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理论力学第五章 点的运动

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理论力学答案第5章点的复合运动分析

理论力学答案第5章点的复合运动分析

第5章 点的复合运动分析5－1 曲柄OA 在图示瞬时以ω0绕轴O 转动，并带动直角曲杆O 1BC 在图示平面内运动。

若d 为已知，试求曲杆O 1BC 的角速度。

解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。

2、速度分析：r e a v v v += 0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v == 01e 1ωω==AO v BC O （顺时针）5－2 图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径cm 10=R ，圆心O 1在导杆BC 上。

曲柄长cm 10=OA ，以匀角速rad/s 4πω=绕O 轴转动。

当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角 30=φ。

求此时滑杆CB 的速度。

解：1、运动分析：动点：A ，动系：BC ，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。

2、速度分析：r e a v v v +=πω401a =⋅=A O v cm/s ； 12640a e ====πv v v BC cm/s5－3 图示刨床的加速机构由两平行轴O 和O 1、曲柄OA 和滑道摇杆O 1B 组成。

曲柄OA 的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O 1B 上的滑道滑动。

已知曲柄OA 长r 并以等角速度ω转动，两轴间的距离是OO 1 = d 。

试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。

解：分析几何关系：A 点坐标 d t r x +=ωϕcos cos 1 （1） t r x ωϕsin sin 1= （2） （1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程trd r d t r d t rd t r x ωωωωcos 2sin cos 2cos 22222221++=+++=将（1）、（2）式相除，得： 2．摇杆转动方程： dt r tr +=ωωϕcos sin tandt r t r +=ωωϕcos sin arctan5－4 曲柄摇杆机构如图所示。

理论力学(5.6)--点的运动学-思考题

理论力学(5.6)--点的运动学-思考题

第五章 点的运动学5-1和 ， 和 是否相同？5-2点沿曲线运动，如图所示各点所给出的速度v和加速度a哪些是可能的？哪些是不可能的？5-3点M 沿螺线自外向内运动，如图所示。

它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小?点M越跑越快，还是越跑越慢？5-4当点作曲线运动时，点的加速度a是恒矢量，如图所示。

问点是否作匀变速运动?5-5 作曲线运动的两个动点，初速度相同、运动轨迹相同、运动中两点的法向加速度也相同。

判断下述说法是否正确：（1）任一瞬时两动点的切向加速度必相同；（2）任一瞬时两动点的速度必相同；（3）两动点的运动方程必相同。

5-6 动点在平面内运动，已知其运动轨迹)(x f y 及其速度在x 轴方向的分量。

判断下述说法是否正确：（1）动点的速度可完全确定；（2）动点的加速度在x 轴方向的分量可完全确定；（3）当速度在x 轴方向的分量不为零时，一定能确定动点的速度、切向加速度、法向加速度及全加速度。

5-7 下述各种情况，动点的全加速度，切向加速度和法向加速度三个矢量之间有何关系？（1）点沿曲线作匀速运动；（2）点沿曲线运动，在该瞬时其速度为零；（3）点沿直线作变速运动；（4）点沿曲线作变速运动。

5-8 点作曲线运动时，下述说法是否正确：（1）若切向加速度为正，则点作加速运动；（2）若切向加速度与速度的符号相同，则点作加速运动；（3）若切向加速度为零，则速度为常矢量。

5-9 在极坐标系中，ρρ =v ，ρϕϕ =v 分别代表在极径方向与极径垂直方向（极角ϕ的方向）的速度。

但为什么沿这两个方向的加速度为2ϕρρρ -=a ϕρϕρϕ 2+=a 试分析ρa 中2ϕρρ -=a 和ϕa 中的ϕρ 出现的原因和它们的几何意义。

理论力学运动学基础

理论力学运动学基础

第五章运动学基础一、是非题1．已知直角坐标描述的点的运动方程为X=f1（t），y=f2（t），z=f3（t），则任一瞬时点的速度、加速度即可确定。

（）2．一动点如果在某瞬时的法向加速度等于零，而其切向加速度不等于零，尚不能决定该点是作直线运动还是作曲线运动。

（）3．切向加速度只表示速度方向的变化率，而与速度的大小无关。

（）4．由于加速度a永远位于轨迹上动点处的密切面内，故a在副法线上的投影恒等于零。

（）5．在自然坐标系中，如果速度υ=常数，则加速度α=0。

（）6．在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置，这种刚体的运动就是平动。

（）7．刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。

（）8．若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。

（）9．定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示为v=w×r，其中w是刚体的角速度矢量，r是从定轴上任一点引出的矢径。

