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华师大新版七年级下学期《9.2 多边形的内角和与外角和》2019年同步练习卷一．解答题（共40小题）1．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP＝AD时（如图②）：∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：；（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：．2．四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）求证：S△OBC•S△OAD＝S△OAB•S△OCD；（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．3．附加题：如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．4．已知线段AC＝8，BD＝6．（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1＝，S2＝，S3＝；（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．5．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．（1）写出表示第四条边长的式子；（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？6．我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为a n．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；（2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中a n＝；（用含n的式子表示）（3）已知＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，则n＝．7．已知正n边形的周长为60，边长为a（1）当n＝3时，请直接写出a的值；（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．8．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案，所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分制方案．所以，此类共有P4种分制方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5＝P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝×P6，共有种不同的分割方案．【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）9．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形，……；则n边形可以分割成个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成个三角形．10．如图，三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析，（1）请你计算十边形的对角线有多少条？．（2）你能总结出n边形的对角线有多少条吗？（用含n的代数式表示）11．探索规律：（1）为丰富师生的课余生活，西南片区五所学校联合举行教师篮球赛和学生联谊活动，每校派一支教工篮球队，各派30名学生参加联谊活动．①如果篮球赛采取单循环比赛（每两支队伍之间只进行一场次的比赛），则篮球赛共需赛场；②学生联谊活动：全体同学制作手工小礼品，活动结束，全体同学互赠手工小礼品（数量刚好足够赠送），问：本次活动共制作了件小礼品；③如果参加联谊活动的同学有n个人，问活动共制作了件小礼品．（2）给出下列算式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…，观察上面一系列等式，你能发现什么规律？设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个算式的规律为：．12．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．13．阅读下列内容，并答题：我们知道计算n边形的对角线条数公式为，如果有一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程＝20，去分母得n（n﹣3）＝40；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）＝40的整数n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确吗？为什么？14．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝100°，AC平分∠BCD，且∠ACB＝40°，∠BAC ＝70°．（1）AD与BC平行吗？试写出推理过程；（2）求∠DAC和∠EAD的度数．15．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A＝130°，∠C＝125°．（1）求∠B的度数；（2）当∠D＝°时，AB∥DE．请说明理由．16．如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1.1：1：0.5：1．求它的四个内角的度数．17．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD，（1）求证：∠DEC+∠DCE＝90°；（2）如图2，若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F＝58°，求∠ABC．18．（1）如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，∠A ＝40°，求∠P的度数．（2）如图2，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．①如图2，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用含α，β的代数式表示）②如图3，若α+β＜180°，请在图3中画出∠P，并直接写出∠P的度数．（用含α，β的代数式表示）19．请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（1）如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A＝50°，则∠BPC＝°；（2）如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，直接写出∠BPC与∠A的数量关系．（3）如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与外角∠FCB的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D＝α．①写出∠BPC与α的数量关系；②根据α的取值范围，直接判断△BPC的形状（按角分类）20．（1）我们在小学已经学过：三角形的三个内角的和等于180°．如图1中，△ABC的内角和∠1+∠2+∠3＝180°，那么在图2中，四边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4＝．（2）我们知道平角等于180°，图1中∠1+∠4＝；（3）求图1中∠4+∠5+∠6的大小；图2中∠5+∠6+∠7+∠8的大小．21．动手操作，探究：探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．并说明理由探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如图（3）所示，请你直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系22．如图所示中的几个图形是五角星和它的变形．（1）图甲中是一个五角星形状，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）图甲中的点A向下移到BE上时（如图乙）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？试说明理由（3）把图乙中的点C向上移动到BD上时（如图丙所示），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？试说明理由．23．如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝°；∠E＝°；（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为．24．初一（10）班数学学习小组“孙康映雪”在学习了第七章平面图形的认识（二）后对几何学习产生了浓厚的兴趣．请你认真研读下列三个片断，并完成相关问题．如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝°．【片断二】（2）小康说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．【片断三】（3）小雪说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．25．如图，在四边形ABCD中，已知BE平分∠ABC，∠AEB＝∠ABE，∠D＝70°．（1）试说明：AD∥BC；（2）求∠C的度数．26．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．27．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．28．