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圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
（3）固定的端点O 叫做圆心。
（4）线段OA 的长为r 叫做半径。
2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。
（3）小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）经过圆心的弦叫做直径。
4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。
考点2 点与圆的位置关系平面上一点P与⊙O（半径为r）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。
考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。
④平行弦夹的弧相等。
沪科版九年级数学下册第24章圆同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对3、下列图形中，既是中心对称图形又是抽对称图形的是（）A．B．C．D．4、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°5、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）A．直径所对圆周角为90 B．如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径C．直径是最长的弦D．垂直于弦的直径平分这条弦6、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（）cm．A．3πB．6πC．12πD．18π8、如图，四边形ABCD 内接于O ，若四边形ABCO 是菱形，则D ∠的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°9、若120︒的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，A 与x 轴交于()2,0B 、()4,0C 两点，3OA =，点P 是y 轴上的一个动点，PD 切O 于点D ，则△ABD 的面积的最大值是________；线段PD 的最小值是________．2、如图，在平面直角坐标系中，点N 是直线5y x =-+上动点，M 是C 上动点，若点C 的坐标为()2,0-，且C 与y 轴相切，则MN 长度的最小值为____________．3、如图，在平行四边形ABCD 中，7AB =，3AD =，120A ︒∠=，以点B 为圆心，BC 为半径的圆弧交AB 于点E ，连接DE ，则图中黑色阴影部分的面积为________．（结果保留π）4、如图，一次函数1y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，作ABO 的外接圆C ，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）5、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB ＝AC ，∴点C 在⊙A 上∵BC ＝BD ，∴∠_________＝∠_________∴∠BAC ＝12∠CAD∵点D ，P 在⊙A 上，∴∠CPD ＝12∠CAD （______________________） （填推理的依据）∴∠APC ＝∠BAC2、如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．3、如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ，交⊙O 于点C ，连接CO 并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，连接AC ．（1）求证：AC 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 半径为2，OD ＝4．求线段AD 的长．4、如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，AD 交O 于点E ，4=AD ，5AB =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求AC 、DE 的长．5、如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC ，请画出将△ABC 绕点C 旋转180°得到的△A 'B 'C '．（需写出△A 'B 'C '各顶点的坐标）．-参考答案-一、单选题1、C【详解】解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180 后能与自身重合.2、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．3、B【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．5、A【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.【详解】A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90 ，A选项符合要求；B、C选项，根据圆的定义可以得到；D选项，是垂径定理；故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．7、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】×2π×2×3＝6π（cm2）．解：它的侧面展开图的面积＝12故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOCβ=；∴∠ADC=12β；四边形ABCD为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，故选：B．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.9、C【分析】先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可【详解】设半径为r ，则周长为2πr ， 120°所对应的弧长为120222π3603r r ππ︒⨯==︒ 解得r =3故选C【点睛】本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．10、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．