（）10、在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。

（）二、选择题1、已知某点的运动方程为S=a+bt2（S以米计,t以秒计，a、b为常数），则点的轨迹。

①是直线；②是曲线；③不能确定。

2、一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量。

①平行；②垂直；③夹角随时间变化。

3、刚体作定轴转动时，切向加速度为，法向加速度为。

①r×ε②ε×r③ω×v④v×ω4、杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度α分别如图（a）、（b）、（c）所示。

则该瞬时的角速度为零，的角加速度为零。

①图（a）系统；②图（b）系统；③图（c）系统。

三、填空题1、点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？①aτ=0，a n=0（答）：；②aτ≠0，a n=0（答）：；③aτ=0，a n≠0（答）：；④aτ≠0，a n≠0（答）：；2、杆O1B以匀角速ω绕O1轴转动，通过套筒A带动杆O2A绕O2轴转动，若O1O2=O2A=L，α=ωt，则用自然坐标表示（以O1为原点，顺时针转向为正向）的套筒A 的运动方程为s=。

理论力学(机械工业出版社)第五章点的运动学习题解答

理论力学(机械工业出版社)第五章点的运动学习题解答

习 题5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t ωϕ=（ω为常量），偏心距e OC =，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。

试求顶杆的运动方程和速度。

图5-13)(cos )sin(222t e R t e y ωω-+=)(cos 2)2sin()[cos(222t e R t e t e yv ωωωω-+==5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。

梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。

已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ，MB = h 。

试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度的大小。

图5-14A M x hl hh x +==θsin θcos l y M = 0cos v h l h x h l h h xA M +=+== θθ 得 θθcos )(0h l v +=θθθθθt a n)(c o s )(s i n s i n 00h l lv h l v l l yM +-=+⨯-=-= 0=M xθθθθθ322002020cos )(cos )(sec )(sec )(h l lv h l v h l lv h l lv y M +-=+⨯+-=+-=θ3220cos )(h l lv a M+=5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =ϕ（ 以 rad 计，t 以s 计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。

铰O至水平杆CD 的距离h =400 mm 。

试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。

图5-15ϕtan h x M = ϕϕϕ22sec 6π400sec ⨯== h xM ϕϕϕϕϕϕϕs i n s e c 9π200s i n s e c 6π3π400)s i n s e c 2(6π4003233=⨯⨯=⨯⨯= M x当s 1=t 时6π=ϕmm/s 3.2799π800346π400)6π(sec 6π4002==⨯==Mv 223232mm/s 8.168327π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec 9π200==⨯⨯=⨯⨯=Ma5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ωϕ=规律绕O 转动，如图5-16所示。

理论力学(第7版)第五章 点的运动学

理论力学(第7版)第五章 点的运动学
a 4、匀速运动： v 常数， 0, s s0 vt
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y

05 点的运动学 理论力学

05 点的运动学 理论力学
理 论 力 学
南通大学建筑工程学院 力学教研室 金江
运动学
物体运动规律比平衡规律复杂很多，采用运动 学和动力学来进行研究。
运动学是从几何的观点来研究物体的机械运动，不 考虑运动原因
两种模型：点和刚体 学习运动学的目的： 为学习动力学提供必要的基础知识 工程实际中独立的应用价值
运动学 第五章 点的运动学
τ 2 τ sin 2
5-3 自然法
Δ
τ
M
s
Δφ
M'
Δτ
τ ''
τ'
d lim s 0 s ds 1
0
τ
s 0
τ 1
∆τ与 τ垂直
运动学
dτ τ 1 lim lim n n s 0 s 0 ds s s
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
运动学
v vx i v y j vz k
dx vx x dt dy vy y dt dz vz z dt
5-2 直角坐标法 速度大小
dx dy dz 2 2 2 v vx vy vz dt dt dt
面 法平
b
密切 面
M1
M
n
线 主法
τ1
τ τ 1'
切线
主法线——法平面与密切面的交线，单位方向矢量n， 指向曲线内凹一侧
副法线——过点 M且垂直于切线及主法线的直线
b τ n
运动轨 迹
运动学
点运动时，在轨迹曲线 上位置变化，其自然轴 系的方位也改变 曲线运动，轨迹的曲率或 曲率半径是重要的参数， 表示曲线的弯曲程度

