正弦定理和余弦定理专题及解析

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形。

正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形。

知识点清单一.正弦定理:1。

正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2。

变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin caC A = 5）化角为边: RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CAc a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4。

△ABC 中，已知锐角A ，边b,则①A b a sin <时，B 无解；②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解； ③b a A b <<sin 时，B 有两个解。

基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形续表关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教B 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．5 2B ．10 2C.1063D ．5 6 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得：a sin A ＝c sin C， 即1032＝c 22.∴c ＝1063. 答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos B sin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )． A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π， ∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32， 故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°， ∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22. (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝255， 再由正弦定理得a sin A ＝b sin B， 代入数据解得a ＝210.答案 255210 考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b 2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解． 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c得： a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A 2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2 A 2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12， ∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3. (2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3， 则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3. 考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6， a ＝433，b ＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得⎩⎨⎧ a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53. (2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40.所以a ＋c ＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件．【示例】►(2011·安徽)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．实录 由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3， 根据正弦定理a sin A ＝b sin B得： sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4. 以下解答过程略．正解 ∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，∴1＋2cos(B ＋C )＝1－2cos A ＝0，∴A ＝π3. 在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b sin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝22.∵a ＞b ，∴B ＝π4，∴C ＝π－(A ＋B )＝512π. ∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 【试一试】 (2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .[尝试解答] (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c. 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.。

