椭圆离心率变化

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椭圆的离心率教学随想

作者：冯刚 张瑞

来源：《新课程·中学》2018年第10期

摘 要：新课程提出的核心素养不仅仅是知识技能，更重要的是情感、态度、知识、技能的综合表现。因此，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。如何在实际的课堂教学中充分落实这一理念并贯彻这种方式，是当今一线数学教师的一大课题。

关键词：离心率；核心素养；探究

高中数学课标修订组给出了数学六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。发展学生的核心素养已经成为当下的热点，作为一线教师，笔者更关心的是如何将发展学生核心素养的理念落实到课堂？它与已有的教学理念是否矛盾？本文是笔者结合《椭圆的离心率》的教学随想。

一、课程实施流程设想

《普通高中数学课程标准》强调“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。”

结合范式教学理论，设置如下教学流程：

1.设置承上启下的引例，感受椭圆的实际背景

引例（课本例2），如图1，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F2为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程。

分析：选择本例作为开堂引例，一可以回顾上一节课的知识；二是让学生进一步感受圆锥曲线的实际背景。激发学生的爱国热情和探究数学知识的欲望，认识到数学不是“纸上谈兵”。

2.动手操作，生成概念

发放课前准备好的硬纸板、图钉和细绳，每个小组一份，等学生完成之后上台展示作品，学生在对比中感受到不同的小组画出的椭圆大小、圆扁程度不一样。

椭圆的离心率问题

教学目标：解决椭圆的离心率问题.

教学重点：椭圆的离心率的求法.

教学难点：椭圆的离心率的应用.

一、课前展示：

二、新授：

【题型一】利用定义cea求椭圆的离心率：

例1：若椭圆的焦距长等于它的短轴长，求该椭圆的离心率.

练习1：若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为 .

练习2：若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率为 .

【题型二】利用几何关系求椭圆离心率：

例2：以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率 .

练习3：若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为 .

三、小结：

四、作业：

已知椭圆两焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1=60°， 求此椭圆的离心率.

椭圆的离心率专题训练（带详细解析）

一．选择题（共29小题）

1．（2015•潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

2．（2015•河南模拟）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）

A． B． C． D．

3．（2015•湖北校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

4．（2015•西安校级三模）斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

5．（2015•广西模拟）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ）

A． B． C． D．

6．（2015•绥化一模）已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（ ）

A． B． C． D．

7．（2015•长沙模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

8．（2015•朝阳二模）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（ ）

A． B．2﹣ C．2（2﹣） D．

9．（2015•新余二模）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）

高二数学椭圆的离心率(1)

1.已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e= _________ ．

2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为

_________ ．

3.椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 _________ ．

4.在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=

_________ ．

5.已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 _________ ．

6.设F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为 _________ ．

7.已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是 _________ ．

8.椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为 _________ ．

椭圆的离心率（2）

1.已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为 _________ ．

2.椭圆，F1，F2分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P满足|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是 _________ ．

3.设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．（1）|AB|= _________ ；（2）若θ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为 _________ ．