二次函数表达式

课题： 2.3.2确定二次函数的表达式 课型：新授课 年级：九年级 学习目标：
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式.
2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
教学重点与难点：
重点：会用待定系数法确定二次函数的表达式.
难点：会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
教学过程：
一、复习回顾
1.二次函数表达式有哪几种表达方式？
一般式：y=ax 2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k [a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标]；
2. 如何求二次函数的表达式？
（1）已知二次函数表达式中的一个字母系数和图像上的一个点的坐标，可用一般式代入求其表达式.
（2）已知二次函数顶点坐标和图像上的一个点的坐标，可设顶点式代入求其表达式. 设计意图：上述两个问题是上一节课的问题，通过对这两个问题的回顾，学生自然会产生寻求其他求解方法的欲望，符合学生的学习心理。

适当的回顾也是引导学生不仅要学会解决问题的不同方法，而且还应该关注对该数学问题进行正确的解答。

二、知识讲解
问题：二次函数一般式中的三个字母都不知道，需要几个条件可求出表达是呢？ 例2 已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.
处理方式：先找学生口述方法，再板演书写过程.过程中出现的错误学生自行解决. 可能出现的问题有：1.代入出现系数错误.2.三元一次方程不会解或解不对.3. 解后忘记带回关系式.
注意：老师可帮助学生一起解三元一次方程组，让学生体会消元思想。

解：设所求的二次函数的表达式为2y ax bx c =++.将三点A （-1，10），B （1，4），C
（2，7）的坐标分别代入表达式, 得104742a b c a b c a b c =-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩解得：235a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
所以，所求二次函数的
表达式为2235y x x =-+. 因为23312352()48y x x x =-+=-+，所以，二次函数图像的对称轴为直线34
x =，顶点坐标为331(,)48
. 跟踪训练：
1.已知二次函数的图像经过点A （-1，0），B(3，0），C
（0，-1）三点，求这个二次函数的表达式.
处理方式：学生自己独立解决，查找错误进行改正.
总结规律：求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式，关键是求
出待定系数a, b, c 的值，由已知条件（如二次函数图象上三个
点的坐标）列出关于a, b, c 的方程组，并求出a, b, c ，就可以写出二次函数的解析式.
设计意图：通过例题的讲解让学生体会随着条件的增加，可以大胆设用二次函数的一般式确定函数表达式.在求解过程中，遇到解三元一次方程组的实际困难鼓励学生独立解决，提高学生的计算能力和独立解决问题的能力.
三、议一议：
活动内容：一个二次函数的图像经过A （0，-1），B （1，2），C （2，1）三点，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流.
处理方式：1.先让小组内讨论可用什么方法解决.
2.每个小组派代表先说后在黑板书写解题过程.
3.同一个小组内可用不同方法去解.
4．小组内总结错误的地方，给出不同方法的优缺点.
5.师生共同总结，每个学生可选用自己喜欢或能做对的方法.
方法（一）设所求的二次函数为2(1)2y a x =-+，由图像经过点( 0,-1 )得：
21(01)2a -=-+，解得：3a =-.故所求的二次函数表达式为23(1)2y x =--+,即2361y x x =-+-
方法（二）设所求的二次函数的表达式为2y ax bx c =++.将三点A （0，-1），B （1，2），
C （2，1）的坐标分别代入表达式, 得12142c a b c a b c -=⎧⎪=++⎨⎪=++⎩
解得：361a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以，所求二次函数的
表达式为2361y x x =-+-.
四、拓展提高
活动内容：如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，
你能从此图象中获取哪些信息？你能求这个二次函数的表达式吗？
（3分钟时间思考，尽可能多的写出获取的信息）
1.因为抛物线开口向上，所以a >0；因为对称轴在y 轴右侧，所
以b <0；因为抛物线交y 轴负半轴，
所以 c <0.
2.抛物线的对称轴是直线x =1，顶点坐标是（1，-2）.
3.当x >1时，y 随x 的增大而增大；当x <1时，y 随x 的增大而减小；当x =1时，y 有最小值，y 最小=-2.
方法一：抛物线的对称轴是直线x =1，顶点坐标是（1，-2）. 所以设抛物线表达式是2(1)y a x =--2，把点（3,0）代入，得：4a -2=0.解，得：a=12
.所以，抛物线的表达式是21(1)2
y x =--2,即y ＝12x 2–x 32-. 方法二：因为抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标是（-1，0）. 因为抛物线与x 轴的两个交点分别是（3,0），（-1,0），所以设抛物线表达式是y ＝a （x -3）（x +1），把点（1，-2）代入，得：-4a =-2.解，得：a=
12。

所以，抛物线的表达式是y ＝12（x -3）（x +1），即y ＝12x 2–x 32
-. 方法三：设抛物线表达式是y ＝ax 2＋bx ＋c ，把点（1，-2），（3,0），（-1,0）分别代入，
得：0,930,0.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 解得 1,21,3.2a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩
所以，抛物线的表达式是y ＝12x 2–x 32-. 设计意图：学习函数的一种重要的方法就是“数形结合”.，引导学生从知识获得途径、结论、应用、数学思想方法等几个方面展开，引导学生自主归纳完成，这有利于强化学生对知识的理解和记忆，提高分析和小结能力。

教学中应关注学生不同表示方法，让学生比较异同，
并在比较中找出最好的表示方法。

同时这一题目也是对本节知识进行的巩固练习.导入问题主要考查学生对二次函数图象性质的理解程度.
五、课堂小结
1.你学到哪些二次函数表达式的求法？
（1）已知图象上三点的坐标或给定x 与y 的三对对应值，通常选择一般式.
（2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式.
（2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式.
2.确定二次函数的表达解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式. 设计意图：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）
六、达标检测
1.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象时，列出如下表格: 经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的表达式 .
2．一条抛物线，顶点坐标为(4,2)-，且形状与抛物线2
2y x =+相同，则它的函数表达式是 ．
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC
是菱形，点C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x 轴的直线
l 从y 轴出发， 沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平
移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M,N （点M 在点N
的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）,
则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是( )
4.已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y 轴交点为(0，-5),求抛物线
的表达式.
七、布置作业 必做作业：课本45页习题2.7第2题. 选做作业：课本45页习题2.7第3题.
板书设计：。