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模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。
2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。
答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。
答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。
答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
第 1 页 高数2练习一、选择题1、设c 是一非零向量，λ是一实数，若__D___则a b =（,a b 均为向量）． A .a b λλ= B .a c b c ⨯=⨯ C .a c b c ⋅=⋅ D .a c b c ⋅=⋅且a c b c ⨯=⨯2、若0),(),(0000='='y x f y x f y x ，则),(y x f 在),(00y x 下列结论正确的是 （ B ）A、连续， B 、偏导数存在， C 、有极值， D 、可微.3、交换积分110(,)xdx f x y dy -⎰⎰的秩序等于 ( D )A .1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰ B .1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰C .11(,)dy f x y dx ⎰⎰ D .110(,)ydy f x y dx -⎰⎰4、设L 是从点(0,0)沿折线11--=x y 至点(2,0)的折线段，则积分⎰-Lydx xdy 等于( D )A.0B.-1C.2D.-25、下列命题错误的是 ( D )A . 如果1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则1()n n n u v ∞=+∑必收敛B .如果1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑必发散C .如果1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不一定发散D .如果1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑必都收敛6、下列级数中发散的是 （ D ）A 、132nn ∞=∑B、1(1)nn ∞=-∑ C 、3131n n n ∞=+∑D、1n ∞=∑7、下列级数中条件收敛的是 （ A ）（A ）∑∞=+-11)1cos(n n n π（B ）∑∞=+⋅-131)1(n nn n （C ）∑∞=+121!1n n（D ）∑∞=+-1)1()1(n nn n第 2 页1、若b,a为两非零向量，则0b a =⨯是ba 与同向的（ B ）A.充要条件B.必要条件C.充分条件D.既非充分也非必要条件 2、函数z =0，0）处（ B ）A 、 不连续B 、 偏导数不存在C 、 任一方向的方向导数存在D 、可微 3、交换积分次序后，⎰⎰=x edy y x f dx ln 01),(（ C ）A.⎰⎰yeedx y x f dy ),(10B.⎰⎰ee 0dx )y ,x (f dy C.⎰⎰eeydx y x f dy ),(10 D.⎰⎰eeeydx y x f dy ),(04、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则a 等于（ D ）A 、 -1B 、 0C 、1D 、2 1、设直线L ：22211-+==-z y x 及平面π：01232=+++-z y x ，则直线L于平面π的位置关系是直线L （ B ）A.在平面π上B. 平行于平面πC. 垂直于平面πD. 与平面π斜交 2、设函数yx y x f arctan),(=，则(2,1)y f '=（ B ）A.52 B. 52- C.51 D. 51-3、函数22xy y x z -=在点(1,1)P 使其方向导数取得最大值的单位方向向量是（ C ）A ．j i - B. j i +- C.ji 2222-D. ji 2222+-4、 交换二次积分ln 10(,)ex dx f x y dy⎰⎰的次序为（ C ）A.10(,)ye edy f x y dx ⎰⎰B.00(,)ee dyf x y dx ⎰⎰C.10(,)ye edy f x y dx ⎰⎰D.0(,)yee edy f x y dx⎰⎰5、下列级数中绝对收敛的级数是（ A ）A.1211(1)n n n∞+=-∑ B .111(1)n n n∞+=-∑ C.∑∞=++-11122)1(n nnn D.∑∞=+-11)1(n n二、填空题第 3 页1、过原点且与直线⎩⎨⎧=-+-=+-+0532062z y x z y x 垂直的平面方程为_______730x y z --=______________．2、由方程1=++z e y x 所确定的函数),(y x z 全微分=dz ___zdx dy e+-_______________.3、101lim (1)x x y xy →→-=____1e -___________．5、设L 为椭圆17422=+yx，其周长为a ，则⎰++Lds y x xy )47(22= 28a . 6、设a 为常数若级数，0()n n u a ∞=-∑收敛，则lim n x u →∞=_______a _______________．7、级数11(1)nn n xn∞-=-∑的收敛域为____(1,1]-_________________．1、过点M(1，4，3)且法向量为n=i-j+k 的平面方程______0x y z -+=_____________2、z=2y lnx, 则"xx z =________22y x-______________3、函数z=()xy x +ln 的定义域___{(,)|00}x y x x y >+>且________________________4、设zyx u =，则 ()=1,,1,1du_________dx dy -___________________5、当=K _____1-______时，向量{}{}3,1,,0,1,1-=-=K b a相互垂直6、求()ds y x L⎰+，其中L 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段7、以曲面z=sin(xy)为顶，D ：-1≤x ≤1,-1≤y ≤1为底的曲顶柱体体积的二重积分表达式________sin Dxydxdy ⎰⎰_____________________第 4 页8、若L 是平行于y 轴的有向线段则⎰=Ldx y x p ),(__________0____________11、过点)1,0,1(-且与平面42=-+z y x 平行的平面方程为 230x y z +--= 12、设3222z xz y ++=确定函数),(y x f z =，则10==∂∂y x xz = 13-13、设L 为2x y =上从点)0,0(O 到)1,1(A 之间的曲线段，则=⎰Lxds11215、常数项级数∑∞=++12231n n n 的和=S 12-三、计算题1、已知曲面221z x y =-- 上的点P 处的切平面平行于平面 122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.2(1)2(1)(1)0x y z -+-++=2、设()1yz xy =+ ，求xy z ''.121(1)2(1)(1)[ln(1)]1y y x y y xy y xy xy xy---=++++++3、计算()211Dx dxdy y -+⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与直线2y x =-所围成. 04、验证：在整个平面内，22xy dx x ydy +是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数．