关于自然数数列前n项和公式证明

前n项自然数和公式证明咱们从小学开始，就学过数数，1、2、3、4、5……一直往后数。

那大家有没有想过，把前面这一串数加起来，有没有一个简单的办法能一下子就算出来呢？这就引出了咱们今天要说的前 n 项自然数和的公式。

咱们先来说说啥是前 n 项自然数和。

比如说，前 5 项自然数和，就是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 。

那要是前 10 项呢，就是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 。

这么一个一个加，是不是太麻烦啦？我记得我上学那会，老师刚讲这个的时候，我心里就在嘀咕：“哎呀，这得加到啥时候去呀！” 结果老师就像会读心术一样，马上就开始给我们讲怎么快速算出这个和。

那这个公式到底是啥呢？其实就是：前 n 项自然数和 = n×(n + 1)÷2 。

那这个公式是咋来的呢？咱们来想想啊。

假设咱们要算前n 项自然数的和，咱们把这些数从小到大排好，1、2、3、……、n 。

然后咱们再倒过来排一遍，n、n - 1、n - 2、……、1 。

把这两组数对应相加，1 + n = n + 1 ，2 + (n - 1) = n + 1 ，3 + (n - 2) = n + 1 ，一直这样加下去，每一组的和都是 n + 1 。

那一共有多少组呢？很明显，有 n 组呀！所以这两组数相加的总和就是 n×(n + 1) 。

但是别忘了，咱们这是把原来的那一组数加了两遍，所以原来的那一组数的和，也就是前 n 项自然数的和，就得是 n×(n + 1)÷2 啦。

比如说，咱们要算前 100 项自然数的和。

按照这个公式，那就是100×(100 + 1)÷2 = 5050 。

是不是一下子就出来啦，可比一个一个加方便多了！有一次，我去朋友家，看到他正在辅导他上小学的孩子做数学作业，正好就碰到了算前 n 项自然数和的题目。

朋友还在那拿着笔一个一个加呢，累得够呛。

自然数是什么中文名自然数外文名 Natural number 分类数学又称非负整数性质有序性、无限性分为偶数奇数，合数质数目录 1 数学术语 2 一般概念 3 严格定义 4 性质 5 分类▪ 按是否是偶数分▪ 按因数个数分 6 数列 7 关于0 ▪ 0的争议▪ 0的来由▪ 0的性质应用自然数集是全体非负整数组成的集合，常用 N 来表示。

自然数有无穷无尽的个数。

【拼音】zì rán shù【英译】natural number自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。

②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。

③1是0的后继者。

④0不是任何元素的后继者。

⑤不同元素有不同的后继者。

自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3......是整数而不是自然数。

自然数是无限的。

自然数这个命题被称为皮亚诺算术公理，该公理声明了自然数集的存在性。

其中，第二条中声明的单射被称为后继映射，是我们生活中所习惯的“”。

第三条则声称，存在一个数是自然数的起始点，它不是任何数的后继。

由第四条，我们就可以使用数学归纳法：来证明自然数集中有关的命题。

a + 0 = a；a + S（x）= S（a +x），其中，S（x）表示x的后继者。

如果我们将S（0）定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S（0）= S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。

同理，乘法运算“×”定义为：a × 0 = 0;a × S（b） = a ×b + a2、有序性。

自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，…这个数列叫自然数列。

一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。

※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。

例如：====这两个公式是可以相互转化的。

把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。

第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。

这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。

其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S1的关键，一般人不会这么去设想。

有了此步设题，第一：S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

专题：数列的前n 项和的求法求数列的前n 项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点.对于等差、等比数列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的运算数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等求和. 一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n例1、已知{}n a 是一个首项为a ，公比为(01)q q <≤的等比数列，求2222*123()n n S a a a a n N =++++∈解：由已知得1n n a aq-=，222(1)2212222n n n n a a q q a a q+-+-∴==∴{}2n a 是首项为2a ，公比为2q 的等比数列。

当1q =时，222212.n n S a a a na =+++=当1q ≠时，2222122[1()](1)11n n n a q a q S q q--==-- 练习：1、已知数列{}n a 为等差数列，且p a =1q，1q a p =（p q ≠，p ，*q N ∈），求p q S +。

