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数学必修4导学案

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第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角学习目标：（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；学习重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示.学习过程思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的30︒角、210︒-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.练习:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几? 7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.不难发现,在教材图 1.1-5中,如果32︒-的终边是OB ,那么328,392︒︒- 角的终边都是OB ,而328321360︒︒︒=-+⨯,39232(1)360︒︒︒-=-+-⨯.设{|32360,}S k k Z ββ︒︒==-+⋅∈,则328,392︒︒-角都是S 的元素,32︒-角也是S 的元素.因此,所有与32︒-角终边相同的角,连同32︒-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与32︒-角终边相同.一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合 {|360,}S k k Z ββα︒==+⋅∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.6.例题讲评例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例 3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.7.练习教材6P 第3、4、5题.注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.学习小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x 轴、y 轴、直线y x =上的角的集合.作业：1．习题1.1 A 组第1,2,3题．2．多举出一些日常生活中的“大于360︒的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点．随堂练习1、已知集合=A {第一象限的角}，=B {锐角}，=C {小于90o 的角}，下列四个命题：①C B A == ②C A ⊆ ③A C ⊆ ④B C A =⊆其中正确命题的个数为 （ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 42、与120°角终边相同的角是 （ ）A. －600°＋k ·360°，ｋ∈ＺB. －120°＋k ·360°，ｋ∈ＺC. 120°＋(2k ＋1)·180°，ｋ∈ＺD. 660°＋k ·360°，ｋ∈Ｚ3、若α是第四象限角，则1800-α是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、下列命题中正确的是 （ ）A. 终边在y 轴正半轴上的角是直角B. 第二象限角一定是钝角C. 若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同D. 第四象限角一定是负角6、若角α与β终边相同，则一定有 （ ）A. α＋β＝180°B. α＋β＝0°C. α－β＝ｋ·360°，ｋ∈ＺD. α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z7、若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；B ＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；C ＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则下列正确的是（ ）A. Ａ＝Ｂ＝ＣB. Ａ＝Ｂ ＣC. Ａ Ｂ＝ＣD. ＡＢＣ8、若α与β的终边互为反向延长线，则有 （ ）A. α＝β＋180°B. α＝β－180°C. α＝－βD. α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ9、在－720º到720º之间与－1050º终边相同的角是 .10、终边在第二象限的角的集合是11、今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .12、钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).【课后札记】1.1.2弧度制学习目标：（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.学习重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.学习过程有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题. 2.弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.y x A αO B我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径.5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.7例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1)精确值；(2)精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗? 作业：习题1.1 A 组第7,8,9题．随堂练习1、下列各对角中终边相同的角是 （ ） A. πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B. －3π和322π C. －97π和911π D. 9122320ππ和 2、若α＝－3，则角α的终边在 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、若α是第四象限角，则απ-一定在 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4、下列与π613-的终边相同的角（Z ∈k ）是 （ ） A. ππk 26+ B. ππk 2610+ C. ππk 2611+ D. ππk 267+- 5、2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么此圆心角所夹扇形的面积的数值为 （ ） A. 2sin1 B. 1sin 12 C. 2cos 11- D. 1sin1 6、把01125-化成()πααπ20,2<≤∈+Z k k 2sin1的形式是 （ ） A ． 46ππ-- B ．476ππ+- C ．48ππ-- D ．478ππ+-7、集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+==Z k k x x A k ,21|ππ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==z k k x x B ,22|ππ,则A 、B 的关系为 （ ）A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．B A =D ．=⋂B A ∅8、已知()Z k k ∈+=323ππα，则2α在 （ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． x 轴上 D ． y 轴上9、(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .10、7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .11、圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .12、在（－4π，4π）上与角316π终边相同的所有角为 .【课后札记】1.2.1任意角的三角函数(一)学习目标：（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；学习重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.学习过程初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.第一课时提问：锐角O借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

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【B版】人教课标版高中数学必修四《弧度制和弧度制与角度制的换算》导学案-新版

【B版】人教课标版高中数学必修四《弧度制和弧度制与角度制的换算》导学案-新版

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式=l rα（l 为以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。

学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定r 角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二） 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。

练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的绝对值是： ，α的正负由 决定。

正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。

<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。

例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是44l r r rπαπ-=-=-=-． （三）角度与弧度的换算3602rad π= 180r a dπ=1rad 0.01745rad 180π=≈ 1801rad 5718'π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭1 归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是：<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整例1、把下列各角从度化为弧度：(1)252 （2）1115' (3)30 (4)6730'变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′ （2）—210º (3)1200º例2、把下列各角从弧度化为度：（1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）43π- （3）310π（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式：l r α=⋅扇形面积公式：12S lr =．说明：以上公式中的α必须为弧度单位．例3、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。

