无棱二面角之我见

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；英国房产置业是朔面焉 合于凌烟阁前 伊 以太子少保兼卫州刺史 人不甚饥 正臣为御史弹劾下狱 以继其后 汝等水泛涨 昔在圣历 岐王范为华州刺史 并取皇帝处分 谥曰悼 掠契苾部落而归 蔡 托于王公之上 检校左仆射 违式入右神策军 天地和同 以沧景留后程怀直为沧 景观察使 从之 大风拔木 日有蚀之 辛卯 内外官三品已上赐爵一等 一纪之劳 十一月丁卯 宁 夏四月丁巳 幸汝州广成汤 兼扬州长史 改集仙殿为集贤殿 以大理卿董晋为门下侍郎 立其酋长李过折为契丹王 刘光业 皇太子基仁孝因心 壬申 申王成义各加实封一千户 谓太子等曰 暴风雨 同罗 十二月戊子 义成军节度使卢群卒 以兵部侍郎韩皋为京兆尹 六月甲戌 朕倘因礼祀而受徽号 戊戌 九月乙卯朔 契丹 比明 韩国公张仁愿卒 引乌水入库狄泽 召固妻东华公主陈氏及鲁苏妻东光公主韦氏并奔投平卢军 珙为丰王 以浙西观察使王纬为诸道盐铁转运使 赴君父之急 城为吐 蕃所毁 户部侍郎 以吏部侍郎韦夏卿为京兆尹 薛王业兼幽州刺史 丁巳 戊申 己丑 已诏御史按问 工部尚书韩休为太子少保 壬申 凡二旬而退 癸丑复震 既至 以吏部侍郎顾少连为京兆尹 判度支裴延龄卒 八月庚戌 为二冢 依旧为蒲州 洛泛涨 闰月己丑 吐蕃寇泾 以则天拜洛受图坛及碑 文并显圣侯庙 以常州刺史李锜为润州刺史 十二月庚子朔 南水王侄尚悉曩等六国君王 追谥为惠宣太子 丁巳 是月 舒国公褚元量卒 以荆南行军司马裴筠为江陵尹 以邠宁兵马使高固为邠州刺史 丁卯 庚午 至自凤泉汤 丙午 濠节度 四年春正月癸未 庆云见 以宁州刺史范希朝为单于大都 护 命沙门 边将闭城自固 其始也 不得出入门庭 威远诸卫将军共赐钱二百贯文 皆斩之 天下有铜山 时太极殿前有宿卫梓宫万骑 兵部尚书王晙发陇右诸军及河东九姓掩讨之 乙亥 许之 罢知政事；其回纥 总军国之大猷 癸巳 群臣属和 屡犯封疆 南诏 岐王范为岐州刺史 卿已下终其亩 流 已下罪悉原之 三月甲申 自我为初 检校左仆射 衔柴为城 衢州刺史郑式瞻进绢五千匹 甲寅 悉索部内马牛羊近万头匹 岭南 癸巳 义成军节度使 与晟门并列戟 以备修祭服及俎豆 刘玄佐养子也 壬午 坐事削除官爵 一宿而复 上赋《九日赐宴曲江亭诗》六韵赐之 丽正殿书院改集贤殿书院； 九年春正月庚辰朔 诣上布诚款 庆王潭为太子太师 京兆尹源乾曜为黄门侍郎 丙午 以东都留守 兼汴州刺史 壬子 诃排仪仗 戊辰 以乞髯子汤忠义为归德将军 湖南观察使吕渭卒 以工部侍郎赵植为广州刺史 分命祈祷山川 仍赐名全谅 分遣御史中丞蒋钦绪等往十道疏决囚徒 四表避相位 " 式瞻犯赃 赐死 不胜而溃 以同州刺史姚南仲为陕虢观察使 诸窦皆贬 是用虔奉礼章 五月 有大鸟飞集宫中 巂州都督张审素攻破蛮 朔方邠宁庆节度使；太原三府外 太子宾客吴凑为福建观察使 命尚书右丞相萧嵩往祭山川 江西观察使 昭义军节度 易定节度使 以门下侍郎 每节宰相及常参 官共赐钱五百贯文 殷殷有声 然岁运不过四十万石 甲午 辰星聚东井 己巳 御丹凤楼 甲午 令改出余州 新安 丙午 以虔州刺史赵昌为安南都护 置群牧五 戊申 十二月乙亥 九月丙午 恐非所宜 兼中书令张说 诏移河曲六州残胡五万余口于许 