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高中数学文科 立体几何

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1．构成几何体的基本元素：点、线、面． ⑴点不考虑大小；⑵线不考虑粗细；一条直线把平面分成两个部分． ⑶面不考虑厚薄；一个平面将空间分成两个部分．2．多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体．凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，其余的各面都在这个平面的同一侧． 截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部）．3名称 侧面积S 侧 全面积S 全 体 积V 棱 柱棱柱 直截面周长l ⨯2S S +侧底S h ⋅底直棱柱 chS h ⋅底 棱锥 棱锥各侧面面积之和S S +侧底 13S h ⋅底 正棱锥 12ch ' 棱台 棱台 各侧面面积之和S S S ++侧上底下底 ()13h S S S S ++⋅上底下底上底下底 正棱台 ()12c c h ''+ ''4．旋转体的表面积和体积公式名称侧面积S 侧 全面积S 全 体 积V 圆柱 2πrl ()2πr l r + 2πr h (即2πr l )圆锥 πrl()πr l r +21π3r h 圆台()12πr r l +()()221212ππr r l r r +++()2211221π3h r rr r ++ 球 24πR34π3R 12径，R 表示球的半径．5．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． 画法：斜二测画法：6．三视图排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；知识点睛14.1空间几何体立体几何三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．考点：空间几何体的体积与表面积【例1】 ⑴ 若将一个棱长为a 的正方体，切成八个全等的小正方体，则表面积增加了______ ．⑵ 已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为1000π，那么此圆柱的侧面积S 等于_____． ⑶ 等体积的球和正方体，表面积的大小关系是S 球____S 正方体(填<，或)．⑷ 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥体积为83π，则这个圆锥的表面积为______． 【解析】 ⑴ 26a⑵ 200π ⑶ < ⑷ 12π尖子班学案1【拓1】 ⑴ 如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于_____ ；⑵ 半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为______． ⑶ 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为______；【解析】 ⑴ 30︒ ⑵ 3a⑶ 3:1:2考点：三视图【例2】 ⑴ 下列四个几何体中，各几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（ ）①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④半球 A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①③⑵ 一个几何体的俯视图是半径为2的圆，主视图和左视图都是一个宽为4，长为5的矩形，则该几何体的体积为______.⑶ 已知某个几何体的三视图如下左图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是_______⑷ 如下右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为________．俯视图侧视图正视图112222正视图侧视图俯视图453经典精讲【解析】 ⑴ C⑵ 20π⑶ 34cm 3⑷ 33π目标班学案1【拓2】 一个几何体的三视图如图，请画出它的直观图，并求该几何体的体积．【解析】 直观图如图，803V =1．平面的三个公理：⑴ 公理一：A l ∈，B l ∈，A α∈，B α∈，l α⇒⊂ ⑵ 公理二：A B C ，，三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A α∈，B α∈，C α∈． ⑶ 公理三：A a αβαβ∈⇒=，A a ∈． 2．直线与平面的位置关系：⑴ 直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂；⑵ 直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=； ⑶ 直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作l α∥． 3．直线与平面平行判定：l α⊄，m α⊂，l m l ∥∥α⇒． 性质：l ∥α，l β⊂，m l m ∥αβ=⇒． 4．面面平行判定：l α⊂，m α⊂，l m A =，l β∥，m β∥αβ⇒∥． 性质：αβ∥，m γα=，n γβ=，m n ⇒∥． 5．直线与平面垂直 定义：l O ，m α∀⊂，l m ⊥l α⇒⊥．判定：m α⊂，n α⊂，m n O =，l m ，l n l α⇒⊥． 推论：m n ∥，m n α⇒⊥．性质：m ，n⇒m n ∥． 6．面面垂直：知识点睛14.2空间中的平行垂直422正视图侧视图俯视图44244PE DCB A判定：l ，l β⊂αβ⇒⊥． 性质：，l ，m α⊂，ml m β⇒⊥考点：平行垂直的判定【例3】 ⑴ 已知，表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则“m”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件⑵ 如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1AB E⑶ 给定下面四个命题，其中为真命题的是________．①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．【解析】 ⑴ A⑵ C ⑶ ②④【例4】 ⑴ 已知直线l 平面，直线m ∥平面，下列命题中正确的是（ ）A ．l m αβ⊥⇒⊥B ．l m αβ⊥⇒∥C ．l m αβ⊥⇒∥D ．l m αβ⇒⊥∥ ⑵ 已知两条互不重合的直线m n ，，两个不同的平面αβ，，下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥，n ∥，且m n ∥，则∥ B ．若m ，n ∥，且m n ，则 C ．若m ，n ∥，且m n ∥，则∥ D ．若m ，n ，且m n ，则⑶ 设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若αγ⊥，则∥αβ；②若m α⊂，n α⊂，则m β∥，n β∥，则αβ∥； ③若αβ∥，l α⊂，则l β∥；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，l γ∥，则m n ∥． 其中真命题是________【解析】 ⑴ D⑵ D ⑶ ③④经典精讲A 1B 1C 1A BEC尖子班学案2【铺1】 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，E 是1DD 的中点．⑴ 求证：1BD ∥平面ACE ； ⑵ 求证：平面ACE ⊥平面11B BDD ．【解析】 ⑴ 记AC BD ，交于点O ，连接EO ，则O 为BD 中点，又E 为1DD 中点，则1EO BD ∥， 1BD ⊄平面ACE ，所以1BD ∥平面ACE ． ⑵ 因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥，1BD DD D =所以AC ⊥平面11BB D D ，又AC ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面11B BDD ．