机械工程测试技术课本习题和参考题答案王安敏刘培基版

第二章 信号描述及其分析【2-1】 描述周期信号的频率结构可采用什么数学工具? 如何进行描述? 周期信号是否可以进行傅里叶变换? 为什么?参考答案：一般采用傅里叶级数展开式。

根据具体情况可选择采用傅里叶级数三角函数展开式和傅里叶级数复指数函数展开式两种形式。

不考虑周期信号的奇偶性,周期信号通过傅里叶级数三角函数展开可表示为:001()sin()(1,2,3,)n n n x t a A n n ωϕ∞==++=∑2021()T T a x t dt T-=⎰n A =(022()cos T n T a x t n tdt T ω-=⎰ 2022()sin T n T b x t n tdt Tω-=⎰ )tan n n n b a ϕ=式中，T 为信号周期, 0ω为信号角频率, 02T ωπ=。

n A ω-图为信号的幅频图, n ϕω-图为信号的相频图。

周期信号通过傅里叶级数复指数函数展开式可表示为:0()(0,1,2,)jn tnn x t C e n ω∞=-∞==±±∑0221()T jn t n T C x t e dt Tω--=⎰n C 是一个复数,可表示为:n j n nR nI n C C jC C e ϕ=+=n C = a r c t a n n n I n RC ϕ= n C ω-图为信号的幅频图, n ϕω-图称为信号的相频图。

▲ 不可直接进行傅里叶变换,因为周期信号不具备绝对可积条件。

但可间接进行傅里叶变换。

参见书中第25页“正弦和余弦信号的频谱”。

【2-2】 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。

参考答案：由非周期信号的傅里叶变换，()()j t X x t e dt ωω∞--∞=⎰，得22()()j tA a j X x t edt A a j a ωωωωω∞--===++⎰由此得到，幅频谱为：()X ω=相频谱为：()arctan()a ϕωω=-【2-3】 求周期三角波（图2-5a ）的傅里叶级数（复指数函数形式）参考答案：周期三角波为： (2)20()(2)02A A T tT t x t A A T tt T +-≤<⎧=⎨-≤≤⎩则0221()T jn t n T C x t e dt T ω--=⎰积分得 02222204(1cos )(1cos )2n A T AC n n n T n ωπωπ=-=- 即 22()1,3,5,0,2,4,n A n n C n π⎧=±±±=⎨=±±⎩又因为周期三角波为偶函数，则0n b =，所以arctan 0n nI nR C C ϕ==所以，周期三角波傅里叶级数复指数形式展开式为：00(21)222()(0,1,2)(21)jn tj k tnn n A x t C ee k k ωωπ∞∞+=-∞=-∞===±±+∑∑【2-4】 求图2-15所示有限长余弦信号()x t 的频谱。

设 0cos ()0tt T x t t Tω⎧<⎪=⎨≥⎪⎩参考答案：方法一0000000001()cos ()2sin()sin()[sin ()sin ()]TTj t j t j tj t T T X tedt e e e dtT T T c T c T ωωωωωωωωωωωωωωωωωω-----==+-+=+-+=-++⎰⎰方法二：对于上面所给的有限长余弦信号()x t ，其实也就是用一个窗宽为2T 的窗函数把无限长的余弦信号截断所得到的，即把无限长余弦信号()x t 与窗函数相乘，此时所需的窗函数为：1()0t Tw t t T <⎧=⎨>⎩。

由傅里叶变换的性质可知，时域内相乘，对应在频域内相卷积，即()()()()x t w t X f W f ⇔*。

已知，余弦信号的傅里叶变换是δ函数，由δ函数的性质，()()X f W f *意味着把()W f 的图像搬移到()X f 图像的位置。

【2-5】当模拟信号转化为数字信号时遇到那些问题？应该怎样解决？参考答案：遇到的问题：1）采样间隔与频率混叠；2）采样长度与频率分辨率；3）量化与量化误差；4）频谱泄漏与窗函数。

参见课本第26～29页。

第三章 测试系统的基本特性【3-1】 测试装置的静态特性指标主要有哪那些？它们对装置性能有何影响？参考答案：主要有：线性度，灵敏度，和回程误差。

线性度主要影响系统的测试精度，灵敏度主要影响系统的分辨力，而回程误差主要引起系统的滞后误差。

【3-2】 什么叫一阶系统和二阶系统？它们的传递函数，频率响应函数以及幅频和相频表达式是什么？参考答案：（1）能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统。

其传递函数为：()()()1Y s H s X s s Sτ==+ S 为系统灵敏度 频率响应函数为：()1S H j j ωωτ=+幅频特性：()()A H j ωω==相频特性：()arctan()ϕωωτ=-（2）能够用用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。

