分段函数

中考知识点分段函数一、定义域和值域分段函数的定义域和值域是由各个分段的定义域和值域确定的。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，其定义域为整个实数集，值域为 (-∞, +∞)。

二、分段函数的图像对于分段函数，要根据每个分段的函数表达式来绘制图像。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，在x<0时，图像是一条斜率为1的直线，过原点，并且在x=0处有一个开口向上的拐点。

三、分段函数的连续性分段函数在分段点处可能不连续，需要通过计算极限来确定。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，分段点x=0处的左极限等于0，右极限等于0，与f(0)=0相符，因此该分段函数在x=0处连续。

四、分段函数的性质1. 分段函数的奇偶性由各个分段的奇偶性决定。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是奇函数，第二段函数2x是偶函数，所以整个分段函数为奇函数。

2. 分段函数的单调性由各个分段的单调性决定。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是递增函数，第二段函数2x也是递增函数，所以整个分段函数是递增函数。

3. 分段函数的最大值和最小值在每个分段函数的最大值和最小值中取得。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，在第一段函数中，最小值为3，最大值不存在；在第二段函数中，最小值不存在，最大值也不存在。

四、分段函数的应用1. 分段函数可以描述现实生活中的一些问题，如电话费计费等。

以电话费计费为例，某通信公司的计费标准为：前50分钟，每分钟0.5元；超过50分钟，每分钟0.3元。

假设通话时长为x分钟，对应的通话费用为函数f(x) = { 0.5x,x<=50 0.3(x-50)+25, x>50 }。

分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 1．求分段函数的定义域和值域1、求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 2、设()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0， 则()x g 的值域是（ ）A.(][)+∞-∞-,11,B.(][)+∞-∞-,01,C.[)+∞,0 D. [)+∞,1 3、函数21,(1)()1,1)x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨ (>⎪⎩ 值域是______________4、函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.5、已知函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=)1(82)10(5)0(53)(x x x x x x x f（1）画出这个函数的图象； （2）求函数)(x f 的最大值。

2．求分段函数的函数值1、设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||111||,2|1|2x ，x x x ，则f[f(21)]=( )A.21B.134 C. －59 D.4125 2、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝ 。

3、已知函数3l o g ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-144、定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 25、若()()()3,20,185,20x x fx f f fx x -≥⎧⎪==⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩则6、若数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪- ≤<⎪⎩ ，且167a =，20a=________7、设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为3、解分段函数的不等式 1、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ),3()1,3(+∞⋃-B ),2()1,3(+∞⋃-C ),3()1,1(+∞⋃-D )3,1()3,(⋃--∞ 2、已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__。

分段函数知识点总结一、分段函数的定义分段函数是指在定义域上将函数分成若干段，每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。

它可以是由有限个函数组成的，也可以是由无限个函数组成的。

一般来说，分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域，每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。

例如，一个简单的分段函数可以是这样的：\[f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}\]在这个例子中，定义域被分成两段：$x < 0$和$x \geq 0$，分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。

二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分对应于函数定义域中的一个区域。

因此，对于一个有限段的分段函数，其图像是由一些部分图像组成的；对于一个无限段的分段函数，则可能包含无限个部分图像。

以前面的例子$f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$为例，其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。

当然，我们也可以直接画出$f(x)$的图像，只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。

对于无限段的分段函数，我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像，但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。

三、分段函数的性质分段函数可以具有各种不同的性质，这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。

首先，在定义域的各个区域内，分段函数可以具有不同的函数性质。

在一个区域上，它可能是线性的；在另一个区域上，它可能是二次的，甚至是高次的多项式函数；在另一个区域上，它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。