222x y5、、已知曲线积分⎰+Ldy x yf dx xy )(2与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，求⎰+)1,1()0,0(2)(dyx yf dx xy 的值. 21()2f x x =6、计算曲线积分()()22sin LI xy dx x y dy =---⎰，其中L是半圆周y =上从(0,0)O 到(1,1)A 的有向弧段. 1sin 264--7、将下列函数展开为x 的幂级数.第 5 页（1） ()(1)xf x x e =+，01,!nn n x x Rn ∞=+=∈∑（2）()12x f x x=-． 11(1)2,||2nnn n xx ∞+==-<∑（3）)23ln()(x x f +=，10(1)233ln 3(),1322nn n n x x n ∞+=-=+-<<+∑8、在曲线x=t,y=32,t z t =上求一点，使该点的切线平行于平面x+2y+z=4。
高等数学2B 期末模拟题2一、选择题 1. 11sin ),(22-+=y x y x f 的定义域为（ ） (A) 22{(,)|1}D x y x y =+= (B) 22{(,)|1}D x y x y =+≠(C) {(,)|0, 0}D x y x y =≠≠ (D) 22{(,)|0}D x y x y =+≠2. 2d L s =⎰（ ），其中L 为圆周：221x y +=.(A) 4π (B) 2π(C) 0(D) 4π- 3. 已知级数1n n u ∞=∑收敛，则lim n n u →∞=（ ） (A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在4. 2d d Dxy x y =⎰⎰（ ），其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. (A) 4π (B) 2π (C) 0(D) 4π-二、判断题1. 设向量(1,2,2),(1,0,1)a b ==-，则a 与b 平行（ ）.2. (,)lim 4x y →=（ ）.3. 级数11(1)n n n ∞=+∑收敛（ ）.三、计算题1. 设y x f )1(+=，求d (1,1)f .2. 设)arctan(uv z =，而y v e u x 3,2==，求z x ∂∂. 四、应用题1. 求过点(2,0,3)-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 平行的直线方程. 2. 求椭球面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程.五、当0,0,0x y z >>>时，已知函数(,,)ln 2ln 3ln f x y z x y z =++在附加条件22260x y z ++-=下存在最大值，求该最大值.六、计算重积分1. 计算二重积分2d d D y x y ⎰⎰，其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. 2. 计算三重积分d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22y x z +=与平面2=z 所围成的闭区域. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 计算第二类曲线积分423(23)d (4)d L xy y x x xy y -++-⎰，其中L 为上半圆周22(2)1x y -+=上从(1,0) 到(2,1)的一段弧.2. 计算第二类曲面积分2d d d d d d x y z y z x z x y ∑+-⎰⎰，其中∑为介于0=z 与1=z 之间 的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧（包含上下底面）. （提示：可利用高斯公式）八、证明级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛. 九、将函数1()f x x=展开成(2)x -的幂级数. 十、设()f x 是周期为π2的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为1, 0 (),1, 0x f x x ππ≤<⎧=⎨≤<⎩－－将()f x 展开成傅里叶级数.高等数学2B 期末模拟题参考答案2一、选择题1. B2. A3. B4. C二、判断题1. 错误2. 正确3. 正确三、计算题1. 解：1(1)y f y x x -∂=+∂，1)1,1(=∂∂x f ，(1)ln(1)y f x x y ∂=++∂，(1,1)2ln 2,f y ∂=∂ 故d (1,1)(1,1)d (1,1)d x y f f x f y =+d (2ln 2)d x y =+2. 解：d d z z u x u x ∂∂=⋅∂∂22121()x v e uv =⋅⋅+ 242619xx ye x y =+ 四、应用题1. 解：平面2470x y z -+-=的法向量为1(1,2,4)n →=-,平面35210x y z +-+=的法向量为2(3,5,2)n →=-,取所求直线的方向向量为12124352i j k s n n →→→=⨯=--)11,14,16(-=,又由所求直线过点(2,0,3)-，故所求直线的方程为23161411x y z -+==-. 2. 解：令222(,,)236F x y z x y z =++-，(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z →==，(1,1,1)|(2,4,6)n →=, 在点(1,1,1)处的切平面方程为2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=.五、解：令222(,,)ln 2ln 3ln (6),F x y z x y z x y z λ=+++++-解方程组22212022032060x y x F x x F y y F z z F x y z λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩，得唯一驻点, 故该点是函数的最值点.