理论力学运动学知识点总结

理论力学运动学知识点总结

理论力学运动学知识点总结第一篇：理论力学运动学知识点总结运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。

2.刚体平行移动。

·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。

·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。

·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。

3.刚体绕定轴转动。

• 刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。

• 刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。

• 角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，以用矢量表示。

，当α与ω。

角速度也可• 角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，同号时，刚体作匀加速转动；当α 与ω异号时，刚体作匀减速转动。

角加速度也可以用矢量表示。

• 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。

速度、加速度的代数值为。

• 传动比。

一、点的运动合成知识点总结1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。

• 绝对运动：动点相对于定参考系的运动；• 相对运动：动点相对于动参考系的运动；• 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。

2.点的速度合成定理。

• 绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度；• 相对速度：动点相对于动参考系运动的速度；• 牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。

3.点的加速度合成定理。

• 绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度；• 相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度；• 牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度；• 科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。

• 当动参考系作平移或 = 0，或与平行时，= 0。

点的运动方程

点的运动方程
从上式中消去参数 t ，即可得到用极坐标表示的动点的轨迹方程。
例4-1
直杆 AB两端分别沿两互相垂直的固定直线 Ox与Oy 运动，如图4-7 所示。试确定杆上任一点 M 的运动方程和轨迹方程，
已知 MA a ，MB b ， t 。 解 选取直角坐标系 Oxy ，则动点 M 的坐标 x ，y 为
理论力学
点的运动方程
点在空间运动所经过的路线，称为点的运动轨迹。点的运动轨迹如 为直线，则称为直线运动；如为曲线，则称为曲线运动。
若动点 M 做直线运动，可取此直线为 x 轴，如图4-1所示。在直线上任选
一点 O 为坐标原点，并选某一方向为正向，则动点 M 的位置可由它的
坐标 x 确定。
4-1
当动点运动时，它的坐标 x 随时间变化，在一般情况下，坐标 x 是时间
当动点 M 始终在同一平面内运动时，如取这个平面为坐标 Oxy
平面 ，则运动方程（4-3）就简化为
x y
f1 (t) f2 (t)
（4-4）
消去 t 之后，即是轨迹方程
f (x ，y) 0
矢径法
如图4-4所示，设动点 M 沿任一空间曲线运动，选空间任意一点 作 为原点，则动点的位置可由如下的矢径来表示：
x y
f1 (t ) f2 (t)
（4-3）
z f3 (t)
图4-3
式（4-3）就是动点 M 的直角坐标运动方程。 若函数 x f1(t)，y f2(t)，z f3(t) 都已知，则动点 M 在任 一瞬时的位置即可完全确定。
由上述方程消去时间 ，即可得到 x ，y ，z 之间的关系式 F(x ，y ，z) 0 ， 这就是动点的轨迹方程。
r
f1 (t) f2 (t)

理论力学 运动学复习

理论力学 运动学复习
O
60°
O
θ
B
C
a
ve = va sin30° ve ∴va = = 2 m/s sin30° ∴v A = 2 m/s
vr
A
30°
⑵加速度分析图： 加速度分析图： t y aa ae
60° 30°
n aa
a
n aa
t a
A B
v C
x
O
θ
a
ar
n t − aa cos 30° − aa cos 60° = − ae
m/s和加速度a =20 m/s2。方向均向左。求此时滑块Ａ 方向均向左。 此时滑块 t 的速度和加速度。 的速度和加速度。 aa 解：动点——滑块A n A 动系固结于BC aa v 绝对运动： 绝对运动： 圆周运动 牵连运动： 牵连运动： 平动 相对运动： 相对运动： 直线运动 速度分析图： ⑴速度分析图： va ve
ω
A O D B 30°
v B =v D =v A v A = OA⋅ω = r ⋅ω
vA vD
C
∴v B = r ⋅ω v D cos 60 ° = v C cos 30 °
v D cos 60° 3 vC = rω = cos 30° 3
3 ω ∴ω C = 3
23
vC
vB
aB =aA +a +a
15
曲柄OA= r，以匀角速度ωO转动，BC=DE， 转动， ， ， [例7-9] 曲柄 例 。求图示位置时， 的角速度和 （P181） BD=CE=l。求图示位置时，杆BD的角速度和 ） 角加速度。
D 60° ° B
60° vr 60 ° ° 60
α ω
E vr C