专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类目录一、热点题型归纳【题型一】正余弦定理 .............................................................................................................................. 2 【题型二】求角 .......................................................................................................................................... 3 【题型三】判断三角形形状 ...................................................................................................................... 4 【题型四】面积与最值 .............................................................................................................................. 6 【题型五】周长与最值 .............................................................................................................................. 8 【题型六】角的最值 .................................................................................................................................. 9 【题型七】最值 ........................................................................................................................................ 11 【题型八】切弦互化求最值 .................................................................................................................... 13 【题型九】解三角形应用题 .................................................................................................................... 14 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 17 三、模拟检测 .. (22)正余弦定理(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 为 外接圆半径 ；注意：正弦定理变式与性质：①边化正弦：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②正弦化边：sin A sin B sin C ＝c2R ； ③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；④a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝ 2R ；(2)余弦定理：①a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； ②b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； ③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 注意：变式：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；②cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(3)三角形面积 ：①S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc4R②S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是切圆的半径) 三角形中：①sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；②sinA ＋B 2＝cosC 2， cos A ＋B 2＝sin C2；③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；④a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A ＜cos B ．【题型一】正余弦定理【典例分析】（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（ ）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤ 【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ，又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭， 所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b a c ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤； 故选：D1..（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且656cos a c b C =+，则cos B =（ ）A ．78B ．56C ．34D ．23【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得cos B ． 【详解】由656cos a c b C =+，边化角得6sin 5sin 6sin cos A C B C =+， 又()sin sin A B C =+，所以()6sin 5sin 6sin cos B C C B C +=+， 展开得6sin cos 6cos sin 5sin 6sin cos B C B C C B C +=+，所以6cos sin 5sin B C C =， 因为sin 0C >，所以5cos 6B =．故选：B ． 2.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，60,3,90C AC B ==>，则ba 的可能取值为（ ） A ．23B ．43 C ．53D ．73【答案】D【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于A 的三角函数，求出范围即可得结果. 【详解】因为60,3,90C AC B ==>，所以030A <<，0tan A <<1tan A >()1sin sin sin 11222sin sin sin 2tan A AA C bB a A A A A +====>，则b a 的可能取值为73，故选：D. 3.面积（无最值型）【题型二】求角【典例分析】（2022·山西吕梁·三模（文））在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()(),6b c b c ac C π+-==，则B =（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【分析】由22b c ac =+结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出sin 2sin cos sin A C B C -=，再由内角和定理以及三角恒等变换得出B .【详解】由()()b c b c ac +-=得22b c ac =+，结合余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为()()sin 2sin cos sin 2sin cos sin A C B B C C B B C -=+-=-， 所以()sin sin B C C -=，所以B C C -=，得2B C =．因为6C π=，所以3B π=．【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC中，30,1B a b ===，则A 等于（ ） A ．45 B ．135C ．45或135D ．120 【答案】C【分析】根据正弦定理，结合三角形中的边角关系，即可求得答案.【详解】由正弦定理sin sina b A B=,得1sin 2sin 12a B Ab ===， 因为1,(0,π)a b A ==∈，故45A =或135， 故选：C2.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B C ．2D ．1【答案】A【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角C ，由此可求sin 4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为()22a b c =+-，又in 12s S ab C =，所以222sin 2C ab a b c -=+-，22212a b c C ab +--=，又222cos 2a b c C ab+-=cos 1C C -=，所以1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,C π∈，所以3C π=，所以sin =sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎭⎝⎭所以sin 44C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.3.（2023·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+2sin 0A B -=，则sin C = （ ）A ．12B C D 【答案】C【分析】根据给定条件利用正弦定理角化边，求出角A ，再求出角B 即可计算作答.【详解】在ABC 中，由22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+及正弦定理得：22()(2b c a bc +=+，即222b c a +-=，由余弦定理得：222cos 2b c a A bc +-==0180A <<，解得135A =，2sin 0A B -=得1sin 2B A ==，显然090B <<，则30B =，15C =，所以6sin sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 454C -=-=-=. 故选：C【题型三】判断三角形形状【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c -=且cos sin =b C a B ，则ABC 是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形【答案】A【分析】由222a b c -=结合余弦定理可求得π4A =，由cos sin =b C a B 结合正弦定理可求得π4C =，从而可判断出三角形的形状【详解】由222a b c -=，得222b c a +-，所以由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===， 因为(0,π)A ∈，所以π4A =，因为cos sin =b C a B ，所以由正弦定理得sin cos sin sin B C A B =，因为sin 0B ≠，所以πcos sin sin 4C A ===，因为(0,π)C ∈，所以π4C =，所以πππππ442B AC =--=--=,所以ABC 为等腰直角三角形， 故选：A【变式演练】1..(2021·广东·高三阶段练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】先依据条件222b c a bc +=+求得π3A =，再利用2sin sin sinBC A =可以求得b c =，从而判断△ABC 的形状是等边三角形【详解】△ABC 中，222b c a bc +=+，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-=== 又0πA <<，则π3A =由2sin sin sin B C A =，可得2a bc =，代入222b c a bc +=+则有222b c bc bc bc +=+=，则()20b c -=，则b c = 又π3A =，则△ABC 的形状是等边三角形故选：C2.（2023·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（ ）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B =，而cos cos a b A B =，△ sin sin cos cos A B A B=，即tan tan A B =，又△A 、B 为ABC ∆的内角，△A B =，又△222c a b ab =+-，△222ab a b c =+-，△由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，△3C π=，△ABC ∆为等边三角形.故选：B.3.（2023·全国·高三专题练习）已知三角形ABC ，则“222cos cos cos 1A B C +->”是“三角形ABC 为钝角三角形”的（ ）条件.A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【分析】利用同角的三角函数的基本关系式、正余弦定理可判断两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.【详解】因为222cos cos cos 1A B C +->，故2221sin 1sin 1sin 1A B C -+--+>， 故222sin sin sin C A B >+，故222c a b >+，故222cos 02a b c C ab+-=<，而C 为三角形内角，故C 为钝角，但若三角形ABC 为钝角三角形，比如取2,63C B A ππ===，此时2221cos cos cos 14A B C +-=<，故222cos cos cos 1A B C +->不成立，故选：A.【题型四】面积与最值【典例分析】（2021·江苏·高三课时练习）在锐角三角形ABC 中,cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C +=，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）AB ．C ．D ．【答案】Ccos 2B B +=结合同角三角函数基本关系，可求出B ，根据正余弦定理由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C +=可得b ,再利用余弦定理及均值不等式求ac 最大值，代入面积公式即可.cos 2B B +=得cos 2B B =,所以2221cos sin 44sin B B B B =+=+-，即2(2sin 0B =,解得sin B =由锐角三角形知3B π=,cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=， 22222222a c b a b c abc abc +-+-∴+=，即222a abc =b =2222126cos 122a c b ac B ac ac ac+--∴=≥=-，当且仅当a c =时等号成立，解得12ac ≤，11sin 1222ABC S ac B ∆=≤⨯=当且仅当a c =时等号成立，故选：C【变式演练】1.（2020·全国·高三课时练习）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，b =且ABC ∆面积为222)S b a c --，则ABC ∆面积S 的最大值为( ) A．2 B．4-C．8-D．16-【答案】B【解析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B ，可得cos B ，sin B 的值，由余弦定理，基本不等式可求8(23)ac -，根据三角形的面积公式即可求解其最大值． 【详解】解：222331()(2cos )sin12122S b a c ac B ac B =--=-=，tan B ∴=，56B π=，cos B=，1sin 2B =， 又22b =228(23)a c ac =++，88(223ac∴=+， 当且仅当a c =时取等号，111sin 8(24222ABC S ac B ∆∴=⨯⨯=- ∴面积S 的最大值为4-B ．2.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a bkab +=，则△ABC的面积为22c 时，k 的最大值是（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】B【分析】由三角形的面积公式，可得2sin c ab C =， 根据余弦定理，可得22sin 2cos a b ab C ab C +=+，则整理出以k 为函数值的三角函数，根据三角函数的性质，可得k 的最值.【详解】由题意得21sin 22ABC c S ab C ==，所以2sin c ab C =，又因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos sin 2cos a b c ab C ab C ab C +=+=+，所以()22sin 2cos a b k C CC abϕ+==++，其中tan 2ϕ=，且0k >， 所以k 的取值范围为(，故选：B. 3.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若8,sin 2sin cos 0ac B C A =+=，则ABC 面积的最大值为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【答案】C【分析】根据sin 2sin cos 0B C A +=利用三角恒等变换和正余弦定理得到2222b a c =-，再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围，由此得B 的范围，从而得到sin B 的最大值，从而根据1sin 2ABC S ac B =可求△ABC 面积的最大值．【详解】sin 2sin cos 0B C A +=，()sin 2sin cos 0A C C A ∴++=，即sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C C A ++=， 即sin cos 3cos sin 0A C A C +=，则2222223022b a c b c a a c ab bc+-+-⋅+⨯⨯=，理得2222b a c =-， △2222222223232cos 2244a ca c a cb ac ac B ac ac ac ac -+-+-+====当且仅当a 2=3c 2⇔c =√√3a =√8√3时取等号，π10sin 62B B ⎛⎤∴∈∴ ⎥⎝⎦，，， 则111sin 82222ABCS ac B =⨯⨯=．故选：C ．【题型五】周长与最值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin cos 6A A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．[)6,8B ．[]6,8C ．[)4,6D ．[]4,6【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得3sin A π+=（），结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =- ，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．【详解】△ sin 6A cos A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭12sinA sinA ∴-=可得：3sin A π+=（）40333A A ππππ∈+∈（，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=，△4b c +=， △由余弦定理可得222222163a bccosA b c bc bc bc =-=+--=-（），△由4b c +=，b c +≥，得04bc ≤＜，△2416a ≤＜，即24a ≤＜．△ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，） ．故选：A ．【变式演练】1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sinA +cos(A +π6)=√32，b +c =4，则ABC ∆周长的取值范围是 A ．[6,8) B ．[6,8] C ．[4,6) D ．(4,6]【答案】A 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin （A +π3）=√32，结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得a 2=16−3bc ，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围． 【详解】△sinA +cos(A +π6)=√32，∴sinA +√32cosA −12sinA =√32，可得：sin （A +π3）=√32，∵A ∈（0，π），A +π3∈（π3，4π3），∴A +π3=2π3，解得A =π3，△b +c =4，△由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =（b +c ）2−2bc −bc =16−3bc ，△由b +c =4，b +c ≥2√bc ，得0＜bc ≤4，△4≤a 2＜16，即2≤a ＜4． △ABC 周长L =a +b +c =a +4∈[6，8） ．故选A ．2.（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinsin 2B Cb a B +=，a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故b c +≤b c ==.故△ABC 周长的最大值为a b c ++故答案为：3.（2022·全国·高三专题练习）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin Aa ==，则该三角形周长的最大值为___________.【分析】利用正弦定理化简式子，求出tan B 的值，进而求出B 的大小，由余弦定理结合基本不等式即可求出a c +≤.【详解】由正弦定理变形有：sin sin A B a b =，又因为sin A a ==sin B B =，则tan 3B B π=2=1b ===又因为()()()()222222212cos 3344a cb ac ac B a c ac a c a c +=+-=+-≥+-⋅=+，所以()2264464a cb ac +≤=⨯=⇒+≤ “a c =”时取等.则该三角形周长的最大值为a b c ++==.【题型六】角的最值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习（理）（文））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c sin C ＝(a ＋b )(sin B －sin A )，则当角C 取得最大值时，B ＝（ ） A ．3π B ．6πC ．2π D ．23π【答案】D 【分析】利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理与基本不等式求得C 的最大值，再通过三角形的形状，即可求得此时对应的B .【详解】由正弦定理得2c 2＝(a ＋b )(b －a )，即b 2－a 2＝2c 2．又cos C ＝2222a b c ab +-＝2234a b ab +当且仅当3a 2＝b 2，即b 时，cos C C 取到最大值6π.当b 时，3a 2－a 2＝2c 2，则a ＝c ．所以A ＝C ＝6π，从而B ＝π－A －C ＝23π．故选：D .【变式演练】1.（2022·安徽淮南·一模（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数()()322213f x x bx a c x =+++无极值点，则角B 的最大值是（ ）A ．34πB ．2πC ．4π D ．6π【答案】A【分析】由题知()()22220f x x bx a c '=+++=无解或有两个相等的解，即()()222240b a c ∆=-+≤，再由余弦定理得角B 的范围．