雅可比迭代法解线性方程组

雅可比迭代公式雅可比迭代公式是一种在数值分析中用于求解线性方程组的迭代方法。

咱先来说说这个雅可比迭代公式到底是啥。

比如说，咱有一个线性方程组，像这样：\[\begin{cases}3x - y + z = 7 \\x + 2y - z = 1 \\x - y + 3z = 3\end{cases}\]雅可比迭代公式就是通过一次次的计算来逐渐逼近这个方程组的解。

咱们把这个方程组改写成下面这样：\[\begin{cases}x = \frac{1}{3}(7 + y - z) \\y = \frac{1}{2}(1 - x + z) \\z = \frac{1}{3}(3 - x + y)\end{cases}\]然后，咱就可以开始迭代啦。

先随便给 x、y、z 赋个初值，比如说都设成 0 。

第一次迭代，把初值代入上面的式子算新的值。

就这么一次次算下去，慢慢地，x、y、z 的值就会越来越接近真正的解。

我记得之前给学生们讲这个雅可比迭代公式的时候，有个学生特别有意思。

那是个挺机灵的小男孩，叫小明。

刚开始讲的时候，他一脸迷茫，完全没听懂。

我就给他举了个买糖果的例子。

假设小明有一笔零花钱，准备去买三种糖果，巧克力、水果糖和牛奶糖。

巧克力糖3 块钱一颗，水果糖2 块钱一颗，牛奶糖3 块钱一颗。

小明一共只有 11 块钱，而且他有个想法，就是买的巧克力糖的数量是水果糖和牛奶糖数量总和的三分之一，水果糖的数量是巧克力糖和牛奶糖数量总和的二分之一，牛奶糖的数量是巧克力糖和水果糖数量总和的三分之一。

这时候，咱们不知道每种糖到底买多少颗，那就先随便猜个数。

比如说，先猜巧克力糖买 0 颗，水果糖买 0 颗，牛奶糖也买 0 颗。

然后按照前面说的关系来调整。

第一次调整，算出来巧克力糖应该买 11/3 颗，水果糖应该买 11/4 颗，牛奶糖应该买 11/9 颗。

当然啦，糖可不能买零点几颗，这只是个计算过程。

就这么一次次调整，最后就能算出比较接近真实情况的答案啦。

实验二 雅可比迭代法求线性方程组的根一、实验目的学习用雅可比迭代法求线性方程组的解。

二、实验题目求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+11054722156851627321321321x x x x x x x x x的根，精确到0.0001。

三、实验原理将方程组按雅可比方法写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=+--=++-=275554154152415252278527192213312321x x x x x x x x x 由此可以得到迭代公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=+--=++-=+++275554154152415252278527192)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1n n n n n n n n n x x x x x x x x x n = 0, 1, 2, …四、实验内容取初始向量为：0)0(1=x ，0)0(2=x ，0)0(3=x 运行程序，记录计算结果。

五、源程序(Matlab)clearclcn=input('n=');A=input('A=');b=input('b=');x0=input('x0=');x0=zeros(n,1);x=x0;epsilon=input('\n 精度=');N=input('\n 最大迭代次数N=');fprintf('\n %d:',0);for i=1:nfprintf('%f',x0(i));end%以下是迭代过程for k=1:N%这是第k步迭代，迭代前的向量在x0[]中，迭代后的向量在x[]中；normal=0;for i=1:nx(i)=b(i);for j=1:nif j~=ix(i)=x(i)-A(i,j)*x0(j);endendx(i)=x(i)/A(i,i);temp=abs(x(i)-x0(i));% 求范数与迭代在同一个循环中；if temp>normalnormal=temp; %这里用的是无穷范数endend%第i不迭代结束fprintf('\n %d: ',k);for i=1:nx0(i)=x(i); %为下一步迭代准备初值；fprintf('%f',x(i));%输出迭代过程endif normal<epsilonreturnendendfprintf('\n \n 迭代% d 次后仍未求得满足精度的解\n',N);六、实验结果计算结果如下：k )(1kx)(2kx)(3kx0 0.000000 0.000000 0.0000001 3.148148 4.800000 2.0370372 2.156927 3.269136 1.8898493 2.491668 3.685249 1.9365544 2.400928 3.545126 1.9226505 2.431552 3.583275 1.9269256 2.423232 3.570456 1.9256517 2.426034 3.573954 1.9260438 2.425271 3.572781 1.9259269 2.425527 3.573101 1.92596210 2.425458 3.572994 1.92595111 2.425481 3.573023 1.925955七、实验结果分析运算结果能够满足精度要求。