最大值为f =.六、计算重积分1. 解：原式2d d D y x y =⎰⎰1002d sin d r r r πθθ=⋅⎰⎰12002sin d d r r πθθ=⎰⎰43=. 2. 解一：（截面法）积分区域222(,)D :{(,,)|}02z x y x y z x y z z ∈+≤Ω=≤≤, 利用先二后一法得，20d d d d d d zD z x y z z z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220d z z z π=⋅⎰24014z π=4π=. 解二：（投影法）利用柱面坐标系，积分区域02,02{(,,)|}2r r z r z θπθ≤≤≤≤Ω=≤≤, 22200d d d d d d r z x y z r r z z πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22012(4)d 2r r z π=⋅-⎰22401(2)4r z π=-4π=. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 解：由423P xy y =-+，234Q x xy =-得， 324P Q x y y x∂∂=-=∂∂，故该积分与路径无关, 取积分路径L 为折线(1,0)(2,0)(2,1)→→，则21423310(23)d (4)d 3d (48)d L xy y x x xy y x y y -++-=+-⎰⎰⎰5=. 2. 解：由2,,P x Q y R z ===-得2P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂， 由高斯公式得，2d d d 2d d d x y z x y z ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式π18=.八、证明：该级数)1ln(1)1(11+-∑∞=-n n n 为交错级数, 由于11)1ln(1||+≥+=n n u n ，而∑∞=+111n n 发散，故∑∞=1n n u 发散, 又由1+>n n u u ，且1lim lim 0ln(1)n n n u n →∞→∞==+， 由莱布尼兹定理可知，原级数收敛，从而条件收敛.九、解：11()2(2)f x x x ==+-122(1)2x =-+ n n n n x )2(2)1(210--=∑∞=)40(<<x n n n n x )2(2)1(01--=∑∞=+)40(<<x十、解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点(0,1,2,)x k k π==±±处不连续，在其他点处均连续，从而()f x 的傅里叶级数收敛，且当x k π=时级数收敛于1102-+=； 当x k π≠时,级数收敛于()f x . 001()cos d 11(1)cos d cos d 0(0,1,2,)n a f x nx x nx x nx x n πππππππ--==-+==⎰⎰⎰[]00001()sin d 11(1)sin d sin d 1cos 1cos 11cos cos 121(1)n n b f x nx x nx x nx x nx nx n n n n n n πππππππππππππππ---==-+⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--+⎡⎤=--⎣⎦⎰⎰⎰ 4,1,3,5,0,2,4,6,n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 于是得)(x f 的傅里叶级数展开式为411()[sin sin3sin(21)]321f x x x k x k π=+++-+- k 141sin(21)(,0,,2,)21k x x x k πππ∞==--∞<<∞≠±±-∑。
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高数二试题模拟及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C解析：根据奇函数的定义，f(-x) = -f(x)。
选项A是偶函数，选项B和D不满足奇函数的性质，只有选项C满足。
2. 若函数f(x) = ln(x^2 - 1)的定义域为：A. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)B. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)C. (-∞, -1) ∪ [-1, 1) ∪ (1, +∞)D. (-∞, -1] ∪ (-1, 1) ∪ [1, +∞)答案：B解析：对数函数的定义域要求真数大于0，即x^2 - 1 > 0，解得x < -1或x > 1。
...（此处省略其他选择题，共10题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率为3，则该切线的方程为______。
答案：y = 3x - 2解析：首先求出y = x^3的导数y' = 3x^2，然后代入x = 1得到切线斜率k = 3。
利用点斜式方程y - 1 = k(x - 1)，得到切线方程。
2. 设数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则该数列的前n项和Sn = ______。
答案：n^2解析：数列{an}是等差数列，首项a1 = 1，公差d = 2。
利用等差数列前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2，代入得Sn = n(1 + (2n - 1))/2 = n^2。
...（此处省略其他填空题，共5题）三、解答题（共50分）1. （10分）计算定积分∫[0,1] x^2 dx。
答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫[0,1] x^2 dx = (1/3)x^3|[0,1] = (1/3)(1)^3 - (1/3)(0)^3 = 1/3。
高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。
A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。
∑(1/n^2)，n从1到∞。
A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。
A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。
A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。
答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。
