线段中点问题

线段双中点解题技巧
线段的中点是线段上的一点，它把线段分成两个相等的部分。

当我们面对一个几何问题，特别是涉及到线段的问题时，利用中点的性质往往能简化问题，找到解题的突破口。

线段双中点解题技巧主要包括以下步骤：
1. 确定中点：首先确定题目中的两个中点，并理解它们的位置和性质。

2. 利用中点性质：利用中点的性质，如“中位线定理”或“中点四边形”等，这些性质可以帮助我们快速找到解题方向。

3. 建立数学模型：根据题目的具体要求，建立适当的数学模型，如方程、不等式或几何图形等。

4. 求解问题：通过计算或推理，求解出问题。

下面是一个具体的例子，说明如何使用线段双中点解题技巧。

题目：在三角形ABC中，D和E分别是AB和AC的中点，F是BC的中点。

DE = 2EF。

求证：BD = 2DC。

证明：
第一步，由题目信息，D和E是AB和AC的中点，所以DE是三角形ABC 的中位线。

第二步，根据中位线的性质，DE = ，且DE平行于BC。

第三步，同样由题目信息，F是BC的中点，所以BF = FC = 。

第四步，由第二步和第三步的信息，我们可以得出DE = 2EF。

第五步，由于DE平行于BC并且D是AB的中点，所以BD = 2DC（平行线性质和线段的比例性质）。

综上，我们证明了BD = 2DC。

小专题( 七 ) 巧解有关线段的中点问题线段的中点把线段分成相等的两部分,因此在解决与线段中点有关的计算题时,利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算,再结合有关数学思想来解决问题.类型1 方程思想1.如图,点C 在线段AB 上,E ,F 分别是AB ,AC 的中点.若BC=4,求EF 的长.解:设CE=x ,则BE=x+4,因为E 是AB 的中点,所以AE=BE=x+4. 因为AC=AE+CE=2x+4,F 是AC 的中点, 所以CF=12AC=x+2,所以EF=CF-CE=x+2-x=2.2.如图,已知线段AB 和CD 的公共部分BC=13AB=13CD ,M ,N 分别为线段AB ,CD 的中点.若MN=14,求线段AB 的长.解:设BC=x ,则AB=CD=3x ,因为M ,N 分别为AB ,CD 的中点,所以BM=CN=32x.又MN=BM+CN-BC ,即32x+32x-x=14,解得x=7,所以AB=3x=21.3.已知A ,M ,N ,B 依次为一条直线上的4个点,若AM ∶MN=5∶2,NB-AM=12,AB=24,求线段BM 的长.解:设AM=5x ,MN=2x ,则NB=12+5x , 所以5x+2x+( 12+5x )=24,解得x=1, 所以BM=AB-AM=24-5=19.4.线段AD 被点B ,C 分成了2∶3∶4三部分,M 是线段AD 的中点.若MC=2,求线段AD 的长. 解:设AB=2x ,则BC=3x ,CD=4x ,线段AD 的长为2x+3x+4x=9x ,因为M 是线段AD 的中点,所以MD=12AD=4.5x.因为CD=4x ,MC=2,所以MC=MD-CD=4.5x-4x=0.5x=2,解得x=4, 所以AD=9x=9×4=36.5.如图,点B ,D 在线段AC 上,BD=13AB=14CD ,线段AB ,CD 的中点E ,F 之间的距离是10 cm,求线段AB 的长.解:设BD=x ,则AB=3x ,CD=4x.所以AD=AB-BD=2x ,AC=AD+CD=2x+4x=6x. 因为E ,F 分别是线段AB ,CD 的中点, 所以AE=12AB=32x ,FC=12CD=2x ,所以EF=AC-AE-FC=6x-32x-2x=10,解得x=4, 所以AB=3x=12 cm .类型2 分类讨论思想6.已知线段AB=12 cm,直线AB 上有一点C ,且BC=2 cm,D 是线段AB 的中点,求线段CD 的长. 解:因为D 是线段AB 的中点,所以BD=12AB=6 cm .①当点C 在线段AB 的延长线上时,CD=BD+BC=8 cm; ②当点C 在线段AB 上时,CD=BD-BC=4 cm .综上,线段CD 的长为4 cm 或8 cm .7.在一条直线上顺次取A ,B ,C 三点,已知AB=5 cm,O 是线段AC 的中点,且OB=1.5 cm,求线段BC 的长.解:①若点O 在线段BC 上,则OC=OA=AB+OB=6.5 cm, 所以BC=OB+OC=8 cm;②若点O 在线段AB 上,则OC=OA=AB-OB=3.5 cm, 所以BC=OC-OB=2 cm .综上,线段BC 的长为2 cm 或8 cm .8.如图,已知AB=14,C ,D 是线段AB 上的两个点,且满足AC ∶CD ∶DB=1∶2∶4,M 是线段AC 的中点.( 1 )若N 是线段CB 的中点,求线段MN 的长度;( 2 )若N 是线段AB 上一点,满足DN=1DB ,求线段MN 的长度. 解:( 1 )设AC=x ,则CD=2x ,DB=4x. 所以x+2x+4x=14,解得x=2,所以AC=2,CD=4,DB=8,CB=12.因为M 是线段AC 的中点,所以MC=12AC=1. 因为N 是线段CB 的中点,所以CN=12CB=6. 所以MN=MC+CN=1+6=7.( 2 )因为DB=8,DN=14DB ,所以DN=14×8=2.分以下两种情况:①当点N 在线段CD 上时,MN=MC+CD-DN=1+4-2=3; ②当点N 在线段DB 上时,MN=MC+CD+DN=1+4+2=7. 