已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代数式直接填空）；（2）如图1，若x＝y＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，试求x、y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．29．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．（1）当∠A为70°时，∵∠ACD﹣∠ABD＝∠∴∠ACD﹣∠ABD＝°∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线∴∠A1CD﹣∠A1BD＝（∠ACD﹣∠ABD）∴∠A1＝°；（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、A n，请写出∠A与∠A n的数量关系；（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D＝230度，则∠F＝．（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q﹣∠A1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．30．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）31．如图，六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，∠A＝140°，∠B＝100°，∠E＝90°，求：∠C、∠D、∠F的度数．32．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．（1）试探究∠1与∠2有何关系，并说明理由．（2）试探究BE与DF有何位置关系，并说明理由．33．已知一个n边形的每一个内角都等于150°．（1）求n；（2）求这个n边形的内角和；（3）从这个n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？34．如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：；（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝度（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠C，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．35．（1）如图①，△ABC的三边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6分别两两相交，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6等于多少度？（2）如图②，四边形ABCD的四边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、A7A8分别两两相交，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠7+∠8的度数；（3）若n边形的n条边所在的直线与直线A1A2、A3A4、A5A6、…、A2n﹣1A2n分别两两相交，求∠A1+∠A2+…+∠A2n＝．36．阅读下列材料，然后解答后面的问题．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．求证：∠BCD＝∠B+∠A+∠D．（3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC ＝140°，∠AEC＝102°，则∠B＝°．37．已知如图，四边形ABCD中∠BAD＝α，∠BCD＝β，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC（1）如图1，若α+β＝150°，则∠MBC+∠NDC＝度；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请求出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．38．如图，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．①如图1，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α、β的代数式表示）②如图2，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并求得∠P＝．（用α、β的代数式表示）39．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE平分∠BAD交CD于点E，过点C 作CF∥AE交AB于点F．求证：CF平分∠BCD．40．如图1，一张△ABC纸片，点M、N分别是AC、BC上两点．（1）若沿直线MN折叠，使C点落在BN上，则∠AMC′与∠ACB的数量关系是（写出结论即可）．（2）若折成图2的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．（3）若折成图3的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系，并说明理由．（4）将上述问题推广，如图4，将四边形ABCD纸片沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABNM的内部时，∠AMD′+∠BNC′与∠C、∠D之间的数量关系是（写出结论即可）．华师大新版七年级下学期《9.2 多边形的内角和与外角和》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP＝AD时（如图②）：∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC＝S△DBC+S△ABC；（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC＝S△DBC+S△ABC．．【分析】（2）仿照（1）的方法，只需把换为；（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；（4）综合（1）（2）（3）得到面积和线段比值之间的一般关系；（5）利用（4），得到更普遍的规律．【解答】解：（2）∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC（3）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；（4）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC问题解决：S△PBC＝S△DBC+S△ABC．【点评】注意总结相应规律，类似问题通常采用类比的方法求解．2．四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）求证：S△OBC•S△OAD＝S△OAB•S△OCD；（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．【分析】（1）根据三角形的面积公式，则应分别分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F．然后根据三角形的面积公式分别计算要证明的等式的左边和右边即可；（2）根据（1）中的思路，显然可以归纳出：从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．证明思路类似．【解答】证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：S△AOB＝BO•AE，S△COD＝DO•CF，S△AOD＝DO•AE，S△BOC＝BO•CF，∴S△AOB•S△COD＝BO•DO•AE•CF，S△AOD•S△BOC＝BO•DO•CF•AE，∴S△AOB•S△COD＝S△AOD•S△BOC．；（2）能．从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．或S△AOD•S△BOC＝S△AOB•S△DOC，已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，求证：S△AOD•S△BOC＝S△AOB•S△DOC．证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，则有：S△AOD＝DO•AE，S△BOC＝BO•CF，S△OAB＝OB•AE，S△DOC＝OD•CF，∴S△AOD•S△BOC＝OB•OD•AE•CF，S△OAB•S△DOC＝BO•OD•AE•CF，∴S△AOD•S△BOC＝S△OAB•S△DOC．【点评】恰当地作出三角形的高，根据三角形的面积公式进行证明．3．附加题：如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．【分析】可以再做五边形的一条中对线，根据它们分割成的两部分的面积相等，都是五边形的面积的一半，导出两个等底的三角形的面积相等，从而得到它们的高相等，则得到五边形的每条边都有一条对角线和它平行．【解答】证明：取A1A5中点B3，连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5，∵A3B1＝B1A4，∴S△A1A3B1＝S△A1B1A4，又∵四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4A5的面积相等，∴S△A1A2A3＝S△A1A4A5，同理S△A1A2A3＝S△A3A4A5，∴S△A1A4A5＝S△A3A4A5，∴△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等，∴A1A3∥A4A5，同理可证A1A2∥A3A5，A2A3∥A1A4，A3A4∥A2A5，A5A1∥A2A4．【点评】此题要能够根据面积相等得到两条直线间的距离相等，从而证明两条直线平行．4．已知线段AC＝8，BD＝6．