五月已丑朔 破吐蕃峨和城 乃驰谒睿宗 管口四 千一百四十一万九千七百一十二 "传德避灾 以宣武军行营节度使刘昌为泾州刺史 知制诰张式为虢州刺史 宜令每人赐粟一石 丙戌 五月 同中书门下平章事；"属中宗末年 宴宰臣百官于曲江 指言时政得失 东都大雨 醉者赐以床褥 辛卯 宁王宪为太尉 交构其间 幸寿安之方秀川 遣骠骑大 将军杨思勖讨之 凶党实繁 二十四年春正月 "九月甲子 始移考功贡举遣礼部侍郎掌之 奚 封华岳神为金天王 制幽州长史赵含章率兵讨之 丙申 半料自昕始也 累表陈请 以翰林学士归从敬为工部尚书 日有蚀之 庚寅 夏四月癸亥 垂拱元年秋八月戊寅 丁卯 谥曰殇帝 被前刺史魏从琚于两 税外 北都巡狩 庚戌 神灵协赞 以前沧州节度使程怀直为左龙武统军 以中官杨志廉为右神策护军中尉 以大理评事宣武军都知兵马使韩弘检校工部尚书 夏四月癸酉 "上始居武德殿视事 十三年春正月乙酉 辛未 "以光禄卿马怀素为左散骑常侍 病免也 杀刺史郭锋 卢迈恳让相位 淳醨代变 八月癸酉 定陵寝殿灾 内外官三品已上有庙者 前东都留守 昭义军节度 都虞候杨朝晟斩其乱首二百余人 许之 王晙授蕲州刺史 葬于浅水原 庚申 王琚为银青光禄大夫 以户部侍郎 立仗将士及诸军兵 继体宸居 配流崖州 夏四月丁酉 戊申 张说正除中书令 兵部侍郎陆贽为中书侍郎 癸酉 制所司行用之 幸新丰之温泉宫 幸凤泉汤 八月辛未 废麟州 颁上撰《广济方》于天下 亳等州置水屯 在百姓腹内者 庚戌 坏人庐舍 义武军节度使 是冬无雪 凤翔陇右节度使 以久旱 数千百人入皇城 故司空苏瑰 水银二百驮 甲辰制以冬荐官 九月己巳 赐酺三日 丙申 丙子 是日 依旧兼 御史大夫 以同州刺史崔宗为陕州大都督府长史 赐帛五万段 戊寅 苟于交丧之秋 辛丑 壬子又震 唐 是日还宫 上制岳庙文 韦庶人惶惑走入飞骑营 不允 冬十月癸丑 庚戌 河南 化不柔远 大风雷 "吾因汝功业得宗社 以湖南观察使裴胄为洪州刺史 己亥 近山十里 汴州乱 戊午 为贼所败 时须质问 内外官职田 同中书目门下平章事 为所败于都山之下 右散骑常侍 夺李晟之兵符；斩首五千级 岭南节度使 诏今后嗣王薨葬 义莫重焉 水陆转运使 贬中书侍郎 及村闾社会 "从之 其荣王琬已下并开府置官属 侍中裴耀卿为尚书左丞相 遣使祈雨于骊山 太清宫使 上览奏不悦 其 献祖 郑滑观察使 焚略县邑 秋九月 冬十月癸丑 葬睿宗大圣贞皇帝于桥陵 历代不刊；宣武军乱 卫等州掌闲番兵溺者千一百四十八人 祠后土于汾阴之脽上 善八分书 所以共存至公之道 攻都护府 德宗皇帝初总万机 及宫中歌舞妓十数人列于庭 先是驾至东都 日南至 庚子 神与化游 楚客 永惟多祐 乙亥 二年春正月 乞雪崔宁 参军；斟酌斯难 诏归镇华州 徐国公 兼御史大夫 上亲祀昊天上帝于郊丘 国初以来宰相及食实封功臣子孙 冬十月甲辰 天下诸州咸令宴乐 宗正卿嗣吴王巘薨 庚申 还东都 夏四月 若请而从 壬寅 中书令张嘉贞贬为幽州刺史 圣历元年 王弘义 牛羊 四万头 陆贽为相 令于诸寺斋僧 遣公卿百僚详议可否 闰十二月丙辰朔 癸丑 诏 回御承天门 庚辰 三月癸未 幸新丰之温汤 所进宜付左藏库 用宁军国 安可先请 各授官秩遣之 右仆射为左 置于景运门内 东都米斗十钱 停按察使 并州大都督府长史兼检校左卫大将军薛讷同紫微黄门三品 壬寅 山南东道节度使 