【详解】解：因为()()322213f x x bx a c x =+++无极值点，所以()()22220f x x bx a c '=+++=无解或有两个相等的解，所以()()222240b a c ∆=-+≤，所以222cos 2a c b B ac +-=≥，因为()0,B π∈，所以304B π<≤．故选：A2. 2.（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2sin sin sin a A c C b B +=，则角A 的最大值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【答案】A【分析】根据正弦定理先将角化边，再运用余弦定理和基本不等式得到cos A 的范围进而得到最后的结果 【详解】因为2sin sin sin a A c C b B += 所以2222a c b +=，进而可得2222a b c =-2222222221()32cos 224b c b c b c a b c A bc bc bc+--+-+===因为223b c +≥=，当且仅当b =时等号成立所以cos A ≥=又因为(0,)A π∈所以角A 的最大值为6π故选：A3.已知锐角△ABC 中,角、、A B C 对应的边分别为a b c 、、,△ABC的面积)222S a b c =+-,若24)tan bc a b B -=（, 则c 的最小值是ABCD【答案】C 【详解】分析：利用余弦定理列出关系式，代入已知等式中，并利用三角形面积公式化简求出C 的度数，再对24)tan bc a b B -=（进行化简整理，最后利用基本不等式求得.详解：)2221cos sin 2S a b c C ab C =+-==，即tan C =，6C π∴=.又A B C π++=，56A B π∴+=,又△ABC 为锐角三角形，∴025062B B πππ<<<-<，解得32B ππ<<， ∴)tan B ∈+∞，又24)tan bc a b B -=（，5sin 24246tan 242424242424sin sin B bc a a sinA B c c c b b B Bπ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴==-=-=-， 即1tan 24242tan B c B ⎛=- ⎝⎭1224tan tan c B B ∴-+≥=，当且仅当12tan tan B B =，即tan B =.24c ∴-≥c ≥故选C.【题型七】最值【典例分析】在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则22a cca c ac a +++的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．14D ．4 四川省成都市成都市石室中学2020-2021学年高三下学期期中数学试题 【答案】A【分析】由1sin 2ABC S ac B =△可解得4ac =，结合基本不等式，知24a c ac +=；经过变形化简可将原式整理为222()2()a c a c ac ca c ac a ac a c +-+=+++，令t a c =+，则[4t ∈，)+∞，2818()()44t f t t t t-==-，结合函数的单调性即可得解．【详解】由1sin 2ABC S ac B =△可知，11122ac =⨯，解得4ac =，由基本不等式得，24a c ac +=．22222()2()()()()a c a c a c a c acca c ac a c a c a c a ac a c ac a c ++-+=+==++++++， 令t a c =+，则[4t ∈，)+∞，∴222818()()44a c t f t t ca c ac a t t-+===-++，在[4，)+∞上单调递增， ()min f t f ∴=（4）12=，即22a c ca c ac a +++的最小值为12． 故选：A ．【变式演练】1..锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2sinA(acosC +ccosA)=√3a ，则cb 的取值范围是（ ） A ．(12,2)B ．(√33,2√33)C ．(1,2)D ．(√32,1)【答案】B【分析】根据正弦定理，结合2sinA(acosC +ccosA)=√3a 可求得角B ．又由三角形为锐角三角形，求得角C 的取值范围，即可求解．【详解】由正弦定理得，2sinA(sinAcosC +sinCcosA)=√3sinA ⇒sin(A +C)=√32⇒B =π3又∵A,C ∈(0,π2)∴π6<C <π2⇒12<sinC <1⇒c b=sinC sinB=2√33sinC ∈(√33,2√33) 故选B.2.在锐角ABC ∆中，A =2B ，则ABAC 的取值范围是A ．(−1,3)B ．(1,3)C ．(√2,√3)D ．(1,2)【答案】D【分析】根据在锐角ABC ∆中，每个角都是锐角确定B 的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求出范围即可.【详解】在锐角ABC ∆中，{0<2∠B <π20<∠B <π20<π−3∠B <π2可得π6<∠B <π4，cosB ∈(√22,√32),cos 2B ∈(12,34)，所以由正弦定理可知AB AC=cb =sinC sinB=sin3B sinB=3sinB−4sin 3BsinB=3−4sin 2B =4cos 2B −1∈(1,2)，故选D.3.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S，若222c a b S --b a 的取值范围为A ．（0，+∞）B ．（1，+∞） C ．(0D．)+∞【答案】A 【分析】根据222c a b S --=2222a b c C ab +-=,可得cos C C =,可得tan C =可得23C π=,再利用正弦定理可得sin sin b B a A =,12,根据A 的范围可得答案.【详解】由222c a b S --=得2221sin2a b c ab C +-= ,所以2222a b c C ab +-=,所以cos C C =,所以tan C =又0C π<<,所以23C π=, 所以sin()sin cos cos sin )sin 333sin sin sin A A A b B a A A A πππ--===1sin 122sin 2A AA -=,因为03A π<<,所以0tan A <<所以1tan A >所以102b a >=, 所以ba 的取值范围为(0,)+∞.故选:A【题型八】切弦互化求最值【典例分析】ABC 中，角,,A B C 的对边长分别为a,b,c ，若acosB −bcosA=35c ，则tan (A −B )的 最大值为 ( ）A ．43B ．1C ．34D 【全国百强校】黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题 【答案】C 【分析】利用正弦定理，将已知等式化简整理得sinAcosB =4sinBcosA ，两边同除以cosAcosB ，得到tanA =4tanB ，利用两角差的正切公式，得tan (A −B )=31tanB+4tanB，最后利用基本不等式求最值 . 【详解】∵acosB −bcosA =35c ，∴结合正弦定理与sinC =sin (A +B )，可得sinAcosB −sinBcosA =35(sinAcosB +cosAsinB )，整理得sinAcosB =4sinBcosA ， 同除以cosAcosB ，得tanA =4tanB ，由此可得tan (A −B )=tanA−tanB 1+tanAtanB =3tanB 1+4tan 2B =31tanB+4tanB ，∵A,B 是三角形内角，且tan A 与tan B 同号，∴A,B 都是锐角，即tanA >0,tanB >0，∴tan (A −B )=31tanB+4tanB ≤34，当且仅当1tanB=4tanB ，即tanB =12时，tan (A −B )的最大值为34，故选C.【变式演练】1.在ABC ∆中，若111tan tan tan B C A+=，则cos A 的取值范围为 A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】分析：由已知等式正切化为弦，可得2sin cos sin sin AA B C=，结合正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得cos A的最小值，从而可得结果.详解：111tan tan tan B C A +=，cos cos cos sin sin sin B C A B C A ∴+=，可得sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin sin C B C B A A B C B C A +==， 2sin cos sin sin A A B C ∴=，又22,cos sin sin sin a b c a R A A B C bc ====，22222b c a a bc bc+-∴=，可得2223a b c =+，222222222223cos 22333b c b c b c a b c bc A bc bc bc bc ++-+-+∴===≥=，cos A ∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B. 2.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若a 2+b 2=2014c 2，则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为A ．2013B ．1C ．0D ．2014【答案】A 【分析】由a 2+b 2=2014c 2，利用余弦定理可得a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinA cosA ⋅sinBcosB sinC cosC (sinA cosA +sinBcosB)=2sinAsinBcosC sinCsin(A+B)=2abcosCc 2即可得出．【详解】△a 2+b 2=2014c 2，△a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ． △2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinA cosA ⋅sinBcosB sinC cosC (sinA cosA +sinBcosB)=2sinAsinBcosC sinCsin(A+B)=2abcosCc 2=2013．故答案为：A3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则1tanA−1的取值范围是A ．⎛ ⎝⎭B ．(1,√2)C ．(2√33,√2) D ．(1,+∞)【答案】A根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、B 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围. 【详解】因为b 2−a 2=ac ，所以c 2−2accosB =ac ∴c −2acosB =a ∴sinC −2sinAcosB =sinA,sin(A +B)−2sinAcosB =sinA,∴sin(B −A)=sinA ∴B −A =A,B =2A因此1tanA−1tanB=1tanA−1tan2A=1tanA−1−tan 2A 2tanA=1+tan 2A 2tanA=12(tanA +1tanA), 因为ΔABC 为锐角三角形，所以0<A <π2,0<B =2A <π2,0<C =π−B −A =π−3A <π2∴π6<A <π4,√33<tanA <1因为y =12(x +1x )在(√33,1)上单调递减，所以1tanA−1tanB∈(1,2√33)，选A.【题型九】解三角形应用题【典例分析】（2022·江苏·高三课时练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（ ）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A B C D 【答案】D【分析】由题可得，20BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连接'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，分类讨论，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，可求出PP '和'AP ，从而可得出2320tan 225xx θ-=+，利用函数的单调性，可得出0x =时，取得最大值；若P '在CB 的延长线上，同理求出PP '和'AP ，可得出220tan 225x x θ+=+454x =时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．【详解】解：15,25AB cm AC cm ==，AB BC ⊥，由勾股定理知，20BC =，过点P 作PP BC '⊥交BC 于P '，连结'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，由30BCM ∠=︒，得tan30)PP CP x ''=︒-，在直角ABP '△中，AP '220tan 225x x θ-∴+令y =，则函数在[0x ∈，20]单调递减，0x ∴=时，；若P '在CB 的延长线上，tan30)PP CP x ''=︒+，在直角ABP '△中，AP '220tan 225xx θ+∴+22(20)225x y x +=+，则0y '=可得454x =. 故答案为：539．【变式演练】1.（2022·全国·高三课时练习）如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,MO ON 上分别设置两个出口,A B ，若AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为20千米，则AB 的最短距离为（ ）A ．)201千米B ．)401千米C ．)201D ．)401【答案】D【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到(22AB ab ≥，使用正弦定理及三角恒等变换得到ab ≥AB 的最短距离. 【详解】在ABC 中，135AOB ∠=︒，设,AO a BO b ==，则(222222cos1352AB a b ab a b ab =+-︒=+≥，当且仅当a b =时取等号，设BAO α∠=，则45ABO α∠=︒-，又O 到AB 的距离为20千米，所以20sin a α=，()20sin 45b α=︒-，故()400sin sin 45ab αα=︒-（22.5α=︒时取等号），所以)221600216001AB ≥=，得)401AB ≥，故选：D2.在一座尖塔的正南方地面某点A ，测得塔顶的仰角为2230'︒，又在此尖塔正东方地面某点B ，测得塔顶的仰角为6730︒'，且A ，B 两点距离为540m ，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为（ ） A ．90m B ．100m C ．110m D ．270m 【答案】A 【分析】作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项. 【详解】如下图所示，设,,OC z OA x OB y ===，则222540x y +=，22.5,67.5OAP OBP ∠=∠=，则22tan 22.5tan 4511tan 22.5==-，解得tan 22.521=，22tan 67.5tan13511tan 67.5==--，解得tan 67.52+1=，所以222540+=，解得z =所以1x ==)y ==要使点C 处测得塔顶的仰角为最大，则需tan PCO ∠最大，也即需OC 最小，所以OC AB ⊥，又1122ABOSOA OB AB OC =⨯⨯=⨯⨯，即(90540OA OB OC AB ⨯===， 所以C 点到塔底O 的距离为90m ，故选：A.3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD 的周长为4米，沿AC 折叠使B 到B′位置，AB′交DC 于P ，研究发现，当ΔADP 的面积最大时最节能，则最节能时ABCD 的面积为A ．3−2√2B ．C ．2(√2−1)D ．2【答案】C 【分析】本题可以先通过设AB 、DP 分别为x 、y ，再通过题目所给信息以及AD 2+DP 2=PA 2得出x 、y 之间的关系，然后通过ΔADP 的面积列出算式，当其最大时求出AB 的值，最后得出结果． 【详解】设AB 为x ，DP 为y ，因为四边形ABCD 是周长为4的长方形，AB 为x 所以AD 为2−x ，DC 为x ， 因为DP 为y ，所以PC 为x −y ， 由题意可知，PC =PA ，所以有AD 2+DP 2=PA 2，即(2−x )2+y 2=(x −y )2，化简得y =2−2x ， 所以S ΔADP =12(2−x )(2−2x )，化简得S ΔADP =3−(2x +2)，所以当x =√2时ΔADP 面积最大，此时S ABCD =√2(2−√2)=2(√2−1)，故选C ．1．（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C sin cos c B A =，则tan A 等于（ ）A ．3B ．13-C ．3或13- D ．-3或13【答案】A【分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===，sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅，sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A. 2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（ ）A．1 B C D ．3 【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.3．（2020·全国·高考真题（文））在△ABC 中，cos C =2，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .B 【详解】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C4．（2014·江西·高考真题（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ）A ．19B ．13 C ．1 D ．72【答案】D【分析】根据正弦定理边化角求解即可.【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D5．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =.故选：A.6．（2019·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,46422422b c a c c c b A bc bc c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．7．·湖南·高考真题（文））在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A B C D 【答案】B2sin 60sin A A A =⇒==所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=则BC 边上的高h C ===，应选答案B .点睛：解答本题的思路是先运用正弦定理求出cos A ，再运用两角和的正弦公式求得sin C =，再解直角三角形可求得三角形的高h C =，从而使得问题获解.8．（2018·全国·高考真题（理））ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【详解】分析：利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABC a b c S absinC +-==所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.9.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S =a ，b ，c 是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S =S10．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________．1##-【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++44≥=- 当且仅当311m m+=+即1m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =-.故答案为：31-.11．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.【详解】根据余弦定理：22212cos 4922372BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，得BC =△ABC 3sin 3=.故答案为 12．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 60B =︒，223a c +=，则b =________． 【答案】【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，1sin 2ABC S ac B ==，所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得b =.故答案为：13．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185或0 【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】△,,A D P 三点共线，△可设()0PA PD λλ=>，△32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，△32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫-⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，△321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=，△9AP =，△3AD =，△4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，△5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.△根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，△()cos cos 0θπθ+-=，△()()2570665x x x --+=-，解得185x =，△CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185. 14．（2020·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB △AC ，AB △AD ，△CAE =30°，则cos△FCB =______________.【答案】14-【分析】在ACE 中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.【详解】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ，同理得BD BF BD ∴==ACE 中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=，1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-.15．（2019·全国·高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.【答案】34π.【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ．【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．16．（2019·全国·高考真题（理））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC的面积为__________.【答案】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯=1.（2022·江西·模拟预测（文））在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足1cos A A +=，sin 6cos sin A B C =，则bc的值为（ ）A ．1B ．1+C ．1+D ．1+【答案】A【分析】由题设化简1cos A A +=可得120A =︒，余弦定理结合sin 6cos sin A B C =可得(1b c =，即可得出答案.【详解】由题设可得22sin cos 222A A A =，即tan 2A ，则120A =︒，故由余弦定理可得222a b c bc =++；。

