高中数学 第三章 不等式章末检测(B)新人教A版必修5

1 【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章 不等式章末检测（B）新人教A版必修5

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．若a<0，－1

A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a

C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a

2．已知x>1，y>1，且14ln x，14，ln y成等比数列，则xy( )

A．有最大值e B．有最大值e

C．有最小值e D．有最小值e

3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )

A．M>N B．M≥N

C．M

4．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为( )

A．(－3a,4a) B．(4a，－3a)

C．(－3,4) D．(2a,6a)

5．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是( )

A．a2>b2 B．(12)a<(12)b

C．lg(a－b)>0 D.ab>1

6．当x>1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，2] B．[2，＋∞)

C．[3，＋∞) D．(－∞，3]

7．已知函数f(x)＝ x＋2， x≤0－x＋2， x>0，则不等式f(x)≥x2的解集是( )

A．[－1,1] B．[－2,2]

C．[－2,1] D．[－1,2]

8．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是( )

A.1ab>12 B.1a＋1b≤1

C.ab≥2 D.1a2＋b2≤18

9．设变量x，y满足约束条件 x－y≥0，2x＋y≤2，y＋2≥0，则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为( )

A．4 B．6

C．8 D．10

10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )

A．甲先到教室 B．乙先到教室

C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定 2 11．设M＝1a－11b－11c－1，且a＋b＋c＝1 (其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是( )

A.0，18 B.18，1

C．[1,8) D．[8，＋∞)

12．函数f(x)＝x2－2x＋1x2－2x＋1，x∈(0,3)，则( )

A．f(x)有最大值74 B．f(x)有最小值－1

C．f(x)有最大值1 D．f(x)有最小值1

题

号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答

案

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为

________________________________________________________________________．

14．对任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是________．

15．若不等式组 x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．

16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较a2b＋b2a与a＋b的大小．

3

18．(12分)已知a，b，c∈(0，＋∞)．

求证：(aa＋b)·(bb＋c)·(cc＋a)≤18.

19．(12分)若a<1，解关于x的不等式axx－2>1.

20．(12分)求函数y＝x＋22x＋5的最大值．

4

21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

5

22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：

产品消耗量资源 甲产品

(每吨) 乙产品

(每吨) 资源限额

(每天)

煤(t) 9 4 360

电力(kw· h) 4 5 200

劳动力(个) 3 10 300

利润(万元) 6 12

问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？

第三章 不等式 章末检测答案(B)

1．D [∵a<0，－1

∴ab>0，ab2<0.

∴ab>a，ab>ab2.

∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，

∴a

2．C

3．A [∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)

＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3

＝(a－1)2＋2>0.∴M>N.]

4．B [∵x2－ax－12a2<0(a<0)

⇔(x－4a)(x＋3a)<0

⇔4a

5．B [取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．

故选B.]

6．D [∵x>1，∴x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥

2x－1·1x－1＋1＝3.∴a≤3.]

7．A [f(x)≥x2⇔ x≤0x＋2≥x2或 x>0－x＋2≥x2

⇔ x≤0x2－x－2≤0或 x>0x2＋x－2≤0

⇔ x≤0－1≤x≤2或 x>0－2≤x≤1

⇔－1≤x≤0或0

⇔－1≤x≤1.]

8．D [取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，

故选D.]

9．C [可行域如阴影，当直线u＝x＋3y过A(－2，－2)时，

u有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B(23，23)时u有最大值23＋3×23＝83. 6

∴u＝x＋3y∈[－8，83]．

∴z＝|u|＝|x＋3y|∈[0,8]．故选C.]

10．B

[设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝s2a＋s2b＝s2a＋s2b＝s×a＋b2ab，ta＋tb＝s⇒2t＝2sa＋b，

∴T－2t＝sa＋b2ab－2sa＋b＝s×a＋b2－4ab2aba＋b＝sa－b22aba＋b>0，

故选B.]

11．D [M＝1a－11b－11c－1

＝a＋b＋ca－1a＋b＋cb－1a＋b＋cc－1

＝ba＋ca·ab＋cb·ac＋bc

≥2ba·ca·2ab·cb·2ac·bc＝8.

∴M≥8，当a＝b＝c＝13时取“＝”．]

12．D [∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，

∴(x－1)2∈[0,4)，

∴f(x)＝(x－1)2＋1x－12－1

≥2x－12·1x－12－1＝2－1＝1.

当且仅当(x－1)2＝1x－12，且x∈(0,3)，

即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1.]

13．－2

解析 ∵t>0，

∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2.

14．－2

当a－2≠0时，则a应满足：

 a－2<0Δ＝4a－22＋16a－2<0解得－2

综上所述，－2

15．5≤a<7

解析 先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．

由图知：5≤a<7.

16．20

解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4＋4x)万元，400x·4＋4x≥160，当1 600x＝4x即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

17．解 ∵(a2b＋b2a)－(a＋b)＝a2b－b＋b2a－a

＝a2－b2b＋b2－a2a＝(a2－b2)(1b－1a)

＝(a2－b2)a－bab＝a－b2a＋bab

又∵a>0，b>0，a≠b，

∴(a－b)2>0，a－b>0，ab>0，

∴(a2b＋b2a)－(a＋b)>0，∴a2b＋b2a>a＋b.

18．证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，

∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，

c＋a≥2ac>0，

∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc>0.

∴abca＋bb＋cc＋a≤18