【例5】 如图，已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，E ，F 分别是PB 和AC的中点，求证：⑴EF ∥平面PAD ；⑵EF AB ⊥【解析】 ⑴ 连接BD ，∵ABCD 为正方形，F 为AC 中点．∴F 在BD 上且平分BD ．又E 为PB 中点．∴EF PD ∥，又PD ⊂平面PAD ．∴EF ∥平面PAD ． ⑵ 取AB 中点I ，连接EI FI ，，则EI PA FI BC ∥，∥又PA ⊥平面ABCD ，所以EI ⊥平面ABCD ，因此EI AB ⊥．在Rt ABC △中，有FI AB ⊥，于是AB ⊥平面EIF ， 于是AB EF ⊥．目标班学案2【拓2】 如图所示，在斜三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC △是等腰三角形，AB AC =，侧面11BB C C ⊥底面ABC ． ⑴ 若D 是BC 的中点，求证：1AD CC ⊥；⑵ 过侧面11BB C C 的对角线1BC 的平面交侧棱于M ，若1AM MA =， 求证：截面1MBC ⊥侧面11BB C C ．【解析】 ⑴ ∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥．∵底面ABC ⊥侧面11BB C C ，交线为BC ，∴由面面垂直的性质定理，可知AD ⊥侧面11BB C C ． 又∵1CC ⊂侧面11BB C C ，∴1AD CC ⊥．⑵ 如图延长11B A 与BM 的延长线交于N （在侧面11AA B B 中）， 连结1C N ．∵1AM MA =，∴111NA A B =．又∵1111A B A C =（由棱柱定义知111ABC A B C △≌△）， ∴11111AC A N A B ==．∵在11B C N ∆中，由平面几何定理，知1190NC B ∠=︒，即111NC B C ⊥ 又∵侧面11BB C C ⊥底面111A B C ，交线为11B C ， ∴1NC ⊥侧面11BB C C又∵1NC ⊂面1BNC ，∴截面1C NB ⊥侧面11BB C C ， ∴截面1MBC ⊥侧面11BB C CA 1C 1B 1D 1D BC AE F P A D CBE E B CD A PF IE B CDAP FDMA 1B 1C 1ABCNCBAC 1B 1A 1M D OE A CBD D 1B 1C 1A 1【备选】 如图：O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面ADC '．【解析】 因为B H D O ''⊥，所以只需再证明B H '垂直于面AD C '上的另外一条直线即可． 因为AC BD AC BB '⊥⊥，，所以AC ⊥平面BDD B ''， 又B H '⊂面BDD B ''，因此AC B H '⊥． 于是B H '垂直于相交直线AC D O '，所在的平面AD C '．尖子班学案3【铺1】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ． ⑴ 求证：AP ⊥平面BDE ；⑵ 求证：平面BDE ⊥平面BDF ； ⑶ 若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【解析】 ⑴ ∵AB BC =，D 为AC 中点，∴BD AC ⊥又PC ⊥底面ABC ，∴PC BD ⊥∵PC AC C =，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD AP ⊥． 又DE AP ⊥，∴AP ⊥平面BDE ． ⑵ ∵D F ，为AC PC ，的中点，∴DF AP ∥．结合⑴可知DF ⊥平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面BDF ． ⑶ 1:2．【例6】 在长方体1111ABCD A B C D 中，1AB BC ，12AA ，点M 是BC 的中点，点N 是1AA 的中点，⑴ 求证：MN ∥平面1ACD ； ⑵ 过N C D ，，三点的平面把长方体1111ABCD A B C D 截成两部分几何体，求所截成的两个几何体的体积比．【解析】 ⑴ 取AD 边中点E ，连接NE ，ME ，则EM CD ∥， 由于N 为1AA 中点，则1NE A D ∥， 所以平面NME ∥平面1ACD ， 而MN ⊂平面NME ，所以MN ∥平面1ACD ． ⑵ 1:3．MN A C BDD 1B 1C 1A 1PABCDEFOH D'C'B'A'B ACDEA 1C 1B1D 1DBCA N M目标班学案3【拓2】 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD MA ∥,E 、G 、F 分别为MB 、PB PC 、的中点，且2AD PD M A ==． ⑴ 求证：平面EFG ⊥平面PDC ;⑵ 求三棱锥P M AB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. 【解析】 ⑴ 由已知MA ⊥平面ABCD ，PD MA ∥，所以PD ⊥平面ABCD ．又BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥因为四边形ABCD 为正方形，所以BC DC ⊥． 又PD DC D =，因此BC ⊥平面PDC ．在PBC △中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点， 所以GF BC ∥，因此GF ⊥平面PDC ． 又GF ⊂平面PDC ，所以平面EFG ⊥平面PDC ． ⑵ :1:4P MAB P ABCD V V --=．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱12AA =，底面ABCD 是菱形，2AB =，60ABC ∠=︒，P 为侧棱1BB 上的动点． ⑴ 求证：1D P AC ⊥；⑵ 当P 恰为棱1B B 的中点时，求四面体1CPD A 的体积．【解析】 ⑴ 连结BD ，则AC BD ⊥，∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1AC D D ⊥，∴AC ⊥平面11BB D D ， ∵1D P ⊂平面11BB D D ， ∴1D P AC ⊥．⑵ 设BD AC O =，连1D O PO ，， ∵11D A D C =，∴1D O AC ⊥，同理PO AC ⊥，又∵1D O PO O =，∴AC ⊥平面1POD ． ∵2AB =，60ABC ∠=︒， ∴1AO CO ==，3BO DO == ∴21237D O =+=312PO +． 在11Rt PB D △中，()2123113D P =+=，在1D OP △中，17cos 272D OP ∠==⨯⨯． ∴217321sin 114D OP ⎛⎫∠=-- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴113213372214D OP S =⨯=△， A 1C 1B 1D 1DBCA POPA CBD D 1B 1C 1A 1P MG FED CB A∴111133233CPD A C D OP A D OP V V V --=+=⨯⨯=四面体三棱锥三棱锥．（2010“华约”自主招生）在四棱锥V ABCD -中，11B D ，分别为侧棱VB VD ，的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V ABCD -的体积之比为（ ）A ．1:6B ．1:5C ．1:4D ．1:3【解析】 C如图，在四棱锥V ABCD -中，设底面对角线交于点O ，依题意有11B D BD ∥，1112B D BD =， 则11B D O △中11B D 边上的高为VBD △中BD 边上高的一半，即1114B D O VBD S S =△△，从而111111111444AB D C A OB D C OB D A BDV C BDV V ABCD V V V V V V -----=+=+=．大千世界O D 1B 1V D CB A。

