非线性扩散方程的精确解

扩散模型分类

在数学和物理学中，扩散模型是一种描述扩散过程的数学模型。扩散是指物质在不同浓度区域间的自发传输。扩散模型可以应用于多个领域，包括化学、生物学、环境科学等。根据不同的条件和假设，扩散模型可以分为不同的分类。本文将对扩散模型的分类进行详细的介绍。

1. 精确解与近似解

扩散模型的解可以分为精确解和近似解两种。精确解是指通过严格的数学分析和求解，得到的能够准确描述扩散过程的解。精确解常常是基于一些理想化的假设和边界条件得出的。而近似解则是通过采用近似方法，将扩散模型简化为更容易求解的形式得到的解。近似解可以通过数值方法或者解析方法得到，常常适用于复杂的扩散模型。

2. 线性与非线性模型

线性扩散模型是指扩散过程中物质浓度与浓度梯度之间满足线性关系的模型。线性扩散模型通常适用于物质浓度变化较小的情况。而非线性扩散模型则是指扩散过程中物质浓度和浓度梯度之间存在非线性关系的模型。非线性扩散模型适用于物质浓度变化较大的情况，通常需要借助数值方法进行求解。

3. 稳态与非稳态模型

扩散模型还可以根据是否考虑时间因素进行分类。稳态模型是指扩散过程中物质浓度不随时间变化的模型。稳态模型适用于描述无外部影响，且物质浓度分布保持不变的情况。非稳态模型则是指扩散过程中物质浓度随时间变化的模型。非稳态模型适用于描述外部影响较大，或者物质浓度分布随时间变化的情况。

4. 离散与连续模型

扩散模型还可以分为离散模型和连续模型两种。离散模型是指将扩散过程离散为一系列的离散点，对每个离散点进行建模和计算。离散模型适用于描述扩散在离散介质中的传播过程。而连续模型则是指将扩散过程看作是在连续介质中的传播，通过连续的微分方程进行描述。连续模型适用于描述扩散在连续介质中的传播过程。

5. 空间维度的不同

最后，扩散模型还可以根据空间维度的不同进行分类。一维扩散模型是指扩散过程在一维空间中进行，常用于描述沿直线传播的扩散。二维扩散模型是指扩散过程在二维平面中进行，常用于描述平面上的扩散。三维扩散模型是指扩散过程在三维空间中进行，常用于描述立体空间中的扩散。

第２４卷第５期　２００８年９月　齐齐哈尔大学学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｑｉｈａｒ　Ｕｎ￣ｅｍｉｔｙ　Ｖ０１．２４．Ｎｏ．５　Ｓｅｐ．，２００８　

非线性反应扩散方程的广义条件对称　

李金花　，郑锋２，刘秀玲　

（１．西北大学数学系，西安７１０１２７；２．西北大学信息学院，西安７１０１２７）　

摘要：非线性反应扩散方程是一类在物理、生物、种群上有较多应用的方程，考虑其在幂函数扩散下所允许的一　类二阶广义条件对称，通过广义条件对称。借助数学软件Ｍａｐｌｅ，求得相应方程及其满足的对称群，通过对称群　

进一步得到精确解。　

关键词：非线性反应扩散方程；广义条件对称；精确解　

中图分类号：Ｏ１７５．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—９８４Ｘ（２００８）０５—００６８－０３　

非线性反应扩散方程　

Ｕ，＝（Ｄ（　）　）　＋Ｇ（ｕ）ｕ７＋日（　）　（１）　其中：１２＝ｕ（ｔ，　）是未知函数；Ｄ（　），Ｇ　），Ｈ（ｕ）是１２的任意光滑函数，Ｄ（ｕ）为扩散项，包含了很多具有物　

理、生物学意义的方　卜　。多孔介质方程　，＝　”　）　是方程（１）的简单形式，描写了具有自由边界的　ｍ　非稳态土壤水流问题。方程１２，＝口ｚ，：＋ｂｕ；＋／ｃｕｐ描述了热传导方程的热转移问题，文献［４１ｑａ给出了其相应　

的行波解。方程（１）描述了众多的生物现象，例如：Ｆｉｓｈｅｒ，Ｍｕｒｒａｙ和Ｆｉｔｚｈｕｇｈ—Ｎａｇｕｍｏ方程均在数学生　

物中有较多的应用ｌ　。一般而言，反应扩散方程具有较弱的Ｌｉｅ对称群。本文将利用广义条件对称（ＧＣＳＪ￣＂　

研究具有幂函数扩散项的非线性反应扩散方程（１），　并利用广义条件对称给出其一些精确解。　

１广义条件对称　

对于非线性反应扩散方程，考虑其在幂函数扩散项下所允许的二阶广义条件对称，即方程为　

，＝（Ｉｔｓ　：）　＋Ｇ（ｕ）ｕ７＋Ｈ（ｕ）　（２）　考虑其允许形如　

ｒｌ＝Ｕ　一Ｆ（ｕ）ＵＺｘ一尸　）　‘一Ｑ（ｕ）ｕ￣－　（３）　

西北大学学报（自然科学版）　２０１１年２月，第４ｌ卷第１期，Ｆｅｂ．，２０１１，Ｖｏ１．４１，Ｎｏ．１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｏａｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　

