画法几何及工程制图常用曲线和曲面共26页

图2.126 一些平面立体的投影图示例
2020/6/20
Wang c第he2n章gg画an法g 几何
2.6 曲线、曲面和立体
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3.一些平面立体的投影图示例（二）
(c)斜三棱柱
(d)正四棱台
图2.126 一些平面立体的投影图示例
2020/6/20
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2.6 曲线、曲面和立体
Wang c第he2n章gg画an法g 几何
2.6 曲线、曲面和立体
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2.棱锥及其表面上的线和点
（1）棱锥的投影
(a)立体图
(b)投影图
图2.123 正五棱锥的投影
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2.6 曲线、曲面和立体
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（2）棱锥表面上的线和点的投影
(a)已知条件
(b)作法一 (c)作法二
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2.6 曲线、曲面和立体
1
2.6 曲线、曲面和立体
2.6.1 平面立体及其表面上的线和点 2.6.2 平面曲线和空间曲线 2.6.3 曲面、曲面立体及其表面上的线和点 2.6.4 圆柱螺旋线和平螺旋面
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(d)作法三
图2.124 在正三棱锥表面上作点D的正面投影
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2.6 曲线、曲面和立体
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［例题2.62］如图2.125a所示，已知正五棱锥表面上的点F、 K、L和直线GH的一个投影，补全这些点和直线的三面投影。

3″
c″
返回
3、圆台的投影
返回
4、圆球
圆球的形成
• 球是由球面围成的。 • 球面可以看成由半圆绕其直径回转一周而成。
圆球的投影分析
圆球体的投影
返回
圆球上取点
圆球上取点
圆球面上的线和点
(b′)
(a′) n′
(c′) m″
b″
a″
n″
(c″) m″
c ab
(m) n
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圆环的形成
5、圆环体
返回Biblioteka 锥状面的画法5、锥 状 面
直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一 个导平面运动所形成的曲面称为锥状面。
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圆柱螺旋线的画法
（四） 圆柱螺旋线和平螺旋面
1、圆柱螺旋线
一动点沿着 圆柱面的直母 线作等速移动， 同时又绕圆柱 面的轴线作等 速旋转的合运 动轨迹，称为 圆柱螺旋线。
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平螺旋面的画法
2' 2'
2 4d
例：知平面 内圆的半径， 求它的两面 投影
圆半径
根据共轭轴求长短轴
A
L1 OL1=OL
K1 D
O L2
OK2=Ok
C K2
K
•
•
M D1
B
M为D1B中点
MK=ML=MB 短轴平行BL 长轴平行KB
•L
【例题】在四边形平面上，以O为圆心，半径R=30，作圆 的两面投影。
Ⅳ′ d′
2、平螺旋面
直母线沿 着圆柱螺旋 线和其轴线 且平行于与 轴线垂直的 导平面运动 所形成的曲 面称为平螺 旋面。平螺 旋面属于锥 状面的一种。
返回
中 空 的 平 螺 旋 面 画 法

表1 常见曲面体的形成 一、圆柱
圆柱的投影
圆柱投影图分析
属于圆柱表面的点线
例3
例4
三、圆球
圆球的投影 圆球投影图分析
上一节
圆析 圆锥表面上取点线
四、圆环
返
圆环的投影
回
圆环投影图分析： 退
属于圆环表面的点线 出
例 11
例 12
23
一、圆柱
空间分析
曲线的投影性质： 1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能 积聚成直线；
5
§6-1 曲线
2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投 影相切，而且切点的投影仍为切点；
3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭 圆。
6
§6-1 曲线
三、圆的投影 1. 投影面垂直面上的圆 圆在所垂直的那个投影面上 的投影为直线段，线段的长度等 于圆的直径，圆的另外两投影为 椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的 直径。
9
§6-1 曲线
例6-2 半径为r的圆位于一般倾斜平面□ABCD上，
并知圆心的位置，试作出其投影。
解：首先，在水平投影中 作椭圆的长短轴：长轴的方向 为面内水平线的水平投影的方 向，长度等于圆的直径2r。短 轴垂直于长轴，长度利用直角 三角形法求出。
10
§6-1 曲线
其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是
7
§6-1 曲线
例6-1 已知直径为d 的圆位于铅垂面内，并知圆心O 和PH的位置，试作出其投影。
解：水平投影为线段，长度等 于d，重合在PH上；正面投影和 侧面投影为椭圆，长轴竖直，长 度等于d，短轴水平，长度根据水 平投影作出。利用换面法可作出 椭圆上的一些中间点。