理论力学第5章(点的运动)

理论力学第5章(点的运动)
包括几何静力学、分析静力学
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。

理论力学第五章——点的运动

理论力学第五章——点的运动
'
'
当Δt 0， Δv/Δt的极限称为点在瞬时t的加速度：
v dv d 2 x a lim 2 x t 0 t dt dt
5.1 点的直线运动
已知加速度或速度方程， 采用积分法 求运动方程 ，积 分常数由运动初始条件决定。 dv a dv adt dt v t dv adt
由于
dτ dτ ds dτ ds v n dt dt ds ds dt
所以
dv v a τ n dt
2
5.4 自然法
4 点的切向加速度和法向加速度
dv v a τ n dt
上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它 表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 an的方向永 远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方 向随时间的变化率。
2 t 2
2
at tan | | 0.25 an
2
5.4 自然法
全加速度为aτ和an的矢量和
a at an
全加速度的大小和方向由下列二式决Leabharlann ： 大小：a at an
2
2
方向：
at an cos(a ,t ) , cos(a ,n ) a a
5.4 自然法
如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动 点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规 律。 at c
dτ τ j 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
t"
5.4 自然法
3 点的速度
r s ds v lim lim t 0 t t 0 t dt

理论力学-点的运动学

理论力学-点的运动学

7
三. 点的加速度
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2 x i
dt2
d2 y dt2
j
d2 z k
dt2
axi
ay
j
azk
a ax2 ay2 az2
cos(a, i
)
ax
,
a
[注] 这里的 x、y、z 都是时间单位连续函数。
x f1(t)
11
加速度的大小为
a
a
2 x
a
2 y
2
(l a)2 cos2 t (l a)2 sin2 t
2 l2 a2 2al cos 2t
加速度的方向余弦为
cos(a，i) ax a
cos(a，j) ay a
（l a）cost l2 a2 2al cos 2t
（l a）sint l2 a2 2al cos 2t
dt dt
dt
dt dt2
dt
① 切向加速度 a
——表示速度大小的变化
a
dv τ dt
d2 dt
s
2
τ
② 法向加速度 an ——表示速度方向的变化
an
vdτ dt
v lim Δ τ Δt0 Δ t
v lim (Δ τ Δt0 Δ s
Δ s) Δt
v2 lim Δ τ Δt0 Δ s
(lim Δ s d s v) Δt0 Δ t d t
1
即an
v2 n，
a a2 an2 ,
a
a arctg
2
an |a | an
dv dt
τ
v2
n
16

3点的运动学总结

3点的运动学总结
2、列方程
dv at 0 dt
v2 an 1 6 lω 2 ρ
s O 1 A 4 l t
v d s d t 4 l
a a n 1 6 l 2( 指 向 O 1 点 )
PAG 31
例5-4 图示摇杆滑道机构中的滑块M同时在固定的 圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。如弧BC的半 径为R，摇杆OA的轴O在弧BC的圆周上。摇杆饶 O轴以等角速度ω转动。当运动开始时，摇杆在水 平位置。试用自然法给出点M的运动方程，并求其 速度和加速度。
B可沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程和速
度。
y
A l
O C
B
x
PAG 17
解: 考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标
x r cos t l r sin t .
2 2 2
求导后可得滑块的速度为
dx r 2 sin t cos t v r sin t 2 2 2 dt l r sin t 2 r sin 2 t y r sin t 2 2 2 2 l r sin t A B
x
x f1 (t ) y f 2 (t ) z f (t ) 3
PAG 10
点的运动轨迹: 消去t ,得点的轨迹方程 f ( x, y, z) 0
x
点的运动方程
t
y z
点的轨迹方程
x
y
z
PAG 11
点的速度:
dr v dt
i y j z k x vx i v y j vz k
PAG 32
解：
PAG 33
课后习题

