说的那些变化的数量外，在这个问题中还有变化的数量吗?活动二：可以用下列问题引导学生展开活动，体会函数的意义：(1)你从水库工作人员制作的表格里获得哪些信息?水位高低与水库容量有什么关系?(2)小鱼的条数n与所需火柴棒的根数S的关系为S＝8＋6(n—1)，说说你从中获得的信息；(3)变化中的圆面积与半径的大小密切相关，你能大致描述它们之间的关系吗?(4)上述问题有共同之处吗?说说你的看法．５．１函数[教学目标]1．通过简单实例，了解常量与变量的意义．2．通过实例，了解函数的概念和表示方法，并能说出一些函数的实例．3．能根据图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．4．能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数的自变量取值范围，并会求出函数值．[教学过程(第一课时)]1．情境创设情境一：在行驶的列车上，围绕位置变化与数量变化的话题，谈论车速、路程、时间的变化，是学生熟悉的场景，能自然贴切地引入常量与变量的概念。