§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1． 正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2． (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.5． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一 正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( )A ．0B ．1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ， 根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )， 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪 利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华 有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 题型三 解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范． 规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 3． 合理利用换元法、代入法解决实际问题． 失误与防范1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2． △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.5． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于 ( )A.17B.15C.152D ．3答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152.二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.7． 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.8． 如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________． 答案 50 2 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝50 2.三、解答题9． (2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A，∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·江西)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π， 所以sin B >0， 所以cos B >0， 所以tan B ＝3， 即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝ 2.2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． (2013·浙江)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 答案63解析 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.4． (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.5． 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。

导数的概念及运算一、知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：4.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.5.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，由A ∈(0，π)，得A ＝2π3，即∠BAC ＝23π. 答案 C3.在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形4.(2018·烟台质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2B.1C. 3D.2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝bsin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.25解析 由题意得cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.答案 A6.(2019·荆州一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝22，cos A ＝34，sin B ＝2sin C ，则△ABC 的面积是________. 解析 由sin B ＝2sin C ，cos A ＝34，A 为△ABC 一内角， 可得b ＝2c ，sin A ＝1－cos 2A ＝74， ∴由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得8＝4c 2＋c 2－3c 2， 解得c ＝2(舍负)，则b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×74＝7. 答案 7考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4. 答案 (1)75° (2)B (3)C【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3(2)(2019·北京海淀区二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D.6(3)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C ，则sin C ＝12，又C ∈(0，π)，得C ＝π6.(2)由2cos 2A ＋B 2－cos 2C ＝1，可得2cos 2A ＋B 2－1－cos 2C ＝0，则有cos 2C ＋cos C ＝0，即2cos 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍)，由4sin B ＝3sin A ，得4b ＝3a ，① 又a －b ＝1，②联立①，②得a ＝4，b ＝3， 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋9－12＝13，则c ＝13.(3)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个. 答案 (1)B (2)A (3)B 考点二 判断三角形的形状【例2】 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B【训练2】若将本例(2)中条件变为“c－a cos B＝(2a－b)cos A”，判断△ABC的形状.解∵c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.考点三 和三角形面积、周长有关的问题 角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3.即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 (2018·上海嘉定区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.答案12【训练3】(2019·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B.∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，b＝3，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12a a c sin B＝12×3×32＝334.三、课后练习1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝223，b cos A＋a cosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π解析由题意及正弦定理得2R sin B cos A＋2R sin A cos B＝2R sin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2R sin C＝2.又cos C＝223及C∈(0，π)，知sin C＝13.∴2R＝2sin C＝6，R＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C2.(2019·武汉模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( ) A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 B.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3D.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A .于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3. 答案 C3.(2019·长春一模)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________. 解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ， 所以12b cos A －sin C cos A ＝sin A cosC ，所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12b cos A ＝sin B ， 所以cos A 2＝sin Bb ， 又sin B b ＝sin A a ，a ＝23， 所以cos A 2＝sin A 23，得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，则A ＝π3， 由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时取等号)， 从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝3 3. 答案 334.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得b sin A ＝a sin B ， 又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.5.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为________. 解析 根据正弦定理及a 2sin C ＝4sin A ，可得ac ＝4， 由(a ＋c )2＝12＋b 2，可得a 2＋c 2－b 2＝4， 所以S △ABC ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝14×（16－4）＝ 3. 答案3。

正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。

正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明正弦定理概述：正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的正弦值之间的关系。

正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。

正弦定理表达式：在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。

正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。

正弦定理的证明：可以使用数学推导来证明正弦定理。

这里给出一种较为详细的证明方法。

证明：1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。

3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。

4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。

5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以sin(∠BA) = sin(∠CA)。

所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *sin(∠CA)。

6. 即有b * AD * sin(∠BA) = c * AD * sin(∠BA)，那么b = c，所以定理得证。

余弦定理概述：余弦定理是三角形的另一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的角之间的关系。

高考风向1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A<sinB,cosA<sinC·2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解析：sin sin a cA C=， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===， ∴ 180()105B A C =-+=， 又sin sin b cB C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+． 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。

