2.1 与三角函数相关的最值问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)最新修正版

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>，2a =，则b c +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅-> 故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)2o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈，可得130(120150)sin(30)(2o o o o B B +∈∴+∈，330))2o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题3．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值.因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.5．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．【详解】解：将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴62k ωππφπ-+=+，k Z ∈．∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63k ωπππ-=+，620k ω=-->, 则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．6．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣3π）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx ﹣3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=76π+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ，即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ． 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．7．在ABC ∆中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．2D ．1【答案】C 【解析】 11210sin 1sin 25BCD BCD ⨯⨯⨯∠=∴∠= 22222102210425BD BD ∴=+-⨯⨯⨯=∴=,选C8．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A ．3155AB AC + B ．2155AB AC + C ．481515AB AC + D ．841515AB AC + 【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =表示为以,AB AC 为基底来表示的形式. 【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =. 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab=( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解【详解】由正弦定理：2sin sin b cR B C==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=在ABC ∆中，A B C π++=故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =故sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题10．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C．4D．2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=（ ）A ．15 B ．14C ．12D ．34【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简2sin ()4πθ+求解即可.【详解】由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=⇒=⇒=,故1sin 22θ=. 所以2sin ()4πθ+=1cos 222πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.12．已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-【答案】C 【解析】 【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得sin α，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】 由π1cos α25⎛⎫-=⎪⎝⎭，得1sin α5=，又由2123cos2α12sin α122525=-=-⨯=． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．13．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．35C ．35D ．53【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得答案. 【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =， 综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( )A．y =B．3y x =± C ．y x =± D ．2y x =±【答案】A【解析】【分析】 因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 121222MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-=可得:b =双曲线渐近线方程为:b y x a=± 则双曲线渐近线方程为: y =故选:A.【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.16．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ）A ．2BC．D或【答案】D【解析】【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=， 即220a a +-=，解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，此时()f x 的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x ；综上()f x 或.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-， 整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=， 当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证； 必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯， 故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.18．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sinB ．cosC ．tanD ．cos2θ【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可．【详解】由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C【点睛】本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．19．化简21sin 352sin 20︒︒-=（ ）A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】B【解析】【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.【详解】依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202--==-⨯=-⨯=-，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.20．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论：①()f x 是奇函数；②()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案.【详解】 ()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=， 所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。

2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文18)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC △的面积；（2）若sin A C ，求C .2. （20全国Ⅱ文17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．3.（20全国Ⅱ理 17）ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．4.（20新高考Ⅰ17）在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5.(20天津16)（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．6.(20浙江18)（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2sin 0b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．7.（20江苏16）（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．8.（20全国Ⅱ理21）(12分)已知函数f (x )= sin 2x sin2x ．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明: 33()f x ≤； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn ．9.(20北京17)（本小题13分）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案：1.解：（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故sin(30)C ︒+=而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．3．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =. 因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+4．解：方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．5．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c ===，可得sin sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及sin A =cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 113A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．6.（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A ，故sin B =， 由题意得π3B =. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2.7.解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯8．解：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<． 所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为()3fπ=，最小值为()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故|()|f x ≤． （3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x xx =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()4n nnn x xx ≤=．9.。