癸亥 左右朕躬 壬子 十二月戊辰 卢藏用除名 深王滔薨九月壬午 或变通以随时 以秘书少监王础为黔中经略观察使 仍充内外闲厩使 义成军节度 故知有大勋者必受神明之福 礼部奏请千秋节休假三日 以福建都团练使李若初为明州刺史 十二月戊子朔 以国子祭酒赵 昌为安南都护 谓曰 以虔王谅为朔方灵盐丰节度大使 仍禁断樵采 升郓州为大都督府 甲寅 暴越封圵 皇帝第九子嗣一薨 尚书左丞相源乾曜停兼侍中 上自于苑中种麦 夏四月丁丑 河中绛州节度使 以翰林学士归崇敬为兵部尚书 河南 同中书门下平章事 及高丽莫离支高文简 兼潞州别驾 湖南观察使 壬戌 丙寅 尚书右丞相萧嵩为太子太师 死罪减一等 十二月庚午 乌口皆流血 自此始也 癸卯 皆符御名 然而王霸迹殊 明州镇将栗锽杀刺史卢云 礼毕 王师不利 检校尚书右仆射 大赦天下 甲子 宜令所司据品令高下 斩于独柳树 上幸章敬寺 丙戌 观察使宜以雁衔威仪 执萧至 忠 判东都尚书省 史臣曰 太庙屋坏 辛卯 房州刺史 逮及诸家 润州刺史王纬卒 大足元年 时人语讹以"隆"为"龙"；赐安黄节度曰奉义军 上著《刑政箴》一首 冥器等物 乙巳 十一月戊寅 是日 其月俸 以祐兼领徐 紫微侍郎 癸酉 是冬 冬季闻奏 十一月乙巳 陇右节度大使 匪私其亲 壬午 永为常式 郎各举其可 幸温泉宫 昆弟乐推 干犯国章 又汴郑管内乌皆入田绪 雷震 第二十男洄封为延王 关中久雨害稼 以兵马使程怀信为留后 以给京官月俸 中书侍郎陆象先为益州大都督府长史兼剑南道按察兵马使 至自温泉 吐蕃遣其国相论尚他硉来朝 亦欲令汝等知稼穑之难也 迁祔 中宗神主于太庙 礼惊曰 己未 前太常卿裴郁卒 太子宾客 以河东节度使 泾原节度使刘昌奏请移行原州于平凉城 雨 给还逃户及贫下户欠丁田 兵募丁防先差未发者 以泾原节度留后段祐为泾州刺史 海镇用牲牢 检校司空 司徒兼邓州刺史 从之 定州 以大理卿王翃为福建观察使 丁亥 以度 支郎中 大风 贬礼部侍郎刘太真为信州刺史 又制《秋景诗》 庚戌 唐州置仙州 六十余日而罢 实悼于怀 罢中和节宴会 丁酉 祭酒等官 是夏大热 访以政事 十一月丙申 于是方镇皆叙进兼官 拯群臣于将殒 葬殇帝于武功西原 十有五年 河东节度使 京兆尹裴耀卿为黄门侍郎 郡王朝会 浙 东观察使 吴少诚寇唐州 "朕以寡德 丙申 召见文武百官 论浙西观察使李锜罪状 左武卫大将军 集于泰山之下 中书省为紫微省 将肆奸回 在乎好生；山南西道节度使 福建观察使柳冕奏置万安监牧于泉州界 初置彍骑 工部尚书 人士伤之 尚议优容 安固后嗣者也 六月癸卯 至华州 以桂管 观察使齐映为洪州刺史 上表待罪 本管经略使 侍中裴光庭薨 检校司徒 赠太傅马燧祔庙 霍国公王毛仲加特进 行仆于地 检校司空 并取基处分 故事 御含元殿受朝贺 吐蕃遣使朝贡 是有为为之 处士刘承祖皆善于占兆 北庭都护属四镇节度 而秉心匪彝 其子武艺嗣位 以久雨 三品已上加 爵一等 拔木发屋 司农献黍粟各一斗 司徒兼侍中马燧以疾请罢侍中 至自温泉宫 大雨 谓之巡对 诏书不具所举 河口置输场 遣军出西山 承前虽有约束 改汾阴为宝鼎县 中丞举之 高风顺时 许专达于上 吏部侍郎奚陟卒 以河中行军司马郑元为河中尹 时河北牛畜大疫 除非至亲以外 及令 黜陟官吏 八月丁巳 夏四月戊辰 乙卯 到京日量才叙用 有司择日授册 八月丁亥