（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1＝24，S2＝24，S3＝24；（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．【分析】（1）把四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和，然后列式求解即可；（2）猜想，四边形的面积等于互相垂直的对角线乘积的一半，然后根据四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和进行证明．【解答】解：（1）S1＝×6×3+×6×5＝9+15＝24，S2＝×6×4+×6×4＝12+12＝24，S3＝×6×6+×6×2＝18+6＝24；（2）猜想四边形ABCD面积为24，理由如下：S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝BD•AO+BD•CO，＝BD（AO+CO），＝BD•AC，＝×8×6，＝24．【点评】本题考查了多边形，三角形的面积，把四边形的面积分成两个三角形的面积的和是解题的关键，利用规则图形的面积求不规则图形的面积是常用的方法之一．5．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．（1）写出表示第四条边长的式子；（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？【分析】（1）根据题意分别运用代数式表示其它各边，再根据周长进行计算；（2）注意根据（1）中的式子代入进行计算分析．【解答】解：（1）根据题意得：第二条边是3a﹣5，第三条边是a+3a﹣5＝4a﹣5，则第四条边是46﹣a﹣（3a﹣5）﹣（4a﹣5）＝56﹣8a．答：第四条边长的式子是56﹣8a．（2）当a＝7cm时不是四边形，因为此时第四边56﹣8a＝0，只剩下三条边，三边长为：a＝7cm，3a﹣5＝16cm，4a﹣5＝23，由于7+16＝23，所以，图形是线段．答：当a＝7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．【点评】首先根据第一条边长表示出第二条边，然后表示出第三条边，最后根据周长表示出第四条边．其中要注意合并同类项法则．（2）中，只需根据（1）中所求的代数式，把字母的值代入计算，然后进行分析图形的形状．6．我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为a n．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；（2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝42，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中a n＝n（n+1）；（用含n的式子表示）（3）已知＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，则n＝99．【分析】（1）根据图形变化规律，画出正方形的“扩展图形”即可；（2）根据图形可知正n边形的“扩展图形”中a n＝n（n+1），依此即可求解；（3）先拆分，再抵消得到方程﹣＝，解方程即可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）图4中a6＝6×7＝42，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中a n＝n（n+1）；（用含n的式子表示）（3）∵＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，∴﹣＝，解得n＝99．故答案为：42，n（n+1）；99．【点评】此题考查了多边形，图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．7．已知正n边形的周长为60，边长为a（1）当n＝3时，请直接写出a的值；（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．【分析】（1）边长＝周长÷边数；（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值．【解答】解：（1）a＝20；（2）此说法不正确．理由如下：尽管当n＝3、20、120时，a＞b或a＜b，但可令a＝b，得，即．∴60n+420＝67n，解得n＝60，经检验n＝60是方程的根．∴当n＝60时，a＝b，即不符合这一说法的n的值为60．【点评】读懂题意，找到相应量的等量关系是解决问题的关键．8．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再。
9.2多边形的内角和与外角和课时作业一、选择题(每小题4分,共12分)1.已知一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是 ( )A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形2.一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为( )A.5B.6C.7D.83.一个多边形除了一个内角外,其余内角之和为257°,则这一内角等于( )A.90°B.105°C.103°D.120°二、填空题(每小题4分,共12分)4.正八边形的一个内角的度数是度.5.如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1=°.6.如图是一个五角星图案,中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形,则图中∠ABC的度数是度.三、解答题(共26分)7.(8分)小明和小亮分别利用图①,②的不同方法求出了五边形的内角和都是540°.(1)请你写出小明和小亮的求解过程.(2)考虑在图③中再用另外一种方法求五边形的内角和,并写出求解过程.8.(8分)如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.【拓展延伸】9.(10分)看图回答问题：(1)内角和为2 005°,小明为什么说不可能?(2)小华求的是几边形的内角和?(3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗?是多少度呢?答案解析1.【解析】选B.设这个多边形的边数为n,则：180°·(n-2)=540°,解得：n=5.2.【解析】选A.=5.3.【解析】选C.设多边形的边数是n,则(n-2)·180°>257°>(n-3)·180°,解得3<n<4,则多边形的边数是4,因为四边形的内角和是360°,所以这一内角等于360°-257°=103°.4.【解析】由多边形内角和定理可得,=135°.答案：1355.【解析】如图,延长正五边形的一边,因为光线平行,则∠3=42°,正五边形的每个外角为360°÷5=72°,所以∠1= 72°-∠3=30°.答案：306.【解析】∵ABCDE是一个正五边形,∴五边形的内角和是(5-2)×180°=540°,∴∠ABC=540°÷5=108°.答案：1087.【解析】(1)小明的解法：(5-2)×180°=540°,小亮的解法：5×180°-360°=540°.(2)如图,在一边上任找一点,与其他端点连结,共得到四个三角形,五边形的内角和为：4×180°-180°=540°.8.【解析】∵∠APC是△AEP的外角,∴∠APC=∠A+∠E.∵∠BOD是△DOF的外角,∴∠BOD=∠D+∠F,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠B+∠C+∠APC+∠BOD=180°×(4-2)=360°.9.【解析】(1)∵2 005°不是180°的整数倍,∴小明说不可能.(2)依题意有(x-2)·180=2 005,解得x≈13.138 9.因而多边形的边数是13,该多边形为十三边形.(3)13边形的内角和是(13-2)×180°=1 980°,则错把外角当内角的那个外角的度数是2 005°-1 980°=25°.初中数学试卷桑水出品。
9.2 多边形的内角和与外角和第1课时 多边形的内角和1．了解多边形及其相关概念，理解正多边形及其概念．2．会求多边形的对角线的条数．3．能通过不同的方法探索多边形的内角和公式．(重点)4．会应用多边形的内角和公式进行有关计算．(难点)一、情境导入利用多媒体展示生活、建筑方面等的图片(包含一个或多个明显的多边形)．问题：请学生观察图片，在图中能找出哪些多边形？长方形、正方形、平行四边形等都是四边形，还有边数很多的图形，它们在日常生活、工农业生产中都有应用，引出本节课课题：多边形．二、合作探究探究点一：多边形及其有关概念【类型一】 正多边形的判定正多边形的有关概念下列图形中，是正多边形的是( )A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C.方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．【类型二】 多边形的对角线从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n 边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n (n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线． 方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2.【类型三】截去多边形的一个角后，确定多边形的边数若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A ．14或15或16B ．15或16C ．14或16D ．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A.方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．探究点二 多边形的内角和【类型一】由多边形的内角和确定多边形的边数一个多边形的内角和为540°，则它是( )A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n －2)·180°.