答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。
答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。
答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。
答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。
高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:1. )1ln(412222-++--=y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.A {}41),(22<+<y x y x B {}41),(22<+≤y x y x C {}41),(22≤+<y x y x D {}41),(22≤+≤y x y x .2. 设yx z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y1ln -+ B dy x dx yx y y +-1C xdy x xdx yxy y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.3. 由椭圆1162522=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 5202y dx π⎰B 5204y dx π⎰ C 4202x dy π⎰ D 4204x dy π⎰.4. 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c，则.)(c b a ⋅⨯为--------------------（A ）.A 5-B 1-C 1D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，41321:-==-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(22y x f +为D 上的连续函数，则σd y x f D)(22⎰⎰+可化为----------------------------------------------------（C ）.Aσd y x f D )(122⎰⎰+ B σd y x f D )(2122⎰⎰+C σd y x fD )(4122⎰⎰+ D σd y x f D )(8122⎰⎰+.7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.A xe cx y += B x ec y xc +=+21C x c e c y x21+= D )(21xe x c c y +=.8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A∑∞=-1)1(n nB∑∞=+11001n n C ∑∞=+1100n n nD∑∞=1100100n n . 9. 若⎰⎰=Dd 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.A 322 B 2 C 342 D 232. 10. 若幂级数∑∞=-1)1(n nnx a在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf xz=∂∂=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(22y x z +=，求⎰⎰Dzdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .解：⎰⎰Dzdxdy =)4cos (cos 22πππ-3. 设曲线xe y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.解D 的面积=2ln 2)1(212-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dxdyx -+=解：x xe y xdx dy -=-1x xe x Q xx P -=-=)(,1)(⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dxx P e dx e xe dx ex Q ----=⋅=⎰⎰⎰ln )()(故通解为)(C ex y x+-=-三、计算题（本题9'）设⎰⎰=202sin ππy ydx xxdy I ，（1）改变积分次序；（2）计算I 的值.解：⎰⎰=202sin ππyydx xxdy I =πππππ21)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx xx 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，则切平面方程为：+-)(2100x x x +-)(2100y y y 0)(2100=-z z z令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A)224a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)23 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面 9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）.（A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。
第二学期期末考试模拟试卷2课程名称：高等数学 闭卷 A 卷 120分钟一、填空题(每小题3分，共15分)1． 设u=x 4+y 4-4x 2y 2 ，则u x x =12x 2-8y 2 2． 设u=xy+y/x ，则u y = x+1/x3． 函数z=x 2+4xy-y 2+6x-8y+12的驻点是 (1, -2)4． 设幂级数∑∞=0n nn xa的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n nx a的收敛半径是 R=25． 设Σ是柱面x 2+y 2=4介于1≤z ≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz 轴的一侧，则⎰⎰∑++dxdyz y x 222= 0二、单选(每小题2分，共8分)1、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。
