极坐标与参数方程

圆心为 r ,0 ，半径为 r 的圆
圆心为 r ,
，半径为 r 的圆 2
0
(1) ( R )
过极点，倾斜角为 的直线
或 ( R ) (2)
( 0 )和
( 0 )
把直角坐标系的原点作为极点， x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如 图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 x, y 和 , （ 0 ） ，于 是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 互化 公式 直角坐标 x, y 极坐标 ,
2
(3)直角坐标 x, y 化为极坐标 , 的步骤
2 x2 y2 ①运用 y tan x 0 x
②在 0, 2 内由 tan
y x 0 求 时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． x
(4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质， 可转化直角坐标系的情境进行． 3.求曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设 P , 是曲线上任意一点；(2)由 曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式；(3)将列出 的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． 4.注意： (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则 点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的 等价性． 5.曲线的极坐标方程的应用： 解决极坐标方程问题一般有两种思路． 一是将极坐标方程化为直 角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根 据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 【考点针对训练】 1. 【湖北武汉市 2017 届高三第三次模拟】 圆锥曲线 C 的极坐标方程为： 2 1 sin 2 2 .
1
x 3 cos ( 为参数) y sin
，
以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴， ，建立极坐标系，曲线 ． sin( ) 2 2 4
C2 的极坐标方程为
（I）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （II）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标.
x cos y sin
2 x2 y2 y tan x 0 x
图形 极坐标方程
3．常见曲线的极坐标方程 曲线
圆心在极点，半径为 r 的圆
r 0 2
2r cos 2 2 2r sin
（2）设点 M 是
【考点 2】参数方程 【备考知识梳理】 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中， 如果曲线上的任意一点的坐标 x, y 都是某个变量的函数 对于 t 的每个允许值，由方程组所确定的点 M
x f t 并且 y g t
x, y 都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参
【2015 高考福建】 在平面直角坐标系 xoy 中， 圆 C 的参数方程为 í 8.
ì x = 1 + 3cos t ï (t 为参数) . ï y = -2 + 3sin t î
在极坐标系（与平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半 轴为极轴）中，直线 l 的方程为 2 r sin(q -
2.【武汉市汉阳一中 2017 届高三第五次模拟】在直角坐标系中，圆
：
＝1 经过伸缩
变换
后得到曲线
．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取
相同的单位长度，建立极坐标系，直线 L 的极坐标方程为
（1）求曲线
的直角坐标方程及直线 L 的直角坐标方程； 上一动点，求点 到直线 L 的距离的最小值．
p ) = m, (m Î R). 4
(Ⅰ)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值．
【2015 高考新课标 1】 在直角坐标系 xOy 中， 直线 C1 : 9.
圆 C2 ： x = 2， x 1 y 2 1 ,

x x0 t cos ( t 为参数)． y y0 t sin
x r cos ( 为参数)． y r sin
(3)圆锥曲线的参数方程
x a cos x2 y2 椭圆 2 2 1( a b 0) 的参数方程为 ( 为参数)． a b y b sin
数方程，联系变数 x, y 的变数 t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐 标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点 P 0 x0 , y0 ，倾斜角为 的直线的参数方程为
设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段 P 0 P 的数量． (2)圆的参数方程
2 2
以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求 C1 ， C2 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 C3 的极坐标方程为 面积.
R ，设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求 C2 MN 的 4
【考点 1】极坐标
【备考知识梳理】 1．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点 O 叫做极点；自点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴； 再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样 就建立了一个极坐标系(如图)．
专题 1
【三年高考】
极坐标与参数方程（文科）
x 3cos , 文 22】在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 （θ为参数） ， 1. 【2017 课标 1， y sin ,
直线 l 的参数方程为
x a 4t , （t为参数） ． y 1 t,
4.注意： （1）在将直角坐标化为极坐标求极角 时，易忽视判断点所在的象限(即角 的终边 的位置)． （2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．极坐标 , ， , 2k k Z ，
, 2k k Z 表示同一点的坐标．
（Ⅰ）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 l 的参数方程是 求 l 的斜率．
x t cos （ t 为参数）, l 与 C 交于 A, B 两点， | AB | 10 ， y t sin
6. 【2016 高考新课标 3】 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为
x a cos t （t y 1 a sin t
（II）直线 C3 的极坐标方程为 0 ,其中 0 满足 ta n 0 =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a．
5. 【2016 高考新课标 2】在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为
( x 6) 2 y 2 25 ．


（1）以极点为原点，极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线 C 的直角坐 标方程，并求曲线 C 在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标； （2）直线 l 的极坐标方程为
R ，若曲线 C 上的点 M 到直线 l 的距离最大， 3
求点 M 的坐标（直角坐标和极坐标均可）.
（1）若 a 1 ，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a ．
2. 【2017 课标 II，文 22】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4 。 （1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | OM | | OP | 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 (2,
(2)极坐标： 设 M 是平面上的任一点， 极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的极径， 记为 ； 以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的 xOM 叫做点 M 的极角，记为 .有序数对 , 称 为点 M 的极坐标，记作 M , ． 一般地，不做特殊说明时，我们认为 0 ， 可取任意实数． 2．极垂直的直线
cos a 2 2
过点 a,

，与极轴平行的直线 2
sin a 0
若圆心为 M 0 , 0 ，半径为 r 的圆方程为
2 2 0 cos 0 0 2 r 2 0 .
7.【2015 高考新课标 2】在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 :
x t cos , （ t 为参数， t 0 ） ， y t sin ,
其中 0 ，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 : 2sin ，曲 线 C3 : 2 3 cos ． （Ⅰ）.求 C2 与 C1 交点的直角坐标； （Ⅱ）.若 C2 与 C1 相交于点 A ， C3 与 C1 相交于点 B ，求 AB 的最大值．
双曲线
x a sec x2 y2 2 1( a 0, b 0) 的参数方程为 ( 为参数)． 2 a b y b tan
) ，点 B 在曲线 C2 上，求 △OAB 面积的最大值。 3
x 2+t , （t 为参数）， 3．【2017 课标 3，文 22】在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 y kt ,