综上所述,线段MN 的长度为3或7.9.如图,C 是线段AB 的中点.( 1 )若点D 在线段CB 上,且DB=3.5 cm,AD=6.5 cm,求线段CD 的长度;( 2 )若将( 1 )中的“点D 在线段CB 上”改为“点D 在直线CB 上”,其他条件不变,请画出相应的示意图,并求出此时线段CD 的长度;( 3 )若线段AB=12 cm,点C 在AB 上,且D ,E 分别是AC 和BC 的中点. ①当C 恰是AB 的中点时,则DE= 6 cm; ②当AC=4 cm 时,求DE 的长;③当点C 在线段AB 上运动时( 点C 与A ,B 重合除外 ),求DE 的长. 解:( 1 )因为DB=3.5 cm,AD=6.5 cm,所以AB=10 cm . 因为C 为AB 的中点,所以CB=5 cm, 所以CD=5-3.5=1.5 cm .( 2 )①点D 在线段BC 上,CD=1.5 cm, ②如图,点D 在CB 的延长线上,则AB=AD-DB=3.所以BC=1.5,所以DC=1.5+3.5=5. ( 3 )②DE=6 cm .③设AC=x cm,则BC=( 12-x )cm, 又因为D ,E 分别为AC ,BC 的中点, 所以CD=x 2,CE=12-x2, 所以DE=CD+CE=x2+12-x2=6 cm .类型3 整体思想10.如图,C,D是线段AB上的任意两点,M是AC的中点,N是BD的中点.若CD=2,MN=8,求AB 的长.解:因为M是AC的中点,N是BD的中点,所以AC=2MC,BD=2DN.因为CD=2,MN=8,MN=MC+CD+DN,所以2+MC+DN=8,即MC+DN=6,所以AB=AC+CD+DB=2MC+CD+2DN=2( MC+DN)+2=2×6+2=14.11.如图,C,D是线段AB上任意两点,E是线段AC的中点,F是线段BD的中点.若EF=a,CD=b,求AB的长.解:因为E是AC中点,F是BD中点,所以AE=EC,DF=FB,又因为EF=a,CD=b,所以EC+DF=EF-CD=a-b,所以AE+FB=EC+DF=a-b,所以AB=AE+EF+FB=( AE+FB)+EF=a-b+a=2a-b.类型4动态思想12.如图,在数轴上有A,B,C,D四个点,且线段AB=4,CD=6,已知点A表示的数是-10,点C表示的数是8,若线段AB以每秒6个单位长度的速度,线段CD以每秒2个单位长度的速度在数轴上运动( A在B的左侧,C在D的左侧).( 1 )B,D两点所表示的数分别是-6,14.( 2 )若线段AB向右运动,同时线段CD向左运动,经过多少秒时,BC=2?( 3 )若线段AB,CD同时向右运动,同时点P从原点出发以每秒1个单位长度的速度向右运动,经过多少秒时,点P到点A,C的距离相等?解:( 2 )①当点B在点C左边时,得6t+2t+2=14,解得t=1.5;②当点B在点C右边时,得6t+2t-2=14,解得t=2.综上,经过1.5秒或2秒时,BC=2.( 3 )①当P是线段AC的中点时,.根据题意得2t+8-t=t-( 6t-10 ),解得t=13②当点A与点C重合时,根据题意得2t+8-t=( 6t-10 )-t,解得t=9,2综上,经过13秒或92秒时,点P 到点A ,C 的距离相等.13.如图,已知数轴上有三点A ,B ,C ,它们对应的数分别为a ,b ,c ,且c-b=b-a ,点C 对应的数是20.( 1 )若BC=30,求a ,b 的值.( 2 )如图2,在( 1 )的条件下,动点P ,Q 分别从A ,C 两点同时出发向左运动,同时动点R 从B 点出发向右运动,点P ,R ,Q 的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒,M 为PR 的中点,N 为RQ 的中点,在R ,Q 相遇前,多少秒时恰好满足MR=4RN ?( 3 )如图3,在( 1 )的条件下,O 为原点,动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发,P 向左运动,Q 向右运动,P 点的运动速度为8个单位长度/秒,Q 点的运动速度为4个单位长度/秒,N 为OP 的中点,M 为BQ 的中点,在P ,Q 运动的过程中,PQ-2MN 的值是否发生变化?若不变,求其值;若变化,请说明理由.解:( 1 )a=-40,b=-10.( 2 )由( 1 )可得AB=BC=30.设x 秒时,Q 在R 右边,恰好满足MR=4RN. 因为MR=12( 8x+4x+30 ),RN=12( 30-4x-2x ),所以当MR=4RN 时,12( 8x+4x+30 )=4×12( 30-4x-2x ),解得x=2.5, 所以R ,Q 相遇前,2.5秒时恰好满足MR=4RN. ( 3 )设运动的时间为t ,则AP=8t ,CQ=4t. 由( 1 )可得AB=BC=30,点C 表示20, 所以AO=40,AC=60,BO=10,所以PQ=AP+AC+CQ=8t+60+4t=60+12t. 因为N 为OP 的中点,M 为BQ 的中点, 所以NO=12OP ,BM=12BQ ,所以MN=NO+MB-OB=1OP+1BQ-OB=1( 40+8t )+1( 30+4t )-10=25+6t , 所以PQ-2MN=( 60+12t )-2( 25+6t )=10, 即PQ-2MN 的值不发生变化,是定值10.。