答（A ） 2、微分方程y x y y ''=''+'满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是 (A) y=(x-1)2 (B) y=(x+1/2)2-21/4 (C) y=1/2(x-1)2+1/2 (D) y=(x-1/2)2-5/4答（C ）3、若方程0=+'+''qy y p y 的系数p+qx=0，则该方程有特解 (A) y=x (B) y=e x (C) y=e – x (D) y=sin x 答（A ）4、微分方程x y y sin ='+'''的一个特解应具有形式 答（D ） (A) Asin x (B) Acos x (C) Asin x +Bcos x (D) x(Asinx+Bcosx) 三、解答下列各题1． (本小题6分)利用二重积分计算由曲面z=x 2+y 2，y=1，z=0，y=x 2所围成的曲顶柱体的体积。
2023年全国各类成人高等学校招生考试《高等数学（二）》模拟卷二1. 【选择题】曲线y=x3-3x上切线平行于x轴的点是A. (0，0)B. (1，2)C. (-1，2)D. (-1，-2)（江南博哥）正确答案：C参考解析：【考情点拨】本题考查了导数应用的知识点．【应试指导】由y=x3-3x得y'=3x2-3，令y'=0，得x=±1．经计算x=-1时，y=2；x=1时，y=-2，2. 【选择题】A. 0B. 1C. 2D. 3正确答案：C参考解析：【考情点拨】本题考查了极限的知识点．【应试指导】3. 【选择题】设函数y=2+sinx，则y'=A. cosxB. -cosxC. 2+cosxD. 2-cosx正确答案：A参考解析：【考情点拨】本题考查了导数的知识点．【应试指导】因为y=2+sinx，所以y'=cosx．4. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：A参考解析：【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点．【应试指导】5. 【选择题】函数f(x)=x4-24x2+6x在定义域内的凸区间是A. (-∞，0)B. (-2，2)C. (0，+∞)D. (-∞，+∞)正确答案：B参考解析：【考情点拨】本题考查了函数的凸区间的知识点．【应试指导】因为f(x)=x4-24x2+6x，则，f'(x)=4x3-48x+6，f''(x)=12x2-48=12(x2-4)，令，f''(x)<0，有x2-4<0，于是-2<x<2，即凸区间为(-2，2)．6. 【选择题】曲线y=(x-1)3-1的拐点是()A. (2，0)B. (1，-1)C. (0，-2)D. 不存在正确答案：B参考解析：【考情点拨】本题考查了曲线的拐点的知识点．【应试指导】7. 【选择题】A. xy·(3x2+y2)xy-1B. (3x2+y2)xy·ln(3x2+y2)C. y·(3x2+y2)xy[(3x2+y2)ln(3x2+y2)+6x2]D. y·(3x2+y2)xy-1[(3x2+y2)ln(3x2+y2)+6x2]正确答案：D参考解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的一阶偏导数的知识点．【应试指导】8. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：D参考解析：【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点．【应试指导】9. 【选择题】函数f(x)=(x2-1)3+1，在x=1处()A. 有极大值1B. 有极小值1C. 有极小值0D. 无极值正确答案：D参考解析：【考情点拨】本题考查了函数极值的知识点．【应试指导】10. 【选择题】事件A，B满足AB=A，则A与B的关系为A. A=BB. A BC. A BD.正确答案：B参考解析：【考情点拨】本题考查了事件的关系的知识点．【应试指导】AB=A，则A AB(AB A，按积的定义是当然的)，即当ω∈A时，必有ω∈AB，因而ω∈B，故A B．11. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】112. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】13. 【填空题】设y=x2cosx+2x+e，则y'=______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】2xcosx-x2sinx+2xln214. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】15. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】116. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】17. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】18. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】x-arctanx+C19. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】y3dx+3xy2dy20. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】21. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：23. 【解答题】设y=lncosx，求y''(0)请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：24. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：25. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：26. 【解答题】确定函数y=2x4-12x2的单调区间、极值及函数曲线的凸凹性区间和拐点．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：27. 【解答题】求曲线y=x2与该曲线在x=a(a>0)处的切线与x轴所围的平面图形的面积．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：28. 【解答题】求由方程2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4z+4=0确定的隐函数的全微分．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：。
高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（ ）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ）（A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