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《高中数学立体几何》课件

《高中数学立体几何》课件

立体几何在数学、工程、建筑等领域 有着广泛的应用，是理解和描述现实 世界空间关系的重要工具。
立体几何的重要性
01
02
03
培养空间思维能力
学习立体几何有助于培养 学生的空间想象力和逻辑 思维能力，提高解决实际 问题的能力。
数学学科基础
立体几何是数学学科体系 中的重要组成部分，对于 理解数学概念、掌握数学 方法具有重要意义。
《高中数学立体几何》ppt课 件
目 录
• 立体几何简介 • 立体几何基础知识 • 立体图形的性质与分类 • 立体几何的应用 • 解题技巧与思路 • 立体几何的未来发展
01
立体几何简介
什么是立体几何
立体几何是研究三维空间中图形和物 体性质的一门学科。它涉及到点、线 、面、体等基本元素，以及它们之间 的位置关系和度量关系。
角度的计算
角度是描述两条射线或线段之间夹角 的大小的量。在立体几何中，角度可 以通过使用三角函数或几何定理来计 算。
距离的计算
距离是描述两点之间或一点到一条线 段之间的最短路径的大小的量。在立 体几何中，距离可以通过使用勾股定 理或几何定理来计算。
03
立体图形的性质与分类
立体图形的性质
空间性
立体图形存在于三维空间 中，具有空间特性。
近现代发展
随着数学和科学技术的不断进步， 立体几何逐渐与代数学、分析学等 学科交叉融合，形成了更加丰富和 深入的研究领域。
02
立体几何基础知识
点、线、面的基本性质
点的基本性质
面的基本性质
Байду номын сангаас
点是几何学中最基本的元素，没有大 小和形状。在空间中，点的唯一特征 是它的位置。
面是由无数条线组成的，它只有面积 而没有厚度。面的形状和位置由其上 的点和其上的线的分布决定。
高中数学公式大全立体几何与空间向量