二、填空题1、12【分析】根据题中点的坐标可得2BC =圆的直径，半径为1，分析ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP ，设点()0,P y ，根据切线的性质及勾股定理可得PD【详解】解：如图所示：当点P 到如图位置时，ABD 的面积最大，∵()2,0B 、()4,0C ，∴2BC =圆的直径，半径为1，∴ABD 以AB 定长为底，点D 在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：此时ABD 面积的最大值为：111122⨯⨯=； 如图所示：连接AP ，∵PD 切A 于点D ，∴AD PD ⊥，∴90ADP ∠=︒，设点()0,P y ，在Rt AOP 中，3OA =，OP y =，∴22229AP OA OP y =+=+，在Rt APD 中，1AD =，∴22222918PD AP AD y y =-=+-=+，则PD当0y =时，PD 取得最小值，=故答案为：①12；②【点睛】题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．2-2 【分析】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小，利用勾股定理求出CN 的长，故可求解．【详解】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小∵直线AB 的解析式为5y x =-+当x =0时，y =5，当y =0时，x =5∴B （0，5），A （5，0）∴AO =BO ，△AOB 是等腰直角三角形∴∠BAO =90°当CN ⊥AB 时，则△ACN 是等腰直角三角形∴CN =AN∵C ()2,0-∴AC =7∵AC 2=CN 2+AN 2=2CN 2∴CN 当 C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小即MN =CN -CM -2-2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．332π 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据正弦定义解得CH 的长，再由扇形面积公式、三角形的面积公式解题即可．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，在平行四边形ABCD 中，120A ∠=︒18012060B ∴∠=︒-︒=︒=sin sin 603CH BC B AD ∴⋅=⨯︒=平行四边形ABCD 的面积为：7AB CH ⨯= 图中黑色阴影部分的面积为：()2216016037323602360BC AE CH ππ⋅⨯⋅⋅-=⨯-=32π，32π． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、扇形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4、3π【分析】先求出A 、B 、C 坐标，再证明三角形BOC 是等边三角形，最后根据扇形面积公式计算即可．【详解】过C 作CD ⊥OA 于D∵一次函数1y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当0x =时，1y =，B 点坐标为（0,1）当0y =时，y =A 点坐标为∴2,1AB OB OA ===，∵作ABO 的外接圆C ，∴线段AB 中点C 的坐标为1)2,112OC BC AB OB ==== ∴三角形BOC 是等边三角形∴120ACO ∠=︒∵C 的坐标为1)2∴12CD =∴2120111360223AOC ACO S S S ππ︒=-=⨯⨯-=︒扇形故答案为：3π【点睛】 本题主要考查了一次函数的综合运用，求扇形面积．用已知点的坐标表示相应的线段是解题的关键．5【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE是直径，∠ECD=45°，CE=-⨯=，根据题意得：AB=2.5， 2.50.2522∴2222=+=，CE CD DE CD2∴CD=，尺．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD＝1∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）2∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．2、【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵A（-4，0），B（0，2），∴AB∴∵∠AMC=2∠AOC=120°，∴=AC=在Rt △COH 中，1cos 60,2OH OC a CH ︒=⋅===， 142AH a ∴=-， 在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4))2a =-+，∴a 或OC ＞OB ，所以，∴OC故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OB ，证明△AOB ≌△AOC （SSS ），可得∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即可证明AC 为⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，勾股定理求得BD ，根据sin D ＝OB OD ＝AC AD，代入数值即可求得答案 【详解】解：（1）连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，∵BC 是弦，OA ⊥BC ，∴CE ＝BE ，∴AC ＝AB ，在△AOB 和△AOC 中，AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AOB ≌△AOC （SSS ），∴∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即AC ⊥OC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，由勾股定理得，BD∵sin D ＝OB OD ＝AC AD ，⊙O 半径为2，OD ＝4． ∴24解得AC ＝∴AD ＝BD +AB ＝【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．4、（1）90°；（2）AC =DE =1【分析】（1）如图123∠=∠=∠，349032ACD ACD ∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠，可知90ADC ∠=︒．（2）ACB ADC ∽△△，AB AC AC AD=可求出AC 的长；5CED DCA ∠=∠=∠，ADC CDE △∽△，AD CD CD DE=可求出DE 的长． 【详解】解（1）证明如图所示，连接BC ，OC ，CEAB 是直径，CD 是O 的切线，AC 平分BAD ∠∴132∠=∠=∠，45∠=∠∴332490DCA ACD ∠+∠=∠+∠=︒=∠+∠∴90ADC ∠=︒．