人教B版高一数学(必修4)导学案：1.1.2弧度制和弧度制和角度制的换算(无答案)

人教B版高一数学(必修4)导学案：1.1.2弧度制和弧度制和角度制的换算(无答案)

C.弧长等于所在圆的半径D.弦长等于所在圆的半径
2.集合 等于（）
A.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB. C. D.
3.已知扇形AOB的面积为4，圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长为（）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 8
4. 弧度化为角度是，是第象限的角。
B组：
1. 1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积。
教学反思
落实是成功的保证！
2. 转化为弧度数为（）
A. B. C. D.
3.圆的半径是 ，则 的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是（）
A. B. C. D.
4. 7弧度的角是第象限的角，与7弧度的角的终边相同的最小正角为。
积极思考勤于动手天才来自勤奋！
课后巩固作业
A组：
1.在面积不等的圆内，1弧度的圆心角所对的（）
A.弧长相等B.弦长相等
引申（1）把 化成弧度，（2）把 化成度。
探究二把下列各角化成0到 的角加上 的形式，并指出它们是哪个现象的角： 。
引申把下列各角的度数化成弧度数，并写成0到 的角加上 的形式
（1） ；（2） ；（3） 。
认真听讲是学习高效的捷径！
探究三 （1）已知扇形的周长为 ，面积为 ，求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知一扇形的圆心角是 ，半径等于 ，求扇形的面积；
2.长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作。
3.弧度制与角度制的换算
，
4.特殊角的度数与弧度制的对应关系
度
弧度
5. 分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数。
（1）弧度数公式： ，
（2）弧长公式： ，
（3）扇形面积公式：
教师是学生学习的引导者学生是学习的主人！
新人教A版必修4高中数学2.5.1平面几何中的向量方法导学案

新人教A版必修4高中数学2.5.1平面几何中的向量方法导学案

1高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法导学案新人教A 版必修4 学习目标1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系. 学习过程一、课前准备（预习教材P109—P111）复习：（1）若O 为ABC 重心,则OA +OB +OC =（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC = 12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为 .类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?（3）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？二、新课导学 ※ 探索新知问题1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如下图，AC AB AD=-，你能发现平行四边形对角线=+，DB AB AD的长度与两条邻边长度之间的关系吗？结论：23结论：问题3：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？⑴⑵⑶※ 典型例题1、在ABC ∆中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，判断ABC ∆的形状.42、设ABCD 是四边形，若AC BD ⊥，证明：2222AB CD BC DA +=+三、小结反思1、在梯形ABCD 中，CD // AB,E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝12（AB ＋CD ）.求证：EF// AB// CD.2、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

课后作业1. 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两5点，且|AB|＝23，则OA→·OB→＝________.2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)，B(2,3)，C(－2,－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．6。