分段函数的统一表达分段函数是数学领域里一种有效的方法，用来表示某个区域内的某个函数。

它使用定义域在某一点上进行分割，以表示改变函数以响应外部输入。

它因其优越性而广受欢迎，被应用于计算机图形学、标准计算机语言编程以及信号处理等专业领域。

一、什么是分段函数分段函数是一种有规则的函数，它由若干断续的子函数组成。

其基本特征为把定义域在某一点上进行分割，换句话说，它是把一段定义域划分成多个子域，每个子域对应一个单调的函数段，也就是分段函数的子函数。

点集的每一部分代表不同的函数。

二、分段函数的表达分段函数可以用两种方式表达：一种是一字符号表形式，一种是图形形式。

在一字符表形式中，分段函数用大括号“{”来定义，通常是f(x):= {pre， x<a；post，x≥a}的形式，其中，a 是定义域的某一点，pre 和 post 是函数的子函数。

用图形形式表示分段函数时，可以用一张坐标图表示出分段函数的起点和终点，以及它们之间断点的位置。

当数据点不规则或不断增加时，可以使用折线图分段函数来表示。

三、分段函数的作用分段函数有许多应用，因其简单易用和完备性，在专业领域中被Availity广泛使用，比如：（1）计算机图形学：分段函数用于描述空间图形特征，如表面细节、几何技术、光照和反射的变化。

（2）标准计算机语言编程：分段函数可用于定义条件和循环结构，可以实现自动考虑和处理某些输入变量的逻辑判断。

（3）信号处理：分段函数可用于表示信号变化时的相关特性，像找出某一信号中特殊特征和变化趋势。

四、分段函数的优势分段函数有以下几个优势：（1）易于使用：分段函数只需要两个参数，而其他函数会有更多参数，所以使用分段函数更容易理解。

（2）比较快：将任务分割为独立子任务，每个子任务处理时间就会比较快，从而提高了整体处理的效率。

（3）节省空间：构建分段函数，可以使得记忆单元能够支持更多的功能。

（4）应用广泛：分段函数应用广泛，在不同的专业领域比较常用，且可以根据实际任务选择函数。

分段函数(整理)什么是分段函数？分段函数是指一个函数在定义域的不同区间上有不同的表达式或定义方式。

通常，分段函数在定义域内被分成了多个不相交的区间，每个区间上有自己的表达式。

分段函数的定义形式一般而言，分段函数可以用以下形式来表示：\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}f_1(x), & if\ x \in D_1 \\f_2(x), & if\ x \in D_2 \\... \\f_n(x), & if\ x \in D_n \\\end{array}\right. \]其中，\(f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\) 是每个区间上的函数表达式，而 \(D_1, D_2, ..., D_n\) 则是定义域的不相交区间。

分段函数的图像由于分段函数在不同区间上拥有不同的表达式，因此其图像通常表现为多个不相交的线段、曲线或点的集合。

分段函数的应用分段函数广泛应用于各个领域，例如经济学、数学、物理学等。

它可以模拟和描述各种现实情况和实验结果。

在经济学中，分段函数可以用于描述不同经济阶层的收入分配情况；在物理学中，分段函数可以用于描述物体在不同时期的运动状态。

分段函数的性质分段函数具有以下性质：1. 分段函数的图像是不连续的，因为不同区间上的表达式存在不连续点。

2. 分段函数在定义域的各个区间上具有不同的特性和性质，需要根据具体情况进行分析和讨论。

3. 分段函数的导数在不同区间上可能存在不连续点。

总结分段函数是一种以不同表达式定义的函数，它在定义域内的不同区间上具有不同的特性和性质。

分段函数在模拟和描述各种现实情况中起着重要的作用，并且在数学和其他学科中都有广泛的应用。

分段函数一、分段函数概念理解1、定义：在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称之为分段函数。

2、注意点：①分段函数是一个函数，而不是几个函数，它是由各段上的解析式（对应法则）用符号“｛”合并成的一个整体；②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；③解分段问题应突出“对号入座”、“先分后合思想”。