其传递函数为：222()()()2n n nY s H s X s s s ωζωω==++频率响应函数为：222()()2()n n n H j j j ωωωζωωω=++幅频特性：()()A H j ωω==相频特性为：22()()arctan 1()n n ζωωϕωωω⎛⎫=-⎪-⎝⎭【3-3】 求周期信号()0.5cos(10)0.2cos(10045)x t t t =+-通过传递函数为1()0.0051H s s =+的装置后得到的稳态响应？参考答案： 信号()x t 可分解为两个信号1()0.5cos(10)x t t =和2()0.2cos(10045)x t t =-。

分别求出这两个信号通过装置的响应，再相加，就是信号()x t 的响应。

1()x t 的角频率110ω=，而0.005τ=，则1()0.998A ω==11()arctan() 2.86ϕωωτ=-=-2()x t 的角频率2100ω=，同理得2()0.894A ω== 12()arctan()26.5ϕωωτ=-=-所以信号()x t 经过一阶装置的稳态响应为：()0.499cos(10 2.86)0.179cos(10071.5)y t t t =-+-【3-4】 一气象气球携带一种时间常数为15s 的一阶温度计，并以5m/s 的上升速度通过大气层。

设温度随所处的高度按每升高30m 下降00.15C 的规律变化，气球温度和高度的数据用无线电传回地面。

在3000m 处所记录的温度为02C -。

试问实际出现02C -的真实高度是多少？参考答案：设实际出现02C -的真实高度为h ,则温度计的输入为000.15()2()20.025305Cx t C t x t t m m s=--⇒=--220.025[()]()L x t X s s s==--已知一阶温度计的传递函数 1()1H s s τ=+，故有220.02520.0250.025()()()()1Y s X s H s s s s τττ-==-+++取拉氏逆变换2111120.02520.0250.0252[()]{[][][]}1{0.025(20.025)(0.0252)}1.625(1)0.025t t L Y s L L L s s s t e e t ττττττττ--------=-+++=-+-+-=--- 当2t τ=，0() 2.155y t C ≈-，01.9() 2.0944t y t C τ==-，01.8() 2.0313t y t C τ=≈-。

设实际出现02C -的真实高度为h ，从输入到稳态输出需要一定的过渡时间，一般响应已达到稳态值的98%以上，调整时间4s T τ=，此题温度计调整时间60s T s =，则在02C -时，气球的真实高度H=3000-（60*5）=2700米。

【3-5】某传感器为一阶系统，当阶跃信号作用在该传感器时，在0t =时，输出10mV ；t →∞时，输出100mV ；在5t s =时，输出50mV ，试求该传感器的时间常数。

参考答案：阶跃信号可表示为0()0A t x t t ≥⎧=⎨<⎩阶跃信号通过一阶系统，其输出的拉氏变换为1()()()1A Y s X s H s s s τ==+取拉氏逆变换，1()[()](1)t y t L Y s A e τ--==-，由题意代入数据得到()10090t y t e τ-=-时间常数8.5065s τ=【3-6】求信号()12sin(30)4sin(245)10cos(460)x t t t t =+++++,通过一阶系统后的输出()y t 。

设该系统时间常数1s τ=，系统的灵敏度为25S =。

参考答案：信号()x t 可分解为三个信号，1()12sin(30)x t t =+，2()4sin(245)x t t =+，3()10cos(460)x t t =+分别求出三个周期信号的幅频和相频响应，即1()()A H j ωω==＝21.9，11()arctan()ϕωωτ=-＝45-，2()()A H j ωω==＝11.1，22()arctan()ϕωωτ=-63.4=-，3()()A H j ωω==＝6.06，33()arctan()ϕωωτ=-76=-所以稳态输出为：000()262.8sin(15)44.4sin(218.4)60.6cos(416)y t t t t =-+-+-【3-7】某测试系统频率响应函数为23155072()(10.01)(157********)H j j ωωωω=++-，试求该系统对正弦输入()10sin(62.8)x t t =的稳态响应。

参考答案：该测试系统可看成一个一阶系统和一个二阶系统串联而成。

一阶系统传递函数3155072()(10.01)H j ωω=+，其中10.01τ=，12S =；二阶系统传递函数21()(157********)H j ωωω=+-，其中21S =，1256n ω=，0.7ζ=。

对一阶系统：() 1.6937S A ω===，0()arctan()32.13ϕωωτ=-=-对于二阶系统：()0.9988A ω==≈22()()arctan() 4.011()n n ζωωϕωωω=-=--所以稳态输出为：0()16.917sin(62.836.14)y t t =-【3-8】单位阶跃信号作用于一个二阶装置之后，测得其响应中产生了数值为2.25的第一个超调量峰值。