一、选择题（每小题3分共15分）1. 设a>0, 则dx a x ⎰= ( ).(A) x 2a +c ； (B) a a xln +c ； (C) a ln a x +c ； (D) a ln a x 2+c.2. F(x)= dt te 1x t⎰--, 则 F'(x)= ( ).(A) xe -x ； (B) -xe -x ； (C) -xe x ； (D) xe -x -1.3. ⎰10xdx ( ) ⎰102dx x .(A) >； (B) =； (C) <； (D) ≥.4. 级数∑∞=+-1n n1n n )1( () .(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 条件发散； (D) 绝对发散.5. 二元函数y ln 1x z +-=的定义域为 ( ).(A) x>1； (B) x ≥1；(C) x ≥1,y>0； (D) x>1, y ≥0.1 (B)；2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分）1. 若F(x)是f(x)的原函数, 则dx )x (f ⎰=F(x). ( ).2. 若f(x)在区间[a,b]连续, 则有ξ∈[a,b],使得⎰badx )x (f =f(ξ)(b-a). ( ).3. 如果正项级数∑∞=0n n a 收敛, 那么∑∞=1n nna 也收敛. ( ).4. 级数∑∞=13sin 2n n n π收敛. ( ).5. 如果z=f(x,y)在区域D 有二阶导数, 那么y x )y ,x (f ∂∂∂=x y )y ,x (f ∂∂∂在D 成立. (). 6.如果z=f(x,y)在区域D 可导P 0∈D, 在P 0处x f ∂∂=y f∂∂=0, 那么z 在P 0达到极大值.( ).7. ⎰π-02xdx sin <⎰π20xdx sin . ( ). 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√).三、填空题（每小题3分共18分）1.dx )x 31(2⎰-= x-x 3+c . 2. dx x x ⎰--1123)3(= -2 .3. 0x lim →x tdtcos x02⎰ = 1 .4. 级数 1+⋅⋅⋅++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)= 2)x 1(1-.5. 级数∑∞=-1n n)n 2)(1n 2(x 的收敛半径 = 1 . 6. 设22y x z =, 则y z ∂∂= y x 22.四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题）1. 求级数 ⋅⋅⋅++++7538642x x x x 的和函数.解： ∵ (x)...x x 1n 242+++++=2x 11- ∴ S(x)= ...)'x ...x x 1(n 242+++++='x 112⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 22)x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数⎩⎨⎧>≤+=1x x 21x 1x )x (f ，求⎰.dx )x (f 解：∵ 12c x x 21dx )1x (++=+⎰,x ≤1; 22c x xdx 2+=⎰, x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续. ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰1x c 21x 1x c x x 21dx )x (f 22, 其中c 为某常数. 3. 求幂级数1n 1n nx 2n 1-∞=∑的收敛半径，并求和函数解：收敛半径R=n )1n (n 2n 2)1n (lim +∞→+=2; 显然S(0)=1/2. 当x ≠0时 (xS(x))'=1n 1n n x 21-∞=∑ =1n 1n )2x (21-∞=∑ =2/x 1121- xS(x)=dx 2/x 1121x0⎰-= -)2x 1ln(-, 故 S(x)=)2x 1ln(x 1--. 总之 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∈≠--=0x 21)2,2[x 0x )2x 1ln(x 1)x (S 且4. 把函数x cos )x (f 2=展开为x 的幂级数，并确定收敛域。
高数II 期末模拟卷课程名称：高等数学AII课程类别：必修考试方式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间120分钟。
3、答案写在答题卷上。
一、单项选择题（每小题3分，共21分）1.下列方程中是线性微分方程的是()A.2(')120y xy +=B.'''3sin xy y xy y -+=C.32'4y y x -= D.222'''x y y y e x x-+=2.直线134x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩和直线11111x y z +-==-的夹角等于()A．2πB．4πC．3πD．6π3.函数2222220(,)00xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩点（0，0）处()A.连续但偏导数不存在B.不连续但偏导数存在C.连续且偏导数存在D.偏导数存在且可微4.设D 由22(2)1x y ++=所围区域，I 1=2()d Dx y σ+⎰⎰，I 2=3()d Dx y σ+⎰⎰则()A.12I I >B．12I I =C．12I I <D．不能比较5.设⎰⎰=12),(xxdy y x f dx I ，交换积分次序，得()A.⎰⎰xx dxy x f dy 210),( B.⎰⎰10),(yy dxy x f dy C.⎰⎰102),(y ydxy x f dy D.⎰⎰yydxy x f dy 1),(6.设S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1z =之间的部分，则Sz dS =⎰⎰()学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题A.23πB．223D．π7.下列级数绝对收敛的是()A.2221111357-+-+B.1(1)n n ∞-=-∑C.11(1)nn n ∞=-∑ D.231(1)nn n∞-=-∑二、填空题（每小题3分，共21分）1.微分方程20y y y '''-+=的通解为.2.xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转而成的曲面方程是.3.极限211lim (1)x xyx y x →∞→-=.4.曲线23222x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩在点t=1处的切线方程为.5.已知D =22{(,)1}x y x y +≤，22()Df xy dxdy +⎰⎰，其极坐标形式为.6.设Ω：222+2,x y z z +≤则dV Ω=⎰⎰⎰.7.幂级数0(1)21nnn n x ∞=-+∑的收敛区间是.