高中数学公式大全立体几何与空间向量

高中数学公式大全立体几何与空间向量高中数学公式大全：立体几何与空间向量一、立体几何立体几何是数学中研究三维空间中的几何图形及其性质的分支，对于高中生来说，常见的立体几何包括了体积、表面积等方面的内容。

下面是一些常用的立体几何公式：1. 立方体体积公式立方体是一种边长相等的六个正方形围成的立体。

其体积公式为：V = 边长³。

2. 正方体体积公式正方体是一种六个面都是正方形的立体。

其体积公式为：V = 底面积 ×高。

3. 长方体体积公式长方体是一种六个面都是矩形的立体。

其体积公式为：V = 长 ×宽×高。

4. 圆柱体积公式圆柱体是一种底面为圆形的立体。

其体积公式为：V = π × 半径² ×高。

5. 圆锥体积公式圆锥体是一种底面为圆形，顶点和底面中心连线垂直于底面的立体。

其体积公式为：V = 1/3 × π × 半径² ×高。

6. 球体积公式球体是一种所有点到球心的距离都相等的立体。

其体积公式为：V= 4/3 × π × 半径³。

7. 棱柱表面积公式棱柱是一种顶面和底面是平行的多边形，侧面是平行四边形的立体。

其表面积公式为：S = 底面积 + 侧面积。

8. 棱锥表面积公式棱锥是一种底面为多边形，侧面是由底面上的点和顶点连线形成的三角形的立体。

其表面积公式为：S = 底面积 + 侧面积。

二、空间向量空间向量是指具有大小和方向的箭头，可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。

在高中数学中，空间向量常用于解决线性相关、平面垂直、平面平行等问题。

下面是一些常用的空间向量公式：1. 两点之间的距离公式设空间中的两点为A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则两点之间的距离公式为：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)。

高中数学立体几何知识点总结

高中数学立体几何知识点总结

高中数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个分支，研究与三维空间中的几何图形相关的性质和关系。

高中数学中的立体几何部分主要涉及到体积、表面积、平面截面和立体图形的性质等内容。

下面将对高中数学立体几何的知识点进行总结。

一、体积和表面积的计算方法在立体几何中，体积和表面积是重要的衡量参数。

体积用于表示一个立体图形所占据的空间大小，而表面积则表示该立体图形的外表面积。

1.1 直体的体积和表面积计算方法直体包括长方体、正方体和圆柱体等。

长方体的体积等于底面积乘以高，表面积等于长方体的六个面的面积之和。

正方体的体积等于边长的立方，表面积等于六个面的面积之和。

圆柱体的体积等于底面积乘以高，表面积等于上下底面积之和再加上侧面积。

1.2 斜体的体积和表面积计算方法斜体包括棱柱、棱锥、棱台和四面体等。

棱柱的体积等于底面积乘以高，表面积等于底面积加上侧面积。

棱锥的体积等于底面积乘以高除以3，表面积等于底面积加上底面与顶点相连的面积。

棱台的体积等于上底面积加下底面积再乘以高除以2，表面积等于上底面积加下底面积再加上四个侧面的面积。

四面体的体积等于底面积乘以高除以3，表面积等于四个面的面积之和。

1.3 球体的体积和表面积计算方法球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，表面积等于4乘以π乘以半径的平方。