理论力学PPT课件第5章 动量定理、质点系动量定理、质点系动量矩定理

理论力学PPT课件第5章 动量定理、质点系动量定理、质点系动量矩定理
y
A
o
G
B
x
2020年4月20日
15
偏心电机
e m2
F Oy
FOx
思考：偏心电机转动时，支座的动约束力为多大？
2020年4月20日
16
3.动量守恒与质心运动守恒
动量守恒 若：FRe＝0 则：p = 常矢量 若：FRex＝0 则：px = 常量
质心运动守恒（不动）
1) 若 FRe 0
ac 0
由动量矩定理：
dLOz dt
M
e Oz
d d t(2 W gr2A2 W gr2 BW gvC2 r)M W 2 r
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
2020年4月20日
49
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
补充运动学方程
aCrArB
2W graCW g2raCM2Wr
LA ri'm ivi' vi'— 相对速度
(3)绝对动量矩与相对动量矩的关系 LAL'AAC (mA)， v c为质心，
当AC＝0，即，动点为质心C时 LC＝LC —对质心的绝对与 量相 矩对 相动 等
2020年4月20日
34
3.刚体的动量矩（对定点A）
（1）平移刚体的动量矩
L A r i ' m iv c A (C v m c ) A P C
Mce 0,Lc守恒 .
O
FT
C
GV
2020年4月20日
52
思考：猴子爬绳比赛，已 m A 知 m B ,vA rv B.r
答：若不计绳与滑轮的质量，则 v1a v2a
若考虑绳与滑轮的质量，则 m AvArm BvBrJoω

理论力学第五章 点的运动和刚体的基本运动 [同济大学]

理论力学第五章 点的运动和刚体的基本运动 [同济大学]

dv v2 τ n dt
a
r
O
`
v vτ
r
dv 2 v2 ) ( )2 dt ρ
tan
aτ an
1
例5-2 汽车以匀速度v=10m/s过拱桥，桥面曲线 y=4fx(L–x)/L2, f=1m,求车到桥最高点时的加速度。
解： aτ
例5-3 销钉A由导杆B带动沿固定圆弧槽运动。导杆B沿轴螺旋 立柱以不变的速度v0 =2m/s向上运动。试计算当θ=30° 时，销钉 A的切向和法向加速度。 解: 建立弧坐标s和直角坐标Oxy如图。 因 s=Rθ,
销钉A的加速度为
aτ v sin θ v0 θ cos θ
2 2 sin θ v0 12.32m/s 2 R cos3 θ
an
2 v2 v0 21.33m/s 2 R R cos 2 θ
例5-4
判别下图示曲线中加速度、速度矢量是否正确。
§5-4 刚体的基本运动平动，转动

则vＤ＝vＡ＝２rω
aＤn＝aＡn＝２rω２ aＤτ＝aＡτ＝２ra
0 dt
0
t
y x

θ θ0 ω0t
t
0 0

t
αdtdt
角加速度为常量：
两个独立方程
0 t,
1 θ θ0 ω0 t t 2 2
1 θ θ0 (ω0 ω)t , 2
t 0
'2 1 1 y " k y