（2）解∵12∠=∠，90ADC ACB ∠=∠=︒∴ACB ADC ∽△△ ∴AB AC AC AD=，25420AC =⨯= ∴AC =在Rt ADC 中2CD ==∵5CED DCA ∠=∠=∠，90ADC CDE ∠=∠=︒∴ADC CDE △∽△ ∴AD CD CD DE=，2CD DE AD =⋅ 44DE =∴1DE =．【点睛】本题考查了角平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等知识点．解题的关键在于判定三角形相似．5、A '（-1，-3），B '（1，-1），C '（-2,0），画图见解析．【分析】先画出点A ，B 关于点C 中心对称的点A '，B '，再连接A '，B '，C 即可解题．【详解】解： A 关于点C 中心对称的点A '（-1，-3），B 关于点C 中心对称的点B '（1，-1），C 关于点C 中心对称的点C '（-2,0），如图，△A 'B 'C '即为所求作图形．【点睛】本题考查中心对称图形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．。
圆的基本性质【知识点】1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦： 2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径． 3．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【例题】例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ） A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米例题2.如图⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例题1图 例题2图 例题3图 例题4图例题3.如图⊙O 弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2例题4.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（ ）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【检测】1.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．92.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ） A ．28° B ．56° C ．60° D ．62°第1题图 第2题图 第3题图3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cm4.⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（ ） A ． 2cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm直线与圆、圆与圆的位置关系【知识点】5=R60%1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ） 相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算． 【例题】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含 例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为DEF ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例4．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 【检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．内切 D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ） A ．10cm B ．6cm C ．10cm 或6cm D ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15 B. 30C. 45 D. 60圆的有关计算【知识梳理】1. 圆周长公式：2. n°的圆心角所对的弧长公式：3. 圆心角为n°的扇形面积公式： 、 ．4. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的侧面积公式为： ；圆锥的表面积的计算方法是：5.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为r ，高为h 的圆柱的侧面积公式是： ；圆柱的表面积的计算方法是： 【例题】【例1】如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ． （1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．D O A FE 例题2图 C B A OF D E【例2】如图，小明从半径为5cm 的圆形纸片中剪下40%圆周的 一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A.3cm B.4cm C.21cm D.62cm【检测】1．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ） A ．6π2cm B ．9π2cm C ．12 π2cm D ．27π2cm2．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ） A ．38 cm B ．316cm C ．3cm D ．34cm 3．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是 ㎝2. 4．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为圆的综合【例题】1．如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（ ） A ．156 B ．78C ．39D ．122．如图2所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB （ ） A ．是正方形 B ． 是长方形 C ． 是菱形 D ．以上答案都不对 3．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．6π2cmB ．9π2cmC ．12 π2cmD ．27π2cm4.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径为（ ）A ．