一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
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一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一．选择题（共22小题)
1．(2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2,则这个方程是（ ）
A． x2+3x﹣2=0 B． x2﹣3x+2=0 C． x2﹣2x+3=0 D． x2+3x+2=0
2．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ）
A． ﹣4 B． ﹣1 C． 1 D． 4
3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ）
A． m=0时成立 B． m=2时成立 C． m=0或2时成立 D． 不存在
4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2的值为（ ）
A． 10 B． 9 C． 7 D． 5
5．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是( ）
A． ﹣10 B． 10 C． ﹣6 D． ﹣1
6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是（ ）
A． ﹣1或5 B． 1 C． 5 D． ﹣1
7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ）
A． α+β=﹣1 B． αβ=﹣1 C． α2+β2=3 D． +=﹣1
8．(2014•威海)方程x2﹣(m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2,则m的值是（ ）
A． ﹣2或3 B． 3 C． ﹣2 D． ﹣3或2
9．(2014•长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）
A． 2 B． 1 C． ﹣1 D． 0
10．(2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为( )
A． 2012 B． 2013 C． 2014 D． 2015
11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ )
A． ﹣6 B． 6 C． 3 D． ﹣3
12．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,则的最大值是（ )
A． 19 B． 18 C． 15 D． 13
13．（2014•陵县模拟）已知:x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（ ）
A． a=﹣3，b=1 B． a=3，b=1 C． a=﹣，b=﹣1 D． a=﹣，b=1
14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值为( )
A． ﹣1 B． 9 C． 23 D． 27
15．（2013•桂林)已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2,且x12﹣x1x2=0，则a的值是( )
A． a=1 B． a=1或a=﹣2 C． a=2 D． a=1或a=2
16．(2013•天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1+x2=（ ）
A． 4 B． 3 C． ﹣4 D． ﹣3
17．（2013•青神县一模)已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,则的值等于（ ）
A． B． C． D．
18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）
A． 9 B． ±3 C． 3 D． 5
19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1,x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（ ）
A． 3 B． ﹣3 C． 13 D． ﹣13
20．（2011•锦江区模拟)若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则(x1+2)(x2+2）的值为（ ）
A． ﹣4 B． 6 C． 8 D． 12
21．(2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1,则的值为（ ）
A． 1 B． 2 C． D．
22．（2010•滨湖区一模)若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为( )
A． 9 B． 10 C． 9或10 D． 8或9或10
二．填空题（共4小题）
23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2)x+k2=0的两根互为倒数,则k= _________ ．
24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= _________ ．
25．(2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为
_________ ．
26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1)x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且(x1﹣2)（x1﹣x2）=0,则k的值是 _________ ．
三．解答题(共4小题）
27．（2014•泸州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
(1）若(x1﹣1）（x2﹣1)=28，求m的值; （2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
28．(2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）(x1﹣3x2)=﹣80．求实数a的所有可能值．
29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2)是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立?若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由．
30．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，
（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．
一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案)
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2，则这个方程是（ ）
A． x2+3x﹣2=0 B． x2﹣3x+2=0 C． x2﹣2x+3=0 D． x2+3x+2=0
考点： 根与系数的关系．
分析： 解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．
解答： 解:两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．
A、两根之和等于﹣3,两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；
B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；
C、两根之和等于2，两根之积等于3,所以此选项不正确;
D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2,所以此选项不正确，
故选:B．
点评： 验算时要注意方程中各项系数的正负．
2．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于( ）
A． ﹣4 B． ﹣1 C． 1 D． 4
考点: 根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 直接根据根与系数的关系求解．
解答： 解：根据韦达定理得x1•x2=1．
故选：C．
点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2,则x1+x2=﹣，x1•x2=．
3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ）
A． m=0时成立 B． m=2时成立 C． m=0或2时成立 D． 不存在
考点： 根与系数的关系．
分析： 先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m,x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0,求出m=0，再用判别式进行检验即可．
解答： 解:∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根,
∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2． 假设存在实数m使+=0成立，则=0， ∴=0，
∴m=0．
当m=0时,方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0,
∴m=0符合题意．
故选：A．
点评： 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系:如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．
4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2的值为( ）
A． 10 B． 9 C． 7 D． 5
考点: 根与系数的关系．
分析: 根据根与系数的关系求得α+β=2,αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．
解答： 解:∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，
∴α+β=2，αβ=﹣3，
∴α2+β2=(α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3)=10．
故选:A．
点评： 此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．(2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ）
A． ﹣10 B． 10 C． ﹣6 D． ﹣1
考点： 根与系数的关系．
分析： 根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c,然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．
解答： 解:∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4，
∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c,
解得b=﹣2,c=﹣8
∴b+c=﹣10．
故选：A．
点评： 此题考查根与系数的关系,解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．
6．(2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是( ）
A． ﹣1或5 B． 1 C． 5 D． ﹣1
考点： 根与系数的关系；根的判别式．
专题: 计算题．
分析： 设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a,由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0,然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．
解答： 解:设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=a，x1•x2=2a,
∵x12+x22=5,
∴(x1+x2）2﹣2x1•x2=5，
∴a2﹣4a﹣5=0,
∴a1=5，a2=﹣1,
