2019年数学人教A必修二新一线应用案巩固提升：3.1 3.1.1 倾斜角与斜率 Word版含解析

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高中数学人教A版必修二-3.倾斜角与 斜率课 件(完美 课件)
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例例2、2、下已下已列知列知两a,两ab点,,b点c直,是c直线是两线的两两的倾两不倾斜不相斜角相等角.等的.的实实数数，，求求经经过过
（1）A(a, c), B(b, c); （2）C(a,b), D(a, c);
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课堂探究：已知两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ), x1 x2, 求直线P1P2的斜率。
（1）当为锐角时，
y
P2P1R
P2 (x2 , y2 )
P2R y2 y1, P1R x2 x1
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（三）、直线的斜率公式:
经过两点 P1( x1, y1), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ) 的直线的斜率公式：
k y2 y1 (或k y1 y2 )
按倾斜角分类，直线可分几类？
y
p
l
o
x
y
l
p
o x
y
ly
p
o
x
p
o
x
l
2、范围: 0 a 180
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练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？

P 2
P1 P1
P 2
对公式的
深入理解
1、当直线平行于x轴，或与 x轴重合时， k tan0 0 上述公式还适用吗？为什么？
y
P 1 ( x1 , y1 )
0

P 2 ( x2 , y2 )
y2 y1 k x2 x1
x1
o
x2
x
对公式的
深入理解
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， 上述公式还适用吗？为什么？
应用与实践
例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）, 求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角。
y
B(-4，1), A(3，2)
O
C（0，-1）
x
练习（课本p86 练习2）
求经过两点的直线的斜率，并判断这些直线的 倾斜角是锐角还是钝角。
1. C（18，8） D（4，-4） 2. P（0，0） Q（-1， 3）
练习（课本p86 练习3）
已知a，b，c是两两不相等的实数，求经过两点的 直线倾斜角 1. A（a，c） B（b，c） 2. C（a，b） D（a，c） 3. P（b，b+c） Q（a，c+a）
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180 2、直线的斜率定义： k tan ( 90 )
问题1: 经过一点可以作出无数条直线?
y
o
.
x
确定直线位置的要素 除了点之外,还有直线的 方向,也就是直线的倾斜 程度.
1.直线的倾斜角 建构概念：
当直线 L与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线向上方向之间所成的 角叫做 直线的倾斜角。

所以－1<m<1.
【答案】 C
解与斜率、倾斜角有关的参数问题时应牢记斜率公式．
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第三章 直线与方程
角度三 数形结合法求倾斜角或斜率范围 直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3)为端
点的线段有公共点，求直线 l 的斜率的范围和倾斜角的范围． 【解】 如图所示．因为 kAP＝12－－01＝1， kBP＝ 03－－10＝－ 3， 所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)， 所以 45°≤α≤120°.
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第三章 直线与方程
■名师点拨 (1)倾斜角定义中含有三个条件： ①x 轴正方向；②直线向上的方向；③小于 180°的非负角． (2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角， 且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直 线，其倾斜角不相等．
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第三章 直线与方程
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第三章 直线与方程
1．给出下列说法，其中正确的个数是( )
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为－30°；
③倾斜角为 0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角 α 的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立
了一一对应关系．
A．0
B．1
C．2
D．3
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第三章 直线与方程
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第三章 直线与方程
应用斜率公式求斜率应注意的问题 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与 x 轴垂直， 因为当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的； (2)斜率公式与两点 P1，P2 的先后顺序无关，也就是说公式中 的 x1 与 x2，y1 与 y2 可以同时交换位置．

3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率1．倾斜角的相关概念 (1)两个前提： ①直线l 与x 轴相交；②一个标准：取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角； ③范围：0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示] 都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．(3)斜率与倾斜角的对应关系．(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1 x2－x1．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．无法计算B[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是() A．0°B．45°C．60°D．90°A[∵k＝04＝0，∴θ＝0°.]3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A．5 B．8C．132D．7C[由斜率公式可得8－mm－5＝1，解之得m＝132.]4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A．33B． 3 C．1 D．22A[由题意可知，k＝tan 30°＝3 3.]时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－αD [如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]AB 则点B 的坐标为( )A ．(2，0)或(0，－4)B ．(2，0)或(0，－8)C ．(2，0)D ．(0，－8)(2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[0，2](1)B (2)D [(1)设B (x ，0)或(0，y )，∵k AB ＝43－x 或k AB ＝4－y 3，∴43－x＝4或4－y3＝4，∴x ＝2，y ＝－8，∴点B 的坐标为(2，0)或(0，－8)．(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)－5(2)1[(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝－3－y2－4，由－3－y2－4＝－1，得y＝－5.(2)由题意得4－mm＋2＝1，∴m＝1.]1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？[提示]斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝y1－y2x1－x2. 2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？[提示]当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角；当k ＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.【例3】 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间―――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围 [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为： 已知A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．[解] 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，又k AB ＝3－23－（－4）＝17，k AC ＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC 都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3D．4C[由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]2．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．1±52 [依题意：k AB ＝k AC ，即a －02－1＝1－0a －1， 解得a ＝1±52.]3．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1)(0°，90°] [当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.]4．已知交于M (8，6)点的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5，3)，求这四条直线的倾斜角．[解] l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.。