jacobi迭代法原理Jacobi迭代法是一种解线性方程组的方法，用于求解形如Ax=b的线性方程组。

其基本原理是通过迭代逼近的方法逐步优化解的精度，直至满足所需的精度要求。

假设我们要求解的线性方程组为n个未知数，即有n个方程。

Jacobi迭代法的关键思想是将每个未知数的解按照某种次序进行更新，并且在更新过程中以当前的解作为项的更新依据，而不是使用“全局”的解。

首先，我们将线性方程组表示为一个矩阵形式：Ax=b，其中A是n×n的系数矩阵，x是n×1的未知数向量，b是n×1的常数向量。

然后，我们将A矩阵分解为两个矩阵D和R，其中D是A的对角线矩阵，R是A去掉对角线元素后的剩余矩阵。

即A=D+R。

接下来，我们将方程组改写为迭代的形式：Dx^{(k+1)} = -R*x^{(k)} + b，其中x^{(k)}表示第k次迭代的解。

根据上述迭代公式，我们可以得到每次迭代的更新公式为x_i^{(k+1)} = (-1/D_{ii}) * (Sum(R_{ij} * x_j^{(k)}) - b_i)，其中Sum表示对j的求和，i表示第i个未知数。

Jacobi迭代法的迭代过程就是根据上述更新公式，依次对每个未知数进行更新，直至解满足所需精度要求或达到最大迭代次数。

需要注意的是，为了Jacobi迭代法的收敛，系数矩阵A中的对角线元素必须非零，并且非对角线元素的绝对值之和必须小于每个对角线元素的绝对值。

总的来说，Jacobi迭代法通过逐个更新未知数的解，通过迭代逼近的方式求解线性方程组。

它的优点是易于理解和实现，但缺点是收敛速度较慢，对于大型问题可能需要较多的迭代次数。

雅可比迭代法原理雅可比迭代法（Jacobi Iteration Method）是一种用于线性方程组迭代求解的方法。

它广泛应用于数值计算和科学工程领域，特别在计算机模拟和科学计算中得到了广泛应用。

雅可比迭代法通过将线性方程组表达为矩阵形式，并不断迭代更新估计解向量，最终求得线性方程组的精确解或者近似解。

设有一个n阶方程组表达为Ax=b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x是一个n维向量，b是一个n维向量。

雅可比迭代法的思想是通过迭代过程逐步逼近方程组的解。

首先，我们将方程组转化为x的显式表达式。

假设矩阵A对角线上的元素都不为0（这是雅可比迭代法的一个限制条件），方程组的第i个方程可以表达为：xi = (bi - Σaijxj) / aii其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。

然后，我们假定一个初始解向量x^(0)。

迭代过程则是通过反复使用上述方程表达式，不断更新解向量x，直到收敛到一个满足精度要求的近似解。

雅可比迭代法的公式表达为：x^(k+1)_i = (bi - Σa_ijx^k_j) / a_ii其中，k表示迭代过程的次数，k+1表示迭代的下一步。

雅可比迭代法的收敛原理是基于对角元素主支配性的分析。

如果A的对角元素主支配于其它元素，即对于每个i，都有，a_ii，> Σ，a_ij，(i ≠j)，那么雅可比迭代法是收敛的。

在实际应用中，我们通常会通过编写程序或者使用现有的数值计算软件来求解方程组，并进行相应的误差分析。

雅可比迭代法的优点之一是简单易实现，容易理解。

它不需要对矩阵进行变换，只需要进行一系列的矩阵乘法和向量加法操作，因此它的计算量相对较小。

此外，雅可比迭代法还能有效解决病态问题，即系数矩阵A 的条件数很大的情况。

然而，雅可比迭代法也有一些缺点。

首先，它的收敛速度相对较慢，特别是对于条件数很大的矩阵。

其次，迭代过程必须保证A的对角元素都不为0，否则无法进行迭代。

并且，迭代的停止条件需要合适地选择，不然可能陷入无限循环。

计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。

该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。

线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。

本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。

雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。

雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。

雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。

超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

雅可比式计算方法雅可比式计算方法是一种用于求解线性方程组的迭代方法，它是数值分析中常用的一种方法。

雅可比法的基本思想是将线性方程组的系数矩阵分解为对角线矩阵和非对角线矩阵的和，然后通过迭代的方式求解方程组的解。

在实际应用中，雅可比法具有一定的局限性，但在一些特定的情况下，它仍然是一个有效的求解方法。

雅可比法的迭代公式如下：\[x^{(k+1)} = D^{-1} (b (L+U)x^{(k)})\]其中，\(D\)为系数矩阵的对角线矩阵，\(L\)为系数矩阵的严格下三角矩阵，\(U\)为系数矩阵的严格上三角矩阵，\(x^{(k)}\)为第\(k\)次迭代的解向量，\(x^{(k+1)}\)为第\(k+1\)次迭代的解向量，\(b\)为方程组的右端向量。

