四面体的一种补形方法及其应用

2020年高考数学专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．【2018河南漯河中学三模】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形， ，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ） A.B.C.D.【答案】A【解析】由图可知， ，得，解得， ，故选A。

S ABC -AB 4,4AB SA SB SC ====ABC32222OB OD DB =+()224r r=+3r =d ∴=【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++=，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．【举一反三】【2018南宁摸底联考】三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外接球的体积为（ ） A.B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得PA,PB ，PC 两两相等，底面是正三角形，所以三棱锥P-ABC 是正棱锥，P 在底面的身影是底面正三角形的中心O ，由 面PAO ，再由 ，可知 面PBC,所以可知 ，即PA,PB,PC 两两垂直，由于是球外接球，所以正三棱锥P-ABC 可以看成正方体切下来的一个角，与原正方体共外接球，所以。

类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于（ ） A.2π B.4π C.6π D.8π 【答案】D.【解析】由已知条件得：1121sin 602AA ⨯⨯⨯⨯=12AA =，∵2222cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴BC =，设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R ==，∴球的表面积等于248ππ=.【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ∆的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ∆的外心且垂直于平面111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．【举一反三】【陕西省榆林市2018届高考模拟第一次测试】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的直径为（ ） A. 13B.C.D. 2【答案】A【解析】因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心， 即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长， 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1=13， 所以球的直径为：13． 故答案为：A 。

立体几何四个重要模型广州市第六十五中学朱星如模型1：在棱长为a 的正面体ABCD 中：1.求证它是一个正三棱锥。

证明：即证顶点A 在底面BCD 的中心H 的连线与底面垂直。

取BC 的中点E，BD 的中点F，连CF，DE 相交于点H，则H 是三角形BCD 的中心，且H 是CF，DE 的一个三等分点，连AH，由BC ⊥DE，BC ⊥AE，AE 交DE=E,AE,DE 的平面AED 内，得BC ⊥平面AED，由此得BC ⊥AH，即AH ⊥BC。