老头数学苏教版必修4导学案3.3几个三角恒等式

老头数学苏教版必修4导学案3.3几个三角恒等式

(1)积化和差公式：sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[]sin (α＋β)－sin (α－β)； cos αcos β＝12[]cos (α＋β)＋cos (α－β)； sin αsin β＝－12[]cos (α＋β)－cos (α－β). (2)和差化积公式：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2； sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2； cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2. 预习交流1和差化积公式的适用条件是什么？提示：只有系数的绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式．若要求系数相同的异名函数的和与差，则要先用诱导公式化成同名三角函数，再运用公式．2．万能公式及半角公式(1)万能代换公式：sin α＝2tan α21＋tan 2α2，cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2，tan α＝2tan α21－tan 2α2. (2)半角公式：sin α2＝±1－cos α2，cos α2＝±1＋cos α2，tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α1＋cos α. 预习交流2 万能代换公式有何优点？提示：万能代换公式是将三种三角函数统一用tan α2(即半角的正切)表示，做到了形式上的统一．因为该公式可以用tan α2的有理式统一表示角α的任何三角函数值，所以称为“万能”公式．一、三角函数式的求值求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.思路分析：首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差．解：原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝32cos 10°cos 50°cos 70°＝32⎣⎡⎦⎤12(cos 60°＋cos 40°)·cos 70° ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316. 1．已知α－β＝π3且cos α－cos β＝13，则cos(α＋β)＝__________. 答案：79 解析：由cos α－cos β＝13，得－2sin α＋β2sin α－β2＝13，－2sin α＋β2sin π6＝－sin α＋β2＝13，∴sin α＋β2＝－13. ∴cos(α＋β)＝1－2sin 2α＋β2＝1－2×⎝⎛⎭⎫－132＝79. 2．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则sin(α＋β)＝__________. 答案：1213 解析：由sin α＋sin β＝12，得2sin α＋β2cos α－β2＝12. 由cos α＋cos β＝13，得2cos α＋β2cos α－β2＝13. 两式相除，得tan α＋β2＝32. 根据万能公式得sin(α＋β)＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋⎝⎛⎭⎫322＝1213. 1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．2．由已知三角函数值，求其他三角函数式的值的步骤：(1)先化简所求的式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．二、三角函数式的化简 化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 思路分析：本题主要考查半角公式及其变形的应用，从变角入手，将异角化为同角．对根式形式的化简，以化去根号为目标，化简时注意角的范围．解：原式＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2， ∵0＜θ＜π，∴0＜θ2＜π2. ∴cos θ2＞0，∴原式＝－cos θ. 1．化简：12sin 170°－2sin 70°. 解：原式＝12sin (180°－10°)－2sin 70°＝12sin 10°－2sin 70° ＝1－4sin 70°sin 10°2sin 10°＝1＋2(cos 80°－cos 60°)2sin 10°＝1＋2cos 80°－12sin 10°＝2sin 10°2sin 10°＝1． 2．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 解：原式＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2α－1cos 2α＝1．1．三角恒等变换常用技巧：(1)常值代换；(2)切化弦，弦化切；(3)降幂变倍角，升幂变半角；(4)角的变换；(5)公式的正用、逆用和变形用．2．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．三、三角恒等式的证明如果tan α＝m ，求证：sin 2α＋cos 2α＝1＋2m －m 21＋m 2. 思路分析：可考虑利用万能公式将需证明的等式左边转化为含tan α的形式，再利用条件代入进行证明．证明：∵tan α＝m ，∴sin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝2m 1＋m 2＋1－m 21＋m 2＝1＋2m －m 21＋m 2＝右式．等式得证． 1．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos B cos A，则△ABC 的形状是__________． 答案：等腰三角形或直角三角形解析：∵sin A sin B ＝cos B cos A， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B ⇒sin 2A －sin 2B ＝2cos(A ＋B )sin(A －B )＝0. 若cos(A ＋B )＝0，则cos(π－C )＝－cos C ＝0.∵0＜C ＜π，∴C ＝π2； 若sin(A －B )＝0，∵－π＜A －B ＜π，∴A －B ＝0.∴A ＝B .∴△ABC 是直角三角形或等腰三角形．2．求证：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12. 证明：设t ＝tan α2，则 左边＝2t 1＋t 2＋11＋2t 1＋t 2＋1－t 21＋t 2＝2t ＋1＋t 22＋2t ＝(1＋t )22(1＋t )＝12(t ＋1)＝右边， ∴等式成立．证明三角恒等式的实质：(1)消除等式两边的差异，有目的地化繁为简；(2)化简方向：从左到右、从右到左、左右归一或变更论证等；(3)具体方法：定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法及公式法等．1．已知sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为__________．答案：1解析：因为|sin α|≤1，|sin β|≤1，所以|sin αsin β|≤1． 从而⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝1，sin β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，sin β＝－1. 于是cos(α－β)＝1．2．若A ＋B ＝2π3，则cos 2A ＋cos 2B 的取值范围是__________．答案：⎣⎡⎦⎤12，32解析：cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos 2B 2＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，最小值为12，最大值为32. 3．(1)sin 105°＋sin 15°＝__________；(2)sin 37.5°cos 7.5°＝__________.答案：(1)62 (2)2＋14解析：(1)sin 105°＋sin 15°＝2sin 105°＋15°2·cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62. (2)sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝⎛⎭⎫22＋12＝2＋14. 4．如果tan α2＝13，那么cos α的值是__________． 答案：45解析：∵tan α2＝13， ∴cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝45. 5．求证：(1)sin(α＋β)·sin(α－β)＝cos 2β－cos 2α. (2)cos α－cos βsin α＋sin β＝tan β－α2. 证明：(1)∵左边＝－12[cos 2α－cos 2β] ＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)] ＝cos 2β－cos 2α＝右边，∴原式成立．(2)∵左边＝－2sin α＋β2sin α－β22sin α＋β2cos α－β2＝－sin α－β2cos α－β2＝－tan α－β2＝tan β－α2＝右边， ∴原式成立．。