三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x y ===围成.2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.2.求幂级数121n n n x n ∞+=+∑的收敛半径、收敛域及和函数.参考答案一、单项选择题（每小题3分，共21分）DABA BBA二、填空题（每小题3分，共21分）1.12x x y C e C xe =+；2.225y z x +=；3.1e -；4.12113x y z --==；5.212()d f r rdr πθ⎰⎰；6.43π；7.(-2,2).三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.解：先求20y xy '+=的通解为21x y C e -=(2分）常数变易法，将2()x y u x e-=⋅代入原方程得22()2x xu x e xe --'⋅=解得2()u x x C =+,故原方程的通解为22()x y x C e -=+（4分）将01x y==代入通解得1C =，（5分）故满足初始条件01x y==的特解为22(1)xy x e -=+.（6分）2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.解：直线11111x y z --==-过两点(2,1,2)-和点(1,0,1)，（2分）由条件知平面过点A (2,1,2)-、点B (1,0,1)点和C (0,3,1)-，所以过A、B、C 三点的平面方程为111110130x yz ---=--（5分）即所求平面方程为3410x y z --+=.（6分）四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.解：222x y z x y x +∂=+∂，222x y z yxx +∂=+∂（4分）所以222222()()x ydz y dx x y x yx dy =+++++（5分）()()222222222222411z z x x y xy y x y x y x y y y x ⎛⎫∂∂-⋅-=+=+=+ ⎪∂∂∂⎝++⎭+210x y z x y==∂∂∂1=（6分）2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.解：设2(,,)z F x y z xz y e =-+（1分）则(,,),x F x y z z =(,,)2y F x y z y =-，(,,)zz F x y z x e =+（2分）,x Z z F z zF x e x ∂-=-=∂+2,y Z z F z y yF e x ∂=-=∂+（4分）()22221z z z y e x e x z z z y x x e y x ∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭++∂∂∂()()32z z z y x e ze x e -+-+=（6分）3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.解：2(,)3820(,)220x y f x y x x y f x y x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，解得驻点为（0，0），（2，2）（3分）又68,2,(,)2yy A x B C f x y =-===-（4分）对于点（0，0），A=-8,B=2,C=-2,2120AC B -=>,且A<0，所以(0,0)6f =为极大值.对于点(2,2)，A=4,B=2,C=-2,2120AC B -=-<,所以(2,2)f 不是极值.（6分）五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x x ===围成.解：X 型区域D:02,2x x y x ≤≤≤≤，（2分）220(2)(2)xDxx y dxdy dx x y dy+=+⎰⎰⎰⎰（3分）2220456[2(2)26x x x x x dx -=-+=⎰（6分）2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.解：积分域Ω:2:z x ≤≤∈+≤⎪⎩（2分）极坐标系下的区域D:02,01r θπ≤≤≤≤（3分）Dzdxdydz zdyΩ=⎰⎰⎰⎰⎰（4分）212230(1)2Dx y dxdy d r dr ππθ=--==⎰⎰⎰⎰（6分）3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.解:2,12x Q xy P =+=,又xQx y P ∂∂==∂∂2,故积分与路径无关.（2分）所以积分路径L 可换为折线从点A(0,0)到C(2,0)再到B(2,2)（3分）又因为线段AC:,20,0≤≤=x y 线段BC:,20,2≤≤=y x (4分)⎰⎰⎰+++++=++CBACLdyx dx xy dy x dx xy dy x dx xy 222)12()12()12(104220=+=⎰⎰dy dx （6分）六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.解：1212)1(-+-=nnn n a ，（1分）而121121)1(21212lim lim 11<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅--=+∞→+∞→n n a a n n n nn n 所以原级数绝对收敛，故原级数收敛。
2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含答案)电气092班电气092班2【注】 高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二） 地点：主教楼1601教室 以下题目供同学们复习参考用！！！！《高等数学》（二）期末模拟试题一、填空题：（15分）1．设,yx z =则=∂∂xz .1-y yx2. 积分=⎰⎰Dxydxdy .其中D 为40,20≤≤≤≤y x 。
163. L 为2x y =点(0,0)到(1,1)的一段弧，则=⎰ds y L.12155-4. 级数∑∞=-1)1(n p nn当p 满足 时条件收敛.10≤<p5. 方程0)1(=+-dy e dx ye xx的通解为 .)1(xe C y += 二、选择题：（15分）1．方程0)4(sin )cos 3(32=-++dy y x dx x y x 是 .C(A)可分离变量微分方程； （B ） 一阶线性方程;（C ）全微分方程; （D ）（A ），B ）,（C ）均不对. 2．),(y x f z =在),(00y x 可微,则yzx z ∂∂∂∂,在),(00y x 。
C （A ）连续； （B ）不连续； （C ）不一定存在； （D ）一定存在。
3．级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--21111n n n 是 。
A（A ）发散； （B ）收敛； （C ）条件收敛； （D ）绝对收敛。
4．曲面22y x z +=与平面1=z 所围立体的体积为 。