解：数列{}n a 为等差数列，∴公差p q a a d p q-=-=11q p p q --=1pq()1111p a a p pq q =+-= ()11111a p q pq pq∴=--= 由等差数列求和公式，得()()()()()111122p q p q p q p q p q S a p q pq pq+++-+++=++⋅=2、 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和。

高中数学竞赛讲义（五）──数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。

其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。

若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。

定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

等差数列前n项和公式的推导过程等差数列是指数列中连续两项之差都相等的一类数列。

第一个常见的等差数列就是自然数数列。

我们可以先从自然数数列的求和开始推导等差数列的前n项和的公式。

考虑自然数1,2,3,...,n，这是一个差为1的等差数列。

可以观察到这个数列可以分成两组，一组从1加到n，得到的和为S1；另一组从n加到1，得到的和为S2、这两个和相加，就得到了n个自然数的和，即n(n+1)/2，也就是我们常说的自然数的前n项和公式。

现在我们从自然数数列的求和公式出发，推广到一般的等差数列的情况。

我们假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。

那么这个数列可以表示为a, a+d, a+2d, ..., a+(n-1)d。

我们将这个数列翻转，让首项变为an，公差变为-d，得到的翻转数列为an, an-d, an-2d, ..., an-(n-1)d。

现在让这两个数列相加，对应项相加得到2an, 2an, 2an, ...，得到一个新的等差数列。

这个新的数列每一项都是2an，所以它的和为2an*n。

将两个数列相加，得到的和就是等差数列的前n项和Sn。

所以我们有2Sn=(a+(a+(n-1)d))*n。

化简上式，得到2Sn=(2a+(n-1)d)*n。

再将上式两边同时除以2，得到Sn = (a + an) * n / 2由于等差数列的第n项an可以表示为a + (n-1)d，将an代入上式，得到Sn = (a + (a + (n-1)d)) * n / 2进一步化简，得到Sn=n(a+a+(n-1)d)/2最终，我们得到了等差数列的前n项和公式Sn = n(a + an) / 2这就是等差数列的前n项和公式的推导过程。

需要注意的是，这个公式只适用于公差为d的等差数列，对于公差为负数或者是浮点数的等差数列，不适用。

此外，公式中的a和an分别表示等差数列的首项和第n项。

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧我们不要关心求数列n项和的问题会不会在高考题或有关考试题中出现，当然出现的机会确是很高的。

关键的是通过学习和探讨求数列前n项和的方法去领悟学习和思考的方法。

几种求和的方法把数学变形和分析、归纳总结、化繁为简、化难为易等思想融合在一起，使思维得到一次系统的训练和提高。

头脑的开化和思维的提升才是学习的主要目的。

求数列前n项的和，通常有下列七种方法和技巧。

一、利用等差数列和等比数列的求和公式例1、求数列例2、求数列5, 55，555，5555，…，，……的前项和。

解：∵∴二、用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式的方法是倒序相加法。

这个方法可以类推到一般，只要前n项具有与两端等距离项的和相等的数列这种特征都可用这种方法求和。

例3、已知是等差数列，求和。

解：∵①即②由①+②，得：∵∴由等差数列的性质，易得：故于是三、利用错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，主要应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

形如，其中为等差数列，为等比数列，公比为q；列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。

例4、求数列的前n求和(x≠0，x≠1)。

解：设①则②由①-②，得：于是四、用化差相减法适用于分式形式的通项公式，基本原理是把一项拆成两个或多个的差的形式，即，然后累加时中间的许多项可以抵消。

裂项凑错位相加特征，注意前后式子相等，如果不相等就要乘以一个系数。

常用公式：，，，（a≠0），例5、求数列的前n求和。

解：例6、求数列。

解：∵∴基本原理点拨：代数式变形凑相消特征：，由此可联想求更高次方幂的n项和。

如：至此，一般规律就出现了，通过变形整理便可求出的n 项的和，以此类推，求n次方幂的问题就能彻底解决。

从而五、利用组合数求和公式法利用这个组合数公式，求某些特殊数列的前n和颇为方便。

因为，则。

例7、求数列解：∵，∴例8、求数列。

解：∵。

∴，六、用数学归纳法例9、求数列的前n项和。

※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。

例如：====这两个公式是可以相互转化的。

把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。

第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。

这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。

其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S1的关键，一般人不会这么去设想。

有了此步设题，第一：S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。