C
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角.
S N B M C
6 arccos 3
A
D
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角.
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 Ｇ S 面SAB所成二面角.
Ｆ B A D Ｅ
C
Ｈ
M
作业
1：若正四棱锥P—ABCD的侧面是正三 角形。求 (1)侧面PAB与底面ABCD所成的二面角 (2)侧面PAB与侧面PBC所成的二面角
(3)侧面PAB与侧面PCD所成的二面角
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角.
S
6 arccos 3
A E
C B D
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角.
S N M B H A D
6 arccos 3
S
y
C B
6 arccos 3
A
D
x
例2:在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
∠ABC=900,SA⊥平面ABCD,
SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SCD与平 面SAB所成二面角. z
S
y
C B
6 arccos 3
A

高中数学无棱二面角的求解方法求二面角的基本方法是按二面角大小的定义，作出二面角的平面角，求出平面角的大小即可。

但有些题目中没有给出两个面的交线，难以直接作出二面角的平面角。

本文通过一例，就这种情况给出若干种求解方法，供参考。

题目：如图1，正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是1，M 是棱C C 1的中点，求截面BM A 1与底面ABC 所成锐角二面角的大小。

图1一. 平移法我们知道，两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同向二面角相等。

根据这个道理，可将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置，使其相交，构成一个易求解的二面角。

解法1：如图2，取1AA 的中点D ，AB 的中点E ，则平面DEC 中的DE//M A //DC ,B A 11，则//B A 1面DEC ，//M A 1面DEC ，从而面//BM A 1面DEC 。

这样，面BM A 1与面ABC 所成的锐二面角等于面DEC 与面ABC 所成的锐二面角，即二面角A EC D --。

图2由题设条件的正三棱柱，易知AE CE ⊥，DE CE ⊥，则AED ∠是二面角A EC D --的平面角。

在等腰AED Rt ∆中，︒=∠45AED 。

所以面BM A 1与面ABC 所成的锐二面角为︒45。

二. 补形法将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角。

解法2：延长M A 1与AC ，相交于点P ，连结BP ，则所求的二面角是A BP A 1--（图3）图3在AP A 1∆中，由A A //MC 1，且A A 21MC 1=，可得CP AC =。

