四川省2019届高三第一次诊断性测试数学(理)试题含答案.doc
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四川省2019届高三第一次诊断性考试
数学试题（理科）
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合4 = {（x,y）|x+y = 2}, B = {（x,y）|x-y = 4},则集合 A B=（ ）
A.
x = 3, y = —1 B. (3,-1) c. {3,-1} D. {(3,-1)}
2.复数2 + i的共辘复数是（ )
A. 2-i B. -2-z C. i-2 D. z + 2
3.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的函数是（ )
1 A. y =—— B. y = COSX C. y — —x~ D. y"
x
TT
4. 为了得到函数^ = 2sin（x — 一）的图像，只需把函数y = 2sinx的图像上所有点（ ） 5
IT TT
A.向左平行移动上个单位长度 B.向右平行移动上个单位长度
9 7T
C.向左平行移动一个单位长度 D.向右平行移动一个单位氏度
5. 某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分
都在［40,90］之间，英得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）
▲频率 B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在（60,80）的概率为0.5
C. 这100名参赛者得分的中位数为65
D. 估计得分的众数为55
—r2 1
6. 设椭圆—+ ^ = 1(7« >0,n>0)的焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，离心率为一，则
府 iv 2
m—n=( )
A. 2>/3 —4 B. 4—3>/3 C. 4>/3 —8 D. 8-4^5
7. 执行如图所示的程序框图，若输入x = 8,则输出的y值为( )
&已知等差数列｛%｝的公差为2,若4，色，勺成等比数列，贝艸色｝前10项的和为(
9•己知函数/(切的导函数为/(X),且满足f(x) = 2xf \e) + lnx (其中幺为自然对数的底
数)，则 f(e)=( )
10.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(X-2)2 + /=1都相切，则 双曲线C的离心率是( ) ? 7 c I D. 3
A. 10 B. 8 C. 6
D. -8
C. 一1 D. 1 A. 2或迹 B. 2或羽 C.、疗或鱼 D.巫或世 3 2 3 2
11. 己知函数/(x) = ^(sinx+cosx),记广(兀)是/⑴ 的导函数，将满足f \x) = 0的所有
正数兀从小到大排成数列｛%｝,〃"，贝|擞列｛/(兀)｝的通项公式是( )
A. (_1)'匕一俗“ B. (一1)卄»必 C. (一1)〃八” D. (_1)"5一曲)“
12. 如图，在 RtAABC 中，ZACB = 90°, AC = lf BC = x(x>Q), D 是斜边 AB 的中点, 将ABCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB丄AD,则兀的取值范圉
A. (—,2) B. [73,2^3] C. (0,2) D.((),舲]
第II卷(共90分)
二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)
13. 已知向量a = (—1,1), b = (8,k),若allb,则实数R 二 _______________ •
x-y>0
14. 若满足约束条件< x+y-l
j + l>0
9"x _ 2 y < o
'一 ，则 /(2019)= _______________ .
/(x-2) + l,x>0
16. 已知直线I: y = kx与圆x2 +y2 — 2x-2y+ 1 = 0相交于A, B两点，点M (0, h),且
MA丄MB,若〃 w (1,2),则实数R的収值范围是 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)
17. MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,己知sinA + cosA = 0.
(1)求 tan A ；｛
（2）若 b = 2 , c = 3,求 \ABC 的面积.
18.
一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格:
人数兀 10 15 20 25 30 35 40
件数y 4 7 12 15 20 23 27
（1） 在给定的能标系屮画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数y与进店人数兀是 否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）
（2） 建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,预测进店人数为80时，商品销售的件数 （结果保留整数）.
_ _ 7 _ ___ 7
参考数据：兀=25 , y = 15.43 ,工彳=5075,7(x)2 = 4375 , Ixy = 2700,工兀％ = 3245.
1=1 1=1
A 工I-心 _ _
参考公式：回归方程y = hx+a,其中 --------------- , a = ^-^x.
