2023届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学(理科)试题+含答案

成都市高2020级第一次诊断测试 数学理科

满分: 150分 时间：120分钟

一、单项选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1. 设集合 𝐴={𝑥∣−1<𝑥⩽2},𝐵={𝑥∣𝑥2−4𝑥+3⩽0}, 则𝐴∩𝐵=（ ）

A.{𝑥∣−1<𝑥⩽3} B.{𝑥∣−1<𝑥⩽1}

C.{𝑥∣1⩽𝑥⩽2} D.{𝑥∣1⩽𝑥⩽3}

2. 满足 (1+i)𝑧=3+i(i为虚数单位) 的复数𝑧=（ ）

A.2−i B.2+I C.1+2i D.1−2i

3. 抛物线 𝑥2=2𝑦的焦点坐标为（ ）

A.(0,1) B.(0,12) C.(14,0) D.(18,0)

4. 下图为2012年一2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图。

根据该图，下列结论正确的是（ ）

A.2012年—2021 年电子信息制造业企业利润总额逐年递增

B.2012年一2021 年工业企业利润总额逐年递增

C.2012年一2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长,且其增速均快于当年工业企业利润总额增速

D.2012年一2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值

5. 若实数 𝑥,𝑦满足约束条件{𝑥+𝑦−4⩽0,𝑦⩾0,𝑥−𝑦⩾0.则𝑧=𝑥+2𝑦的最大值是（ ）

A.2 B.4 C.6 D.8

6. 下列命题中错误的是（ ）

A.在回归分析中, 相关系数 𝑟的绝对值越大, 两个变量的线性相关性越强

B.对分类变量 𝑋与𝑌, 它们的随机变量𝐾2的观测值𝑘越小, 说明 “𝑋与𝑌有关系” 的把握越大

C.线性回归直线 𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎⃗恒过样本中心(𝑥̅,𝑦̅)

D.在回归分析中, 残差平方和越小,模型的拟合效果越好

7. 若函数 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥+𝑎)2在𝑥=1处有极大值, 则实数𝑎的值为（ ）

A.1 B.−1或−3 C.−1 D.−3

8. 已知直线 𝑙,𝑚和平面𝛼,𝛽. 若𝛼⊥𝛽,𝑙⊥𝛼, 则 “𝑙⊥𝑚” 是“𝑚⊥𝛽”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9. 已知数列 {𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛. 若𝑎1=2,𝑎𝑛+1=𝑆𝑛, 则𝑆8=（ ）

A.512 B.510 C.256 D.254

10. 日光射入海水后, 一部分被海水吸收 (变为热能), 同时, 另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射. 因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱, 可用 𝐼𝐷=𝐼0e−𝐾𝐷表示其总衰减规律, 其中𝐾是平均消光系数 (也称衰减系数),𝐷(单位 : 米) 是海水深度,𝐼𝐷(单位: 坎德拉) 和𝐼0(单位: 坎德拉) 分别表示在深度𝐷处和海面的光强. 已知某海区 10 米深处的光强是海面光强的30%, 则该海区消光系数𝐾的值约为 (参考数摸:𝑙𝑛2≈0.7,𝑙𝑛3≈1.1,𝑙𝑛5≈1.6)（ ）

A.0.12 B.0.11 C.0.07 D.0.01

11. 已知侧棱长为 2√3的正四棱锥各顶点都在同一球面上. 若该球的表面积为36𝜋, 则该正四棱锥的体积为（ ）

A.163 B.8√23 C.83 D.323

12. 已知平面向量 𝐚,𝐛,𝐜满足𝐚∙𝐛=0,|𝐚|=|𝐛|=1,(𝐜−𝐚)∙(𝐜−𝐛)=12, 则|𝐜−𝐚|的最大值为（ ）

A.√2 B.1+√22 C.32 D.2

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13. 在公差为 𝑑的等差数列{𝑎𝑛}中, 已知𝑎1+𝑎2+𝑎3=3,𝑎4+𝑎6=4, 则𝑑=_______

14. (𝑥−2√𝑥)6的展开式中常数项是_______

15. 已知双曲线 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)与圆𝑥2+𝑦2=2𝑐2(𝑐为双曲线的半焦距) 的四个交点恰为一个正方形的四个顶点,则双曲线的离心率为_________

16. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑘,𝑥∈[0,𝜋]. 有下列结论:

①若函数 𝑓(𝑥)有零点,则𝑘的取值范围是(−∞,14];

②函数 𝑓(𝑥)的零点个数可能为0,2,3,4;

③ 若函数 𝑓(𝑥)有四个零点𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4, 则𝑘∈(0,14), 且𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4=2𝜋;

④若函数 𝑓(𝑥)有四个零点𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4(𝑥1<𝑥2<𝑥3<𝑥4), 且𝑥1,𝑥2,𝑥8,𝑥4成等差数列,则𝑥2为定值,且𝑥2∈(𝜋3,7𝜋18).

其中所有正确结论的编号为__________

三、解答题（本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）

17. （本题满分12分）

成都作为常住人口超 2000 万的超大城市, 注册青年志愿者人数超 114 万, 志愿服务时长超 268

万小时. 2022 年 6 月, 成都 22 个市级部门联合启动了 2022 年成都市青年志愿服务项目大赛,

项目大赛申报期间, 共收到 331 个主体的 416 个志原服务项目, 覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等 13 大领域. 已知某领域共有 50 支志愿队伍申报, 主管部门组织专家对志愿者 申报队伍进行评申打分, 并将专家评分(单位:分)分成 6 组: [40,50),[50,60),⋯,[90,100], 得到如图所示的频率分布直方图.