B
线段的五等分
37
1.3.2 圆周等分和圆内接正多边形
1.圆内接正五边形
作图步骤：
A
B O
H
C
(1)以N为圆心，NO为半径画圆弧
F
交圆于F，G，连接点A作圆弧，交水 平直径于H，再以A为圆心过H作
N 圆弧，交外接圆于B，E。
M
(3)分别以B，E为圆心，弦长BA为
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1. 汉字
书写要点：横平竖直 注意起落 结构均匀 填满方格
汉字用长仿宋字，并采用国家正式公布推行的简 化字，字宽是字高的2/3左右。
18
2.字母与数字
字母和数字分A型和B型。A型字体笔画宽度为字高的 1/14，B型字体笔画宽度为字高的1/10。字母和数字有直体 和斜体之分。斜体字字头向右倾斜，与水平线约成75°。
⑸ 以O为圆心，R为半径画连接圆弧。 48
3.用半径为R的圆弧连接两已知圆弧（外切）
R
⑴ 以O1为圆心，R1+R为
半径画圆弧。
O
●
⑵ 以O2为圆心，R2+R为 半径画圆弧。
● K1 O1
K2● O2
⑶ 分别连接O1O，O2O 求得两个切点。
⑷ 以O为圆心， R为半 径画连接圆弧。
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4. 用半径为R的圆弧连接两已知圆弧（内切）
⑴ 以O1为圆心，R-R1为半 径画圆弧。
⑵ 以O2为圆心，R-R2为 半径画圆弧。
⑶ 分别连接OO1，OO2 并 延长求得两个切点。
⑷ 以O为圆心，R为半 径画连接圆弧。
O ●
O1
6
第1章 制图基本知识与基本技能
7
1.1 国家标准《技术制图与机械制图》摘录
1.1.2 比例 1.1.3 字体 1.1.4 图线及其画法

(4″) (3″)
2″ 1″
在圆柱 体表面 的线和 点，可 利用圆 柱面的 积聚性 求解。
二、圆锥
（1） 圆锥体的组成
两条相交直线，以一条为母线另 一条为轴线回转，即得圆锥面。
由圆锥面和底面组成的回转体就 是圆锥体。
（2） 圆锥的三面投影图
水平投影是一个圆（即圆锥 底圆的水平投影），圆心即轴和锥 顶的水平投影，半径等于底圆的半 径；正面和侧面投影是相同的等腰 三角形，此等腰三角形的高等于圆 锥的高，底等于圆锥底圆的直径。
3、当＝45°截交线椭圆的长轴投影后，与短 轴相等，椭圆的投影成为圆；
完成圆柱体截切后的侧面投影。
完成圆柱体截切后的侧面投影。
完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。
2、圆锥体的截交线
依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交线 的形状有以下五种：
完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
曲面立体的投影
学习内容：
➢ 曲面立体的形成（圆柱、圆锥、球、环、单
学 习
叶回转双曲面）
内 容
➢ 曲面立体的投影（圆柱、圆锥、球、环、单
及
叶回转双曲面）
学
习 重
学习重点：
点
➢ 曲面立体的投影
➢ 曲面立体表面取点方法（素线法、纬圆法）
曲面立体的投影
由曲面包围或者由曲面和平面包围 而成的立体，叫做曲面立体。
截交线为椭圆，截交 线的正面投影落在截平 面的积聚性投影上，要 作出椭圆的水平投影和 侧面投影。
2、投影作图
运用锥面取点方法 作出椭圆长短轴端点、 转向轮廓线上点和一般 点，用曲线光滑连接各 点。
3、整理轮廓线
完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。