B电气092班电气092班3（A ）⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22; （B ）⎰⎰⎰112 0rdz rdr d πθ；（C ）⎰⎰⎰+----22221 1 11 y x x xdz dy dx ； （D ）⎰⎰⎰11 02 0dz rdr d πθ。
5．方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。
B（A ）x e b ax )(+ （B ）x cxe b ax ++ （C ）x ce b ax ++ （D ）x xe b ax )(+三、),(22x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数，求22xz∂∂.（8分）解：)2(x f x z -⋅'=∂∂ )2()2(222-⋅'+-⋅''=∂∂f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2xy y x f z ϕ-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求xy z∂∂∂2.x f f yz⋅'⋅'+-⋅'=∂∂ϕ21)1(]2[12112y f x f xy z⋅'⋅''+⋅''-=∂∂∂ϕx y f x f ⋅'⋅⋅'⋅''+⋅''+ϕϕ]2[2221ϕϕ'⋅'+⋅⋅''⋅'+22f x y f 1122)(f x xy f ''-''+'⋅'=ϕϕ222122)2(f xy f y x ''⋅'+''⋅'-+ϕϕ 四、计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，L 为由点A(1,0)到B(0,1)，再到C(-1,0)的有向折线。
（8分）解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P xx y e x Q y e y P xx cos ,2cos =∂∂-=∂∂ .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )2cos ()2sin (电气092班电气092班4⎰⎰⎰-+--∂∂-∂∂=CA x x Ddy y e dx y y e dxdy y Px Q )2cos ()2sin ()(02-=⎰⎰dxdy D=2五、计算⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy 222，其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +≥的公共部分的外表面。
（8分） 解：,围成的空间区域为由设∑Ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθπϕ202020:r⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++dv z y x dxdy zx dzdx yz dydz xy )(222222⎰⎰⎰⋅=ππϕϕθ2002224sin drr r d d 5)22(32-=π六、求级数∑∞=22n n nx 的收敛域及和函数。
（8 分）解：,2n a n =,1lim1==+∞→n n n a a ρ 11==ρR.,1级数发散时当±=x )1,1(-∴幂级数的收敛域为 ),(22x s nx n n=∑∞=令 ,0)0(=s)(22)(221'==∑∑∞=∞=-n n n n x x nxx x s)1(22'-=x x x xx x 2)1(22--=七、计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑为锥面)(322y x z +=被平面3=z 截下的带锥顶的部分。
（8分）解： 3:22≤+∑y x D xoy 面的投影为在,)(322y x z +=由电气092班电气092班5)(3,)(32222y x y y z y x x x z +=∂∂+=∂∂，32)()(122=∂∂+∂∂+y z x z⎰⎰⎰⎰+=+∑Ddxdy y x dS y x 32)()(2222dr r r d 3220302⎰⎰⋅=πθπ98= 八、求函数22y x z +=在适合条件132=+yx 下的极小值。
（7分）1336 4.721312138===y x zP 课本九、求方程x e y y y 323=+'-''的通解。
（8分）解：特征方程 ,0232=+-r r 特征根 ，，2121==r r对应齐次方程通解,221x x e C e C Y +=是单根，1=λΘ,*xaxe y =设 代入原方程化简得：—a=3,3*xxe y -=∴ :原方程的通解为xx x xe e C e C y 3221-+=十、把)0(,)(π<<=x x x f 展开为余弦级数。
（7分） 解：.),()(上连续在∞-∞x F)sin |sin (2sin 2 cos )(22)(2 )(200000⎰⎰⎰⎰⎰-⋅=⋅=⋅====ππππππππππnxdx nx x n πnx d x n πnxdx x f a dx x dx x f a x F l n 的函数成周期为将进行偶延拓，并延拓]1)1[(22--=nπn),0( cos ]1)1[(22)( 12ππ∈--+=∴∑∞=x nx πn x f n n十一、已知曲线积分电气092班电气092班6⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0()()(1)1(y x nx dy x f ydx x f x n x e 与路径无关，其中)(x f 可微，0)0(=f ，试确定)(x f ，并计算曲线积分的值。
（8分） 解：)(,)(1)1(x f Q y x f x n x e P n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=)(),(1)1(x f x Qx f x n x e y P n x '=∂∂+++=∂∂ ⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0(,)()(1)1(y x nx dy x f ydx x f x n x e 与路径无关Θ)(1)1()(,x f x n x e x f x Q y P n x +++='∂∂=∂∂∴即)(1)1()(,x f x n x e x f x Q y P n x +++='∂∂=∂∂∴即])1([)()1()1(C dx ex e ex f y dxx nnx dx x n+⎰+⎰==+-+--⎰)()1(C e x x n ++=0)0(=f Θ 1-=∴C )1()1()(-+=∴x n e x x f ⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0()()(1)1(y x nx dy x f ydx x f x n x e Θ⎰-+==y x n y e x dy x f 0)1()1()(。