切线
v r S M* + M
dτ s v lim n d t lim t 0 t t 0 s t
an

理论力学(第三版)第5章第3节拉格朗日方程

理论力学(第三版)第5章第3节拉格朗日方程
i n1mirqri i n1mi ddtrqrii n1mirqri ddtqi n11 2mir2qi n11 2mir2
上式中的两个括号正是力学系统的动能T, 所以
i n1m ir q r id d t q T q T
s1Qddtq TqT0
(5.26)
所以
d d t q T q T Q 1, 2 ,s, (5.27
前一个是质点绕极点运动的惯性离心力. 广义力Q , Q
可利用虚功来求. 先令=0, 虚功W=F r=F ,得到
Q = F . 这是力的径向分量.
同理 先令 =0, 利用虚功得到Q= F .这是相对极点的
力矩.
例其2平移如方果某 向一 沿广 着义 单坐位标矢量q ,n反(映如力图学). 即系统的整体平移,
2 (m1 m2)g m1lcos
例题2
质量为m1的三棱柱ABC通过滚 轮搁置在光滑的水平面上. 质量为 m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱 的斜面AB无滑动地滚下.
y
A
C1
OC
D C2
B
求：(1) 三棱柱后退的加 速度a1; (2)圆轮质心C2相对于三 棱柱加速度ar.
x
解：(1) 分析运动
三棱柱作平移，加速度为 a1. 圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的 相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2.
类型. 事实上, 研究第i个质点的运动时, 若选用跟随这个
质点一同平动的参考系统, 这个质点显然是(相对)静止的,
它应当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫做达
朗贝尔原理. n F im iri ri 0
(5.23)
i1
——达朗贝尔-拉格朗日方程