n
喉圆 M
纬圆
n
赤道圆
特性：
V
m
1. 经过轴的平面和曲面相交于以轴为对称的两条素线；
2. 垂直轴的平面必和曲面相交于一个纬圆。
5
§6－2 曲面的形成及表示法
有导线导面的直纹曲面
a(d)
D
Ⅱ
M
A
2 m
1
C
Ⅰ
E
c
B
b
e
立体图
c2
d
e
m 导线：垂直于H面的直线AB
平行于V面的半圆CDE
1
导面：H面 母线：BC
3
35
【例3】求棱柱与正圆锥的相贯线。
4'
3' 1'
5'
6'
2'
4" 3" 1"
2" 5"
6"
7"
6 4
3 1
52
36
37
【例4】求棱柱与圆柱的相贯线。
7 5(6) 3(4) 1(2)
6" 4"
2"
7" 5" 3"
1"
已知相贯线的 两投影求第三
投影
46 2
7
1 35
38
§6－7 两曲面立体相贯
• 两曲面立体的相贯线: 是两曲面的公共点的连线 一般情况是封闭的空间曲线；某些特殊情况是平面曲线。
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§6－7 两曲面立体相贯
• 两曲面立体的相贯线: 是两曲面的公共点的连线 一般情况是封闭的空间曲线；某些特殊情况是平面曲线。
• 特殊情况 当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆

反映实形
退化成直线
变了形的曲线
第六章 曲线和曲面
§6-1 曲线
三、圆的投影 1. 投影面垂直面上的圆
圆在所垂直的那个投影面上 的投影为直线段，线段的长度等 于圆的直径，圆的另外两投影为 椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的 直径。
第六章 曲线和曲面
§6-1 曲线
例6-1 知直径为d 的圆位于铅垂面内，并知圆心O 和PH的位置，试作出其投影。
第六章 曲线和曲面
§6-3 直纹面
工程用例：水塔支架
冷却塔
第六章 曲线和曲面
§6-3 直纹面
八、螺旋面
分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，直母线l 沿此两导线挪动 而又同时与轴线坚持一定的角度，这样构成的曲面称为螺旋面。假 设 母线与轴正交，得到 的叫正螺旋面，否那么 得到的叫斜螺旋面。
第六章 曲线和曲面
画法几何及土木工程制图
第六章 曲线和曲面
目录
§6-1 曲线 §6-2 曲面概述 §6-3 直纹面 §6-4 曲线面
第六章 曲线和曲面
§6-1 曲线
一、曲线的构成和分类 曲线可以看作是由以下三种方式构成的： 1.不断改动方向的点延续运动的轨迹。 2.曲面立体外表的交线。 3.直线族或曲线族的包络。
下面是几种有轴的锥面。
第六章 曲线和曲面
§6-3 直纹面
三、切线面 直母线l 沿着一条曲导线C 运动，且 一直与C 相切，这样构成的曲面称为切线 面。曲导线C 是空间曲线，称为切线面的 脊线。
第六章 曲线和曲面
§6-3
工程中弯曲坡道两侧的边 坡往往设计成切线面，并且使 切线面的一切切线与地面成同 一角度，这样设计成的切线面 称为同坡曲面。
动画演示了另外一个例子。

由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转 曲面可以分为：
直线回转面 曲线回转面 组合回转面
一、 直线回转面
1、 圆柱面
直圆柱面可以认为是一直母线围绕与之平 行的轴线作回转运动形成的，它是一般柱面的 特殊形式。
圆柱面上求点
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
a
2、 圆锥面
正圆锥面可以认为是一直母线围绕与之相交 的轴线作回转运动形成的，它是一般锥面的特殊 形式。
正圆锥面
锥面分类：正圆锥面、正椭圆锥面、斜椭圆锥面
（二） 柱面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
3、 椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面
三、 组合回转面
以组合线段 (包括曲线和直线)为母线，绕一轴线 作回转运动，即形成组合回转面
正双曲抛物面
斜双曲抛物面
（二） 锥状面
一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运 动，并始终与一导平面平行，即形成了锥状面
锥状面是不可展曲面
（三） 柱状面
一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平 面平行，即形成了柱状面
柱状面是不可展曲面
正螺旋柱状面
1．正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的
当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合 时，这些母线称为界限素线
例：圆柱面的投影
圆柱的投影特点
曲面的轮廓线对不
同投影面各不相同。
如图所示，投射柱 面与曲面的切线T称为 曲面对H面的轮廓线， ｔ′为曲面轮廓线的H 投影。