专题17 线段中点或角的计数问题一、线段中点问题1. 如图，点C为线段AB上一点，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若AC+BC=acm，其他条件不变，直接写出线段MN的长为．【答案】（1）7cm；（2）12a cm．【解析】【分析】（1）根据线段中点的性质（可得CM（CN的长（根据线段的和差（可得答案（（2）根据线段中点的性质（可得CM（CN的长（根据线段的和差（可得答案（【详解】（1（∵点M（N分别是AC（BC的中点（AC=8（CB=6（∴CM=12AC=12×8=4（CN=12BC=12×6=3（∴MN=CM+CN=4+3=7cm（（2（∵点M（N分别是AC（BC的中点（∴CM=12AC（CN=12BC（∴MN=CM+CN=1 2AC+12BC=12（AC+BC（=12AB=12a（cm（（故答案为12a cm（【点睛】本题考查了两点间的距离（连接两点间的线段的长度叫两点间的距离（2. 画线段MN=3㎝，在线段MN上取一点Q，使MQ=NQ，延长线段MN至点A，使AN=MN；延长线段NM至点B，使BN=3BM，根据所画图形计算：（1）线段BM的长度；（2）线段AN的长度；（3）试说明Q是哪些线段的中点？图中共有多少条线段？它们分别是？【答案】（1）1.5㎝；（2）1.5㎝；（3）由图可知，BM=MQ=NQ=NA所以Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点．图中共有10条线段，它们分别是：BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA.【解析】【分析】先根据题意画出几何图形（1）根据BN=3BM可得到MN=2BM，而MN=3cm，即可得到线段BM的长；（2）根据AN=12MN即可得到线段AN的长；（3）由（1）与（2）得到BM=MQ=NQ=NA，即QB=QA，QM=QN，则点Q是线段MN的中点，也是线段AB的中点；图形中共有BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA10条线段．【详解】如图所示：（1）（MN=3cm，BN=3BM，（BM=12MN=12×3=1.5（cm ）；（2）（MN=3cm，AN=12 MN（AN=1.5cm；（3）由图可知，BM=MQ=NQ=NA，（QB=QA，QM=QN，（点Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点；图中共有10条线段，它们分别是：BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA．【点睛】本题考查了两点间的距离、射线与线段的定义，解题的关键是熟记两点间的距离的定义：两点的连线段的长叫两点间的距离．二、线段分点问题3. 如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是线段AD的中点，CD ＝6 cm，求线段MC的长．【答案】3cm【解析】【分析】设AB=2x，BC=4x，CD=3x，再根据CD=6cm求出x的值，故可得出线段AD的长度，再根据M是AD的中点可求出MD的长，由MC=MD-CD即可得出结论．【详解】解：∵B，C两点把线段AD分成2：4：3三部分，∴设AB=2x，BC=4x，CD=3x，∵CD=6cm，即3x=6cm，解得x=2cm，∴AD=2x+4x+3x=9x=9×2=18cm，∵M是AD的中点，∴MD=12AD=12×18=9cm，∴MC=MD-CD=9-6=3cm．【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系．4. A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒的速度同时向左运动．（1）几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？（2）几秒后，恰好有OA：OB=1：2.【答案】（1）95（1.8）秒；（2）1或9秒.【解析】【分析】（1）根据原点恰好在两点正中间，分别表示出原点两旁的长度求出即可；（2）利用①B与A相遇前，②B与A相遇后分别表示出线段长度得出等式即可．【详解】（1）设运动时间为x秒，根据题意得出：x+3=12-4x，解得：x=1.8，答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间；（2）设运动时间为x秒，分两种情况：①B与A相遇前：12-4x=2（x+3），解得：x=1，②B与A相遇后：4x-12=2（x+3），解得：x=9，答：1秒或9秒后，恰好有OA：OB=1：2．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论得出是解题关键．三、线段条数的计数问题5. 先阅读文字，再解答问题．如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可以得到3条线段，其中以A 1为端点的向右的线段有2条，以A 2为端点的向右的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1)在一条直线上取四个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有______条，以A 3为端点的向右的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)．(2)在一条直线上取五个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有________条，以A 3为端点的向右的线段有________条，以A 4为端点的向右的线段有______条，共有________＋________＋________＋________＝______(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有________条线段．(4)乘火车从A 站出发，沿途经过5个车站方可到达B 站，那么A ，B 两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？(只考虑硬座情况) 【答案】（1）3；2；1；3；2；1；6；（2）4；3；2；1；4；3；2；1；10；（3）(1)2n n -；（4）21种；42种 【解析】【分析】（1）分别找出以A 1，A 2，A 3为端点向右的线段数，再求和即可得到结论； （2）分别找出以A 1，A 2，A 3，A 4为端点向右的线段数，再求和即可得到结论； （3）由前面的规律可看出，当直线上有n 个点时，线段总数为(1)2n n -； （4）画出图形，结合图形，表示出线段的条数，就可以知道车票的种数，从而可得结论．【详解】解：(1)在一条直线上取四个点，如图以A 1为端点的向右的线段有12A A ，13A A ，41A A 共3条，以A 2为端点的向右的线段有23A A ，24A A 共2条，以A 3为端点的向右的线段有34A A ，1条，共有3＋2＋1＝6(条)．