二、分段函数的应用例1：某旅游景点的门票一张110元，如果一次买10张以上，则可以打8折，用X表示旅游团的人数，用y表示购买门票的费。

（1）用公式（函数解析式）法表示购买门票的费用y元与人数x之间的函数关系。

（2）画出这个函数的图像。

（3）求出旅游团人数为9人、30人时门票费为多少？例2：某城市出租车收费标准如下，3千米以内（含3千米）收8元，超过3千米的部分每千米收费1.4元。

求出应收车费Y（元）与出租车行驶路程X千米之间的函数关系式。

3X-50≤X≤3例3：试作y= 4 3＜X≤5 的图像，并求出它的最大值和最小值。

14-2X X＞5例4：作Y=|X-3|+|X+1|+|X+3|的图像解：（找0点） X-3=0 X+1=0 X+3=0得 X=3 X=-1 X=-3(分区域)如是在X轴上可以分四个区域它们分别是X≤-3 -3≤ X≤-1 -1≤X≤3 X≤3如图三-3X-1 X≤-3于是用端点法即得分段函数-X+5 -3≤X≤-1 的图像,如图四X+7 -1≤X≤33X+1 X≥3例5.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费40元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？76例6：上海市出租车的收费规定如下：行驶里程不超过3公里（含3公里）时,起步费为11元；超过3公里至10公里（含10公里）部分，每公里收费2.1元；超过10公里部分，每公里收费3.2元。

分段函数
1、分段函数的概念：在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，函数有着不同的对
应关系，这样的函数就称为分段函数。

如()1,0,1,0.x f x x -≥⎧=⎨<⎩
注: 1) 分段函数由几部分构成，但仍是一个函数，而不是几个函数.
2) 分段函数的“段”可以是等长的也可以不是等长的.
3) 写分段函数的定义域时,区间端点保证不重不漏.
4) 处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系.
5) 分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集，值域是各段函数值的并集.
2、分段函数的常见类型
1） 取整函数：()[]f x x =([]x 表示不大于x 的最大整数).
2） ()1,1,.x f x x -⎧=⎨⎩
为正奇数，为非负偶数 3) 含有绝对值符号的函数.如()()2,2,22, 2.
x x f x x x x +≥-⎧=+⎨-+<-⎩
4) 自定义函数.
典例分析
例1:若函数()1,1,3, 1.x x f x x x +≤⎧=⎨
-+>⎩则52f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值为_________.
例2:已知函数()2232,1,23, 1.x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩,则使()2f x <的x 值组成的集合为_________.
例3:已知()(
)5,6,,2,,6,x x x N f x f x x +-≥⎧∈=⎨+<⎩则()3=f _________.
例4：已知()212,111,1+x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，则1=2f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_________.。

分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。

分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。

本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。

1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。

通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。

在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。

2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。

在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。

需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。

3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。

需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。

4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。

当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。

例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。

5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。

分段函数分段函数：在函数定义域内，对于变量x 取值的不同区间，有着不同的对应关 系。

分段函数是一个函数，不是几个函数。

（分段函数的定义域是各 段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

） 分段函数的求解：典型例题： 0,l o g 3>x x例1：已知函数=)(x f 0,2≥x x ，则))91((f f =1,3≤x x例2：已知函数=)(x f 1,>-x x ，若 =)(x f 2，则x=例3：书上P27的练习2,3题练习：1.设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ）A.0B.1C.2D.32.设函数10221,0,()()1,0x x f x f x x x -⎧-≤⎪=>⎨⎪>⎩若，则0x 的取值范围是（ ） A ．)1,1(-B ．),1-(+∞C ．),0()2,(+∞--∞D ．),1()1,(+∞--∞ 1， x>00, x=0 1，x 为有理数3.设=)(x f -1， x<0,=)(x g 0，x 为无理数，则))((∏g f 的值为0,2>x x4.设函数=)(x f 0,1≤+x x ，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于5.已知函数实数a ≠0 ,函数=)(x f 1,2<+x a x ，若)1()1(a f a f +=- ， 则a= 1,2≥--x a x函数的单调性一、增函数的概念（1）一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数．注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．（2）函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。