动点沿着圆柱面的母线作匀速直线运动，同时，该母线又绕圆柱面轴 线作匀速转动，点的这种复合运动的轨迹，称为圆柱螺旋线。 当母线旋转一周时，动点在母线上移动的距离，称为导程。 导圆柱面的直径、母线的旋转方向和导程是确定圆柱螺旋线的三要素， 已知三要素即可作出其投影图。
螺旋线有左旋和右旋之分。当 点按右手定则（以右手拇指指点的 移动方向，四指弯曲指着点的旋转 方向）运动时，则称为右旋(a)， 反之，则称为左旋(b)。 (a) (b)
平面规则曲线
平面规则曲 线的概念： 凡曲线 上所有点都 属于同一平 面，且该曲 线可以用数 学方法精确 描述，则称 为平面规则 曲线。
平面规则曲线的投影特性平面曲线除具有曲线 投影的性质外，尚有下列投影性质： 平面曲线所在的平面平行于某一投影面时，则 在该投影面的投影，反映曲线的实形。 平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时，则 在该投影面的投影，积聚成一条直线。 平面曲线上某些奇异点的投影保持原有性质， 即曲线的拐点、尖点及两重点的投影后仍为曲 线投影的拐点、尖点及两重点。 抛物线、双曲线、椭圆等二次曲线投影后，一 般性质不变，即抛物线的投影为抛线、双曲线 的投影为双曲线、椭圆的投影为椭圆等。
(三) 曲线段的数学表示(略) 注：本教材中还介绍了Hermite插值样条曲线(Ferguson曲线)、三次Bezier
曲线以及它们之间的关系等。大家在以后的学习中再深入的学习。
画法几何学习相关网址
• /~draw/jinpin/jxdg.htm
• http://210.44.178.109/kechenzx/03-2-3.htm
平面规则曲线
椭圆的投影
椭圆的投影特性
在特定条件下，椭圆的投影可为一
圆。(解析法P144)。

1．雙曲拋物面的形成
直母線
直導線
直導線
導平面
2．雙曲拋物面的畫法
3．雙曲拋物面的截交線
本章結束
1．正螺旋柱狀面的形成
2．正螺旋柱狀面的 畫法
3．正螺旋柱狀面應用的例子
螺旋扶手
螺旋樓梯
§9-3 單葉雙曲回轉面
1．單葉雙曲回轉面的形成 單葉雙曲回轉面是由直母線繞與它交叉的軸線旋轉而形成。
2．單葉雙曲回轉面的畫法 （1） 畫出回轉軸及直導線的兩面投影； （2） 作出輪廓線頂圓和底圓的兩面投影： （3） 作出若干素線的投影及素線的包絡線。
1．單葉雙曲回轉面的形成
2．單葉雙 曲回轉面 的畫法
9' 7' 5' 11' 1' 3'
3'Байду номын сангаас5'
1' 7'
9' 11'
7
5
11
9
9
1
7
3
3
5
11
1
§9-4 柱狀面
1．柱狀面的形成 一直母線沿兩條曲導線連續運動，同時始終平行於一導平面，
這樣形成的曲面稱為柱狀面 2．柱狀面的畫法 （1） 畫出兩條曲導線的兩面投影； （2） 作出直母線的兩面投影： （3） 作出該曲面上各素線的投影及素線的包絡線。
1．螺旋線的形成
2. 螺旋線的畫法
§9-2 正螺旋柱狀面
1．正螺旋柱狀面的形成 正螺旋柱狀面的兩條曲導線皆為圓柱螺旋線，連續運動的直
母線始終垂直於圓柱軸線。 2．正螺旋柱狀面的畫法 （1）畫出兩條曲導線（圓柱螺旋線）； （2）作出直母線的兩面投影； （3）作出該曲面上各素線的投影。 3．正螺旋柱狀面的應用的例子