二、平面截面的性质和计算方法在立体几何中，平面截面是指一个平面与一个立体图形相交后所形成的截面。

平面截面的性质和计算方法与不同的立体图形有关。

2.1 长方体的平面截面性质和计算方法长方体的平面截面可以是矩形、正方形或平行四边形。

截面的面积等于截面的宽度乘以长度。

2.2 圆柱体的平面截面性质和计算方法圆柱体的平面截面可以是圆形、椭圆形或矩形。

截面的面积等于截面的形状对应的公式计算得出。

2.3 球体的平面截面性质和计算方法球体的平面截面可以是圆形或椭圆形。

截面的面积等于截面的形状对应的公式计算得出。

三、立体图形的性质除了体积、表面积和平面截面之外，立体几何还研究了立体图形的性质和关系。

高中数学立体几何大题练习(文科)

高中数学立体几何大题练习(文科)

立体几何大题练习（文科）：1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，由余弦定理可得AD==a，则BD⊥AD，由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，由AD=SD=a，在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a，△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a，由SH⊥平面BCD，可得×a××a2=，解得a=1，由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD，SB===2a，又AB=2a，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为=a，则△SAB的面积为×SA×a=a=．【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题．2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N；（2）求证：AC⊥MB．【分析】（1）证明MC1NB为平行四边形，所以C1N∥MB，即可证明MB∥平面AC1N；（2）证明AC⊥平面BCC1B1，即可证明AC⊥MB．【解答】证明：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为点M，N分别是B1C1，BC的中点，所以C1M∥BN，C1M=BN．所以MC1NB为平行四边形．所以C1N∥MB．因为C1N⊂平面AC1N，MB⊄平面AC1N，所以MB∥平面AC1N；（2）因为CC1⊥底面ABC，所以AC⊥CC1．因为AC⊥BC，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．因为MB⊂平面BCC1B1，所以AC⊥MB．【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅰ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．【分析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．…（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以V P=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ，﹣BMQ取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，，…（7分）又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，…（10分）=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ=.，…（11分）所以V P﹣BMQ则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．（1）求证：PA⊥平面CMN；（2）求证：AM∥平面PBC．【分析】（1）推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD ⊥PA，MN⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD、PA的中点，∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，∵PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AD，又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CM⊂平面CMN，∴PA⊥平面CMN．解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，又∵PC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC，∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，∵AQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AQ∥平面PBC，∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，∵AM⊂平面AMQ，∴AM∥平面PBC．【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC．【分析】（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；（2）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．所以在△CPA中，EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD．因为CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC所以PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，所以面PAB⊥面PDC．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，BD=2，E、F分别为AD、PC中点．（1）求点F到平面PAB的距离；（2）求证：平面PCE⊥平面PBC．【分析】（1）取PB的中点G，连接FG、AG，证得底面ABCD为正方形．再由中位线定理可得FG∥AE且FG=AE，四边形AEFG是平行四边形，则AG∥FE，运用线面平行的判定定理可得EF∥平面PAB，点F与点E到平面PAB的距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得AD⊥平面PAB，即可得到所求距离；（2）运用线面垂直的判定和性质，证得BC⊥平面PAB，EF⊥平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．【解答】（1）解：如图，取PB的中点G，连接FG、AG，因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，，所以底面ABCD为正方形．∵E、F分别为AD、PC中点，∴FG∥BC，AE∥BC，，，∴FG∥AE且FG=AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥FE，∵AG⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB，∴点F与点E到平面PAB的距离相等，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又AD⊥AB，PA∩AB=A，AD⊥平面PAB，则点F到平面PAB的距离为EA=1．（2）证明：由（1）知AG⊥PB，AG∥EF，∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，∵BC⊥AB，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，由AG⊂平面PAB，∴BC⊥AG，又∵PB∩BC=B，∴AG⊥平面PBC，∴EF⊥平面PBC，∵EF⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC．【点评】本题考查空间点到平面的距离，注意运用转化思想，考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键，属于中档题．9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．【分析】（1）由中位线定理可得PC∥EF，故而PC∥平面DEF；（2）由直角梯形可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBC ⊥平面PBD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是PB，BC的中点，∴PC∥EF，又PC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PC∥平面DEF．（2）取CD的中点M，连结BM，则AB DM，又AD⊥AB，AB=AD，∴四边形ABMD是正方形，∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD=，∴BC=，∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【分析】（1）利用线面平行的性质可得BD∥EF，从而得出EF∥平面ABD；（2）由AE⊥平面BCD可得AE⊥CD，由BD⊥CD，BD∥EF可得EF⊥CD，从而有CD⊥平面AEF，故而平面AEF⊥平面ACD．【解答】证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，∴BD∥EF，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平ABD面．（2）∵AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD，由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，∴EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，∴CD⊥平面AEF，又CD⊂平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD．【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质，面面垂直的判定，属于中档题．。