(I) 求图中 𝑚的值;

(II) 从评分不低于 80 分的队伍中随机选取 3 支队伍, 该 3 支队伍中评分不低于 90 分队伍的数为 𝑋, 求随机变量𝑋的分布列和期望.

18. （本题满分12分）

记 △𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶所对边分别为𝑎,𝑏,𝑐. 已知𝑏𝑎=𝑠𝑖𝑛𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐶.

(I) 求 𝐴的大小;

(II) 若 2√2𝑠𝑖𝑛𝐵=3𝑠𝑖𝑛𝐶, 再从下列条件①条件②中任选一个作为已知,求△𝐴𝐵𝐶的面积.

条件①: 𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶=2; 条件② :𝑎𝑐=2√10.

注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

19. （本题满分12分）

如图①, 在等腰直角三角形 𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴=90∘,𝐴𝐵=3,𝐷,𝐸分别是𝐴𝐶,𝐵𝐶上的点, 且满足𝐷𝐸//𝐴𝐵.

将△𝐶𝐷𝐸沿𝐷𝐸折起, 得到如图②所示的四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐸𝐷.

( I) 设平面 𝐴𝐵𝑃∩平面𝐷𝐸𝑃=𝑙, 证明:𝑙⊥平面𝐴𝐷𝑃;

(II) 若 𝑃𝐴=√5,𝐷𝐸=2, 求直线𝑃𝐷与平面𝑃𝐸𝐵所成角的正弦值.

20. （本题满分12分）

已知椭圆 𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左, 右焦点分别为𝐹1,𝐹2, 上顶点为𝐷′, 且△𝐷𝐹1𝐹2为等边三角形. 经过焦点𝐹2的直线𝑙与椭圆𝐶相交于𝐴,𝐵两点,△𝐹1𝐴𝐵的周长为 8 .

(I) 求椭圆 𝐶的方程;

(II) 试探究: 在 𝑥轴上是否存在定点𝑇, 使得𝑇𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙𝑇𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗为定值? 若存在, 求出点𝑇的坐标; 若不存在,请说明理由.

21. （本题满分12分）

已知函数 𝑓(𝑥)=𝑙𝑛(𝑎𝑥),𝑎>0.

(I) 当 𝑎=1时, 若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑏, 证明:𝑓(𝑥)⩽𝑘𝑥+𝑏;

(II) 若 𝑓(𝑥)⩽(𝑥−1)e𝑥−𝑎, 求𝑎的取值范围. 选做题（22题，23题选做1道小题，多做做错按第1题计分）

22. （本题满分10分）

在直角坐标系 𝑥𝑂𝑦中, 圆心为𝐴的圆𝐶1的参数方程为{𝑥=2+𝑐𝑜𝑠𝑡,𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑡(𝑡为参数). 以坐标原点𝑂为极点,𝑥轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌=2−2𝑐𝑜𝑠𝜃.

(I) 求圆 𝐶1的极坐标方程;

(II) 设点 𝐵在曲线𝐶2上,且满足|𝐴𝐵|=√3, 求点𝐵的极径.

23. （本题满分10分）

已知 𝑎,𝑏为非负实数, 函数𝑓(𝑥)=|𝑥−3𝑎|+|𝑥+4𝑏|.

(II)当 𝑎=1,𝑏=12时, 解不等式𝑓(𝑥)⩾7;

(II) 若函数 𝑓(𝑥)的最小值为 6 , 求√3𝑎+√𝑏的最大值.

参考答案及解析

1. 【答案】C 【解析】略

2. 【答案】A 【解析】略

3. 【答案】B 【解析】抛物线 𝑥2=2𝑦的焦点在𝑦轴上, 则焦点坐标为(0,12)，故选: B

4. 【答案】C 【解析】略

5. 【答案】C 【解析】略

6. 【答案】B 【解析】略

7. 【答案】D 【解析】略

8. 【答案】B 【解析】略

9. 【答案】C 【解析】略

10. 【答案】A 【解析】略

11. 【答案】D 【解析】略

12. 【答案】B 【解析】略

13. 【答案】13

【解析】略

14. 【答案】240 .

【解析】二项式 (𝑥−2√𝑥)6的展开式的通项公式为𝑇𝑟+1=𝐶6𝑟∙(−2)𝑟∙𝑥6−3𝑟2, 令6−3𝑟2=0,

求得𝑟=4, 可得展开式中的常数项是𝐶64∙24=240,

15. 【答案】1+√52

【解析】双曲线的两个焦点 (−𝑐,0), 和(𝑐,0),

令 𝑥=−𝑐, 则𝑐2𝑎2−𝑦2𝑏2=1,

则有 𝑦=±𝑏2𝑎,

令 𝑥=𝑐, 则𝑐2𝑎2−𝑦2𝑏2=1,

则有 𝑦=±𝑏2𝑎,

设 𝐴(−𝑐,𝑏2𝑎),𝐵(−𝑐,−𝑏2𝑎),𝐶(𝑐,−𝑏2𝑎),𝐷(𝑐,𝑏2𝑎),

则 𝐴𝐵=2𝑏2𝑎,𝐵𝐶=2𝑐,

∵这四个交点恰好为正方形的四个顶点，