设它是n 边形，根据题意得(n －2)·180＝540，解得n ＝5.故选B.方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【类型二】 求多边形的内角和多边形的内角和不可能为（ ）A ．180°B ．540°C ．1080°D ．1200°解析：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n ≥3且n 是整数），n 应为整数，所以n-2也是整数，所以多边形的内角能被180整除，因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1200°．故选：D ．方法总结：多边形的内角和定理，牢记定理是解答本题的关键.如图，在五边形ABCDE 中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN ，则∠1+∠2的度数为（ ）A ．210°B ．110°C ．150°D ．100°解析：根据多边形的内角和定理可求解∠B+∠C+∠D+∠E=510°，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=（6-2）×180°=720°，进而可求∠1+∠2=720°-510°=210°．故选：A ．方法总结：本题解题关键是多边形的内角和公式的灵活运用及整体代入求值的综合.三、板书设计多边形的内角和1．定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形．2．相关概念：顶点、边、内角、对角线．3．正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形．4．多边形的对角线：n 边形从一个顶点出发的对角线条数为(n －3)条；n 边形共有对角线n （n －3）2条(n ≥3)．5.多边形的内角和等于(n －2)·180°本节课采取的是合作探究的教学方式，在小组活动中，每个学生都能发挥自己的作用，都有表达和倾听的机会，每个人的价值作用都能显现出来．在这个过程中，学生得到了锻炼，明白了和他人怎样合作，取长补短．在教学设计时要从学生的角度出发，设计出合理的，具有可操作性的探究步骤，充分估计探究中的不确定因素和障碍点，并在教学过程中加强组织引导和巡视力度．9.2 多边形的内角和与外角和第2课时多边形的外角和1．掌握多边形的内角和与外角和公式．(重点)2．灵活运用多边形的外角和定理解决有关问题．(难点)一、情境导入多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步．提出问题：(1)小明是沿着几边形的广场在跑步？(2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？(3)你会求这个多边形的内角和吗？导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂．二、合作探究探究点：多边形的外角和【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A．八边形 B．九边形C．十边形 D．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n ＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B=210°，则∠1+∠2+∠3=________°．解析：∵五边形ABCDE，∠A+∠B=210°，∴∠AED+∠EDC+∠BCD=540°-210°=330°.又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3=540°，∴∠1+∠2+∠3=540°-330°=210°．方法总结：多边形的外角和以及多边形的内角和正确灵活运用是解题的关键.【类型三】多边形外角和的实际运用如图所示，小亮从点A出发，沿直线前进10米后左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，则他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是多少米？解析：根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10米即可．解：∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120（米）．答：小亮一共走了120米．方法总结：本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．三、板书设计多边形的外角和多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.本节课先引导学生由多边形的内角和探究多边形的外角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决．。
9.2多边形的内角和与外角和一、选择题1.若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A. 6B. 7C. 8D. 102.若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为（）A. 8B. 9C. 10D. 123.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A. 4B. 5C. 6D. 74.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A. 7B. 7或8C. 8或9D. 7或8或95.若多边形的边数由3增加到n时，其外角和的度数（）A. 增加B. 减少C. 不变D. 变为(n-2)180º6.如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=∠EDC+∠BCD+140°，DF，CF分别平分∠EDC和∠BCD，则∠F 的度数为（）A. 100°B. 90°C. 80°D. 70°7.一个多边形从一个顶点出发共引3条对角线，那么这个多边形对角线的总数为（）A. 5B. 37C. 8D. 98.多边形剪去一个角后，多边形的外角和将( )A. 减少180°B. 不变C. 增大180°D. 以上都有可能9.如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A. 6B. 7C. 8D. 910. 如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（）A. ∠1=∠2＞∠3B. ∠1=∠3＞∠2C. ∠2＞∠1=∠3D. ∠3＞∠1=∠2二、填空题11.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．12.如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= ________°.13.一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为________．14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为________15.能伸缩的校门，它利用了四边形的一个性质是________ ．16.一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________ 度．17.如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进5米后向左转40°，再沿直线前进5米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________米．18.过N边形的一个顶点有7条对角线，M边形有2条对角线、S边形没有对角线，则（n﹣m）s=________ ．三、解答题19.一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．20.一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于2019°，求这个内角的度数及多边形的边数．21.如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．。
第9章 多边形9．2 多边形的内角和与外角和（2）多边形的外角和1．下列说法正确的是( )A ．四边形的外角和为720°B ．四边形的外角和大于其内角和C ．多边形的外角和小于其内角和D ．任意多边形的外角和都等于360°2．如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是( )A ．3B ．4C ．5D ．63．一个多边形的外角和是内角和的25，这个多边形的边数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．84．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( )A ．60°B ．72°C ．90°D ．108°5．如果一个多边形的边数由n 增加到n ＋3，那么其外角和的度数( )A ．不变B ．增加C ．减少D ．不能确定6．如图，四边形ABCD 中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2＝____度．7．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A ＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________.8．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．9．小华从点A出发向前走10米，向右转15°，然后继续向前走10米，再向右转15°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。
10．分别求出图(1)、(2)、(3)中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。