理论力学-5-点的复合运动分析

理论力学-5-点的复合运动分析

5.1 点的合成运动的基本概念
三种运动与三种速度和加速度
动点相对于动系的运动，称为 动点的相对运动（relative）。动 点刀尖上P点的相对运动是在工件 圆柱面上的螺旋线（相对轨迹）运 动。 动点相对于动系的运动速度和 加速度，分别称为动点的相对速度 和相对加速度，分别用符号vr和ar 表示。
具体方法：在有的机构中，一个构件上总有一个点被另一个构件所约束。 这时，以被约束的点作为动点，在约束动点的构件上建立动系，相对运动 轨迹便是约束构件的轮廓线或者约束动点的轨道。
(3) 应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的几何关系解出 未知数。也可以采用投影法：即等式左右两边同时对某一轴进行投 影，投影的结果相等。
5.1 点的合成运动的基本概念
三种运动与三种速度和加速度
动系相对于定系的运动， 称为牵连运动。图中，牵连 运动为绕Oy ' 轴的定轴转动。
5.1 点的合成运动的基本概念
三种运动与三种速度和加速度
动系上每一瞬时与动点相重 合的那一点，称为瞬时重合点,又 称为牵连点。由于动点相对于动 系是运动的，因此，在不同的瞬 时，牵连点是动系上的不同点。 动系上牵连点相对定系的运 动速度和加速度，分别称为为动 点的牵连速度和牵连加速度，分 别用符号ve和ae表示。
第5章 点的复合运动分析 5.1 点的合成运动的基本概念 5.2 点的速度合成定理 5.3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理 5.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 科氏加速度 5.5 结论与讨论
第5章 点的复合运动分析
5.1 点的合成运动的基本概念
5.1 点的合成运动的基本概念
vr
q
ve OA
3 2 3e va ve tan q OA 3 3
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第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
5.2.3 用直角坐标表示点的加速度
与前述点的速度和点的位置的关系类 似，由于动点的加速度等于速度对时间的 一阶导数，所以加速度a在坐标轴上的投 影ax、 ay、 az分别等于速度v在坐标轴上的 x 投影vx、vy、vz对时间t的一阶导数，即
dv x d 2 x ax dt dt dv y d 2 y ay dt dt dv z d 2 z az dt dt
2 2 v vx vy r
可见动点速度的大小是常数。速度v与x轴正向夹角的余弦为 vx π cos( v , i ) sin t cos( t ) v 2 π 由此可知，动点速度的方向与x轴正向的夹角是 t 2 目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 动点的加速度在坐标轴上的投影为 a x r 2 cost a y r 2 sin t 因此加速度的大小为
5.2.1 用直角坐标表示点的运动方程
动点M在空间运动时它在某瞬时的位 置也可以用空间直角坐标系的坐标(x,y,z) 来表示（如图） ，(x,y,z)称为动点的位置 坐标，坐标值x,y,z都是时间t的单值连续函 x 数，即
x x(t ) y y (t ) z z (t )
r r (t )
上式称为动点M的矢量形式的运动方程。点运动时，位置矢量r的末 端所描绘的曲线即为动点的运动轨迹。 目录
第五章 点的运动\描述点运动的矢量表示法 M' 设动点在某瞬时t位于M，其位置矢量为r(t)， v* Δ r 在t+Δt瞬时动点位于M ，其位置矢量为r(t+Δt)。 r(t) 在Δt时间间隔内动点的运动轨迹为MM，位置 r(t+Δt) 矢量的改变Δr称为动点M的位移。 O 当Δt很小时可近似地用Δr表示在该时间间隔内动点走过的弧长 r * v 及运动方向， 称为动点在时间间隔Δt内的平均速度。 t r 当Δt趋于零时， 的极限称为动点在瞬时t的速度，即 t r dr v lim dt t 0 t 因此，动点的速度等于动点的位置矢量对时间的一阶导数。动 点的速度是矢量，它的方向是Δr的极限方向，即沿轨迹曲线在M点 的切线，并指向动点的运动方向。 速度的单位是m/s，有时也用km/h。 目录
第五章 点的运动\描述点运动的弧坐标表示法
dr τ ds 式中：—沿轨迹切向指向弧坐标正向的单位矢量。此外，
ds s ds lim v ，显然这是速度的代数值，当 0 时，s随时间t而 dt dt t 0 t ds 增大，v的指向与 相同；当 ＜ 0 时，s随时间t而减小，v的指向与 dt
z M r O z x y
y
这就是动点M的直角坐标运动方程。当函数x=x(t), y=y(t), z=z(t)已知 时，动点M在任一瞬时的位置就完全确定。从上式消去t，即得动点 的轨迹方程 F ( x, y, z ) 0 目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 当动点始终在同一平面内运动时，如取该平面为坐标平面Oxy， 则动点的运动方程为
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
【解】 由于重物作直线运动，以地面上的 B为坐标原点沿铅垂方向建立坐标轴y。由图中 的几何关系，M点的运动方程为
y (v0t ) 2 (9 1) 2 8 t 2 82 8
M点的速度为
dy v dt t t 2 64
x x(t ) y y (t )
当动点始终沿一直线运动时，如取该直线为坐标轴Ox，则动点 的运动方程为
x x(t )
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
5.2.2 用直角坐标表示点的速度
如图所示，若以O点为坐标原点建立 Oxyz直角坐标系，则动点的位置矢量r 可表示为
第二篇 运动学
第二篇 运动学
