苏教版高中数学选修2-3同步练习：二项分布1

1 / 6 2.4 二项分布

双基达标 限时15分钟

1．下面随机变量X的分布列不属于二项分布的是________．

①据中央电视台新闻联播报道，下周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65.设在这一周内，某电脑从该网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为X；②某射手射击击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为X；③某射手射击击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，射击n次命中目标的次数为X；④位于某汽车站附近有一个加油站，汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6，国庆节这一天有50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，去该加油站加油的汽车数为X.

解析 对于②，由于P(X＝k)＝(1－p)k－1·p，所以X对应的分布列不是二项分布．

答案 ②

2．已知随机变量X服从二项分布，X～B4，12，则P(X＝1)的值为________．

解析 ∵X～B4，12，

∴P(X＝1)＝C141－123·12＝14.

答案 14

3．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为________．

解析 在1次试验中A出现的概率为p，

∴1－(1－p)4＝6581，解得p＝13.

答案 13

4．甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击目标是否击中相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标也没有影响．则两人

2 / 6 各射击4次，甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为________．

解析 设事件A、B分别表示4次射击中甲恰好2次击中目标，乙恰好三次击中目标，A、B是相互独立的，P(AB)＝P(A)·P(B)＝C24·232·132·C34·343·14＝827×2764＝18.

答案 18

5．已知一个射手每次击中目标的概率为p＝35，他在4次射击中，命中两次的概率为________，刚好在第二、第三两次击中目标的概率为________．

解析 命中次数X～B4，35，

∴命中两次的概率是P＝C24352·252＝216625，在第二、三次击中目标的概率为P＝352×252＝36625.

答案 216625 36625

6．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．

解 考查每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，即X～B5，13，

即有P(X＝k)＝Ck513k235－k，k＝0,1,2,3,4,5，

从而X的分布列为

X 0 1 2 3 4 5

P 32243 80243 80243 40243 10243 1243

综合提高 限时30分钟

7．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否

3 / 6 击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)

解析 ①显然正确；他恰好击中目标3次的概率是C34×0.93×0.1，②错误；他至少击中目标1次的概率为1－(1－0.9)4＝1－0.14，③正确．

答案 ①③

8．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，即五局中先胜三局为赢，若每场比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________．

解析 甲三胜一负即前3次中有2次胜1次负，而第4次胜，

∴P＝C23232·13·23＝827，

∴甲三胜一负而结束的概率为827.

答案 827

9．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝716，则P(Y＝2)＝________.

解析 716＝P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2，

即(1－p)2＝916，p＝14.

故P(Y＝2)＝C23142341＝964.

答案 964

10．从一个装有3个黑球，1个白球的口袋中取1个球，放回后再取1个球，记两次取球中的白球被取出的次数为X，则X的分布列为________．

答案

X 0 1 2

P 916 38 116

11.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4

4 / 6 a5，其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，

(1)求X＝3的概率；

(2)求X的分布列．

解 (1)已知a1＝1，要使X＝3，只需后四位中出现2个1和2个0.

∴P(X＝3)＝C24232132＝827.

(2)令Y＝a2＋a3＋a4＋a5，∴Y＝0,1,2,3,4.

易知Y～B4，23，X＝Y＋1，

∴X的可能取值为1,2,3,4,5.

P(X＝1)＝P(Y＝0)＝C04230134＝181.

P(X＝2)＝P(Y＝1)＝C14231133＝881.

P(X＝3)＝P(Y＝2)＝C24232132＝827.

P(X＝4)＝P(Y＝3)＝C34233131＝3281.

P(X＝5)＝P(Y＝4)＝C44234130＝1681.

∴X的分布列为

X 1 2 3 4 5

P 181 881 827 3281 1681

12.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品是相互独立的．

(1)求进入该商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

(2)求进入该商场的3位顾客中，至少有2位顾客既未购买甲种商品也未购买乙种商品的概率．

解 (1)记A表示事件：进入该商场的1位顾客选购甲种商品．B表示事件：

5 / 6 进入该商场的1位顾客选购乙种商品．C表示事件：进入该商场的1位顾客选购甲、乙两种商品中的一种，则C＝(AB)∪(AB)，

P(C)＝P((AB)∪(AB))＝P(AB)＋P(AB)

＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)

＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.

(2)记A2表示事件：进入该商场的3位顾客中恰有2位顾客既未选购甲种商品，也未选购乙种商品．A3表示事件：进入该商场的3位顾客都未选购甲种商品，也未选购乙种商品；D表示事件：进入该商场的1位顾客既未选购甲种商品，也未选购乙种商品．E表示事件：进入该商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选购乙种商品，则D＝AB，

P(D)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2.

P(A2)＝C23×0.22×0.8＝0.096.

P(A3)＝0.23＝0.008，

P(E)＝P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝0.096＋0.008＝0.104.

13．(创新拓展)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．

(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

(2)记X为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X的分布列．

解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，P(Ck)＝16.

(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)

＝6×12×13×16＝16.

6 / 6 (2)法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B3，13，且X＝3－η，

所以P(X＝0)＝P(η＝3)＝C33133＝127，

P(X＝1)＝P(η＝2)＝C2313223＝29，

P(X＝2)＝P(η＝1)＝C1313232＝49，

P(X＝3)＝P(η＝0)＝C03233＝827.

故X的分布列是

X 0 1 2 3

P 127 29 49 827

法二 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.

由已知：D1，D2，D3相互独立，且

P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝12＋16＝23，

所以X～B3，23，

即P(X＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.

故X的分布列是

X 0 1 2 3

P 127 29 49 827