专题12.19 三角形全等几何模型-“手拉手”模型
（知识讲解）
图一 图二
图三 图四 图五
图六 图七
手拉手模型的定义：
定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。
特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）
3、如右图：手拉手模型的重要结论：
结论1：∆𝐀𝐁𝐂≅∆𝐀/𝐁/𝐂/（SAS）
BC=𝐁/𝐂/(左手拉左手等于右手拉右手)
结论2：∠𝐁𝐎𝐁=∠𝐁𝐀𝐁（利用三角形全等及顶角相等 的等腰三角形底角相等）
结论3：AO平分∠𝐁O𝑪/（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明）
典型例题讲练：
在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：
（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此线BD和CE的数量关系是
（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：
全等“手拉手”模型
一、模型背景
全等“手拉手”模型：
两个顶角相等的等腰三角形，若顶点重合，则构成全等“手拉手”模型，其中连接左、右对应的底角顶点所
得线段，称为“拉手线”（如图中BE和CF）
全等“手拉手”模型，主要是利用全等三角形的知识，判断拉手线之间的数量关系和位置关系（夹角度数）
二、模型内容
（一）等边三角形的“手拉手”模型 1. 共线型（特例）
如图，已知等边三角形ABC与等边三角形ADE，其中C、A、D三点共线，连接BD、CE交于点H.
问题1. 判断BD与CE的数量关系；
问题2. 求∠BHC的度数（BD与CE的夹角）
引申：
(1)全等关系：△ABD≌△ACE；△ACM≌△ABN；△AEM≌△ADN
(2)线段相等：BD=CE；BN=CM；EM=DN
(3)角度：∠BHC=60°；∠DHE=60°；∠MHN=120°
(4)角平分线：AH平分∠CHD
(5)等边三角形：△AMN是等边三角形
(6)平行：MN∥CD
(7)截长补短线段相等：CH=BH+AH；DH=EH+AH；MH+NH=AH
(8)四点共圆：A、M、H、N四点共圆；A、B、C、F四点共圆；C、E、D、F四点共圆
【证明】
2. 不共线型（一般情况） 如图，已知等边三角形ABC与等边三角形ADE，连接BD、CE交于点H.
问题1. 判断BD与CE的数量关系；
问题2. 求∠BHC的度数(BD与CE的夹角)
【证明】
引申：（判断以下结论哪些依然满足，哪些不满足，无需证明） (1)全等关系：△ABD≌△ACE；△ACM≌△ABN；△AEM≌△ADN
(2)线段相等：BD=CE；BN=CM；EM=DN
(3)角度：∠BHC=60°；∠DHE=60°；∠MHN=120°
(4)角平分线：AH平分∠CHD
(5)等边三角形：△AMN是等边三角形
(6)平行：MN∥CD
(7)截长补短线段相等：CH=BH+AH；DH=EH+AH；MH+NH=AH
初中 | 数学
初
中
数
学
︵
手
拉手
模
型 ︶ 培
优
篇
1
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是必须掌握的一块内容，本专
题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌
握．
【模型解读】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构
成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，
第二个顶点记为“右手”．
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得△𝐴𝐵𝐷≅△
𝐴𝐶𝐸
．
【常见模型及证法】
（等边）
全等模型
初
中
数
学
︵
手
拉手
模
型
︶ 培
优
篇
2 （等腰直角）
（等腰）
例1．如图，点O
是等边三角形ABC
内的一点，BOC
，将△BOC
绕点C
顺时
针旋转60°
得△ADC
，连接OD
．
（1
）当100
时，ODA °
；
（2
）当
120
时，ODA °
；
（3
）若150
，8OB，4OC
，则OA
的长为
．
初中 | 数学
初
中
数
学
︵
手
拉手
模
型 ︶ 培
优
篇
3 例2
．已知△ABC
中，∠BAC=60°
，以AB
和BC
为边向外作等边△ABD
和等边
△BCE
．
（1
）连接AE
、CD
，如图1
，求证：AE=CD
；
（2
）若N
为CD
中点，连接AN
，如图2
，求证：CE=2AN
；
（3
）若AB
⊥BC
，延长AB
交DE
于M
，DB=
2，如图3
，则BM=_______
（直接写
出结果）
全等模型
初
中
数
学
︵
手
拉手
模
型
︶ 培
优
篇
4 例3
．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶
点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“
手拉手”
图形．
（1
）问题发现：如图1
，若△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸是顶角相等的等腰三角形，BC
，DE
分别
是底边．求证：BDCE
模型介绍
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，
两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点
（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边
（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角
形*常见结论：
连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论：（1）BCDACE△△
（2）AEBD
（3）AFBDFE
（4）FCBFE平分
【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三
角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。【知识总结】
【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等
图1图2
图3图4
二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；
图1图2
图3图4
手拉手模型的定义：两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图
形。
手拉手模型特点：“两等腰，共顶点”模型探究：
例题精讲考点一：等边三角形中的手拉手模型
【例1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，
连接PQ．有下列结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③∠AOB＝60°；④DC＝DP；⑤△CPQ为正三角形．
其中正确的结论有_____________.
解：∵△ABC和△DCE是正三角形，
∴AC＝BC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCA+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∴①正确；
