矩阵特征根的有关问题

矩阵特征根的有关问题吴晗数学系 数学与应用数学 06180226[摘 要] 首先给出了矩阵特征根的定义，接着介绍了矩阵特征根的有关求法，其次讨论了矩阵特征根的性质，最后利用其求法与性质解决一些代数问题。

[关键字] 矩阵 特征根 特征向量 求法 性质 应用矩阵，线性代数研究的基本对象。

按照矩阵的观点，线性代数就是研究矩阵在各种意义下的分类问题及其标准型理论。

在矩阵的有关内容之中其特征根就是一个非常重要的内容，与之相对应的就是在指定特征根下的特征向量。

在多数《高等代数》教材中,特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性,描述为线性空间中线性变换A 的特征值与特征向量;而在大部分《线性代数》教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成,定义为n 阶矩阵A 的特征值与特征向量。

所以二者有相辅相成之意。

涉及到矩阵特征根的有关问题将在如下文之中列举：1 矩阵的特征根的定义设()ij A a =是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 ()111212122212......................n n A n n nnx a a a a x a a f x xI A a a x a ------=-=--- 叫做矩阵A 的特征多项式，而在复数域内的根就叫做矩阵A 的特征根。

即在方程中求解出x （x 在复数域内）,其中I 是n 阶单位矩阵。

而在矩阵的特征根研究中，我们不只是就仅仅要知道特征根是什么，它不是一个孤立存在的知识点，往往与它紧密联系在一起的就是特征向量。

就像前面所说特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性,描述为线性空间中线性变换A 的特征值与特列向量。

何为特征向量呢？设0C λ∈是矩阵A 的特征根，而0nx C ∈是一个非零的列向量，使得000Ax x λ=，就是说，0x 是其次线性方程组()00I A X λ-=的一个非零解。

我们称0x 是矩阵A 的属于特征根0λ的特征向量。

下面就通过例子来看看矩阵的特征根与特征向量。

例 1 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵3732524103A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征根与特征向量。

解：()()()()()()23732521114103A x f x x x x x x i x i x --=+-=-+=--+- 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为()2,1,1k --，,0k R k ∈≠在C 内，A 的特征根有1231,,i i λλλ===-，A 的属于特征根1的特征向量为()2,1,1k --，,0k R k ∈≠；A 的属于特征根i 的特征向量为()11112,1,2,,0k i i k C k -+-∈≠；A 的属于特征根-ide 特征向量为()22212,1,2,,0k i i k C k --+∈≠。

注意：求矩阵A 的特征根时候，要考虑给定的数域，若没有指定数域，则就在C 内讨论；表示属于某个特征值的特征向量（关于基础解系的）组合系数要取自指定的数域F （或者C ）,且不全为零。

以上例子只是对给出的矩阵特征根的定义做一个实例介绍，它着重强调的还是矩阵特征根的定义以及在指定特征根下的特征向量，不但如此，此例中的特征根还是直接给出来的，而对于如何求解一个具体的实矩阵的特征根没有做任何说明，那么实矩阵特征根是如何求得的呢？下面就介绍矩阵特征根的求法。

2 矩阵特征根的求法我们知道求解矩阵特征根就是求相对应的矩阵特征多项式在给定数域内的根，而对于给出的矩阵特征多项式，它实际上是一个行列式，我们是不能直接得出它的根的，因为我们必须要将对应的行列式转换成纯粹的代数式，然后得出其根。

特征根求解的难处就在于如何求出行列式。

初等行列变换法由于三角形行列式的值可以直接写出，所以在计算行列式的时候，其基本思想就是运用行列式的性质（把行列式中某一行或者列的所有元素同乘以一个数后，加到另一行或者列的对应元素上，所得的行列式与原行列式相等），把行列式化成上（下）三角形行列式，然后直接写出结果。

例 2 求矩阵460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征多项式解：()460350361A x f x xI A x x --=-=+-=B 把行列式第二行乘以-1加到第三行得：460350011x B x x x --=+-+- 把第一行乘以34x --加到第二行得：()()46021004011x x x B x x x --+-=--+- 把第二行乘以()()()()4121x x x x --+-加到第三行得：()()()()()24602100124001A x x x B f x x x x x --+-===-+--这就是通过初等行列变换求得的行列式，其结果就是几个代数式的乘积。

那么再求矩阵特征根的话就很容易了。

只需令每个单项式为零就可以得出其特征根。

比如在上例中的特征根就是1（二重根），-2.（所谓重根就是指由单项式求出的根是相等）。

初等行列变换求矩阵特征根主要的思想就是求对应的行列式，对于阶数相对而言比较多的矩阵，通过初等行列变换是相当困难的，因为行列式中含有不是纯数字的x,在求解时往往会出现计算错误。

