河南省信阳市2014—2015学年度高中毕业班第二次调研检测——数学文

信阳市2014——2015学年度高中毕业班第二次调研检测文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

1．设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ⊆，则k 的取值范围是A ．2k ≤B ．1k ≥-C ．1k >-D ．2k ≥ 2．在复平面内，复数201532i iZ +-=对应的点位于 A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 3．设等差数列{an }的前n 项和为S n ，若2a 8=6+a 11，则S 9的值等于 A ．36 B ．45 C ．54 D ．274．已知133()5a －＝,143()5b －＝，343()2c －＝，则a 、b 、c 的大小关系是A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a5．在“信阳市中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分 和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 A ．5和1.6 B ．85和1.6 C ．85和0.4 D ．5和0.4 6．执行如图所示的程序框图输出的结果是A ．5B ．6C ．7D ．87．已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个 单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为A ．()sin(1)2g x x π=+ B ．()sin(1)8g x x π=+ C ．()sin(1)2g x x π=+ D ．()sin(1)8g x x π=+8. 已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足f （x ＋1）＝f （x －1），且当x ∈[－1，1]时，f （x ）＝x 2，则y ＝f （x ）与5||y log x =的图象的交点个数为 A ．3 B ．4C ．5D ．69. 下列命题中，真命题是A ．对于任意x ∈R ，22x x >； B ．若“p 且q ”为假命题，则p ,q 均为假命题；C ．“平面向量b α,的夹角是钝角”的充分不必要条件是“0<⋅b α”； D ．存在m ∈R ，使243()(1)m m f x m x -+=-是幂函数，且在()0,+∞上是递减的.10．函数sin 222x xxy -=+的图像大致为A B C D11. 已知双曲线2221(0)9x y b b-=>，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ，双曲线的右顶点为E ,0150CED ∠=，则其双曲线的离心率为AB ．32C D 12．已知函数f （x ）的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，()f x 的导函数y =()f x '的图象如图所示．A ．[)2,1B ．[]2,1C ．()3,2D ．[)3,1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上。

13. 已知向量α与b 的夹角为120°，且4==b α，那么)(2b αb +⋅的值为________.14. 已知实数x,y 满足约束条件104312020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则211x y z x -+=+的最大值为 。

15．若函数f （x ）=sin （x +α）－2cos （x ﹣α）是奇函数，则sinα•cosα= ．16. 设M （0x ，0y ）为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本题满分12分） 在△ABC 中，，BC=1，．（I ）求sinA 的值；（II ）求的值． 18．（本题满分12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+．（I ）求数列{}{}n n a b ,的通项公式； （II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T19.（本题满分12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统 计，得到相关的数据如下表：（I （II ）若全小区节能意识强的人共有360人，则估计这360人中，年龄大于50岁的有多少人？（Ⅲ）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。

20．（本题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为1:3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线)2,(≠∈=t t t x R 上纵坐标不为0的任意点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q, 若OT 平分线段P Q （其中O 为坐标原点），求t 的值；21．（本题满分12分）已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为常数，且0>a ． （I ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线121+=x y 垂直，求a 的值；（II ）若函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为21，求a 的值．请考生在22题，23题，24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作 圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，∠BAC 的平分线 分别交BC 和圆O 为点D ，E ，若PA ＝2PB ＝10． （Ⅰ）求证：AC ＝2AB ； （Ⅱ）求AD ·DE 的值． 23．（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲已知直线l ：1cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝－＋＝（t 为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ－6ρcosθ＋5＝0． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点的直角坐标为（x ，y ），求x ＋y 的取值范围． 24．（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知正实数a ，b满足：22a b ＋＝． （Ⅰ）求1a ＋1b的最小值m ； （Ⅱ）设函数f （x ）＝｜x －t ｜＋｜x ＋1t｜（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m ，是否存在实数x ，使f （x ）＝2m成立，说明理由．高三数学文科参考答案一.DACDB ABCDA DA二.13.0 14. 415. 16. (2，+∞)中，由，得又由正弦定理：得：所以，=．n ∴a n =2n +1……………………3分 当1n =时，114b S ==； 当2n ≥时，b n =S n －S n －1=n 2－(n －1)2＋2 对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩……6分（II ）当1n =时，1121120T b b == 当2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++………………8分 ∴1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式综上，)32(2016+-=n n T n ……………………12分19. （本题满分12分）解（I ）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，549与4636相差较大， 所以节能意识强弱与年龄有关……3分（II ）年龄大于50岁的有2883604536=⨯（人）……6分（列式2分，结果1分） (Ⅲ)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的有95145⨯=人…………7分 年龄大于50岁的有4人………………8分记这5人分别为1234,,,,A B B B B ,从这5人中任取2人,所有可能情况有10种,列举如下{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1234121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B …10分设A 表示事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20岁至50岁”，则A 中的基本事件有{}{}{}{}1234,,,,,,,,A B A B A B A B 共4种…………………11分故所求概率为42()105P A ==……………………12分 20. 解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . ………………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线P Q 的方程为x ＝my +2，将直线P Q 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3.设M 为P Q 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm . …………7分 因为Q P TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为.当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t )2(--=x m y ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=.将M 点的坐标)32,36(22+-+m mm 代入上式得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 解得3=t . ………………………………………………（12分）21.解：2221()1'()x a x a x af x x x x x x----=+=-=(0x >) …………………… 2分（I ）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线121+=x y 垂直， 所以'(1)-2f =，即12, 3.a a -=-=解得 ……………………………………4分（II ）当01a <≤时，'()0f x >在（1，2）上恒成立，这时()f x 在[1，2]上为增函数,m i n ()(1)1f x f a ∴==-．…………………………………………6分 当12a <<时，由'()0f x =得，(1,2)x a =∈，当(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1，a ]上为减函数，当(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ，2]上为增函数，min ()()ln f x f a a ∴==． ………………………………………………………8分当2a ≥时，'()0f x <在（1，2）上恒成立，这时()f x 在[1，2]上为减函数，m i n ()(2)l n 212af x f ∴==+-．…………………………………………………10分于是，①当01a <≤时，min ()1f x a =-0≤；……………………11分 ②当12a <<时，min ()ln f x a =，令21ln =a ，得e a =；③当a ≤2时，min()ln 212a f x =+-212ln >≥．综上所述，e a =．……12分22.解：（Ⅰ）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角∴ABP ∆∽CAP ∆ …………………2分∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= ………4分 （II ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分 又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分23.解：（Ⅰ）(法一)曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x即4)3(22=+-y x 曲线C 为圆心为(3,0)，半径为2的圆.直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x ………3分 ∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α ………5分 ∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 ………6分(法二)将05cos 62=+-θρρ化成直角坐标方程为05622=+-+x y x ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-+ααsin cos 105622t y t x x y x 消去y x ,得012cos 82=+-αt t …………4分 ∵ l 与C 相切 ∴ Δ=64α2cos -48=0 解得cos α=23±∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或…………6分 （II ）设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= ………9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. ………10分24.解：（Ⅰ）∵ 2ab 即 ab ab ≥ ∴ ≤1 …2分又当且仅当a =b 取等号.∴ 2m = ………5分 （II ）()f x 2|1||1|||≥+≥++-=tt t x t x ………9分 ∴ 满足条件的实数x 不存在. ………10分ab 2211≥≥+abba。