第8讲 正弦定理和余弦定理5种常见题型【考点分析】考点一：三角形中常用知识①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.②大边对大角，小边对小角，B A b a B A sin sin >⇔>⇔>，所以在ABC ∆中B A B A sin sin >>是的充要条件①在锐角ABC ∆中，一定有A C C B B A cos sin ,cos sin ,cos sin >>>，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角ABC ∆中，一定有C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 考点二：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===． 考点三：由正弦定理推出的几个结论 ①a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC ．①B R C B R B A R a sin 2,sin 2,sin 2===③由等比性质和圆的性质可知，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R .其中，R 为△ABC 外接圆的半径．④A <B ⇔a <b ⇔sin A <sin B ．考点四：由三角形性质和诱导公式导出的几个结论 ①22,ππ=++=++C B A C B A ， 所以()()C C B A sin sin sin =-=+π，同理()A C B sin sin =+，()B C A sin sin =+，()()C C B A cos cos cos -=-=+π，同理()A C B cos cos -=+，()B C A cos cos -=+， ()()C C B A tan tan tan -=-=+π，同理()A C B tan tan -=+，()B C A tan tan -=+，所以2cos 22sin 2sin C C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+π，同理2cos 2sin A C B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，2cos 2sin B C A =⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 考点五：三角形面积公式S ①ABC ＝12 ah (h 表示边a 上的高) ；S ①ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；由正弦定理可得RabcR c ab C ab S ABC 4221sin 21===∆ C B A R C B R A R C ab S ABC sin sin sin 2sin sin 2sin 221sin 212=⋅==∆ 海伦公式：()()()c p b p a p p S ABC ---=∆，其中()c b a p ++=21三角形面积和内切圆半径的关系：()r c b a S ABC ⋅++=∆21（其中r 为三角形内切圆的半径）【题型目录】题型一：正弦定理运用 题型二：余弦定理运用题型三：三角形面积公式运用 题型四：正弦定理解答题 题型五：余弦定理解答题【典型例题】题型一： 正弦定理运用【例1】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin 3A =，a =3b =，则sin B =（ ）． A ．23BC2D．3【例2】在①ABC 中，已知4sin sin sin a b cA B C+-=+-，则其外接圆的直径为______.【分析】设ABC 外接圆半径为【详解】设ABC 外接圆半径为由正弦定理可得：sina sin sinbc B +--所以ABC 外接圆直径为故答案为：4.【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =︒，则sin B = ．【答案】721【解析】由正弦定理可得B b A a sin sin =，即B sin 2237=，所以721sin =B 【例4】在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ∠：B ∠：1C ∠=：2：3，则a ：b ：c =（ ） A ．1：2：3 B ．3：2：1 C ．21 D ．12【答案】43π=B 【解析】由正弦定理可得R BbA a 2sin sin ==，可得B R b A R a sin 2,sin 2==，所以0cos sin 2sin sin 2=+B A R A B R ，即0cos sin sin sin =+B A A B ，因0sin ≠A ，所以0cos sin =+B B ，所以1tan -=B ，因()π,0∈B ，所以43π=B 【例6】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )B A C C +- 0=，2a =，c =C =A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π【答案】B【解析】由()C A B +=sin sin ，可得()sin sin (sin cos )0A C A C C ++-=，所以sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即cos sin sin sin 0A C A C +=，因0sin ≠C ，所以0cos sin =+A A ，所以1tan -=A ，因()π,0∈A ，所以43π=A ，由正弦定理可得CcA a sin sin =，即C sin 2222=，所以21sin =C ，所以6π=C【例7】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【例8】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=， 故选A.【例9】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=，所以a b c 2a b =2b a =sin 21sin 13a Bb A ==. 【例10】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 . 【答案】8.【解析】，又，因此即最小值为8. 【题型专练】1.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，6C π=，则b = ． 【答案】1=b【解析】由1sin 2B =，6C π=，可得6B π=，所以32π=A ,由正弦定理可得Bb A a sin sin =，即21233b=，所以1=b2．在锐角①ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 是①ABC 的外接圆半径，且cos cos b a C c A ++=，则B ＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥3.在，内角所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意知1sin sin sin sin sin cos sin 2A B C C B A B +=，即1sin sin sin cos 2A C C A += 所以()1sin 2A C +=，所以21sin =B ，因a b >，所以6π=B 故选A.4.设①ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,若,则①ABC 的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】由题意知sin cos sin cos sin sin B C C B A A +=，即()sin sin sin B C A A += 所以sin 1A =，所以2π=A故选B5.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A Bb A +=，则=abA ．B ．CD【答案】D【解析】由题意知2sin sin sin sin cos A A B B A A +=，即()22sin sin cos B A A A+=所以sin B A =，所以a b 2=，所以2=ab故选D6.ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = 【答案】3π 【解析】由题意知2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，即()2sin cos sin sin B B A C B =+=ABC ∆,,A B C 6π3π23π56πcos cos sin b C c B a A +=所以1cos 2B =，所以3π=B7.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知60C =，b =3c =，则A =_______．【答案】︒=75A【解析】由正弦定理可得BbC c sin sin =，即B sin 6233=，所以22sin =B ，所以︒=45B ，因π=++C B A ，所以︒=75A8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b ==，sin cos B B +=A 的大小为 ． 【答案】6π=A【解析】因为sin cos 4B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭()0,B π∈，所以42B ππ+=，所以4B π=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 2A =1sin 2A =，因为b a <，所以6π=A 题型二：余弦定理运用 【例1】在①ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．【答案】C【分析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C【例2】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．BCD ．【解析】因为223cos 2cos 121,255C C ⎛=-=⨯-=- ⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则 A.【例3】①ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =A B C ．2 D ．3【答案】D 【解析】2222452cos 2223b c a b A bc b +-+-===⨯⨯，所以b b 8332=-，即03832=--b b故()133b =-或舍去. 【例4】在 ABC 中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，222c ab a b +=+，则角C 的正弦值为（ ）A B C ．12D ．1【例5】已知ABC 的三边之比为3:5:7，则最大角为（ ） A ．2π3B ．3π4C ．5π6D ．7π12，由条件结合余弦定理可求ABC 的最大角不妨设ABC 的三边满足因为ABC 的三边之比为由ABC 中最大边所对的角最大，可得ABC 的最大内角为C ∠22291cos 222a c x C +-+===-，又()0,πC ∠∈所以【例6】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．已知()()22232cos b c b c a abc C -+-=．则tan A =（ ）AB ．CD ．【例7】黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．其中顶角为36°，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，则cos36︒=（ ）A B C D【例8】设的内角所对边的长分别为．若，则则角_____． 【答案】4【分析】由3sin 5sin A B =，可得35a b =，因a c b 2=+，设3=b ，则7,5==c a ，结合余弦定理：222cos 2a b c C ab+-=，可得2135249925cos -=⨯⨯-+=C ，解得：23C π= 【例9】在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若222a c b +=，则B ∠=_________；若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值_________. 而此时ABC 为等腰直角三角形，与题设矛盾，故ABC ∆,,A B C ,,a b c 2b c a +=3sin 5sin ,A B =C =【题型专练】1．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1,a b c ===B =_________． 【答案】5π6##150︒2.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin cos 1sin 2C C C +=-．若()2248a b a b +=+-，则边c 的值为______．1##1(0,πC ∈即sin 2C -sin C ∴=cos C ∴=3.在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A （B （C ）1010 （D ）31010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ．4.在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 3B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）. 5.在ABC 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（ ）A ．1 BCD ．3【答案】D【分析】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a =+-⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =.6.已知锐角的内角的对边分别为，223cos A +cos20A =，，，则A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意得2223cos 2cos 10A A +-=，即225cos 10A -=，因为锐角三角形，所以51cos =A ，结合余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=，可得b b ⨯⨯-+=624936512 即：2450152b b -=-，解得：5b =（135b =-舍去） 故选：D.7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c =________． 【答案】4【分析】由3sin 2sin A B =，可得32a b =，所以3=b ，结合余弦定理：222cos 2a b c C ab+-=，可得32294412⨯⨯-+=-c ，解得：4c = 题型三： 三角形面积公式运用【例1】记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c60B =︒，223a c ac +=，则b =________．【答案】【分析】由题意，1sin 24ABCSac B ac ===， 所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得b =（负值舍去）.故答案为：【例2】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的ABC ∆,,A B C ,,a b c 7a =6c =b =10985ABC ∆A ．2+B 1C ．2-D 1【答案】B【详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以【例3】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.【答案】【分析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯= 【例4】已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且::2:3:4a b c =，则ABC 的面积为（ ）A 2B 2C ．212aD ．212b【例5】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，①ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，①1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，①1sin 22BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ①2ABC BDC ∠=∠，①21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，①BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．【例6】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c+-，则C =A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C. 【例7】①ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则①ABC 的面积为________．【分析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 【例8】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．点D 为BC 的中点，π1,3AD B ==，且ABCc =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【题型专练】1.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为 ． 【答案】34【分析】详解：由1cos 4A =-，可得215cos 1sin 2=-=A A ，因1sin 2ABC S bc A ∆=，所以12bc =，所以12=bc ，由余弦定理可得()4124244222cos 222222-=-+=-+-=-+=a bc a bc c b bc a c b A ，解得34=a2.钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5BC ．2D ．1 【答案】B【分析】因11sin 22ABC S ac B ∆==，所以111sin 22B ⨯=，所以22sin =B ，所以434ππ或=B ， 当4π=B 时，22212212cos 2222=⨯⨯-+=-+=b ac b c a B ，解得1=b ，此时2π=A ，不合题意； 当43π=B 时，22212212cos 2222-=⨯⨯-+=-+=b ac b c a B ，解得5=b ，此时5=AC . 3.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若2c =2()6a b -+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239C ．233 D ．33 【答案】C【分析】由余弦定理可得()21226222cos 2222222=-+-=-+-=-+=ab c ab c ab c ab b a ab c b a C ，解得6=ab因11sin 622ABC S ab C ∆==⨯=4.在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，ABC S ∆=，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）ABCD．【答案】A1sin 424ABC S bc A c ∆====利用余弦定理得到：2222cos 116413a b c bc A a =+-=+-=∴=正弦定理：sin sin sin a b cA B C==故2sin 2sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 故选A5．在①AB C 中，若2221()4ABCS b c a =+-，则A =（ ） A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°ABCS=222b c bc +1，又A 6．已知ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，若()223sin 2sin sin sin 2sin sin B C A A B C +=+，则2Sb 的值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：222322sin b c a bc A +=+，通过余弦定理可将等式化简0b >，c 又2b c c +综上所述：故得：b c+7．在ABC 中，已知π24B C ∠=∠=，AC ＝4，则ABC 的面积为（ ） A ．2 B ．)21C ．4D ．)41题型四： 正弦定理解答题【例1】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos C c =-. (1)求角B ； (2)若3cos 5C =，4BD DC =，ABD △的面积为75，求c 的值.为ABC 的内角，得2cos 2B =，为ABC 的内角，所以）解：已知4BD DC =，则BD 114sin 225ABDSAB BD B c a ==⋅由3cos 5C =，可得sin 1cos =-C )sin sin cos4A B C π∴=+=【例2】在ABC 中，已知30A =，120B =，5b =， (1)求c 的值； (2)求①ABC 的面积.）30A =︒，sin sin c C =532， ， 11531253sin 5223212bc A . 【例3】已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b C --=． (1)求角B ；(2)若b ＝2，求a c +的取值范围．①22()416,a c b +≤=即4a c +≤，当且仅当2a c ==时取等，又2a c b +>=，①a c +的取值范围为(]2,4． 【题型专练】1．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知2sin 0b A = (1)求角B 的大小； (2)若2,4a A π==，求ABC 的面积. 所以ABC 的面积2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22cos 2cos 2Ca c A Cb b +++=.(1)求B ；(2)如图，若D 为ABC 外一点，且712BCD π∠=，AB AD ⊥，1AB =，AD =sin BDC ∠.并求BC .2222132BDABAD，tan ABD ∠π3ABD =，所以CBD ABC ABD ∠=∠-∠=7πBCD =，所以πBDC BCD CBD ∠=-∠-∠3．在锐角ABC 中，角A B C ，，所对的边为a b c ，，，且()cos 1cos a B b A ⋅=+. (1)证明:2A B =(2)若2b =，求a 的取值范围.4．已知ABC 中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，π4A =，cos cos b C cB -. (1)求()sin BC -的值；(2)若a =ABC 的面积．ABCS=题型五： 余弦定理解答题【例1】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos b a C c A -=． (1)求角C ；(2)已知7a b +=，ABC ，求ABC 的边AB 上的高h ．）解：在ABC 中，cos A ，根据正弦定理得sin cos C =cos sin C C =cos sin C +）解：在ABC 中，33， 342=， 根据余弦定理得2cos ab C ABCS=11h ∴=【例2】如图，在平面四边形ABCD 中，90,60,23,4DAB DCB ABC AB AD ∠∠∠=====.(1)求cos DBC ∠的值； (2)求AC 的长度. )60cos60cos sin60sin ABD ABD ABD -∠=∠+∠ 7321714=； 90=，所以cos 33BC BD DBC ∠=⋅=，在ABC 中，由余弦定理得：【例3】在ABC 中，2220b c a bc +-+=，sin C =，a = (1)求A ∠的大小； (2)求ABC 的面积. 【答案】(1)所以ABC 的面积【例4】如图，在ABC 中，已知2AB =，AC =45BAC ∠=︒，BC 边上的中线为AM ．(1)求AM 的值； (2)求sin BAM ∠．在ABC 中，利用余弦定理求，在ABM ，△，由此列方程求在ABM 中由余弦定理求）由余弦定理，得22cos AB AC AB AC +-⋅BM CM =在ABM 中，由余弦定理，得222BM AM AB BMA BM AM +-=⋅ACM △中，由余弦定理，得2CM CMA =BMA ∠与∠2）在ABM 中，由余弦定理，得【例5】在①ABC 中，已知222)ABC S a b c =+-△. (1)求角C 的大小； (2)求sin sin A B +的最大值. ABCS =转化为同一个角表示，然后根据两角和的正弦定理可得答案．ABCS=sin C20A <<当π6A +=sin sin A ∴+【题型专练】1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C cos B b -，ABC 的面积214S c =．(1)求C ； (2)求sin sin AB的值．ABCS=，根据正弦定理即可求出2a -2．已知ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足)2222sin ab C a b c +-．(1)求C ；(2)若4a =，5b =，求点C 到边AB 的距离．ABC S =3．在①2cos22cos 12B B +=；①2sin tan b A a B =；()()sin sin sin a c A c A B b B -++=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若 .(1)求角B ；(2)若2b =，且ABCABC 的周长.4．记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知22cos cos 1c B b C bc b c ++=+．(1)求角A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分BAC ∠，2AD =，且2b c =，求a ．5．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，)2222sin ab C b c a =+-. (1)求A ；(2)若34b c =，且a b +=ABC 的面积. 所以ABC 的面积。

余弦定理与正弦定理余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。

它们在三角学中有着广泛的应用，能够帮助我们计算未知边长或角度。

本文将介绍余弦定理和正弦定理的定义、公式以及应用，并探讨它们的区别和联系。

一、余弦定理的定义和公式余弦定理是在三角形中，通过已知边长和夹角计算其他边长的定理。

它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为三角形对应于角C的边长，a和b为与角C相邻的两条边长，cosC为角C的余弦值。