一．方法综述三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，而三角函数的最值问题是三角函数的重要题型，其中包括以考查三角函数图象和性质为载体的最值问题、三角函数的有界性为主的最值问题时屡见不鲜的题型，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键． 二．解题策略类型一 与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题【例1】若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A.4π B. 38π C. 8π D. 58π 【答案】C【指点迷津】()sin()f x A x ωϕ=+具有奇偶性时，k ϕπ=（k z ∈）或2k πϕπ=+（k z ∈）.【举一反三】1、【广州市2018届高三第一学期第一次调研】将函数2sin cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为A.12π B. 6π C. 4π D. 3π【答案】B【解析】将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数：()2sin 23y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，又其为奇函数， ∴2sin 203πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ()22k πZ 3k πϕ+=∈，， k π23πϕ=-， ()Z k ∈，又0ϕ> 当k 1=时， ϕ的最小值为6π 故选：B2、【河南省2018届高三12月联考】若函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线x m =（0m <）对称，则m 的最大值为（ ） A. 4π-B. 1112π-C. 512π-D. 712π- 【答案】C【解析】由题意得， ()232m k k Z πππ+=+∈，即()212k m k Z ππ=+∈， 0m <Q ， 1k ∴=-时， m 的最大值为512π-. 3、【2018河南省林州市第一中学模拟】定义运算12142334a a a a a a a a =-，将函数()3sin (0)1cos wxf x w wx=>的图象向左平移23π个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则w 的最小值是（ ） A. 14 B. 54 C. 74 D. 34【答案】B令0k =可得ω的最小值为54. 本题选择B 选项.类型二 与三角函数的单调性相关的最值问题 【例2】已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. 15[24⎤⎥⎦， B. 13[ 24⎤⎥⎦， C. 102⎛⎫⎪⎝⎭， D. ](0 2， 【答案】A【指点迷津】熟记三角函数的单调区间以及五点作图法做函数图象是解决单调性问题的关键． 【举一反三】1、【皖江名校2018届高三12月份大联考】若函数()2sin 0y x ωω=>的图象在区间,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个极值点，则ω的取值范围为（ ） A. 312ω<≤ B. 332ω<≤ C. 34ω≤< D. 3922ω≤< 【答案】B【解析】结合题意，函数唯一的极值点只能是2x πω=-，所以有32{62ππωππω-⨯<-⨯≤得332ω<≤。

一．方法综述近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质等结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数()ϕω+=x A y sin R x ∈的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期； （2）函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期； （3）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的41个周期. 本专题举例说明解答此类问题的方法、技巧.二．解题策略类型一 立足于基本性质，确定()ϕω+=x A y sin 中d 的“基本量”【例1】【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( ) （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【指点迷津】 一般来说：(1)若函数(0)()0y Asin x A ωϕω>>＝＋，有两条对称轴x a x b ＝，＝，则有||()22TkTa b k Z ∈－＝＋； (2)若函数(0)()0y Asin x A ωϕω>>＝＋，有两个对称中心()(),0,0M a N b ，，则有||()22T kTa b k Z ∈－＝＋；(3)若函数(0)()0y Asin x A ωϕω>>＝＋，有一条对称轴x a ＝，一个对称中心(),0M b ，则有||()42T kTa b k Z ∈－＝＋．（4）研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.求对称轴只需令，求解即可，求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解.【举一反三】【安徽省江淮六校2019届高三上开学联考】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4类型二立足于等价转化，破解三角函数综合问题【例2】【广东省深圳实验，珠海一中等六校2019届高三第一次联考】已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A．B．C．D．【指点迷津】利用公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.【举一反三】【上海市2018年5月高考模拟（一）】已知为常数），若对于任意都有，则方程在区间内的解为__________三．强化训练1．【2018届广东省佛山市高三检测（二）】已知函数的图象在区间上不单调,则的取值范围为( )A. B. C. D.2．【2018届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考模拟（三）】已知函数，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（）A. B.C. D.3.【辽宁省六校协作体2018-2019学年高二上学期期初考】已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.【山西省太原市2018届三模】已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则（）A．B．-1 C．1 D．5．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的最大值为（）A．B．C．D．6．已知，函数，若对任意给定的，总存在，使得，则的最小值为（）A．B．C．5 D．67．【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】如图，已知函数的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于另一点，是的重心.则的外接圆的半径为A．2 B．C．D．88．【福建省百校2018届临考冲刺】若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（）A．B．C．D．9．【江西省南昌市2018届三模】如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：①当时，；②时，为减函数；③对任意，都有；④对任意，都有其中判断正确的序号是__________．10．【2019年一轮复习讲练测】设函数，给出以下四个论断：①它的图象关于直线对称；②它的图象关于点对称；③它的周期是；④它在区间上是增函数.以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.。