参考答案1---5 DDCBA6. 2407. 300°8. 设这个多边形的边数为n，则有(n－2)×180＝3×360－180，解得n＝7，所以这个多边形的边数为79. 可以走回到A点，共走240米．理由：根据多边形的外角和是360°，每次向右转15°，并且都走10米，可知小华共转24次，故共走240米10. 分别连结AD，转化为四边形的内角和，均为360°。
初中数学华师大版七年级下学期第9章9.2 多边形的内角和与外角和一、单选题1.一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（）A. 12B. 10C. 8D. 62.如图是正五边形的三个外角，若则=（）A. B. C. D.3.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（）A. 11B. 12C. 11或12D. 10或11或124.将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（）A. 9B. 10C. 11D. 以上均有可能5.如图，已知中，，则（）.A. B. C. D.二、填空题6.从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分割成17个三角形，则n＝________.7. 八边形的内角和度数为________ .8.如图，六边形的六个内角都等于120°，若，，则这个六边形的周长等于________ .9.如图，则x的值为________.三、解答题10.我们知道：三角形的内角和为，所以在求四边形的内角和时，我们可以将四边形分割成两个三角形，这样其内角和就是，同理五边形的内角和是________度；那么n边形的内角和是________度；如果有一个n边形的内角和是，那么n的值是________．11.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少．12.已知两个多边形的所有内角的和为1800°，且两个多边形的边数之比为2：5，求这两个多边形的边数.答案解析部分一、单选题1.【答案】B解：，则这个多边形的边数为10，故答案为：B．2.【答案】C解：根据题意，五边形的内角和为：，∵，∵，∴；故答案为：C.3.【答案】D解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：故答案为：D．4.【答案】D解：如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后，多边形的边数和原多边形边数相同为n，，n=10，如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠BCF后，多边形的边数比原多边形边数少1为n-1，，n=11，如图将一个多边形纸片剪去一个内角∠GCF后，多边形的边数比原多边形边数多1为n+1，，n=9，原多边形的边数为9,10,11．故答案为：D．5.【答案】B解：∵∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=70°∴∠B+∠C=110°，∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，∴∠1+∠2=250°.故答案为：B.二、填空题6.【答案】19解：∵一个多边形从一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把多边形分成(n-2)个三角形，∴n-2=17，∴.故答案为：19.7.【答案】1080解：八边形的内角和为：.故答案为：1080.8.【答案】34解：如图，分别作AB、CD、EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G、H、P，∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，∴GC=BC=6cm，DH=DE=4cm，PF=PA=FA，∴GH=6+6+4=16cm，∴FA=PA=PG-AB-BG=16-6-6=4cm，EF=PH-PF-EH=16-4-4=8cm，∴六边形的周长为6+6+6+4+8+4=34cm.故答案为：34.9.【答案】75解：四边形的内角和为（4-2）180° =360°，故，解得：，故答案为：75.三、解答题10.【答案】540；（n-2）×180；11解：五边形可以分成三个三角形，内角和是：180°×3=540°，一个n边形可分成n-2个三角形，内角和是：（n-2）×180°；根据n边形的内角和是可得，，解得n=11 ，故答案为：540，（n-2）×180，11．11.【答案】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n−2）·180＝360×3＋180，解得：n＝9．则这个多边形的边数是9．12.【答案】解：设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x，根据题意可得（2x﹣2）·180°+（5x﹣2）·180°=1800°，解得x=2，故这两个多边形的边数分别是4和10.。
华师大新版七年级下学期《9.2 多边形的内角和与外角和》同步练习卷一．选择题（共32小题）1．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（）A．6B．8C．9D．122．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α﹣5的值是（）A．35°B．40°C．50°D．不存在3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（）A．∠A+∠D﹣45°B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D）D．∠A+∠D4．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（）A．180°B．270°C．360°D．450°5．一个多边形的内角和等于360°，它是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形6．如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的3倍，那么这个多边形是（）A．六边形B．八边形C．正六边形D．正八边形7．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A．460°B．540°C．900°D．1260°8．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）边形．A．三B．四C．五D．六10．四边形的四个内角可以都是（）A．锐角B．直角C．钝角D．以上答案都不对11．如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2等于（）A．230°B．240°C．250°D．260°12．下列图形中有稳定性的是（）A．平行四边形B．直角三角形C．长方形D．正方形13．将四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和（）A．180°B．360°C．540°D．180°或360°或540°14．下列哪个答案可能是多边形的内角和（）A．560°B．1040°C．1080°D．2000°15．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．816．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°17．经过多边形一个顶点共有5条对角线，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．818．若一个多边形的内角和与外角和总共是900°，则此多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形19．在一个四边形的所有内角中，锐角的个数最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个20．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为（）A．1620°B．1800°C．1980°D．2160°21．如图，将四边形ABCD去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF，则∠1与∠2的和为（）A．60°B．108°C．120°D．240°22．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A．600°B．900°C．1080°D．720°23．如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是多少（）A．30°B．15°C．18°D．20°24．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．180°B．360°C．540°D．720°25．如果一个多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的边数是（）A．18B．12C．11D．626．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形是（）A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形27．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成4个三角形，则这个多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．628．一个多边形的内角和比外角和的三倍少180°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形29．若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（）A．6B．5C．4D．330．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α31．