运动学的任务是研究如何描述物体的运动，由于物体的运动一 般是用其位置及位置随时间的变化规律来描述的，所以运动学只是 从几何的角度来研究物体的运动而不涉及引起和影响物体运动变化 的因素（作用于物体上的力和物体本身的质量等）。 学习运动学的目的一方面是为学习动力学作准备，另一方面运 动学的有关知识也往往直接应用于工程实际中对物体运动规律的分 析。
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第五章 点的运动\描述点运动的矢量表示法
5.1 描述点运动的矢量表示法
5.1.1 用矢量表示点的运动方程
点的运动通常是用某瞬时点所处的位置 M 来描述的。 为表示动点M在某瞬时的位置，可在参考 r( t ) 系上任选一固定点O，由O点到所研究的动点 M作一矢量r，动点M的位置就可以用该矢量 O 表示（如图）。 r称为动点M的位置矢量。 显然，在某瞬时只要已知矢量r，则动点M的位置可以完全确定。 当点运动时，其位置矢量r随时间而变化，是时间t的单值连续函数， 即
2 2 a ax ay r 2
y a O
v M
t
x
可见动点加速度的大小是常数。加速度a与x轴正向夹角的余弦为 a cos(a, i ) x cost cos(π t ) a 由此可知，动点加速度的方向与x轴正向的夹角是π+ωt，指向 圆心。
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 【例5.2】 牵引车自B点沿水平面匀速开出, 速度v0=1m/s，通过 绕过A的定滑轮将重物M自地面提起，如图所示，若滑轮A距地面高 为9m，车上的牵引钩距地面高为1m, 求重物M的运动方程、速度和 加速度，以及重物由地面升到A处所需的时间。
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第五章 点的运动
第五章 点的运动
本章介绍描述点的运动的三种方法:矢量表示法、直角坐标表 示法、弧坐标表示法，及如何利用这三种方法建立点的运动方程 （用以描述点的位置随时间变化的规律）、求点的速度和加速度。
5.1 描述点运动的矢量表示法 5.2 描述点运动的直角坐标表示法 5.3 描述点运动的弧坐标表示法
z M k O r z
a
v x y
i
j y
上式表明，动点的加速度在各坐标轴上的投影分别等于动点相 应的位置坐标对时间t的二阶导数。 目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 加速度的大小及方向余弦为
2 2 2 d x d y d z 2 2 2 2 2 2 a ax a y az ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) dt dt dt ay ax az cosa , i cosa , j cosa , k a a a
s s(t )
上式称为动点M的弧坐标运动方程。显然，当函数s=s(t)已知时，任 意瞬时动点M在轨迹曲线上的位置就完全确定了。
目录
第五章 点的运动\描述点运动的弧坐标表示法
5.3.2 用弧坐标表示点的 速度
如图所示，设动点在某平面 O 内运动，其运动轨迹已知，沿该轨 r' 迹的运动方程为s=s(t), 在瞬时t， ( ＋) r 动点M的位置矢量为r，经过时间 s 间隔Δt，动点M沿已知轨迹运动到 r O' M M，其位置矢量为r，动点在Δt时 M' (－) s 间间隔内的位移为Δr，相应的弧坐 v 标增量为Δs。动点的速度为 dr dr ds dr ds v dt dt ds ds dt 当Δs →0时，Δr/Δs的大小趋于1，Δr/Δs 的方向总是趋于弧坐标的正 向（若Δs >0,Δr的方向趋于弧坐标的正向，Δr/Δs也趋于弧坐标的正 向；若Δs<0,由于Δr的方向趋于弧坐标的负向，故Δr/Δs 仍趋于弧坐 标的正向），且与轨迹相切，所以始终有 目录
M v' a*
v Δv v'
a
v 当Δt 趋于零时 ， 的极限称为动点在瞬时t的加速度，即 t 2
a lim
t 0
因此，动点的加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，或等 于动点的位置矢量对时间的二阶导数。 加速度的单位是m/s2。
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
5.2 描述点运动的直角坐标表示法
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第二篇 运动学
在研究物体运动时首先应明确两个问题。一个是关于运动的相 对性，描述物体运动时必须指出物体是相对另外哪个物体的运动， 另外那个物体称为该物体运动的参考体，固结于参考体上的坐标系 称为参考坐标系或参考系。今后若不特别说明，我们所说的物体的 运动都是相对于地面而言的，即参考系是固结在地面上的。另一个 是关于时间的两个概念，即瞬时和时间间隔，所谓瞬时是指某一具 体时刻，如第5秒，它与时间轴上的一点对应；所谓时间间隔是指 某一段时间，如第1秒至第5秒，其时间间隔是4秒，它与时间轴上 的一个区间对应。物体运动中的位置与瞬时相对应，位移与时间间 隔相对应。 运动学中研究的对象是点（或称动点）和刚体。这里的“点” 或是由物体抽象得来的或就是物体上某一具体的点。之所以不称其 为质点，是因为运动学只单纯研究点的运动问题，而不涉及其质量。
M点的加速度为
a
dv dt
t
64
2
64

3
当M点升到A处时，y =9m，代入运动方程 9 t 2 64 8 得 t=15 s 目录
第五章 点的运动\描述点运动的弧坐标表示法
5.3 描述点运动的弧坐标表示法
5.3.1 用弧坐标表示点的运动方程
s 若动点运动的轨迹曲线是已知的，为 (＋) 确定任意瞬时动点在轨迹曲线上的位置， 可在轨迹曲线上任选一点O作为坐标原点， O 以动点的轨迹曲线为坐标轴，并规定O点的 (－) 某一边为正方向，另一边为负方向，动点M的位置用由O点到动点 的弧长OM=s来表示，s称为动点M的弧坐标，并规定动点M在坐标 轴正向时弧坐标为正，在坐标轴负向时弧坐标为负，如图所示。当 动点M沿轨迹曲线运动时，动点M的弧坐标s将随时间t而变化，是时 间t的单值连续函数，即