(2)在一条直线上取五个点，如图，以A 1为端点的向右的线段有12A A ，13A A ，41A A ，15A A 共4条，以A 2为端点的向右的线段有23A A ，24A A ，25A A 共3条，以A 3为端点的向右的线段有34A A ，35A A ，共2条，以A 4为端点的向右的线段有45A A ，1条，共有4＋3＋2＋1＝10(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有(1)2n n -条线段． (4)从A 站出发，沿途经过5个车站到达B 站，类似于一条直线上有7个点，如图，此时共有线段7(71)2⨯-＝21(条)，即A ，B 两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A ，B 两站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．【点睛】此题主要考查学生数线段条数及规律型题的掌握情况，找到线段条数与直线上点的个数之间的联系，是解题的关键．四、平面内直线相交所得交点与平面的计数问题6. 为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图．列表如下：(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________．(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分． (3)当直线条数为n 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 【答案】(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5 (2)45；56；（3）(1)2n n -；n(n 1)12+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2， 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+4， 可得，n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分，两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分，四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分，五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，即n 条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=1+(+1)2n n 部分 （2）代入（1）中的规律可得结果； （3）由（1）可得结论．【详解】解：（1）两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3=4(41)2⨯-=6， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+45(51)=2⨯-=10，∴可得，n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分， 两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分， 四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分， 五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，∴n 条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=[1+(+1)2n n ]部分 （2）当n=10时，最多有10(101)=452⨯-个交点，把平面最多分成1+10(10+1)=562⨯部分． （3）当直线条数为n 时， 最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)2n n -个交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦部分． 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交有(1)2n n -个交点．本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．五、关于角的个数的计数问题7. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图，如果过角的顶点A ，(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？ (2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？ (3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？ (4)在角的内部作n 条射线，那么图中一共有几个角？【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）(1)(2)2n n ++【解析】【分析】（1）根据图形判断即可；（2）根据图形可判断出在（1）的基础上再增加一条射线，则增加3个角，进行计算即可；（3）根据图形判断在（2）的基础上再增加一条射线，则增加4个角，进行计算即可；（4）根据前面结论进行总结即可．【详解】解：（1）如题图①，已知∠BAC ，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和∠BAC 的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角； （2）题图①中有1＋2＝3(个)角，如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射线就会和图中的三条射线再组成三个角，则题图②中一共有1＋2＋3＝6(个)角；（3）如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中的四条射线再组成四个角，即题图③中一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角；（4）由（1）、（2）、（3）可知：在角的内部作一条射线，一共有1＋2＝3(个)角， 在角的内部作两条射线，一共有1＋2＋3＝6(个)角， 在角的内部作三条射线，一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角，所以如果在一个角的内部作n 条射线，则图中一共有1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)＝(1)(2)2n n ++ (个)角．【点睛】本题考查了角的计数，通过观察，正确归纳总结出规律是解题关键．。