（1）同理：AH ⊥BD。

（2）由BC 交BD=B，BC，BD 在平面BCD 内及（1）（2）得：AH ⊥平面BCD。

所以四面体ABCD 是正三棱锥。

2.设E、F、S、T 分别是BC、BD、AD、AC 的中点，求证：四边形EFST 是正方形。

证明：由于E、F、S、T 分别是BC、BD、AD、AC 的中点，故有ST 12DC EF，ST EF，所四边形EFST 是平行四边形。

同理：SF 12AB TE ，DC=AB ，所以四边形EFST 是菱形。

仿题1可证DC ⊥平面ABH，故DC ⊥AB,故有四边形EFST 是正方形。

注;由此可得到相对的两棱所成角为90o 。

3.设E、S 分别是BC、AD 的中点，求证：ES ⊥BC，ES ⊥AD，并求ES 的长。

证明：可证BC ⊥平面AED，从而BC ⊥ES；可得AD ⊥平面BCS，从而AD ⊥ES。

在直角三角形SBE 中，SB=32a,BE=12a,从而，2222ES SB BE =-=4.求任何一条棱与它相交的面所成角的正弦值。

解：只要求AB 与平面BCD 所成的角。

AH ⊥平面BCD，∴AB 与平面BCD 所成的角是ABH ∠。

22333323BH DE ==⨯=，在直角三角形ABH 中，2263AH AB BH =-=，故6sin 3AH ABH AB ∠==。

5.求相邻两个面的夹角的余弦值。

解：只要求二面角A-BD-C 的平面的余弦值。

两种特殊四面体的有趣的性质作者：李文磊来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2009年第02期三棱锥是高中阶段重要的数学模型，正四面体和直角四面体是两种非常特殊的三棱锥，它们和最基本的正方体模型与长方体模型关系密切，有很多有趣、具有数学美感的的性质.加强对它们的研究，熟悉它们的性质，不仅可以使学生熟悉很多立体几何问题的研究方法、拓展思维空间，还可以轻松地解决相关问题.一、性质探究(1) 正四面体正四面体的四个侧面都是正三角形，它是特殊的正三棱锥，是一个具有对称美的几何体.正四面体与正方体关系密切，将一个棱长为l的正方体沿相邻三个面的对角线截去四个棱锥,剩余部分为棱长为a正四面体(a=2l)，我们称这个四面体为这个正方体的内接正四面体.在这里我们利用这个正方体模型探究正四面体一些有趣性质.性质一正四面体的对棱互相垂直.正四面体的对棱就是这个正方体相对两面的两条异面的对角线，显然垂直.性质二正四面体的高h=63a.正四面体的任意侧面都与穿过它的这个正方体的体对角线垂直，并且将它分割为1:2的两段.正方体的体对角线为3l=3×22a=62a，所以正四面体的高为h=23×62a=63a，这个常数应该熟记.性质三正四面体的外接球的球心为正四面体的中心，是正四面体高的四等分点，其半径为R=34h.正四面体的中心与其外接正方体的中心重合，正四面体的外接球即为其外接正方体面体的外接球.又这个正方体的外接球半径为其体对角线的一半，正方体的体对角线为3l=3×22a=62a，所以正四面体的外接球半径R=12×62a=64a；又R:h=64a:63a=3:4，所以正四面体的外接球的球心是其高的四等分点.这是一条非常优美的性质：在正四面体中依次出现了各线段的二等分点、三等分点、四等分点.具体地说，如图：在正四面体S－ABC中，作SO⊥底面ABC,O为垂足,连接AO并延长交BC与D,O′为正四面体的中心:D为BC二等分点，O为AD的三等分点，O′为SO四等分点.性质四正四面体的内切球球心与其外接球球心重合，也是高的四等分点，其半径r=14h.正四面体的中心到底面的距离即为内切球的半径r，显然r=14h.性质五与正四面体各棱都相切的球即是其外接正方体的内切球，半径R′=12l=24a.性质六正四面体的侧棱与底面所成角的正切值为2.性质七正四面体的侧面与底面所成二面角的正切值为22.(2) 直角四面体若四面体共某一顶点三条棱互相垂直，我们称之直角四面体.如图，四面体O－ABC在点O处的三个二面角都是直角.所以四面体O－ABC是直角四面体.直角四面体与长方体关系密切，我们可以将它补形为长方体(如上图)，它的有些性质我们可以借助长方体模型进行探究.性质一直角四面体的对棱互相垂直.在长方体中，显然AO⊥底面BC，所以AO⊥BC;同理:BO⊥AC,CO⊥AB,所以，直四面体的对棱互相垂直.性质二直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心.连接AH并延长，交BC与D点，连结OD,因为OH⊥面ABC,所以OH⊥BC,易证BC⊥面AOD,所以BC⊥AH.同理可证：AC⊥BH，AB⊥CH.所以H为△ABC的垂心.性质三不含直角的底面△ABC是锐角三角形.设OA=a,OB=b,OC=c，则AB=a2+b2,AC=a2+c2,BC=b2+c 2.在△ABC中，由余弦定理：cos∠BAC=AB2+AC2－BC22 AB AC=a2(a2+b2)(a2+c2)>0.所以∠BAC是锐角.同理可得：∠ABC、∠ACB均为锐角，所以△ABC是锐角三角形.性质四外接球半径R=12a2+b2+c 2.将直角四面体补形为长方体即得.性质五内切球半径r=3VS△OAB+S△OAC+S△OBC+S△ABC.由等体积原理：V=13rS△OAB+13rS△OAC+13rS△OBC+13rS△ABC可得.性质六 S2△ OBC = S△ HBC • S△ ABC .性质七 S2△ OAB + S2△ OAC + S2△ OBC = S2△ABC .由性质六可推得.性质八 1OH2=1OA2+1OB2+1OC 2.因为V棱锥A－OBC=V棱锥O－ABC，所以13OA•S△OBC=13OH•S△ABC，所以a•12bc=OH•12a2b2+b2c2+c2a2，所以a2b2c2=OH2•(a2b2+b2c2+c2a2)，所以1OH2=a2b2+b2c2+c2a2a2b2c2，即1OH2=1OA2+1OB2+1OC 2.二、应用举例例1 (苏教版必修二P36例4改编)PA、PB、PC是从空间一点P出发的三条射线，且∠APB=∠APC=∠BPC=60°,则射线PA与PB、PC所在平面所成角的正切值为.【分析】这个几何体可以看成正四面体的一角，所求角是其侧棱与地面所成角，由正四面体性质六，其正切值为2.例2 (2006•山东［理］)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合与点P,则三棱锥P-DCE的外接球体积为 .注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。