随机向量函数

二维离散随机向量的概率质量函数的定义概率质量函数是描述随机变量取不同取值的概率分布的函数。

对于二维离散随机向量，概率质量函数描述了两个随机变量同时取不同取值时的概率分布情况。

本文将围绕二维离散随机向量的概率质量函数展开讨论，详细阐述其定义及相关概念。

一、二维离散随机向量的定义我们需要了解二维离散随机向量的概念。

在概率论中，随机向量是指由多个随机变量组成的向量。

二维离散随机向量由两个随机变量构成，在数学上可以表示为(X, Y)，其中X和Y为两个随机变量。

二、概率质量函数的定义概率质量函数是描述随机变量取不同取值时的概率分布情况的函数。

对于二维离散随机向量(X, Y)，其概率质量函数定义为P(X=x, Y=y)，即当随机变量X取值为x，Y取值为y时的概率。

概率质量函数通常用P(X, Y)表示，在不致混淆的情况下也可以简写为P(x, y)。

三、概率质量函数的性质1. 非负性：概率质量函数的取值都是非负数，即P(X, Y) ≥ 0。

2. 规范性：对于所有可能的取值(xi, yj)，概率质量函数的总和为1，即∑∑P(xi, yj) = 1。

3. 可加性：当事件A和事件B互不相容时，它们同时发生的概率为P(A∩B) = P(X=x, Y=y)。

四、如何计算概率质量函数对于二维离散随机向量的概率质量函数，通常需要根据给定的随机变量取值和概率来计算。

在实际问题中，可以通过样本数据来估计概率质量函数，或者通过理论分析来推导。

五、概率质量函数的应用概率质量函数在概率论和统计学中有着重要的应用。

通过概率质量函数，可以描述随机变量取不同取值的概率分布情况，从而进行概率计算、风险评估和决策分析等。

六、总结二维离散随机向量的概率质量函数是描述两个随机变量同时取不同取值的概率分布情况的函数。

其定义及性质为概率论和统计学的基础知识，对于理解随机变量的概率分布以及进行相关应用具有重要意义。

在实际问题中，需要根据具体情况来计算概率质量函数，并结合其他统计方法进行分析和应用。

大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。

简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。

(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。

设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。

随机向量的特征函数
随机向量是由多个随机变量组成的向量。

在概率论和统计学中，随机向量是一个重要的研究对象。

特征函数是描述随机变量分布的一种方式，而随机向量的特征函数可以用来描述随机向量的分布。

随机向量的特征函数是一个多元复值函数，定义为所有分量的指数函数的乘积的期望值。

具体来说，如果随机向量X = (X1,
X2, ..., Xn)，则其特征函数φ(t1, t2, ..., tn)定义为：φ(t1, t2, ..., tn) = E[exp(i(t1X1 + t2X2 + ... + tnXn))]
其中i是虚数单位。

特征函数的变量是一个n维向量(t1,
t2, ..., tn)。

随机向量的特征函数具有一些重要的性质。

首先，特征函数是复值函数，因此可以表示为实部和虚部的组合。

其次，特征函数具有唯一性，即如果两个随机向量的特征函数相同，则它们具有相同的分布。

此外，特征函数具有连续性和可微性等性质。

在实际应用中，随机向量的特征函数可以用来求解随机向量的矩、相关系数、协方差矩阵等统计量。

此外，特征函数还可以用于估计随机向量的分布，例如通过逆傅里叶变换将特征函数转换为概率密度函数。

总之，随机向量的特征函数是描述随机向量分布的一种常用工具，具有许多重要的性质和应用。

随机向量的变换设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为(,)p x y ，函数(,),(,)u f x y v g x y ==有连续偏导数，且存在惟一的反函数(,),(,),x x u v y y u v ==若(,),(,),U f X Y V g X Y == 则(,)U V 的联合概率密度函数为((,),(,),(,),(,)0,p x u v y u v J u v f g q u v else ⎧=⎨⎩属于的值域，其中J 为坐标变换的雅可比行列式(,)0.(,)xy x y u uJ xy u v vv∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂ 求二维连续型随机变量的函数的分布密度函数有以下两种常用方法：① 直接法：可先求U 的分布函数，这一般是一个二重积分，再通过求导求得U 的密度函数.②（增补变量）变换法：可以引入新的随机变量(,)V h X Y =，先求的联合密度函数，再求关于U 的边缘分布密度函数.例1 设(,)(,),X Y p x y 求U X Y =+的密度函数.解：设,,U X Y V Y =+⎧⎨=⎩ 则1111,01x y xyu u J v v -===-(,)((,),(,)(,).q u v p x u v y u v J p u v v ==- 所以U X Y =+的密度函数()(,).U p u p u v v dv +∞-∞=-⎰特别，当,X Y 独立时U X Y =+的密度函数为()()().U X Y p u p u v p v dv +∞-∞=-⎰例2 设(,)(,),X Y p x y 求U X Y =-的密度函数.解：设,,U X Y V Y =-⎧⎨=⎩ 则1111,01x y xyu u J v v --===(,)((,),(,)(,).q u v p x u v y u v J p u v v ==+所以U X Y =-的密度函数()(,).U p u p u v v dv +∞-∞=+⎰特别，当,X Y 独立时U X Y =-的密度函数为()()().U X Y p u p u v p v dv +∞-∞=+⎰例3 设(,)(,),X Y p x y 求U XY =的密度函数.解：设,,U XY V Y =⎧⎨=⎩ 则1,01x y xyu u y xJ y v v v -====1(,)((,),(,),.u q u v p x u v y u v J p v v v ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以U XY =的密度函数1(),.U u p u p v dv v v+∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰特别，当,X Y 独立时U XY =的密度函数为()1().U X Y u p u p p v dv v v +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰例4 设(,)(,),X Y p x y 求U X Y =的密度函数.解：设,,U X V Y =⎧⎨=⎩ 则21111,01x y xyu u y x y J v v y v--==== ()(,)((,),(,),.q u v p x u v y u v J p uv v v == 所以U X =的密度函数()(),.U p u v p uv v dv +∞-∞=⎰特别，当,X Y 独立时U X Y =的密度函数为()()().U X Y p u v p uv p v dv +∞-∞=⎰。