七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。

在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。

2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。

假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。

- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。

- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。

- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。

三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。

例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。

分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。

2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。

3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。

4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。

四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。

线段双中点模型例题
【实用版】
目录
1.线段双中点模型的定义与概念
2.线段双中点模型的性质与特点
3.线段双中点模型的例题解析
4.线段双中点模型在实际问题中的应用
正文
一、线段双中点模型的定义与概念
线段双中点模型，又称为线段中点模型，是一种求解几何中点问题的数学模型。

它是指在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，求线段 AB 的中点 M(x, y) 的数学模型。

二、线段双中点模型的性质与特点
线段双中点模型具有以下性质：
1.中点 M 的坐标满足公式：x = (x1 + x2) / 2，y = (y1 + y2) / 2。

2.中点 M 将线段 AB 平分，即 AM = MB。

3.中点 M 是线段 AB 上的一点，且到线段两端点的距离相等。

三、线段双中点模型的例题解析
例题：已知线段 AB 的两个端点 A(2, 3) 和 B(6, 9)，求线段 AB 的中点。

解答：根据线段双中点模型的公式，我们可以得到：
x = (2 + 6) / 2 = 4
y = (3 + 9) / 2 = 6
所以，线段 AB 的中点 M 的坐标为 (4, 6)。

四、线段双中点模型在实际问题中的应用
线段双中点模型在实际问题中有广泛的应用，例如在计算机图形学中，求解线段中点可以实现线段的平移、缩放等操作；在数据结构中，求解线段中点可以用于计算两点之间的距离等。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题4.5有关线段中点的计算问题大题专项提升训练（重难点培优）一、解答题1．（2022·山东潍坊·七年级期中）已知点C在直线AB上，点M，N分别为AC，BC的中点．(1)如图所示，若C在线段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求线段BC，MN的长；(2)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC―BC=a厘米，请根据题意画图，并求MN的长度（结果用含a的式子表示）．∵M是AC的中点，∵M是AC的中点，cm，CB=8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：(1)求AD的长度；(2)求DE的长度；(3)若M在直线AB上，且MB=6cm，求AM的长度．∴AM的长度为26cm或14cm．【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC 的中点，F为DE的中点(1)如图1，若AC=4，BC=6，求CF的长；(2)若AB=16CF，求AC的值；CB(3)若AC＞BC，AC―BC=a，取DC的中点G，CE的中点H，GH的中点P，求CP的长(用含a 的式子表示)．设AC=x，BC=y，即x―y=a，则DC 的中点，如果CD=4cm，(1)求AC的长度；(2)若点E是线段AC的中点，求ED的长度．分别是线段AB、BP的中点．(1)如图1，点B在线段AP上一点，AP=15，求MN的长；(2)如图2，点B在线段AP的延长线上，AM-PN=3.5，点C为直线AB上一点，CA+CP=13，求CP长．CP+CA=CP+(CP+AP)=13，即CP+(CP+7)=13，解得CP=3；当点C在点A的左侧时，CA+CP=CA+(CA+AP)=13，即CA+(CA+7)=13，解得CA=3，∴CP=CA+AP=3+7=10．综上所述，CP的长为3或10．【点睛】本题考查中点的定义和线段的和差关系，解题的关键是熟练运用分类讨论思想，避免漏解．6．（2021·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM？(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．7．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，点A，C，E，B，D在同一条直线上，且AB=CD，点E是线段AD的中点．(1)点E是线段BC的中点吗？说明理由；(2)若AB=11，CE=3，求线段AD的长．【答案】(1)点E是线段BC的中点．理由见解析(2)16【分析】（1）先根据线段和差可得AC=BD，再根据线段中点的定义可得AE=DE，然后根据线段和差即可得出结论；（2）先根据（1）的结论可得BC=CE+BE=6，从而可得AC=5，再根据CD=AB可得CD=11，然后根据AD=AC+CD即可得．（1）解：点E是线段BC的中点．理由如下：因为AB=CD，所以AB―BC=CD―BC，即AC=BD，又因为E是线段AD的中点，所以AE=DE，所以AE―AC=DE―BD，即CE=BE，所以点E是线段BC的中点．