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）A．360°B．480°C．540°D．720°32．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是（）A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形二．填空题（共8小题）33．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了米？这个多边形的内角和是度？34．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是．35．在图中，x的值为．36．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=．37．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是．38．如图，是某个正多边形的一部分，则这个正多边形是边形．39．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为．40．正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正边形．三．解答题（共3小题）41．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？42．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC 边上，且∠1=∠2．（1）求证：EF∥BD；（2）若DB平分∠ABC，∠A=130°，∠C=70°，求∠CFE的度数．43．解答题：（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．（2）如图②③，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）②如图③，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P=．（用α，β的代数式表示）（作图2分，写出结果）华师大新版七年级下学期《9.2 多边形的内角和与外角和》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（）A．6B．8C．9D．12【分析】任何一个多边形的外角都等于360°，用360除以每一个外角的度数就是这个多边形的边数．【解答】解：360÷30=12（条）故选：D．【点评】本题考查了多边形的外角和，关键是根据任何一个多边形的外角都等于360°解答．2．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α﹣5的值是（）A．35°B．40°C．50°D．不存在【分析】根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于360°，除以边数即可求出α的值．【解答】解：设边数为n，根据题意，n=108÷12=9，∴α=360°÷9=40°．所以α﹣5=35°，故选：A．【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于360°，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（）A．∠A+∠D﹣45°B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D）D．∠A+∠D【分析】根据四边形的内角和和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵四边形的内角和=360°，∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，∴2∠EBC=∠ABC，2∠ECB=∠BCD，∴∠EBC+∠ECB=，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣=，故选：D．【点评】本题考查角平分线的定义及四边形的内角和定理，解答的关键是根据四边形的内角和和角平分线的定义解答．4．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（）A．180°B．270°C．360°D．450°【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B=180°，∠E+∠EDF=180°，∠CDF+∠C=180°，继而证得结论．【解答】解：过点D作DF∥AE，交AB于点F，∵AE∥BC，∴AE∥DF∥BC，∴∠A+∠B=180°，∠E+∠EDF=180°，∠CDF+∠C=180°，∴∠C+∠CDE+∠E=360°，故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．5．一个多边形的内角和等于360°，它是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：由题意可得：（n﹣2）•180°=360°，解得：n=4．则它是四边形，故选：A．【点评】此题考查多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．6．如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的3倍，那么这个多边形是（）A．六边形B．八边形C．正六边形D．正八边形【分析】设出外角的度数，利用外角与相邻内角和为180°求得外角度数，360°÷这个外角度数的结果就是所求的多边形的边数．【解答】解：设正多边形的每个外角为x度，则每个内角为3x度，∴x+3x=180，解得x=45．∴多边形的边数为360°÷45°=8．故选：B．【点评】考查了多边形内角与外角，用到的知识点为：多边形一个顶点处的内角与外角的和为180°；正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数．7．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A．460°B．540°C．900°D．1260°【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式得出方程，求出n，再判断即可．【解答】解：设多边形的边数为n，A、（n﹣2）×180°=460°，解得：n=，多边形的边数不能为分数，故本选项符合题意；B、（n﹣2）×180°=540°，解得：n=5，多边形的边数为5，故本选项不符合题意；C、（n﹣2）×180°=900°，解得：n=7，多边形的边数为7，故本选项不符合题意；D、（n﹣2）×180°=1260°，解得：n=10，多边形的边数为10，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了多边形的外角和内角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键，注意：n边形的内角和等于（n﹣2）×180°．8．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【解答】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选：C．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）边形．A．三B．四C．五D．六【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°=360°，解得：n=4．故选：B．【点评】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．10．四边形的四个内角可以都是（）A．锐角B．直角C．钝角D．以上答案都不对【分析】根据四边形的内角和公式作答．【解答】解：四边形的四个内角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角．因为四边形的内角和为360°，如果四个内角都是锐角或都是钝角，则内角和小于360°或大于360°，与四边形的内角和为360°矛盾．所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角．若四个内角都是直角，则四个内角的和等于360°，与内角和定理相符，所以四个内角可以都是直角．故选：B．【点评】本题主要考查了四边形的内角和定理，熟记四边形的内角和定理是解题的关键．11．如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2等于（）A．230°B．240°C．250°D．260°【分析】根据三角形的外角性质和三角形内角和定理得出∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，再相加即可．【解答】解：∵∠1=∠A+∠ACB，∠2=∠A+∠ABC，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=180°+50°=230°，故选：A．【点评】本题考查了多边形的外角和内角，能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．12．下列图形中有稳定性的是（）A．平行四边形B．直角三角形C．长方形D．正方形【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：平行四边形、长方形、正方形、直角三角形中具有稳定性的是直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．13．将四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和（）A．180°B．360°C．540°D．180°或360°或540°【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．【解答】解：∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，∴内角和可能减少180°，可能不变，可能增加180°，即新的多边形的内角和为180°或360°或540°．