二、正弦定理的定义和公式正弦定理是在三角形中，通过已知两个角度和一个边长计算其他边长的定理。

它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。

三、余弦定理和正弦定理的应用1. 通过余弦定理计算未知边长或角度：- 已知两边长和夹角：可以使用余弦定理计算第三条边长，或者计算其他两个角度。

- 已知三边长：可以使用余弦定理计算其中一个角度。

2. 通过正弦定理计算未知边长或角度：- 已知两角度和一个边长：可以使用正弦定理计算其他两条边长。

- 已知一个角度和两边长：可以使用正弦定理计算另外两个角度。

四、余弦定理与正弦定理的区别和联系余弦定理和正弦定理在解决三角形问题时具有不同的应用场景。

余弦定理适用于已知边长和夹角的情况，可以求解缺失的边长或角度。

而正弦定理适用于已知两个角度和一个边长的情况，同样可以求解其他边长或角度。

此外，两个定理之间也存在一定的联系。

通过余弦定理可以推导出正弦定理，而正弦定理也可以推导出余弦定理。

在解决问题时，可以根据具体情况选择使用其中一个定理进行计算。

总结：余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。

正弦定理、余弦定理精讲精析点点突破热门考点01 正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【典例1】（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【典例2】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解热门考点02 余弦定理余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【典例3】（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【典例4】（2019·北京高考真题（文））在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值． 【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以sin A ==.因为sin()sin()sin B C A A +=π-==. 【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：热门考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【典例6】（2019·全国高考真题（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22-=-．(sin sin)sin sin sinB C A B C（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin 63cos C C -=，即3sin 3cos 23sin 66C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+ 62sin sin()46C ππ+=+=. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．热门考点04 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝2π或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)， 所以△ABC 为等腰或直角三角形． 【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．热门考点05 与三角形面积有关的问题【典例8】（2018·全国高考真题（文））△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【典例9】（2017·上海高考真题）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+，()0,x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2 【解析】（1）函数2211()cos sin cos 2,(0,)22f x x x x x π=-+=+∈ 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈1k =时，12x ππ≤≤，可得()f x 的增区间为[,)2ππ（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边b=5， 若()0f A =，即有1cos 202A += 解得223A π=，即3A π= 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c =2或3， 若c =2，则cos 0B =<即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为11sin 532224S bc A ==⨯⨯⨯=【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．热门考点06 与三角形周长有关的问题【典例10】（2017课标1，理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】 【解析】【典例11】（2019·江西洪都中学高二月考（理））在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos 4c A =，sin 5a C =．（1）求边长c ；（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长． 【答案】（141（2）8241+【解析】（1）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin a C c A =， 因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c=， 又由cos 4c A =，可得4cos A c=，又因为22222516sin cos 1A A c c+=+=，解得c = （2）由题意，ABC ∆的面积1sin 202S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，由余弦定理，可得2222cos 64412841a b c bc A =+-=+-=，解得a =，所以ABC ∆的周长88L a b c =++=+=+【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.热门考点07 三角形中的最值与范围问题【典例12】（2018·江苏高考真题）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例13】（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴周长的最大值为3+【典例14】（2019·全国高考真题（文））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B <π，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABCS <<. 故ABCS的取值范围是 【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.热门考点08 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】（2019·上海市金山中学高一月考）如图，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，2AB km =．若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为______km ．（结果保留根号）【答案】13+ 【解析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=， 设BD CD x ==， 又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=， 323x x ∴=+， 解得：13x =+所以船C 离海岸线l 的距离为(13)km ， 故答案为：13+【典例16】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二））我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”） 【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.【典例17】（2019·海南高一期中）在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 处()31-海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【答案】缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 【解析】如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船（在D 点），则3CD t =海里，10BD t =海里， 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅))2212212cos1206=+-⋅⋅⋅︒=，解得=BC 又sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，sin sin2AC BAC ABC BC ⋅∠∴∠===45ABC ∴∠=︒，故B 点在C 点的正东方向上，9030120CBD ∴∠=︒+︒=︒，在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin sin BD CBDBCD CD⋅∠∴∠=12==. 30BCD ∴∠=︒，∴缉私船沿北偏东60︒的方向行驶.又在BCD ∆中，120CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，30D ∴∠=︒，BD BC ∴=，即10t =解得t =15≈分钟. ∴缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有： （1）两点都不可到达； （2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达. 2. 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3. （1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． （2）解决角度问题的注意事项①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C2．（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12 D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3. （2019·上海市金山中学高一月考）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选：B4．（2016·全国高考真题（文））△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.5．（2018·全国高考真题（理））在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=（ ）A ．BCD ．【答案】A 【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.6．（2012·陕西高考真题（理））在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A B C ．12D ．12-【答案】C 【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C.7．（2019·吴起高级中学高二期中（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，60B =，b =则ABC ∆外接圆的面积是（ ） A ．2π B ．πC ．34πD ．2π 【答案】B 【解析】设ABC △外接圆的半径r ，则22sin sin 60b r B ===，解得1r =， ∴ABC △外接圆的面积21ππ=⨯=，8．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））在ΔABC 中，4a =，5b =，A =45°，则此三角形解的情况是( ) A ．两解 B ．一解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】因为4a =，5b =，A =45°,所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以290c -+=,解得2c =或2c =, 所以此三角形解有两解. 故选:A .9．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））已知△ABC 中，sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【解析】 因为sin sin sin c b Ac a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b-=-+,所以()()()c b c b a c a -+=-, 所以222c b ac a -=-, 所以222a c b ac +-=,所以222122a cb ac +-=,根据余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,因为0B π<<,所以3B π=.10．（2019·陕西高三（理））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=，若22285b c a bc +-=，则tan B 的值为（ ） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】C 【解析】ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由cos cos sin A B C a b c +=，得：cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C +==， 故111tan tan A B+=， 若22285b c a bc +-=，则222425b c a bc +-=，即4cos 5A =．3sin 5A ∴=，故3tan 4A =， 代入111tan tan A B+=，解得tan 3B =-． 故选：C ．11．（2019·四川高三月考（理））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，若ABC △的面积为ABC △的周长的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C 【解析】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=, 1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=（当且仅当c =时取等号）,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +=，∴a b c c ++=设()f c c =()f c 单调递增,c ≥,∴a b c ++≥=故选：C.12．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 13.（2018·全国高考真题（文））ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C 【解析】 由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.14.（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.15．（2019·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【答案】（1）3c =；（2）25. 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B Bb b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16．（2020·山东海南省高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.。

正弦定理与余弦定理知识点与题型分类讲解[归纳·知识整合]1．正弦定理和余弦定理[探究] 1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的什么条件？“A＞B”是“cos A＜cos B”的什么条件？提示：“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，“A＞B”是“cos A＜cos B”的充要条件．2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况[探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例)提示：∵cos A与b2＋c2－a2同号，∴当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( ) A ．23 B ．12 C ．27D ．28解析：选A 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋16－8＝12，所以b ＝2 3.2．(教材习题改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63解析：选D ∵a sin A ＝b sin B ，∴15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝23×32＝33.又∵a ＞b ，A ＝60°， ∴B ＜60°，∴cos B ＝1－sin 2B ＝63. 3．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个解析：选B ∵a sin B ＝102，∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个．4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 35．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°[例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3. ———————————————————正、余弦定理的选用原则解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A＝2得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1.因此b ＝2.[例2] 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． [自主解答] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝ a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．若将条件改为“sin B ＝cos A sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：∵sin B ＝cos A ·sin C ， ∴b ＝b 2＋c 2－a 22bc ·c ，即b 2＋a 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．———————————————————1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等； (2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等. 2.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 解：∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．[例3] (2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .[自主解答] (1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ， 所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.———————————————————三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．3．(2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1条规律——三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2种途径——判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 2个防范——解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.答题模板——利用正、余弦定理解三角形[典例] (2012·江西高考)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ――――――――→数式中既有边又有角，应统一sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A . 2．审结论，明确解题方向 观察所求结论：求证：B －C ＝π2――――――――――→应求角B －C 的某一个三角函数值sin(B －C )＝1或cos(B －C )＝0.3．建联系，找解题突破口考虑到所求的结论只含有B ，C ，因此应消掉sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A 中的角A =4π借助−−−−→A sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝22――――――――――→利用两角和与差的三角函数公式sin(B －C )＝1―――――――――――→要求角的值，还应确定角的取值范围由0＜B ，C ＜3π4，解得B －C ＝π2. 第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：a ＝2，A ＝π4，B －C ＝π2―――――――→可求B ，C 的值 B ＝5π8，C ＝π8. 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求△ABC 的面积――――――→应具有两边及其夹角由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝2sin 5π8，c ＝2sin π8.3．建联系，找解题突破口△ABC 的边角都具备―――――→利用面积公式求结论S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12. [准确规范答题](1)证明：由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C 22sin B ＋22cos B ＝22，⇨(3分) 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1，⇨(5分) 由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.⇨(6分)(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.⇨(8分)由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，⇨(10分)所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.⇨(12分)[答题模板速成]解决解三角形问题一般可用以下几步解答：⇒⇒一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定解析：选A 由正弦定理得a 2＋b 2＜c 2，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以C 为钝角．2．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得：(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，故BC 边上的高是AB sin 60°＝332. 4．在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－12解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.32或34解析：选D 依题意与正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 的面积等于12AB ·AC ＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 的面积等于12AB ·AC ·sin A ＝34.因此，△ABC 的面积等于32或34.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·福建高考)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析：依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a ＞0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为a 2＋(2a )2－(2a )22a ·2a＝－24.答案：－248．(2013·佛山模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cosB ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：由题意知sin A ＝45，sin B ＝1213，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，所以c ＝b sin C sin B ＝145.答案：1459．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________．解析：延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM 、MC ，则四边形ABMC 是平行四边形．在△ABM 中，由余弦定理得BM 2＝AB 2＋AM 2－2AB ·AM ·cos ∠BAM ，即12＝22＋AM 2－2·2·AM ·cos 30°，解得AM ＝3，所以AD ＝32. 答案：32三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)，或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.11．(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ·AC ＝3BA ·BC . (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解：(1)因为AB ·AC ＝3BA ·BC ，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0， 所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.12．(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin (A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4， 得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.① 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，② 将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.2．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154B.34C.31516D.1116 解析：选D 依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k ＞0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k＝1116.3．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B ·sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π解析：选C 由已知及正弦定理，有a 2≤b 2＋c 2－bc .而由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12.注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 4．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2＋cos A＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.。