(45)+ cm B ．9 cm C ． 45cm D ． 62cm ．【检测】1．下列命题中，真命题的个数为（ ）①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，圆O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253．如图，圆O 的半径为1，AB 与圆O 相切于点A ，OB 与圆O 交于点C ，OD OA ⊥，垂足为D ，则cos AOB ∠的AO B 120o 120°OAB第1题图 第2题图第3题图 第4题图值等于（ ） A ．OD B ．OAC ．CD D ．AB4．如图，AB 是圆O 的弦，半径2OA =，2sin 3A =，则弦AB 的长为（ ） A．3B．3C ．4D．35.如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为（ ）A．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,- 6.如图4，⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ）A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.57.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA 为（ ）A ．5B ．7C ．375 D ．3778．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．25πB ．65πC ．90πD ．130π9.如图，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆0上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．第3题图 第9题图第7题图 第6题图第5题图 第4题图。
![初中数学沪科版九年级下册第24章圆2圆的基本性质[2垂径分弦九年级数学下册同步备课]](https://img.taocdn.com/s1/m/df4487866aec0975f46527d3240c844769eaa04b.png)
第 4 课时圆的确定 ]一、选择题1．用反证法证明“a＞ b”时应假设()A．a＞b B ．a＜bC．＝b D ．≤ba a2．以下条件中能确立一个圆的是 ()A．已知圆心B．已知半径C．过三个已知点D．过一个三角形的三个极点3．三角形的外心是 ()A．三边中线的交点B．三边垂直均分线的交点C．三条高的交点D．三条内角均分线的交点4．若△的外接圆的圆心在△的内部，则△是链接听课例 2归纳总结() ABC ABC ABCA．锐角三角形 B ．直角三角形C．钝角三角形 D ．没法确立5．2018·烟台如图K－ 6－ 1，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点O，，，C在格点 ( 两条网格线的交点叫格点) 上，以点O为原点建立直角坐标系，则过，，A B A B C三点的圆的圆心坐标为()图 K－ 6－1A．( －1，－ 2) B ．( －1，－ 3)C．( －2，－ 2) D ．( －3，－ 1)6．2017·山西公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数2，以致了第一次数学危机 . 2 是无理数的证明以下：q q 22假设 2是有理数，那么它可以表示成p( p与q是互质的两个正整数 ) ．于是 ( p)＝( 2)＝2，因此q2＝ 2p2. 于是q2是偶数，从而q 是偶数．从而可设q＝2m，因此(2 m)2＝2p2， p2＝2 2，于是可得p 也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“2是有m理数”的假设不可以立，因此，2是无理数．这类证明“2是无理数”的方法是()A．综合法 B ．反证法C．举反例法 D ．数学归纳法二、填空题7．平面直角坐标系内的三个点(1 ， 0) ， (0 ，－ 3) ， (2 ，－ 3)__________ 确立一个A B C圆( 填“能”或“不可以”) ．8．用反证法证明命题“在一个三角形中，不可以有两个内角为钝角”时，第一步应假设________________________ ．9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，此中四块碎片如图K－ 6－ 2 所示，为配到与原来大小相同的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应当是第________块. 链接听课例 1归纳总结图 K－ 6－210．2017·宁夏如图K－6－ 3，点A，B，C均在 6× 6 的正方形网格的格点上，过A，B，C三点的圆除经过A， B， C三点外还经过的格点有________个．图 K－ 6－311．2017·巢湖月考若点O是等腰三角形ABC的外心，且∠ BOC＝60°，底边BC＝2，则△ ABC的面积为________________．三、解答题12．在平面直角坐标系中，若作一个⊙M，使⊙ M经过点 A(－4，0)， B(0，－2)，O(0，0)，求点 M的坐标．13.求证：假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 链接听课例 3归纳总结14．如图 K－6－ 4 所示，BD，CE是△ABC的高．求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．图 K－ 6－415．如图 K－ 6－ 5，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A， B， C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的地点画出来 ( 尺规作图，不写作法，保留作图印迹) ；(2)若在△ ABC中， AB＝8米， AC＝6米，∠ BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．图 K－ 6－516．如图 K－ 6－6，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，AC＝ 24，BD＝ 10，E，F，G分别为 AB， BC， CD的中点．试求以 E， F， G三点所确立的圆的周长．(结果保留π)图 K－ 6－6如图 K－ 6－ 7，D 是△ABC的边BC的中点，过延长线上的点E作的垂线，AD AD EF E F，点 O在 AD 上， AO＝ CO， BC∥(1)求证： AB＝ AC；(2)求证：点 O是△ ABC的外接圆的圆心；(3)当 AB＝5， BC＝6时，连接 BE，若∠ ABE＝90°，求 AE的长．图 K－ 6－7详解详析[ 课堂达标 ]1． [ 解析 ] D反证法的第一步是反设，即假设命题的结论不可以立，故证明“a＞b”时应假设“ a≤ b”．