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．14．下列哪个答案可能是多边形的内角和（）A．560°B．1040°C．1080°D．2000°【分析】根据多边形的内角和为（n﹣2）×180°来确定解决本题的方法，即判断哪个度数可能是多边形的内角和，就看它是否能被180°整除，从而根据这一方法解决问题．【解答】解：判断哪个度数可能是多边形的内角和，我们主要看它是否能被180°整除．只有1080°能被180°整除．故选：C．【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，正确把握多边形内角和定理是解题关键．15．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n，∴n﹣3=4，解得n=7．故选：C．【点评】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．16．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为210°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=510°，∵五边形OAGFE内角和=（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°﹣510°=30°，故选：A．【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．17．经过多边形一个顶点共有5条对角线，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n，∴n﹣3=5，解得：n=8．故选：D．【点评】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．18．若一个多边形的内角和与外角和总共是900°，则此多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【分析】本题需先根据已知条件，再根据多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900°﹣360°=540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2=3+2=5．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可．19．在一个四边形的所有内角中，锐角的个数最多有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案．【解答】解：因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，多边形的内角与相邻的外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角时，内角中就最多有3个锐角．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角．由于内角和不是定值，不容易考虑，而外角和是360度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑．20．过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为（）A．1620°B．1800°C．1980°D．2160°【分析】从多边形一个顶点可作9条对角线，则这个多边形的边数是12，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：∵过多边形的一个顶点共有9条对角线，故该多边形边数为12，∴（12﹣2）•180°=1800°，∴这个多边形的内角和为1800°．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．21．如图，将四边形ABCD去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF，则∠1与∠2的和为（）A．60°B．108°C．120°D．240°【分析】根据三角形内角和定理求出∠AEF+∠AFE，根据邻补角的性质计算即可．【解答】解：在△AEF中，∠AEF+∠AFE=180°﹣∠A=120°，∴∠1+∠2=360°﹣120°=240°，故选：D．【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．22．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A．600°B．900°C．1080°D．720°【分析】利用多边形的内角和公式即可作出判断．【解答】解：∵多边形内角和公式为（n﹣2）×180，∴多边形内角和一定是180的倍数．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式，在解题时要记住多边形内角和公式，并加以应用即可解决问题．23．如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么∠1的度数是多少（）A．30°B．15°C．18°D．20°【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．【解答】解：∵正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°=108°，正方形的内角是90°，∴∠1=108°﹣90°=18°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和定理、正五边形和正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．24．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据三角形外角性质得出∠ENM=∠A+∠C，∠DMN=∠B+∠F，根据四边形的内角和定理得出∠ENM+∠DMN+∠D+∠E=360°，代入求出即可．【解答】解：设AE和CF交于N，BD和CF交于M，∵∠ENM=∠A+∠C，∠DMN=∠B+∠F，又∵∠ENM+∠DMN+∠D+∠E=360°，∴∠A+∠C+∠B+∠F+∠D+∠E=360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和定理和三角形外角性质，能根据定理得出∠ENM=∠A+∠C、∠DMN=∠B+∠F、∠ENM+∠DMN+∠D+∠E=360°是解此题的关键．25．如果一个多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的边数是（）A．18B．12C．11D．6【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：多边形的边数是：360°÷30°=12．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．26．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形是（）A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=720°，解得：n=6．故这个正多边形是六边形．故选：B．【点评】考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．27．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成4个三角形，则这个多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】n边形中过一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，把这个多边形分成（n ﹣2）个三角形，根据这一点即可解答．【解答】解：这个多边形的边数是4+2=6．故选：D．【点评】本题考查多边形的对角线规律，解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，本题属于基础题型．28．一个多边形的内角和比外角和的三倍少180°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，解得n=7．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．29．若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=3，即该正多边形的边数是3．故选：D．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．30．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，关键是先求出∠ABC+∠BCD的度数．31．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）A．360°B．480°C．540°D．720°【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F=∠FAD+∠ADE，由四边形内角和是360°，即可求∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=360°．【解答】解：如图，连接AD．∵∠1=∠E+∠F，∠1=∠FAD+∠ADE，∴∠E+∠F=∠FAD+∠ADE，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠FAD+∠ADE=∠BAD+∠B+∠C+∠ADC．又∵∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=360°．故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．32．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是（）A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形【分析】根据从每一个顶点处可以作的对角线的条数为（n﹣3）计算即可得解．