如果在求解特征根时不涉及含有不是纯数字的运算，那么其过程应该是比较容易的。

2.2 阶迹表达式法求特征根对于矩阵的特征多项式当然也可以不通过初等行列变换而得，接下来就介绍一种完全借助于矩阵中的纯数字来求解特征多项式而得出其特征根的方法。

首先看一个定义：在n 阶方阵A 中任取行次和列次相同的k 行和k 列，位于这k 行和k 列交叉处的2k 个元素按原来的位置组成的阶行列式之和，称为方阵A 的k 阶迹，记为[]()k tr A ，即[]()1111211............k k k k k i i i i k i i i n i i i i a a tr A a a ≤≤≤≤≤=∑ （k=1,2,…,n ）。

n 阶方阵A 的k 阶迹[]()k tr A 为kn C 个k 阶行列式之和（k=1,2,…,n ）.例如，A 的1阶迹为[]()111221...niinn i tr A a a a a ===+++∑A 的2阶迹为[]()21ii iji j nji jj a a tr A a a ≤≤≤=∑1,11,11131111112,1313312122......n n n n n n n nn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a ----=++++ A 的n 阶迹为[]()1111.........n n n nn a a tr A A a a == 了解了什么是阶迹，对于我们所要解决的求特征根有什么联系呢？通过下面的这个定理，我们将逐步得到答案。

定理 n 阶方阵A 的特征多项式()f I A λλ=-可写成如下形式()()[]()01kn k n k k f tr A λλ-==-∑ ()* 其中 []()01tr A =，公式()*称为A 的特征多项式的阶迹表达式。

通过上面的定理我们清楚的知道，方阵的特征多项式与方阵的k 阶迹联系在一起了，特征多项式的系数与k 阶迹息息相关，而计算k 阶迹时只会用到方阵A 的元素ij a 组成的顺序主子式的和，计算起来就比较规范。

求出了特征多项式，从而也能轻松的求出特征根。

看下面一个例子：例 3 在实数范围内求3阶矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征根与特征向量。

解 按照特征多项式的阶迹表达式，有()f I A λλ=-[]()[]()[]()12332tr A tr A tr A λλλ=-+- ()32132λλ=--++110111030430431202102λ-⎛--⎫+++-- ⎪-⎝⎭32452λλλ=-+-()()221λλ=-- 令()A f λ=0,得A 的特征根为 1232,1λλλ===对于12λ=，齐次线性方程组1212130400x x x x x --=⎧⎪=⎨⎪-=⎩的基础解系为()0,0,1T与此根相关的全部特征向量为()0,0,1Tk ，其中0k ≠。

对于231λλ==，齐次线性方程组121213204200x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩的基础解系为 ()1,2,1T -与二重根231λλ==相对应的全部特征向量为()1,2,1Tk -，其中0k ≠。

通过此例可以看出，在求实矩阵的特征根与特征向量时利用k 阶迹是非常方便的，纯数字的行列式比较容易计算且不容易出错。

对比前面介绍的两种求矩阵特征根与特征向量的方法--初等行列变换法，k 阶迹表达式法，二者有相同之处也有相异之处。

相同之处在于，他们都是将特征多项式转换成代数多项式，从而将一个很复杂的式子简单化。

不同之处在于他们将其转换成代数式时所走的“路径”不一样。

对于任意的一个实矩阵我们都可以通过初等行列变换求其特征多项式，也可以通过k 阶迹表达式求其特征多项式，只是在实际的问题中我们往往都是选择解决问题较为容易的方式。

比如在阶数较低时二者均可以选择，在阶数较高时后者比较容易。

3 矩阵特征根的性质性质3.1 特征根与V 的基无关线性变换σ与取定V 的一个基12,,,n K εεε的矩阵A 具有一一对应关系,如果12,,,n L ααα是V 的另一个基，记这个基的矩阵是B 。

因为 σ在不同基的矩阵A 与B 相似,而相似矩阵具有相同的特征多项式,所以A 与B 必有相同的特征根。

因此，可知特征根与线性空间的基的选取是无关的但是，特征根与数域有关，因为特征根是矩阵的特征多项式()A f x 的根，而多项式的根与系数域是有关的,所以说特征根与数域F 有关。

性质3.2 特征根被特征向量唯一确定设β是属于特征根1λ，同时又属于特征根2λ的特征向量，则有()()12,σβλβσβλβ==两式相减得()()()120σβσβλλβ=-=-，当12λλ≠时，必有0β=，这是不可能的，所以12λλ=。

即特征根被特征向量唯一确定。

相反地，特征向量β却不是被特征根λ所唯一确定。

因为当β是属于个特征向量时，对于F α∈且0α≠，显然αβ也是属于λ的特征向量。

由此可以看出属于特征根λ的一切特征向量构成一个线性空间：(){},U F αβσβλβα==∈。

性质 3.3 属于矩阵A 的不同特征值的特征向量是线性无关的。

性质 3.4 若β是A 的属于特征根λ的特征向量，则（1） k λ是kA 的特征根；（2） m λ是m A 的特征根；（3） A 是可逆矩阵，1λ-是1A -的特征根；且β分别是kA ,m A ，1A -的属于特征根k λ,m λ,1λ-的特征向量。