2017年北京大学“博雅计划”
物理试题解析
01 空间直角坐标系中，六个完全相同、均匀带电的正方形绝缘平板构成一个正方体，其中心O 位于坐标原点，各棱方向与坐标轴平行．记与z 轴平行的棱中点为A ，正方体与x 轴的交点为B ，则A 、B 、O 三点的电场强度（ ）．
A ．全部为0
B ．全部不为0
C ．有两个满足至少在两个方向上的分量不为0
D ．有一个满足恰好在两个方向上的分量不为0
解析 O 点的电场强度为0，A 点的电场强度有x 分量和y 分量，B 点的电场强度只有x 分量．D 选项正确．
02 如图2所示，用轻绳悬挂一带电小球A ，绳长为l ，小球质量为m ．现将一无穷远处的相同小球B 移至图示位置，原小球偏转角度为θ，求移动小球过程中外力做的功．
解析 以A 球为研究对象，受力分析如图3所示，则有
22
2sin 22sin 2kq F mg l θ
θ==⎛
⎫ ⎪
⎝
⎭． 电势能的增量为
22
p14sin 2(1cos )2
2sin
2
kq E mgl mgl l θ
θθ
∆=
==−．
重力势能的增量为
ΔE p2＝mgl (1-cos θ)．
所以外力做功为
W ＝ΔE p1+ΔE p2＝3mgl (1-cos θ)．
03 如图4所示，有一等腰三棱镜，底角为θ，从侧面沿平行于底边方向射入一光束，其折射后在底面发生全反射并从另一侧面射出．已知三棱镜材料的折射率为2，求θ需满足的条件．
解析 第一次折射，入射角i 1＝90°-θ，根据折射定律，有
1
1sin sin i n γ=， 解得
12
γ=． 光线在底面发生全反射的临界角C 与折射率n 的关系为
1sin C n
=
， 解得
C ＝45°．
发生全反射的条件是入射角i 2＝γ1+θ大于临界角C ，则有
452
θ>°．
04 长度分别为l 1和l 2的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为m 1和m 2的两个小球，处于静止状态，如图5所示．中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v ，求此时两绳中的拉力．
解析 m 1相对于悬点O 做圆周运动，根据牛顿第二定律，有
2
11211
v T m g T m l −−=． ①
m 2相对于m 1做圆周运动，此时m 1的向心加速度为2
1v l ，m 1是一个非惯性系，故m 2所
受惯性力为2
21
v m l ，方向竖直向下．根据牛顿第二定律，有
22
2222
12
v v T m g m m l l −−=． ② 联立式①和式②，得
2
2211122112v v v T m g m m g m l l l ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，
2222212v v T m g m l l ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
．
05 一平行板电容器，极板面积为S ，板间距离为d ，与电动势为U 的稳恒电源串联．现将一厚度为d 、面积为S 、相对介电常数为εr 的电介质插入极板之间，求该过程中外力做功的大小．
解析 插入电介质前电容器的电容为14πS
C kd
=
，插入电介质后电容器的电容为2C = r 4πS
kd
ε．该过程中外力做功的大小为
222
21r 11(1)228πSU W C U C U kd
ε=−=−．
06 如图6所示，真空中有四块完全相同且彼此靠近的大金属板A 、B 、C 、D 平行放置，表面涂黑（可看成黑体），最外侧两块板的热力学温度各维持为T 1和T 4，且T 1＞T 4．当达到热稳定时，求B 板的温度．
解析 温度为T 2的B 板左、右侧单位时间内单位面积上净获得的辐射热量分别为
4412()B Q T T σ=−左， ① 4432()B Q T T σ=−右． ②
达到热稳定时，有
Q B 左+Q B 右＝0． ③
联立式①～③，得
4441322T T T +=． ④
温度为T 3的C 板左、右侧单位时间内单位面积上净获得的辐射热量分别为
4423()C Q T T σ=−左， ⑤ 4443()C Q T T σ=−右． ⑥
达到热稳定时，有
Q C 左+Q C 右＝0． ⑦
联立式⑤～⑦，得
4442432T T T +=． ⑧
联立式④和式⑧，得
4
44
14223
T T T +=