【解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，∴多边形的边数为6+3=9，∴这个多边形是九边形．故选：A．【点评】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点处可以作的对角线的条数为（n﹣3）是解题的关键．二．填空题（共8小题）33．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了120米？这个多边形的内角和是3960度？【分析】根据多边形的外角和为360°，内角和为（n﹣2）×180°计算．【解答】解：设他所走的路径构成了正n多边形，则n==24，5×24=120（m），多边形的内角和=（24﹣2）×180°=3960°，故答案为：120；3960．【点评】本题考查的是多边形的外角和和内角和的求法，掌握多边形的外角和为360°，内角和为（n﹣2）×180°是解题的关键．34．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是五．【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．【解答】解：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°﹣108°=72°，∴边数=360°÷72°=5，∴这个正多边形是正五边形．故答案为：五．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．35．在图中，x的值为135．【分析】直接利用邻补角的性质得出∠1，进而利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：如图所示：可得∠1=180°﹣103°=77°，故x=360﹣65﹣83﹣77=135．故答案为：135．【点评】此题主要考查了四边形内角和定理，正确得出∠1的度数是解题关键．36．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．【分析】根据三角形的外角性质可得∠7=∠1+∠2，∠8=∠5+∠6，再利用四边形中内角和为360°即可求得．【解答】解：∵∠7=∠1+∠2，∠8=∠5+∠6，∠3+∠4+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．故答案为：360°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了三角形的外角性质，多边形内角和定理求解．37．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是10．【分析】先根据周角的定义求出正多边形③的每一个内角都是144°，由多边形的每一个内角都是144°先求得它的每一个外角是36°，然后根据正多边形的每个内角的度数×边数=360°求解即可．【解答】解：360°﹣108°﹣108°=144°，180°﹣144°=36°，360°÷36°=10．【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确正多边形的每个内角的度数×边数=360°是解题的关键．38．如图，是某个正多边形的一部分，则这个正多边形是十边形．【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°=10．故这个正多边形是正十边形．故答案为：十．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．39．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为40°．【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，∵五边形OAGFE内角和=（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°﹣500°=40°，【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．40．正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正十边形．【分析】根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案．【解答】解：设正多边形是n边形，由题意得（n﹣2）×180°=144°n．解得n=10，故答案为：十．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式．三．解答题（共3小题）41．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．42．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC 边上，且∠1=∠2．（1）求证：EF∥BD；（2）若DB平分∠ABC，∠A=130°，∠C=70°，求∠CFE的度数．【分析】（1）由AD∥BC知∠1=∠3，结合∠1=∠2得∠3=∠2，据此即可得证；（2）由AD∥BC、∠A=130°知∠ABC=50°，再根据平分线定义及BD∥EF知∠3=∠2=25°，由三角形的内角和定理可得答案．【解答】解：（1）如图，∵AD∥BC（已知），∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠1=∠2，∴∠3=∠2（等量代换）．∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A=130°（已知），∴∠ABC=50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3=∠ABC=25°．∴∠2=∠3=25°．∵在△CFE中，∠CFE+∠2+∠C=180°（三角形内角和定理），∠C=70°，∴∠CFE=85°．【点评】本题主要考查多边形的内角与外角、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及角平分线的性质．43．解答题：（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．（2）如图②③，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）②如图③，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P=90°﹣α﹣β．（用α，β的代数式表示）（作图2分，写出结果）【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，再根据角平分线的性质即可得解；（2）①方法一：根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠P+∠PBC=∠PCE，然后整理即可得解；方法二：添加辅助线，利用（1）中结论解决问题即可；②同①的思路求解即可；【解答】解：（1）如图1中，结论：2∠P=∠A．。
华师大版数学七年级下册9.2《多边形的内角和与外角和》课时练习一、选择题1.下列图形为正多边形的是( )A． B． C． D．2.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( )A.都是钝角;B.都是锐角C.是一个锐角、一个钝角D.是一个锐角、一个直角3.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( )A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形4.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形5.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°6.五边形的内角和为（）A．720°B．540°C．360°D．180°7.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或98.如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30°B．36°C．38°D．45°9.一个多边形截去一个角（不过顶点）后，形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（）A.13B.14C.15D.13或1510.记n边形(n＞3)的一个外角的度数为p，与该外角不相邻的(n﹣1)个内角的度数的和为q，则p与q的关系是（）A.p=qB.p=q-(n-1)•180°C.p=q-(n-2)•180°D.p=q-(n-3)•180°二、填空题11.若一个多边形的每个外角都是30°，则它是边形，它共有条对角线，内角和为。
12.若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是．13.从多边形的一个顶点出发，连接这个点和其他顶点，把多边形分割成16个三角形，则这个多边形的边数是________.14.有一个正五边形和一个正方形边长相等,如图放置,则∠1= ．三、解答题15.若两个多边形的边数之比为1：2，两个多边形的内角和之和为1440°，求这两个多边形的边数.16.小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2260°．①求这个多加的外角的度数．②求这个多边形对角线的总条数．参考答案1.答案为：D．2.C3.A4.C5.A6.B7.C8.B9.D10.D．11.答案为：十二 54,1800°12.答案为9．13.答案为：18；14.答案为：18°15.略16.解：①解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则（n﹣2）•180°=2260°﹣α，∵2260°=12×180°+100°，内角和应是180°的倍数，∴同学多加的一个外角为100°，∴这是12+2=14边形的内角和．②多边形的对角线的条数是=77（条）．即共有77条对角线．。