2．[ 解析 ] D确立一个圆的条件是圆心和半径；不在同一条直线的三个点确立一个圆；过一个三角形的三个极点即可确立一个圆．综上所述，选项 D 正确．3．[ 答案]B4．[ 解析 ]A△ABC的外接圆的圆心在△ ABC的内部，则△ ABC是锐角三角形．应选 A.5．[ 解析 ]A依据垂径定理，借助网格，找到两条弦BC， AB的垂直均分线的交点，即为圆心，其坐标为(－1，－ 2) ．6．[ 解析]B阅读资猜中的证明方法切合反证法的步骤．7．[ 答案 ]能[ 解析 ] ∵ B(0 ，－ 3) ， C(2，－ 3) ，∴ BC∥x 轴，而点 A(1 ， 0) 在 x 轴上，∴点 A， B， C 不共线，∴三个点 A(1 ，0) ， B(0 ，－ 3) ， C(2，－ 3) 能确立一个圆．8．[ 答案 ]在一个三角形中有两个内角为钝角9．[ 答案 ]②10．[ 答案 ] 5[ 解析 ] 如图，分别作 AB， BC的中垂线，两直线的交点为O，以点 O为圆心， OA为半径作圆，则⊙ O即为过 A， B，C 三点的圆，由图可知，⊙ O还经过点 D， E， F， G， H 这 5 个格点．故答案为 5.11．[答案 ] 2 －3或 2＋3[ 解析 ]如图，当△ ABC是钝角三角形时，△BOC是等边三角形，且∠ AOB＝∠ AOC＝30°，BD＝ CD＝ 1，∴OD＝3BD＝ 3，则 AD＝ OA－ OD＝ 2－ 3，∴ S ＝2BC× AD＝2×2×(2 － 3)△ ABC1111＝2－ 3；当△ ABC是锐角三角形时， AD＝ OA＋ OD＝ 2＋3，∴ S△ABC＝2BC×AD＝2× 2× (2 ＋3)＝2＋ 3.12．解：以以以下图：∵△ AOB是直角三角形，∴△ AOB的外心 M是斜边 AB 的中点．过点 M作 MC⊥ x 轴于点 C，作 MD⊥ y 轴于点 D，则 MD∥ OA， MC∥ OB，∴ C 是 OA的中点， D 是 OB的中点，11∴OC＝ OA＝ 2， OD＝ OB＝ 1，22∴点 M的坐标为 ( － 2，－ 1) ．13．解：已知：以以以下图，直线AB∥ EF， CD∥ EF.求证： AB∥ CD.证明：假设AB与 CD不平行，则直线AB 与 CD订交，设它们的交点为 P，于是经过点 P 就有两条直线 (AB，CD)都和直线 EF 平行，这就与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，因此假设不可以立，故AB∥CD.14．证明：以以以下图，取BC的中点 F，连接 DF， EF.∵BD，CE是△ ABC的高，∴△ BCD和△ BCE都是直角三角形，∴DF，EF 分别为 Rt △ BCD和 Rt △BCE斜边上的中线，∴ DF＝ EF＝ BF＝ CF，∴ E， B， C， D四点在以点 F 为圆心，1BC为半径的圆上．215．解： (1) 用尺规作出两边 ( 如 AB，AC)的垂直均分线，交点即为圆心O，以 OA为半径作出⊙ O，⊙ O即为所求 ( 图略 ) ．(2)∵∠ BAC＝90°， AB＝8 米， AC＝6 米，∴ BC＝10 米．∵直角三角形的外心为斜边的中点，∴△ ABC外接圆的半径为 5 米，∴小明家圆形花坛的面积为 25π平方米．16．解：如图，连接EF，FG， EG.∵E，F 分别是AB，BC的中点，∴ EF是△ ABC的中位线，1∴EF∥AC，且 EF＝2AC＝ 12.1同理可得 FG∥ BD，且 FG＝2BD＝ 5.∵AC⊥BD，∴ EF⊥ FG.∴EG＝13.∵直角三角形外接圆的直径等于斜边的长，∴以 E， F， G三点所确立的圆的周长为13π.[ 涵养提高 ]解： (1) 证明：∵ AE⊥ EF， EF∥ BC，∴ AD⊥BC.又∵ D是 BC的中点，∴AD是 BC的垂直均分线，∴AB＝AC.(2)证明：连接 BO，由 (1) 知 AD是 BC的垂直均分线，∴ BO＝ CO.又∵ AO＝ CO，∴ AO＝ BO＝CO，∴点 O是△ ABC的外接圆的圆心．(3)解法 1：∵∠ ABE＝∠ ADB＝90°，∠ BAD＝∠ EAB，AB AD∴△ ABD∽△ AEB，∴＝.AE AB1在 Rt△ ABD中，∵ AB＝ 5， BD＝2BC＝ 3，5 4∴AD＝4，∴ ＝，AE 525∴AE＝4.解法 2：由 (2) 得 AO＝ BO，∴∠ ABO＝∠ BAO.∵∠ ABE＝90°，∴∠ ABO＋∠ OBE＝∠ BAO＋∠ AEB＝90°，∴∠ OBE＝∠ OEB，∴ OB＝OE.1在 Rt△ ABD中，∵ AB＝ 5， BD＝2BC＝ 3，∴AD＝4. 设 OB＝ x，则 OD＝ 4－ x，在 Rt△ OBD中，有 32＋ (4 －x) 2＝ x2，25解得 x＝8，25∴AE＝2OB＝ .4。
沪科版九年级下册数学24.2圆的基本性质一、单选题1．已知点P 与⊙O 在同一平面内，⊙O 的半径为5cm ，6OP cm =，则点P 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法判断2．下面命题中，正确的是（ ）． A ．三点确定一个圆 B ．垂直于弦的直线平分弦C ．经过四点不能作一个圆D ．三角形有一个且只有一个外接圆3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点(10,0)A ，直线8y kx =+与O 交于B 、C 两点，则弦BC 长的最小值（ ）． A ．8B ．10C ．12D ．164．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，:1:2CP PO =，则AB 的长为（ ） A ．45B ．215C ．16D ．85．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题6．已知⊙O 的半径r =3cm ，PO =1cm 时，点P 与⊙O 的位置关系是________________． 7．一点到O 上的最近距离为3cm ，最远距离为11cm ，则这圆的半径是______．8．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，1）、B （0，﹣1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴于点C 、D ，则CD 的长是____．9．如图，已知在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，2OE =，那么CD =______．10．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若60,6B CD ︒∠==，则AC 的长为_____ 。