在使用雅可比法求解线性方程组时，需要注意以下几点：1. 收敛条件，雅可比法的收敛条件是系数矩阵\(A\)是严格对角占优的。

即对于方程组\(Ax=b\)，如果对于所有的\(i\)有\(|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|\)，则称系数矩阵\(A\)是严格对角占优的。

在实际应用中，需要对系数矩阵进行判断，以确定雅可比法是否适用于该方程组的求解。

2. 初始值的选择，雅可比法的迭代过程需要一个初始解向量。

初始解向量的选择对于雅可比法的收敛性和迭代次数有一定的影响。

通常情况下，可以将初始解向量取为零向量，然后进行迭代计算。

3. 迭代次数的确定，在实际应用中，需要根据具体的问题来确定雅可比法的迭代次数。

通常可以通过设定一个迭代终止条件来确定迭代的次数，比如迭代解的相对误差小于某个阈值时停止迭代。

雅可比法作为一种简单而有效的迭代方法，在一些特定的线性方程组求解问题中具有一定的优势。

然而，在实际应用中，由于雅可比法的收敛速度较慢，因此在求解大型稀疏线性方程组时，通常会选择其他更为高效的求解方法，比如共轭梯度法、GMRES等。

实验报告内容一 实验目的与要求（实验题目）1．分别利用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解以下线性方程组使得误差不超过 2.用不动点迭代法求方程的实根：02010223=-++x x x二 模型建立（相关主要计算公式）1. 雅可比迭代法⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,...,i x a b a x n i j j )k (j j i i ii )k (i 21021111==∑-=≠=+ 其中()()()()()T n x ,...x ,x x 002010=为初始向量.2.高斯-塞德尔迭代法⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,,i x a x a b a x i j n i j )k (j ij )k (j ij i ii )k (i 21021111111==∑∑--=-=+=++3.不动点迭代法• ...1,0),(1==+k x xk k ϕ三、 实验过程、步骤（程序）1. 雅可比迭代法#include "stdio.h"#include "math.h"#include "string.h"main(){⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-3612363311420238321321321x x x x x x x x x 410-int i,j,k;float m1=0.0,m2=0.0;float a[3][4]={8,-3,2,20,4,11,-1,33,6,3,12,36};float x[3]={0.0,0.0,0.0};for(k=1;k<=10;){for(i=0;i<=2;i++){for(j=0;j<i;j++)m1=m1+a[i][j]*x[j];for(j=i+1;j<=2;j++)m2=m2+a[i][j]*x[j];x[i]=(a[i][3]-m1-m2)/a[i][i];m1=0,m2=0;}k++;}printf("雅可比迭代法计算结果为：\n");for(i=0;i<=2;i++)printf("x[%2d]=%8.9f\n",i+1,x[i]);}2高斯-塞德尔迭代法#include<stdio.h>#include<math.h># define n 3void main(){int i,j,k=1;float x[n]={0,0,0},m[n]={0,0,0},s=1;float a[n][n]={8,-3,2,4,11,-1,6,3,12},d[n]={20,33,36}; printf("高斯-塞德尔迭代法运算结果为:\n");for(k=0;fabs(s-x[0])>1e-6;k++){s=x[0];for(i=0;i<n;i++){m[i]=0;for(j=0;j<n;j++) m[i]=m[i]-a[i][j]*x[j];m[i]=m[i]+d[i]+a[i][i]*x[i];x[i]=m[i]/a[i][i];}printf("Y1=%f Y2=%f Y3=%f\n",x[0],x[1],x[2]); }getchar() ;}3.#include <stdio.h>#include <math.h>double f( double x ){return x * x * x + 2 * x * x + 10 * x - 20;}double fdx( double x ){return 3 * x * x + 18.4 * x + 16.7;}int main( ){int t1 = 0, t2 = 1;double x[ 2 ], ep = 1e-8;x[ 0 ] = 0;do{t1 = 1 - t1;t2 = 1 - t2;x[ t1 ] = x[ t2 ] - f( x[ t2 ] ) / fdx( x[ t2 ] );}while( fabs( x[ t1 ] - x[ t2 ] ) > ep );printf("解得x=%lf\n", x[ t1 ]);return 0;}四．实验结果：1.雅可比迭代法：2.高斯-塞德尔迭代法：.3.不动点迭代法：五．实验小结通过这次上机，学会了用Jacobis迭代法，高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组，算法程序比较复杂，特别是要多次使用数组条件及for循环语句。