（2）解：因为CE=3,CE=BE，所以BC=CE+BE=3+3=6，又因为AB=11，所以AC=AB―BC=11―6=5，又因为CD=AB=11，所以AD=AC+CD=5+11=16．【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．8．（2021·江西鹰潭·七年级期中）已知，点A，B，C在同一条直线上，点M为线段AC的中点、点N为线段BC的中点，(1)如图，当点C在线段AB上时；①若线段AB=10，BC=4，求MN的长度；②若AB=a，则MN=_______．(2)若AC=10，BC=n，直接写出MN的长度．（用含n的代数式表示）点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）(1)线段BA的长度为____，当t =3时，点P所表示的数是____；(2)求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；(3)在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t．∴|20―2t―5|=2，∴20―2t―5=2，或20―2t―5=―2，解得t=6.5，或t=8.5．综上所述，所求t的值为1.5或3.5或6.5或8.5．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键．10．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）已知：如图，点C、D 在线段AB上，AB，AB＝12．点D是AB中点，AC=13(1)求线段CD的长；(2)E是线段BD上一点，且DE＝CD，请在图中画出点E，并证明C是AE的中点．CD的长为1．(1)求AB的长度；(2)若点E为BC中点，试求DE的长度．【答案】(1)10(2)3【分析】（1）根据AC和CD得到AD，再根据中点的定义求出AB；（2）先求出BC，根据中点的定义得到CE，再加上CD即可得到DE．（1）解：∵AC=6，CD=1，∴AD=AC-CD=5，∵点D为AB中点，∴AB=2AD=10；（2）∵AB=10，AC=6，∴BC=AB-AC=4，∵E为BC中点，∴BE=CE=2，∴DE=CD+CE=1+2=3．【点睛】本题考查了中点的定义，线段的和差，解题的关键是掌握中点平分一条线段．12．（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D 为线段AE的中点．(1)若线段AB＝a，CE＝b且(a―16)2+|2b―8|=0，求a，b的值；(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，【答案】(1)a=16，b=4；(2)CD=2．【分析】（1）根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．（1）BC的中点．(1)若AM＝2，BC＝8，求MN的长度；(2)若AB＝14，求MN的长度．【点睛】此题考查了两点间距离，解题的关键是熟练掌握线段的中点性质．14．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）（1）如图，已知平面内A、B两点用没有刻度的直尺和圆规按下列要求尺规作图，并保留作图痕迹①连接AB；②反向延长线段AB到C，使AC ＝AB；③延长线段AB到D，使AD＝3AB．（2）若点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，AB＝4cm，求线段EF、CD的长度，并说明线段EF、CD的数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）EF＝8cm，CD＝16cm，CD＝2EF【分析】（1）根据要求作图即可．（2）根据线段中点的定义可得出答案．【详解】解：（1）①如图，线段AB即为所求．②如图，线段AC即为所求．③如图，线段AD即为所求．（2）∵AB=AC=4cm，AD=3AB=12cm，点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，∴AE=2cm，AF=6cm，∴EF=AE+AF=8cm，CD=AC+AD=16cm，∴CD=2EF．【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段等知识，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．15．（2022·全国·七年级专题练习）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB 的中点．BC，求线段CD的长度；(1)点D在线段AB上，且AB=6，BD=13(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当AD:BD=2:3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；（2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系．【详解】（1）解：如图1，∵点C是线段AB的中点，AB=6 AB=3，∴BC=12设AD=2x，则BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，设AD=2a，则BD=3a，∴AB=BD-AD=a，M是AB的中点，N是AC的中点．求：(1)线段CM的长；(2)求线段MN的长．【答案】(1)1cm(2)3cm【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM＝AM−AC求得线段CM的长；（2）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN＝CM＋NC即可求出MN的长度．（1）解：∵AB＝10，M是AB的中点，∴AM＝5，又∵AC＝4，∴CM＝AM﹣AC＝5﹣4＝1（cm）．∴线段CM的长为1cm；（2）解：∵N是AC的中点，∴NC＝2，∴MN＝NC＋CM，2＋1＝3（cm），∴线段MN的长为3cm．【点睛】本题主要考查两点间的距离，线段中点的运用，知道线段的中点把线段分成两条相等的线段是解题的关键．17．