非线性扩散方程和不变子空间　

左苏丽　，黄　睛　，王丽真　，李吉娜　

（１．西北大学数学系；２．西北大学数学与科学史研究中心，陕西西安７１０１２７）　

摘要：目的研究一类在物理，化学反应，生物数学以及土壤学等领域具有广泛应用的非线性扩散　

方程。方法运用条件Ｌｉｅ—Ｂａｃｋｌｕｎｄ对称和不变子空间相结合的方法求非线性扩散方程的精确　

解。结果对于非线性扩散方程进行完全分类。结论得到了非线性扩散方程的更丰富的解。　

关键词：非线性扩散方程；不变子空间；条件Ｌｉｅ—Ｂａｃｋｌｕｎｄ对称；精确解　

中图分类号：０１７５．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００－２７４Ｘ（２０１１）０１－０００５－０３　

Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｎｖａｒｉａｎｔ　ｓｕｂｓｐａｃｅ　

ＺＵＯ　Ｓｕ—ｌｉ　，ＨＵＡＮＧ　Ｑｉｎｇ　，ＷＡＮＧ　Ｌｉ—ｚｈｅｎ　，　，ＬＩ　Ｊｉ—Ｈａ　

（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；２．Ｃｅｎｔｅｒ　ｆｏｒ　Ｈｉｓｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ　ａｎ　７１０１２７，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍ　Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｆｏｃｕｓｅｓ　ｏｎ　ｏｎｅ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｈｉｃｈ　ｈａｓ　ａ　ｗｉｄｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｉｎ　

ｐｈｙｓｉｃａｌ，ｃｈｅｍｉｃａｌ　ｒｅａｃｔｉｏｎ，ｂｉｏｌｏｇｉｃａｌ　ｍａｔｈｅ　ｍａｔｉｃｓ，ｓｏｉｌ　ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　ＳＯ　ｏｎ．Ｍｅｔｈｏｄｓ　Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ　

第３６卷第４期　Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆＳｏｕｔｈｗ西

ｅｓｔ南

Ｕｎ民

ｉｖ族

ｅｒｓ大

ｉｔｙ学

ｆｏ学

ｒＮ报

ａｔｉｏ’

ｎ自

ａｌ然

ｉｔｉｅ　ｓＮ学

ａｔ版

ｕｒａｌ　ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ　Ｊｕ１．２０ｌ０　１　．　１　’…。…。　

文章编号：１００３．２８４３（２Ｏ　ＬＯ）Ｏ４－０５３５．０６　

Ｆ一展开法结合指数函数法求解一族非线性三阶扩散偏　

微分方程　

张金华，丁玉敏　

（红河学院数学系，云南蒙自６６１１００）　

摘要：本文利用Ｆ展开法结合指数函数法，研究了非常具有物理意义的一族非线性三阶扩散方程．借助于Ｍａｐｌｅ程序　

的辅助计算，获得了大量的精确解，这些精确解包括孤立波解，纽子波解和周期波解．说明这两种方法的结合．在对非　

线性方程的求解方面，起到了显著的效果．　

关键词：一族非线性三阶扩散方程；指数函数法；Ｆ展开法；周期波解；孤立波解；纽子波解　

中图分类号：Ｏｌ　７５．２　文献标识码：Ａ　

１前言　

最近，　Ｒｕｉ等用平面动力系统分支理论方法，研究了下列具有物理意义的一族非线性三阶扩散方程【　】　

＋ｃ０　＋　ｗ一　‘　删　（ＣｌＵ　＋ｃ２Ｕｘ一＋Ｃ３ＵＵｘ￣）　，　（１）　

其中ｃ０，Ｃｌ，ｃ２，Ｃ３，　，，，为参数．方程（１．１）首先由Ｄｅｇａｓｐｅｒｉｓ，Ｈｏｌｍ和Ｈｏｎｅ三个人给出，见文献【２】．方程（１．１）包含　

许多非常有意义的物理模型．例如：当　＝ｃ，＝Ｃ　＝０时，方程（１．１）变成经典的ＫｄＶ方程；当　

Ｃ１＝－３／２，Ｃ２＝１／２，　＝ｃ３＝ｌ时，方程（１）变成著名的的　Ｃａｍａｓｓａ－Ｈｏｌｍ方程［３１；　当　

＝ｃ２＝ｃ３＝－－６＂ｌ／２，ｃ０＝　：０，时，方程（１）变成著名的的Ｄｅｇａｓｐｅｒｉｓ－Ｐｒｏｃｅｓｉ（ＤＰ）方程［４－９１；当　

ｃ０＝　＝０，ｃｌ＝－３／２，ｃ２＝　／２，　＝１，ｃ　３＝　时，方程（１）变成Ｄａｉ与Ｈｕｏ导出的弹性杆模型．此外，在某些参　

数条件下，方程（１）还能约化成ｂ族方程［１０，１１１．