再由正ABC ∆，可得AC=BC=PC ，则AB BP ⊥。

又B A BP ABC,A A 11⊥⊥则有面。

所以BA A 1∠是二面角A BP A 1--的平面角。

由等腰BA A Rt 1∆，知︒=∠45BA A 1。

三. 射影法设二面角β--αl 的大小为θ，面α内有一个面积为S 的封闭图形，该图形在面β内的射影面积为S'，则S'S cos =θ。

例析无棱二面角求解策略王金发（安徽省铜陵县第一中学 244100）二面角是立体几何中的重要知识点.求二面角的大小则是一个难点，特别是当二面角的棱没有给出时，则是难上加难.下面以2010年陕西高考题为例，介绍几种常见的求解无棱二面角的方法，供大家参考. 例 如图一，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是矩形，PA ⊥平面A B C D ，2AP AB ==,BC =E F ，分别是AD PC ，的中点.(1)证明：PC ⊥平面BEF ；（2）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.题（1）解略；题（2）中平面BEF 与平面BAP 夹角即为平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角.如图一：PA ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PA BC ∴⊥.又,BC AB AB PA A ⊥= ,BC ∴⊥平面BAP .又BC ⊂ 平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面BAP .由题（1），PC ⊥平面BEF ，PC ⊂平面BEF ，∴平面PBC ⊥平面BEF .所以PBF ∠是所求二面角的平面角.12PB PF PC ====sin .4PF PBF PBF PB π∴∠==∠= 即平面BEF 与平面BAP 夹角为4π. 方法二：平移平面法 如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角.如图二：取BC 的中点G ，连接,FG EG .,E F 分别是,AD PC 的中点，,EG AB FG PB ∴ .又,FG EG G AB PB B == ,∴平面EFG 平面BAP .∴二面角B EF G --的大小就是平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.可以证明BFG ∠为二面角B EF G --的平面角，并求出其大小为4π. 方法三：射影法 利用公式'cos S Sθ=，其中S 表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，'S 表示此多边形在另一个半平面射影的面积，θ表示原图形与射影图形所成的二面角.如图三：取PB 的中点H ，连接,FH AH ,F 为PC 中点, ,FH BC AE BC ∴ .由解法一知，BC ⊥平面BAP ,FH ∴⊥平面BAP ，AE ⊥平面BAP ,∴点F 、E 在平面BAP 内的射影分别为H 、A .BEF ∴∆在平面BAP 上的射影为BAH ∆.可以证明BEF ∆和BAH ∆均为直角三角形.1,,2HF BC AE BC HF BC BC == , ∴四边形HFEA 为平行四边形，EF AE ∴=.记平面BEF 与平面BAP 夹角为θ，则cos BAH BEF S S θ∆∆==所以4πθ=，即平面BEF 与平面BAP 夹角为4π. 方法四：补棱法补棱通常是利用公理3找到二面角的两个公共点，公共点的连线即为二面角的棱；或者是利用线面平行的性质定理，添加辅助线或补形以作出二面角的棱，使无棱二面角变为有棱二面角.如图四：取BP 的中点H ，延长PA 至G ，使点A 为PG 的中点，连接,,,HF AH BG EG .AH BG ∴ ,由解法三知EF AH ,EF BG ∴ ,四边形EFBG 为平面四边形平面PBG 平面EFBG BG =,所以BG 为所求二面角的棱.可证明PBF ∠为所求二面角的平面角，算得4PBF π∠=. 方法五：向量法根据图形特征，建立适当的空间直角坐标系，若向量12,n n 分别是二面角两个半平面的法向量，则向量12,n n所成的角即为二面角或其补角的大小.如图五：以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系. 2,AP AB ==BC AD ==,四边形ABCD 是矩形.,,,A C D P ∴坐标分别为(0,0,0)A、C、D 、(0,0,2)P.2),PC AD ∴=-= .由题（1）知平面BEF的法向量12)n PC ==- ，平面BAP的法向量2n AD==.设平面BEF与平面BAP夹角为θ，则121212cos cos,2n nn nn nθ⋅=<>===⋅.4πθ∴=，即平面BEF与平面BAP夹角为4π.以上介绍的几种求解无棱二面角大小的方法各有所长.一般情况下，建立空间直角坐标系、用向量法容易操作，但有时计算比较繁杂；另外的四种方法规律性较强，技巧性较高.但不管怎样，只要我们熟练掌握对应的证法技巧和求解技巧，以“不变”应“万变”，就能立于不败之地！。