第七节正弦定理和余弦定理[知识能否忆起]1．正弦定理 分类 内容定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 是△ABC 外接圆的半径)变形 公式①a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ，②sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ③sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R解决的 问题 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角， ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2．余弦定理 分类内容定理在△ABC 中，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 变形 公式 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab解决的 问题 ①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．[小题能否全取]1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°解析：选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：选B ∵a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223.又∵a <b ，∴B 有两个．4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________. 解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b ＝2. 答案：25．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2－10x cos 120°， 整理得x 2＋5x －24＝0，即x ＝3.因此S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×3×5×32＝1534.答案：1534(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .(2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sinAb sin A <a <ba ≥ba >b解的个数一解两解 一解 一解利用正弦、余弦定理解三角形典题导入[例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.在本例(2)的条件下，试求角A 的大小． 解：∵a sin A ＝bsin B， ∴sin A ＝a sin Bb ＝3·sinπ33＝12.∴A ＝π6.由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．以题试法1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝ 2sin A ，即 sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝ 2sin A ，所以b a＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入[例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12，∵0<A <180°，∴A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34.又sin B ＋sin C ＝1， 解得sin B ＝sin C ＝12.∵0°<B <60°，0°<C <60°，故B ＝C ， ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．以题试法2．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A2，cos 2A ，∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3.又∵m ·n ＝72，∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .①又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．与三角形面积有关的问题典题导入[例3] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cosC ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[自主解答] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sinA sin C －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.由题悟法1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．以题试法3．(2012·江西重点中学联考)在△ABC 中，12cos 2A ＝cos 2A －cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC .解：(1)由已知得12(2cos 2A －1)＝cos 2A －cos A ，则cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由b sin B ＝c sin C ，可得sin B sin C ＝bc＝2，即b ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12， 解得c ＝3，b ＝23，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332.1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3解析：选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2cb，则C ＝( ) A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°解析：选B 由1＋tan A tan B ＝2cb 和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22， 又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.4．(2012·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28．(2012·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________；a ＝________.解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin C sin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：2 2 69．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.答案：410．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 11．(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u ur 的值．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r|·|AC u u u r |cos A ＝cb cos A＝2×7×714＝1. 12．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tanA ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ， 所以sin B ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sinC . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.1．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．(2012·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．解析：因为4sin2A ＋B2－cos 2C ＝72， 所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab，ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，② 由①②得b ＝c ＝3， ∴△ABC 为等边三角形．1．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.解析：在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又∵sin A ＝a sin B b ＝12，∴A ＝30°或150°(舍)，∴C ＝90°，∴sin C ＝1.答案：12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知： sin A ＝2sin B cos C ，又A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0.又∵B 、C 为三角形内角，∴B ＝C .法二：(化角为边)由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a，∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，∴b 2＝c 2，∴b ＝c .3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，且0<C <π，所以sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C－1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26， 所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ， 且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.。