线形方程组的迭代解法——雅克比（Jacobi ）迭代法 概述： 线性方程组的迭代解法就是根据所给的方程组AX=b ，设计出一个迭代公式，然后将任意选取的初始向量带入迭代公式，求出，再将 同一代入迭代公式，求出 ，如此反复进行，得到向量序列。

当 收敛时，其极限即为原方程组的解。

1. 原理线形方程组:矩阵形式:如果矩阵A 的对角线元素都不为零,即A ii ≠0, 则可把方程变为:雅可比迭代法:1. 给定的一组x 初始值； 2. 由以下公式用 求； 3.如果满足中止条件（认为足够逼近与某组值，可以将其取为极限，与前一次求得的结果差值小于事先设定好的允许误差值m ）则停止,否则k=k+1,重复2.即: (0)X (1)X (1)X (2)X (){}k X (){}k X 11112211211222221122.........n n n n n n nn n nA x A x A xB A x A x A x B A x A x A x B +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩Ax =B ()()()11221331111221123322221122,111...1...1...n n n n n n n n n n n nn x A x A x A x B A x A x A x A x B A x A x A x A x B A --⎧=----+⎪⎪⎪=----+⎪⎨⎪⎪⎪=----+⎪⎩00012[,,...,]n x x x 12[,,...,]k k k n x x x 11112[,,...,]k k k n x x x +++()()()11122133111112211233222211122,111...1...1...k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n n nn x A x A x A x B A x A x A x A x B A x A x A x A x B A +++--⎧=----+⎪⎪⎪=----+⎪⎨⎪⎪⎪=----+⎪⎩把此公式写为矩阵形式:令:则有:故雅可比迭代公式的矩阵形式为:令:迭代公式:MATLAB 程序:function [x,k] = jacobi(A,B)% Jacobi 迭代法解方程组Ax=Bv = diag(A);if all(v) 注：D = diag(v); all( ), 全不为零则返回1,否则返回0. Di = diag(1./v); >> all([1 2 3]) M = -Di*(A-D); ans =1d = Di*B; >> all([1 0 3]) x1 = v; ans =0x2 = x1+1;k = 0;while max(abs(x2-x1))>0.0001if k > 300disp('可能不收敛')break;endx1 = x2;x2 = M*x1+d;k = k+1;endelseerror('A 对角线有零元素');end211200000n n A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L 121200000n n A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦U 1122000000nn A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦D A =L +U +D[]⇒=⇒Ax =B L +U +D x B Dx =-[L +U]x +B⇒-1-1x =-D (L +U)x +D B1k k +-1-1x =-D (L +U)x +D B -1M =-D (L +U)-1d =D B 1k k +x =Mx +d。

雅可比迭代法解线方程组的MPI实现一、概述1.1 研究背景雅可比迭代法是一种常用的迭代法求解线性方程组的方法，通过不断迭代更新变量值，最终达到一定的精度要求。

MPI（Message Passing Interface）是一种消息传递接口，常用于并行计算中，能够充分利用多核和多机的计算资源，提高求解效率。

1.2 研究意义现代科学技术领域中，线性方程组的求解是一个常见且重要的问题。

通过研究雅可比迭代法在MPI并行环境下的实现，可以提高线性方程组求解的效率，促进科学计算领域的发展。

二、雅可比迭代法原理2.1 基本原理雅可比迭代法是一种逐次逼近的方法，通过不断迭代更新变量值，最终达到一定的精度要求。

假设方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，x为待求解的变量，b为常数向量。

迭代公式如下：x(k+1) = D^(-1)*(b-R*x(k))其中，D为系数矩阵A的对角线部分组成的对角矩阵，R为A的其余部分（不含对角线），k为迭代次数。

2.2 算法流程- 初始化变量x0- 重复执行以下步骤：- 计算新的变量值x(k+1)- 判断迭代是否收敛- 如果达到精度要求，停止迭代；否则，继续迭代三、MPI并行计算简介3.1 MPI概述MPI是一种消息传递接口，常用于并行计算中。

它定义了一组函数和语义，用于在多个进程之间传递消息，实现进程间的通信和同步。

3.2 并行计算模型在MPI并行计算中，通常采用主从模型，其中一个进程作为主进程，负责调度和管理其他子进程，而其他子进程负责实际的计算任务。

主进程可以将任务分发给子进程，并收集子进程的计算结果，实现并行计算。

四、雅可比迭代法在MPI中的实现4.1 算法说明在MPI并行环境下，雅可比迭代法的实现需要考虑如何将计算任务分配给不同的进程，以及如何进行进程间通信和同步。

一般可以采用分块迭代的方式，将系数矩阵A分块并分配给不同的进程，每个进程负责计算自己分配到的部分，然后进行通信和同步，最终得到整体的解。