（2021·山东·高青县教学研究室期中）如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB＝6，CD＝1．(1)求BC的长；(2)若AE：EC＝1：3，求EC的长．【答案】(1)BC＝2在线段AD上．(1)图中共有条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②如图2，若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．【答案】(1)6(2)①＝；②16【分析】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD；题）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．(1)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；AC，且AC＝12cm，则AD的长为cm；②若BC＝34(2)若线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．【答案】(1)①=；②15(2)24cm【分析】（1）①由已知同加BC即得答案；②求出BC和AB，根据AB=CD得到CD，即可得到AD；（2）根据题意画出图形，设AB=3x，BC=4x，CD=5x，根据线段的和差关系求得MN，根据题意列出方程进而即可求解．（1）①∵AB=CD，∴BM=AM=32x,CN点C在线段AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；（2）已知：如图2，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB＝a，求MN的长度；（3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度．∵点M、N分别是AC，BC中点，11（苏科版））如图，O为数轴原点，点A原点左侧，点B在原点右侧，且OB＝2OA，AB＝18．(1)求A、B两点所表示的数各是多少；(2)P、Q为线段AB上两点，且QB＝2PA，设PA＝m，请用含m的式子表示线段PQ；(3)在②的条件下，M为线段PQ的中点，若OM＝1，请直接写出m的值．【答案】(1)A表示的数为﹣6，B表示的数为12(2)18﹣3m或3m﹣18(3)m＝4或m＝8【分析】（1）由题意可求得OB＝12，OA＝6，从而可表示出点A，B所表示的数；（2）分两种情况进行讨论：①点P在点Q的左侧；②点P在点Q的右侧，再利用相应的线段的关系可以求解；PQ＝AB﹣PA﹣BQ＝18﹣3m；②当点P在点Q的右侧时，如图，PQ＝QB﹣（AB﹣PA）＝3m﹣18，∴线段PQ的长是18﹣3m或3m﹣18．直线l上，且AB＝18cm，点C是AB的中点．(1)若点P 是直线l 上的动点，且PB ＝5cm ，则CP ＝ cm ；(2)若点Q 是AB 的延长线上一点，点M 、N 分别是AQ 、BQ 的中点，求线段MN 的长．【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差关系，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差直线l 上的两点，点C 、D 在直线l 上且点C 在点D 的左侧，点D 在点B 的右侧，且AC ＝13BC ，BD ＝12AB ．(1)若AB ＝8，求线段CD 的长；(2)若CD ＝m ，则线段AB 的长为（用含m 含的代数式表示）．∵AC=1BC，AB=8，∵AC=1BC，AB=8，∵AC=1BC，∵AC=1BC，四点在同一直线上．(1)若AB=CD．①比较线段的大小：AC________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；AC，且AC=16cm，则AD的长为________cm；②若BC=34(2)若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．(2)解：如图所示，设每份为x，则AB=2x，BC=3x，CD=4x，AD=9x，∵M是AB的中点，点N是CD的中点N，∴AM=BM=x，CN=DN=2x又∵MN=18，∴x+3x+2x=18，解得，x=3，∴AD=9x=27(cm)．【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的意义．25．（江苏省苏州市振华中学校2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）已知线段AB= a，小明在线段AB上任意取了点C然后又分别取出AC、BC的中点M、N的线段MN（如图1）；小红在线段AB的延长线上任意取了点D，然后又分别取出AD、BD的中点E、F的线段EF（如图2）(1)试判断线段MN与线段EF的大小，并说明理由．(2)若EF=x，AD=4x+1，BD=x+3，求x的值．a；∴MN=12如图2，得EF=ED-FD=1AD―1BD=1(AD―BD)，AB，D为线段BC的中点．（如图），C是AB反向延长线上的点，且AC=13(1)将CD的长用含a的代数式表示为________；(2)若AD=3cm，求a的值．cm，C是线段AB上一点，AC=6cm，D、E分别是AB、BC的中点．(1)求线段CD的长；(2)求线段DE的长．28．（江苏省盐城市射阳县第六中学2021-2022学年七年级上学期期末数学试题（b卷））如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝10cm，BD＝4cm．(1)求线段CD的长；BD，求线段AE的长．(2)若点E是线段AB上一点，且BE=12BD=2cm∵BE=12∴AE=AB线段AB上一点，AB＝m，BC＝n，M、N分别为AB、BC的中点．(1)若m＝10，n＝3，求MN的长；(2)若m＝3n，求CN的值．MN已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．（1）AB= ；（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q 的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒．①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．。