【基础知识精讲】1.正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：A a sin =B b sin =C csin =2R. 面积公式：S △=21bcsinA=21absinC=21acsinB.2.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (2)sinA ∶sinB ∶sinC=a ∶b ∶c (3)sinA=R a 2,sinB=R b 2,sinC=Rc 2. 应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况. ①A 为锐角时②A 为直角或钝角时.(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a 、b 、c 分别用2RsinA 、2RsinB 、2RsinC 来代替.3.余弦定理在△ABC 中，有a 2=b 2+c 2-2bccosA; b 2=c 2+a 2-2accosB ； c 2=a 2+b 2-2abcosC ； 变形公式：cosA=bc a c b 2222-+,cosB=ac b a c 2222-+,cosC=abc b a 2222-+在三角形中，我们把三条边(a 、b 、c)和三个内角(A 、B 、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形.4.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π 0＜A ，B ，C ＜πsin2B A +=sin 2C -π=cos 2Csin(A+B)=sinC特别地，在锐角三角形中，sinA ＜cosB,sinB ＜cosC,sinC ＜cosA.【重点难点解析】掌握正、余弦定理，并学会用其余弦定理解三角形.例1 在△ABC 中，已知A ＞B ＞C ，且A=2C,b=4,a+c=8，求a 、c 的长.解：由正弦定理A a sin =C c sin 及A=2C 得C a 2sin =C c sin ,即C C a cos sin 2=Ccsin , ∴cosC=ca 2. 由已知a+c=8=2b 及余弦定理，得cosC=abcb a 2222-+=)()2(222c a a c c a a +-++ =)(4))(35(c a a c a c a ++-=a ca 435-.∴ca 2=a ca 435-，整理得(2a-3c)(a-c)=0∴a ≠c,∴2a=3c. ∵a+c=8,∴a=524,c=516. 例2 在△ABC 中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状.解：∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2,∴sinB=22 又∵0°＜B ＜90°，∴B=45° 由lga-lgc=-lg 2,得c a = 22. 由正弦定理得c A sin sin = 22.即2sin(135°-C)= 2sinC即2［sin135°cosC-cos135°sinC ］=2sinC.∴cosC=0,得C=90° 又∵A=45°,∴B=45°从而△ABC 是等腰直角三角形.例3 如图已知：平行四边形两邻边长为a 和b(a ＜b)，两对角线的一个交角为θ(0°＜θ＜90°)，求该平行四边形的面积.分析：由于已知了平行四边形相邻两边长和对角线的一个交角，再考虑到平行四边形的面积是△AOB 的四倍，因此只要求OA ·OB ·sin θ即可.解：设平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O.AB=a,BC=b,∠AOB=θ，又设OA=x,OB=y.在△AOB 中，应用余弦定理可得： a 2=x 2+y 2-2xycos θ ① 在△BOC 中，应用余弦定理可得： b 2=x 2+y 2-2xycos(180°-θ) ② 由②-①得： b 2-a 2=4xycos θ∵0°＜θ＜90°，∴xy=θcos 422a b - (b ＞a)∴S □=4S △AOB =2xysin θ=222b a -tan θ例4 在△ABC 中，已知4sinBsinC=1,b 2+c 2-a 2=bc,且B ＞C ，求A 、B 、C.分析：由于题设条件b 2+c 2-a 2=bc 十分特殊，将它与余弦定理对照可得A=60°,这样B+C=120°，于是再利用条件4sinBsinC=1，可求得B 与C.解：由余弦定理cosA=bca c a 2222-+=bc bc 2=21.又∵0°＜A ＜180°∴A=60°∴B+C=120°,又由于4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(120°-B)=1 ∴4sinB(23cosB+21sinB)=1∴3sin2B+2sin 2B=1 ∴3sin2B=cos2B∴tan2B=33,∴2B=30°或2B=210°由于B+C=120°,且B ＞C ，60°＜B ＜120° ∴2B=210°,∴B=105°,从而C=15° ∴A=60°,B=105°,C=15°例5 已知△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且a+c=2b ，A-C=3π,求sinB 的值. 解法一：由正弦定理和已知条件a+c=2b ，得sinA+sinC=2sinB ，由和差化积公式得 2sin2C A +·cos 2CA -=2sinB 由A+B+C=π，得 sin2C A +=cos 2B 又A-C=3π,得 23cos 2B =sinB∴23cos 2B =2sin 2B ·cos 2B又∵0＜2B ＜2π,cos 2B≠0 ∴sin2B =43 从而cos2B =2sin 12B -=413 ∴sinB=23·413 =839. 解法二：由正弦定理和已知条件a+c=2b ，得sinA+sinC=2sinB∵A-C=3π,A+B+C=π 两式相减可得B=32π-2C∴sin(3π+C)+sinC=2sinB 得sin 3πcosC+cos 3πsinC+sinC=2sinB∴23cosC+23sinC=2sinB即3cos(3π-C)=2sinB ∴3cos 2B =4sin 2B ·cos 2B∵0＜B ＜π,∴cos 2B≠0∴sin2B =43 cos2B =2sin 12B -=413 ∴sinB=23·cosB=839【难题巧解点拔】例1 △ABC 中，若a=5,b=4,cos(A-B)=3231，求AB. 分析：很明显，只要求cosC 的值，应用余弦定理即可求出AB. 解法一：由已知条件a=5,b=4b a b a -+=B A B A sin sin sin sin -+=2sin2cos 2cos2sinB A B A BA B A -+-+=9，①由已知cos(A-B)= 3231,根据半角公式有sin2B A +=2)cos(1B A --=81,cos 2B A -=2)cos(1B A -+=863代入①式得tg2B A +=639∵tg 2B A +=ctg 2C , ∴tg2C = 963,根据万能公式cosC=81∴c 2=a 2+b 2-2abcosC=36,AB=c=6解法二：∵A ＞B ，如图，作∠BAD=∠B,∴AD=BD∠CAD=∠A-∠B 令AD=BD=y,CD=x,由余弦定理cos(A-B)=boyx y b 2222-+= 3231,x=a-y,∴yy 8910-= 3231,y=4,x=1 △CAD 中再由余弦定理cosC=81,∴c=6 评析：上述解法反映边向角的转化，也可由角向边转化直接求出边.例2 半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，且OA=2，B 为半圆周上任意一点以AB 为边向形外作等边三角形ABC(如图)，问B 点在什么位置时，边形OACB 的面积最大，并求出这个最大面积.解：设∠AOB=x ，则 S △AOB =21·2·1·sinx=sinx, AB 2=OA 2+OB 2-2·OA ·OB ·cosx=5-4cosx. S △ABC =43AB 2=43 (5-4cosx)= 45-3cosx ∴S OACB =S △AOB +S △ABC=sinx-3cosx+435 =2sin(x-3π)+435 ∵0＜x ＜π,-3π＜x-3π＜32π ∴x-3π=2π时，∴即x=65π时,S OACB 有最大值2+435(平方单位) 例3 已知△ABC 中，AB=AC=a,∠BAC=φ，等边三角形PQR 的三边分别通过A ，B ，C 三点.试求△PQR 的面积的最大值.分析：先依题意画出图形(如图).因为变动三角形PQR 为正三角形，它的面积S=43PQ 2，问题可转化为求边长PQ 的最大值.为此需要建立PQ 的函数式，这又必须选取适当的量作为自变量.观察图形可以发现，PQ 的位置是随着∠PAB 的大小变化而变化的.不妨就以∠PAB 为自变量.以下的程序就是应用三角形的边角关系，求出以∠PAB 的三角函数表示PQ 的解析式，最后求它的最大值.解：设∠PAB=x,那么∠PBA=120°-x,∠QAC=180°-x-φ，∠QCA=x+φ-60°.在△PAB 中，∵)120sin(x PA-︒=︒60sin AB ，∴PA=32a sin(120°-x),在△AQC 中，)60sin(︒-Φ+x AQ=︒60sin AC∴AQ=32a sin(x+φ-60°)∴PQ=PA+AQ=32a ［sin(120°-x)+sin(x+φ-60°)=34a sin(2Φ+30°)cos(90°-2Φ-x). 因为其中a,2Φ+30°都是常量，所以当90°-2Φ-x=0即x=90°-2Φ时，取得 (PQ)max =34a sin(2Φ+30°) 同时也就取得了 (S △)max =43 (PQ)2max=334a 2sin 2(2Φ+30°)例4 在△ABC 中，已知A=2C ，求证：3b ＜c-a ＜2b.证明：在△ABC 中，由A=2C ，得C=2A ，∴B=π-3A,∴0＜A ＜3πb ac - =B A C sin sin sin -=)sin(sin sin C A A C +-=2cos2sin 2sin2cos 2C A C A A C A C ++-+ =23sin 2sin A =2sin 2cos 2sin 42sin2A A A A -=12cos 412-A =1cos 21+A .∵0＜A ＜3π，∴21＜cosA ＜1，即2＜2cosA+1＜3∴31＜b a c -＜21,故3b ＜c-a ＜2b.评析：解本题的关键是利用正弦定理及三角公式将b a c -转化为1cos 21+A ，结合角A的取值范围推得结论.【课本难题解答】课本第132页，习题5.9第8题： ｜F ｜≈132N ，β≈38° 第9题两条对角线的长分别是415cm 和43cm,面积是48cm 2.【命题趋势分析】本节主要考查：1.根据已知条件，求三角形的末知元素，或判断三角形的形状. 2.运用正、余弦定理及关系式A+B+C=π解决三角形中的计算和证明问题. 3.利用所学的三角知识解决与三角形有关的三角函数问题和简单的实际问题. 根据考试的方向，可以预见，利用正、余弦定理解斜三角形问题将会与三角函数、数列、方程、向量等知识相结合，尤其是与生活、生产、科学实验实际相结合，考查综合运用数学知识的能力.【典型热点考题】例1 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c=b ，A-C=3π，求sinB 的值.解：根据正弦定理和已知可得：sinA+sinC=2sinB,A+B+C=π 则2sin2C A +·cos 2CA -=2sinB.又A-C=3π,sin 2C A -=cos 2B∴2cos 2B cos 6π=2sinB=4sin 2B cos 2B又∵0＜2B ＜2π∴sin2B =43 cos2B =2sin 12B -= 413 ∴sinB=2·413·43=839例2 若△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为 .解：设三角形三内角从小到大依次为B-d,B,B+d, 则B-d+B+B+d=180°∴B=60° 设最小边为x ，则最大边为2x,从而)60sin(d x -︒=)60sin(2d x +︒⇒tand=33,d=30° 所以三内角分别为A=30°,B=60°,C=90°,得三内角之比为1∶2∶3. ∴应填1∶2∶3.例3 在△ABC 中，A 、B 、C 三顶点所对边分别为a,b,c ，试证明b 2=c 2+a 2-2accosB.证明：因为=+则有：2=·=(+)·(+)=2+2+2·=AB 2+BC 2+2｜AB ｜·｜BC ｜cos(180°-B)=c 2+a 2-2accosB 所以b 2=c 2+a 2-2ac ·cosB例4 求sin 220°+cos 280°+3sin20cos80°的值.解：设△ABC 中的A=10°,B=20°,C=150°对应边分别为a,b,c. △ABC 的外接圆半径为2R ，则由正弦定理得： a=2Rsin10°,b=2Rsin20°,c=2Rsin150° 由余弦定理，得：(2Rsin150°)2=(2Rsin10°)2+(2Rsin20°)2-2(2Rsin10°)(2Rsin20°)cos150°即：sin 2150°=sin 210°+sin 220°+3sin10°sin20°则：cos 280°+sin 220°+3sin20°cos80°=41 说明：本题采用了构造法，题中余弦变正弦之后，注意到3=-2cos(180°-10°-20°).【同步达纲练习】一、选择题1.在△ABC 中，已知a=52,c=10,A=30°，则B 等于( ) A.105°B.60°C.15°D.105°或15°2.在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° A.0°＜A ＜90°D.30°＜A ＜60° 3.在△ABC 中，若2cos A a =2cos B b =2cosC c，则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.在△ABC 中，若a=2,b=22,c=6+2，则∠A 的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.75°5.设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) A.0＜m ＜3 B.1＜m ＜3 C.3＜m ＜4 D.4＜m ＜66.在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于( )A.75°B.120°C.135°D.150°7.△ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°B.120°C.60°或120°D.45°8.在△ABC 中，若A=60°,b=16,且此三角形的面积S=2203，则a 的值是( ) A. 2400B.25C.55D.499.在△ABC 中，若acosA=bcosB,则△ABC 是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角10.在钝角三角形ABC 中，三边长是连续自然数，则这样的三角形( ) A.不存在 B.有无数多个 C.仅有一个 D.仅有两个二、填空题1.在△ABC 中，A=120°,B=30°,a=8,则c= .2.在△ABC 中，已知a=32,cosC=31,S △ABC =43，则b= . 3.已知锐角三角形边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 . 4.在△ABC 中，A=60°,b ∶c=8∶5,其内切圆关径r=23,则a= ，b= ,c= .5.在△ABC 中，A=60°,b=1,面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++= .6.在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，且边b=2，则外接圆半径R= .三、解答题1.设三角形三边长分别为15，19，23，现将三边长各缩短x 后，围成一个钝角三角形，求x 的取值范围.2.在△ABC 中，已知它的三边a ，b ，c 成等比数列，试证明：tan 2A tan 2C ≥31.3.已知在△ABC 中，c=22,a ＞b,C=4π,tanA ·tanB=6,试求a,b 以及此三角形的面积.【素质优化训练】1.在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长.2.如图，在60°的∠XAY 内部有一点P ，P 到边AX 的距离是PC=2，P 到边AY 的距离是PB=11，求点P 到顶点A 的距离.3.在△ABC 中，若C=3B ，求bc的取值范围.4.已知△ABC 是钝角三角形，∠B ＞90°,a=2x-5,b=x+1,c=4,求x 的取值范围.5.在△ABC 中，已知cos 2B+cos 2C=1+cos 2A,且sinA=2sinBcosC,cosC=sinB ，求证：b=c 且A=90°.6.在△ABC 中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a 2+c 2=2001c 2,求BA Ccot cot cot +的值.【生活实际运用】某人在塔的正东方沿南60°西的道路前进40米后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.解：如图，由题设条件知： ∠CAB=∠1=90°-60°=30°∠ABC=45°-∠1=45°-30°=15° ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-30°-15°=135° 又∵AB=40米.在△ABC 中，由正弦定理知：︒15sin AC =︒135sin 40∴AC=︒︒135sin 15sin 40=402sin(45°-30°)=402 (sin45°cos30°-cos45°sin30°) =402 (22·23-22·21)=20(3-1)在图中，过C 作AB 的垂线，设垂足为E ，则沿AB 测得塔的最大仰角就是∠CED ，∴∠CED=30°.在Rt △ACE 中，EC=AC ·sinBAC=AC ·sin30°=20·(3-1)·21=10(3-1) 在Rt △DCE 中，塔高CD=CE ·tan ∠CED=10(3-1)·tan30°=3)33(10- (米).【知识验证实验】外国船只除特许者外，不得进入离我国海岸线d 海里以内的海域.设B 和C 是我国的两个设在海边的观测站，B 与C 之间的距离为m 海里，海岸线是过B 、C 的直线.一外国船在A 点处，现测得∠ABC=α、∠ACB=β.试求α、β满足什么关系时，就应向示经特许的外国船只A 发出警告?解：如图所示，作AD ⊥BC ，垂足为D ，在△ABC 中，∠BAC=180°-(α+β)∴sin ∠BAC=sin(α+β).由正弦定理得：βsin AB =)sin(βα+BC ,αsin AC =)sin(βα+BC. ∵BC=m ，故有： AB=)sin(sin βαβ+m ,AC=)sin(sin βαα+m由于S △ABC =21BC ·AD=21 m ·AD 且S △ABC =21AB ·AC ·sin(α+β). 所以21)sin(sin βαα+m ·)sin(sin βαβ+m ·sin(α+β)= 21mAD.从而有：AD=)sin(sin sin βαβα+m因此，当AD ≤d,即)sin(sin sin βαβα+m ≤d 时，就应向外国船只A 发出警发.【知识探究学习】如图，在四边形ABCD 中，BC=m,DC=2m,四个内角A 、B 、C 、D 之比为3∶7∶4∶10,试求△ABD 的面积.解：由于四个内角A 、B 、C 、D 比为3∶7∶4∶10，所以可设它们的大小依次为：3x 、7x 、4x 、10x.由四边形的内角和为360°，所以有：3x+7x+4x+10x=360°，可求得：x=15°. 在△BCD 中，由余弦定理得； BD 2 =BC 2+DC 2-2BC ·DC ·cosC.=m 2+(2m)2-2·m ·(2m)cos60° =3m 2∴BD=3m.这时，在△BCD 中，BD 2+BC 2=DC 2,所以△BCD 是直角三角形，DC 是斜边. ∴∠CDB=30°,∠ADB=120°. 在△ABD 中，由正弦定理得：AB=A ADB BD sin sin ∠∙=︒︒45sin 120sin 3m =223m,另外∠ABD=105°-90°=15°,BD=3m.所以S △ADB =21AB ·BD ·sin15°=21·223m ·3m ·sin15° =8239-m 2.参考答案【同步达纲练习】一、1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C二、1.338 2.213 3.(5，13) 4.14，10，16 5. 338 6. 332 三、1.3＜x ＜112.提示可证：a+c ≥2b ，再得sinA+sinC ≥2sinB ，和差化积可得结论3.a=5106,b=558,S △=524【素质优化训练】1.a=14,b=10,c=62.143.1＜b c＜3 4. 310＜x ＜4 5.可求出B=C=45° 6.1000。