一元二次方程的根与系数的关系习题

1、一元二次方程)0(02acbxax的求根公式为

2、一元二次方程)0(02acbxax根的判别式为：acb42

（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根。

（2） 当0时，方程有两个相等的实数根。

（3） 当0时，方程没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

[韦达定理相关知识]

1若一元二次方程)0(02acbxax有两个实数根21xx和，那么21xx ，•21xx 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

2、如果一元二次方程02qpxx的两个根是21xx和，则21xx ，•21xx 。

3、以21xx和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212•xxxxxx

4、在一元二次方程)0(02acbxax中，有一根为0，则c ；有一根为1，则cba ；有一根为1，则cba ；若两根互为倒数,则c ；若两根互为相反数，则b 。

5、二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式cbxax2的因式时，如果可用公式求出方程

)0(02acbxax的两个根21xx和，那么))((212xxxxacbxax．如果方程)0(02acbxax无根,则此二次三项式cbxax2不能分解.

[基础运用]

例1：已知方程02)1(32xkx的一个根是1，则另一个根是 ，k 。 变式训练：

1、已知1x是方程0232kxx的一个根，则另一根和k的值分别是多少？

一元二次方程根与系数的关系及应用题

一、 根与系数的关系(韦达定理)；

1、定理来源，用配方法推导出来的一元二次方程的求根公式中，由两个根的相互运算而得，

2、定理内容，（1）12bxxa （2） 12cxxa

3、定理特征：和与积的形式特点。

4、定理的延伸：当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积为常数项。

5、解一元二次方程的又一种方法：

观察法，总结观察法的知识要点：用了根的定义和韦达定理，是一种综合性题目，是竞赛中常见的一种题型。

若0abc，则有：11x，2cxa，（2）若0abc，则有：11x，2cxa

这里的0abc是指各项系数不变号和为零的情况，这里的0abc是指要改变一次项系数符号后和为零的情况。

如: （1）2543215432210xx （2）219981997199910xx

例1.(1)如果xx12、是方程3xx2720的两个根，那么xx12_______ xx12=_______.

(2)如果xx12、是方程2xx2350的两个根，那么xx12________ xx12=________.

(3)如果方程20542xx的两个根是x1和x2，则21xx________ 21xx=_________.

例2 已知32是一元二次方程042cxx的一个根，则方程的另一根是 ；

例3 已知关于x的一元二次方程230xx的两个实数根分别为、，求：

（1）11；

（2）33的值；

（3）22；

（4）.

例4 已知、是关于x的一元二次方程03222mxmx的两个不相等的实数根，且满足1-11，求m的值.

例5 △ABC的一边长为4，另外两边是方程23150xxm的两根，求m 的取值范围.

一元二次方程根与系数的关系专题练习

一、求特定代数式的值：

例1：已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：

(1)12xx＋； (2)12xx； (3)2212xx＋； (4)122133xxxx； (5)2121232xxxx

二、求方程的根

例2：若关于x的方程02352mxx的一个根是－5，求另一个根及m的值.

三、求参数的值

例3：(2018·十堰)已知关于x的一元二次方程011222kkxkx有实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)若此方程的两实数根1x，2x满足112221xx，求k的值.

例4：已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0

(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若12,xx是原方程的两根，且12||22xx－,求m的值，并求出此时方程的两根.

例5：(2017•鄂州)关于的方程有两个不相等的实数根.

(1)求实数的取值范围；

(2)设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数，使得125xx？若存在，求出这样的值；若不存在，说明理由.

例6：(2014·孝感)已知关于x的方程22(23)10xkxk有两个不相等的实数根1x、2x．

(1)求k的取值范围；

(2)试说明10x，20x；(3分)

(3)若抛物线22(23)1yxkxk与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且23OAOBOAOB，求k的值．

x032)12(22kkxkxk21,xxkk例7：已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－4k－3=0有两个实数根x1,x2.

(1)求k的取值范围；

(2)若x1＋2x2=－1,求k的值.

【折等边三角形】

(2016·孝感)如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN,MN，延长MN交BC于点G．

一元二次方程根与系数的关系训练题

一、填空题

1.如果x1、x2是一元二次方程02x6x2的两个实数根，则x1+x2=_________.

2.一元二次方程03xx2两根的倒数和等于__________.

3.关于x的方程0qpxx2的根为21x,21x21，则p=______，q=____.

4.若x1、x2是方程07x5x2的两根，那么_______________xx2221，.________)x(x221

5.已知21x,x为方程01x3x2的两实根，则.__________20x3x221

6.方程02x5x2与方程06x2x2的所有实数根的和为___________.

二、选择题

7.已知a、b是关于x的一元二次方程01nxx2的两实数根，则式子baab的值是（ ）

A.2n2 B.2n2 C.2n2 D.2n2

8.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）

A.06xx2 B.06xx2 C.06xx2 D.06xx2

9.设方程0mx5x32的两根分别为21x,x，且0xx621，那么m的值等于（ ）

A.32 B.—2 C.92 D.—92

10.已知0)2m2()x1(mx2两根之和等于两根之积，则m的值为（ ）

A.1 B.—1 C.2 D.—2