线段双中点模型例题摘要：一、线段双中点模型简介1.线段双中点模型的定义2.模型在几何问题中的应用二、线段双中点模型的例题解析1.题目一：已知线段AB 和线段CD，求证MN 是线段AB 和线段CD 的中点2.题目二：已知线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N，求证MN 平行于且等于线段AB 和线段CD 的一半3.题目三：已知线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N，求证∠AMN = ∠DON三、线段双中点模型的拓展应用1.利用线段双中点模型解决复杂的几何问题2.与其他几何模型结合使用，提高问题解决效率正文：线段双中点模型是几何学中一个重要的模型，它在解决一些几何问题时具有很高的实用价值。

下面，我们通过一些例题来了解线段双中点模型的具体应用。

一、线段双中点模型简介线段双中点模型，顾名思义，是指一个线段上有两个中点。

在几何问题中，如果一个线段的两个端点与另一个线段的两个端点分别连线，使得这两条线段的中点重合，那么这两个线段就构成了一个线段双中点模型。

这个模型在解决一些几何问题时，能够帮助我们快速地找到线段之间的关系，从而简化问题的解决过程。

二、线段双中点模型的例题解析1.题目一：已知线段AB 和线段CD，求证MN 是线段AB 和线段CD 的中点解析：根据线段双中点模型的定义，如果MN 是线段AB 和线段CD 的中点，那么AM = MB = CN = DN。

通过证明可以得出结论：MN 确实是线段AB 和线段CD 的中点。

2.题目二：已知线段AB 和线段CD 的中点分别为M 和N，求证MN 平行于且等于线段AB 和线段CD 的一半解析：根据线段双中点模型的定义，M 是线段AB 的中点，N 是线段CD 的中点。

因此，AM = MB = CN = DN。

又因为MN 是平行四边形AMNB 和CDON 的中点，所以MN 平行于AB 和CD。

同时，MN = (AM + MB) / 2 = (CN + DN) / 2，即MN 等于线段AB 和线段CD 的一半。