2008年安徽省数学(文科)高考试卷及答案

数学一试题解析

（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

【答案】：C

【解析】：221lim1xxxx，所以1x为垂直的

22lim11xxxx，所以1y为水平的，没有斜渐近线 故两条选C

（2）设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数，则'(0)f

（A）1(1)(1)!nn

（B）(1)(1)!nn

（C）1(1)!nn

（D）(1)!nn

【答案】：C

【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxxxnxxxnxfxeeeneeeneenen

所以'(0)f1(1)!nn

（3）如果(,)fxy在0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ）

（A）若极限00(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在(0,0)处可微

（B）若极限2200(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在(0,0)处可微

（C）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限00(,)limxyfxyxy存在

（D）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限2200(,)limxyfxyxy存在

【答案】：

【解析】：由于(,)fxy在0,0处连续，可知如果2200(,)limxyfxyxy存在，则必有00(0,0)lim(,)0xyffxy

这样，2200(,)limxyfxyxy就可以写成2200(,)(0,0)limxyfxyfxy，也即极限2200(,)(0,0)limxyfxyfxy存在，可知2200(,)(0,0)lim0xyfxyfxy，也即22(,)(0,0)00fxyfxyoxy。由可微的定义可知(,)fxy在(0,0)处可微。

（4）设2kxkeIe sinxdx(k=1,2,3),则有D

（A）I1< I2

(C) I1< I3

【答案】：(D)

【解析】：2sinkxkeIexdx看为以k为自变量的函数，则可知2'sin0,0,kkIekk，即可知2sinkxkeIexdx关于k在0,上为单调增函数，又由于1,2,30,，则123III，故选D

（5）设1234123400110,1,1,1cccc其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）

（A）123,, （B）124,,

（C）134,, （D）234,,

【答案】：（C）

【解析】：由于134113401111,,011011cccc，可知134,,线性相关。故选（C）

（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1112PAP，123,,P，1223,,Q则1QAQ（ ）

（A）121 （B）112

（C）212 （D）221

【答案】：（B）

【解析】：100110001QP，则11100110001QP，

故11100100100110011101101101110100100100120012QAQPAP

故选（B）。

（7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则yxp（）

1124() () () ()5355ABCD

【答案】：（A）

【解析】：,XY的联合概率密度为4,0,0(,)xyexyfxy0，其它

则450001(,)5yxyyxyPXYfxydxdydxedxedy

（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(21)(21)(1)(DCBA

【答案】：()D

【解析】：设两段长度分别为,xy，显然1,xy即1yx，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.

（9）若函数)(xf满足方程0)(2)()('''xfxfxf及xexfxf2)()('，则)(xf=________。

【答案】：xe

【解析】：特征方程为022rr，特征根为2,121rr，齐次微分方程()()2()0fxfxfx的通解为xxeCeCxf221)(.再由'()()2xfxfxe得21222xxxCeCee，可知121,0CC。

故()xfxe

（10）2202xxxdx ________。

【答案】：2

【解析】：令1tx得2112220112(1)112xxxdxttdttdt

（11）(2,1,1)gradzxyy ________。

【答案】：1,1,1

【解析】：2(2,1,1)(2,1,1)1grad,,1,1,1zzxyyxyyy

（12）设,0,0,0,1,,zyxzyxzyx则dsy2________。

【答案】：312

【解析】：由曲面积分的计算公式可知222221(1)(1)3DDydsydxdyydxdy，其中(,)|0,0,1Dxyxyxy。故原式11122000333(1)12ydyydxyydy

（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵TxxE的秩为________。

【答案】：2

【解析】：矩阵Txx的特征值为0,0,1，故TExx的特征值为1,1,0。又由于为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即2TrExx。

（14）设,,ABC是随机事件，,AC互不相容，1()2PAB,1()3PC,则()PABC________。

【答案】：34

【解析】：由条件概率的定义，PABCPABCPC，

其中121133PCPC，

12PABCPABPABCPABC，由于,AC互不相容，即AC，0PAC，又

ABCAC，得0PABC，代入得12PABC，故34PABC.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

证明：21lncos1,1112xxxxxx

【解析】：令21lncos112xxfxxxx，可得

'2222112lnsin11112lnsin1111lnsin11xxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

当01x时，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，

故'0fx，而00f，即得21lncos1012xxxxx

所以21lncos112xxxxx。

当10x，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，

故'0fx，即得21lncos1012xxxxx

可知，21lncos1,1112xxxxxx

（16）（本题满分10分）

求22,2xyfxyxe的极值。

【解析】：22,2xyfxyxe，

先求函数的驻点. ,0,,0xyfxyexfxyy，解得函数为驻点为,0e.

又,01,,00,,01xxxyyyAfeBfeCfe，

所以20,0BACA，故,fxy在点,0e处取得极大值21,02fee.

（17）（本题满分10分）

求幂级数0n244321nnnx2n 的收敛域及和函数

【解析】：22114432141413211limlimlimnnnnnnnnnaanRaannn

2221144312141413limnnnnnnn

220443()21nnnnSxxn

220002202443()2144312144321121limxxnnnnnnnStdtxdxnnnxxnnnnn时发散

2204431121nnnnxn时收敛

2201,14431()21nnxnnSxxnx为函数的收敛域。和函数为

（18）（本题满分10分）

已知曲线20cos)(:ttytfxL，其中函数)(tf具有连续导数，且0)0(f，200)(ttf。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数)(tf的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。

【解析】：（1）曲线L在任一处),(yx的切线斜率为)(sintftdxdy，过该点),(yx处的切线为)()(sincostfXtfttY，令0Y得)(cos)(tfttfX.由于曲线L与x轴和y轴的交点到切点的距离恒为1.

故有1cos)()(cot)(22ttftfttf，又因为)20(0)(ttf

所以tttfcotsin)(，两边同时取不定积分可得Cttttfsintansecln)(，又由于0)0(f，所以0C.故函数ttttfsintansecln)(.

（2）此曲线L与x轴和y轴的所围成的无边界的区域的面积为：