£彳_论）2
/=1
30
25
20
15
10
5
O
19. 如图所示，四棱锥S- ABCD中，SA丄底面ABCD, ZABC = 90° , AE =品,BC = 1,
AD = 2^, ZACD = 60°, E 为 CD 的中点. 5 10 15 20 25 30 35 40 :
(1) 求证：BCH平面SAE；
(2) 求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.
20. 已知椭圆C的屮心在原点0,直线/:x+73y-V3= 0与坐标轴的交点是椭圆C的两个 顶点.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若M,N是椭圆C上的两点，且满足OMON = 0,求|M/V|的最小值.
21. 已知函数/(x) = xlnx.
(1) 求曲线y = /(%)在点(1,/(1))处的切线方程；
(2) 设b>a>0,证明：0v/(a) + /(b)-2/(仝空)<@ —讪2.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
V
在平面直角坐标系兀Oy中，曲线P的参数方程为< 4 (f为参数)，在以坐标原点为极点,
yh
x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为Q2-8QCOS& + 15 = 0.
(1) 求曲线P的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2) 点M为曲线P上的动点，N为曲线C上的动点，求|MN|的最小值.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知 f(x) =| x+11 +1 兀一 11, g(x) = -a.
(1)若a = -4f求不等式f(x)-g(x)<0的解集;(2)若函数/(兀)的图像与函数g(Q的图像有交点，求G的取值范围.
试卷答案
一、 选择题
1-5: DADBC 6-10: ABABA 11、 12： CD
二、 填空题
13. -8 14.3 15. 1010 16. (1,6-阿)(64-^23,-Foo)
三、 解答题
17. (1)因为sinA+cosA = \/2cos(A-450) = 0,
所以 cos(A-45°) = 0,
又0°
即 4 = 135°,
所以 tan A = tan 135° =-1.
(2)由(1)得A = 135°,
乂 b = 2,(
所以SE 1, . 4 1 o Q V2 3^2 = —bcsm A = —x2x3x ——= ----- . 2 2 2 2
18. (1)图形(略)
由散点图可以判断，商品件数y与进店人数兀线性相关
7 _ _ (2)因为工兀y =3245,兀= 25, y = 15.43, /=!
7 _ ___
工#=5075, 7(x)2=4375, Ixy = 2700, Z=1
7 ____
A工栩- 7xy
所以b= ------------ —
丫#-7(疔
1=1所以 sin A = sin 135° V2
2
3245-2700
5075-4375
a = = 15.43-0.78x25 = -4.07
所以回归方程y = 0.78x一4.07 ,
当x = 80时，y = 0.78x80-4.07 = 58 (件)
所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件.
19. (1)证明：因为 AB =羽,BC = 1, ZABC = 90°, 所以 AC = 2f ABC A = 60°,
在 AACQ 中，AD = 2羽,AC = 2f ZACD = 60°,
由余弦定理可得：AD2 = AC2 + CD1 -2 AC CD cos ZACD
解得：CD = 4
所以AC2 + AD~ = CD2,所以AACD是直角三角形，
又E为CD的中点，所以AE = -CD = CE 2
又ZACD = 60°,所以AACE为等边三角形，
所以 ZCAE = 60° = ZBCA,所以 BC//AE,
又AEu平面SAEf BCQ平面SAEf
所以BC//平面SAE.
(2)解：rtl (1)可知ZBAE = 90°,以点4为原点，以AB, AEf AS所在直线分别为兀轴,
y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 5(0,0,2), B(A/3,0,0), C(J§,l,0), £>(-73,3,0).
所以5B = (>/3,0,-2), SC = (巧,1,一2), 50 = (-73,3,-2).
即 fV3x-2z = 0
[\/3x+ y-2z = 0 设n = (x, y, z)为平面SBC的法向量, 则SB"
[/? 5C = 0