三、解答题11．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA ．若AB ＝4，CD ＝1，求⊙O 半径的长．12．如图，在直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）， （1）写出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：______； （2）判断点()5,2D -与圆M 的位置关系．13．往直径为68cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽60AB cm =，求油的最大深度．14．如图，在O 中，DE 是O 的直径，AB 是O 的弦，AB 的中点C 在直径DE 上．已知8AB cm =，2CD cm =． （1）求O 的半径；（2）连接AE ，过圆心O 向AE 作垂线，垂足为F ，求OF 的长．15．如图，⊙O 的直径CD ＝20，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD ＝3：5，则AB 的长为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．29116.。
圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
（3）固定的端点O 叫做圆心。
（4）线段OA 的长为r 叫做半径。
2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。
（3）小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）经过圆心的弦叫做直径。
4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。
考点2 点与圆的位置关系平面上一点P 与⊙O （半径为r ）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。
考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。
④平行弦夹的弧相等。
3、圆心到弦的距离叫做弦心距。
考点4 圆心角、弧、弦、弦心距间关系1、顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。
简记：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等考点5圆的确定1、圆的做法：（1）连接AB、BC；（2）分别作线段AB、BC的垂直平分线，设它们交于点O；（3）以点O为圆心，OA为半径作圆。
则⊙O即为所作。
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心叫做三角形的外心。
这个三角形叫做圆的内接三角形。
3、三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。
考点6 圆的对称性1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；2、中心对称：圆是中心对称图形，对称中心是圆心；3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴。
【同步练习巩固】知识点1圆的相关概念1．下列说法错误的是( C )A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆2．(浙江宁波鄞州区期末)已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是( D )A．4 B．8 C．10 D．123．(安徽淮南西部地区第二次联考)下列说法：(1)长度相等的弧是等弧；(2)半径相等的圆是等圆；(3)等弧能够重合；(4)半径是圆中最长的弦．其中正确的有( B )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(江苏扬州邗江区一模)如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于( D )A．36°B．30°C．18°D．24°5．到点O的距离等于8的所有点组成的图形是__以点O为圆心，以8为半径的圆__．6．如图，圆中有__1__条直径，__3__条弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．7．如图，⊙O的周长为4π，B是弦CD上任意一点(与C，D不重合)，过点B作OC的平行线交OD于点E，则EO＋EB＝__2__.(用数字表示)知识点2 点与圆的位置关系8．(教材P14，练习，T2改编)(安徽安庆潜山期末)已知⊙O的半径为2，一点P到圆心O的距离为4，则点P在( C ) A．圆内B．圆上C．圆外D．无法确定9．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( A )A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外10．已知点P在⊙O外，且⊙O的半径为5，设OP＝x，那么x的取值范围是__x＞5__.11．已知AB＝10 cm，以AB为直径作圆，那么在此圆上到AB的距离等于5 cm的点共有__2__个．知识点3 圆的对称性12．下列图形中，对称轴条数最多的是( B )13．下列语句中，不正确的是( C ) A ．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合D ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个14．如图，圆中的小四边形均是正方形，则阴影部分的面积与空白部分的面积的比是__1∶1__.知识点4 垂径定理及推论15．如图，⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论可能错误的是( B )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OE C.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE16．已知：如图，⊙O 的半径为9，弦AB ⊥半径OC 于点H ，sin ∠BOC ＝23，则AB 的长度为( B )A ．6B ．12C ．9D ．35 17．(福建三明一模)如图，AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为5，BC ＝8，则AB 的长为( D )A ．8B ．10C ．43 D ．4 518．(安徽宿州萧县期末)如图，有一圆弧形门拱的拱高AB 为1 m ，跨度CD 为4 m ，则这个门拱的半径为__52__m.19．(安徽合肥十校联考)如图，在⊙O 中，弦AD ，BC 相交于点E ，连接OE ，已知AD ＝BC ，AD ⊥CB.(1)求证：AB ＝CD ；(2)如果⊙O 的半径为5，DE ＝1，求AE 的长．解：(1)证明：∵AD ＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵－BD ︵＝BC ︵－BD ︵，即AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD.(2)如图，过点O 作OF ⊥AD 于点F ，作OG ⊥BC 于点G ，连接OA ，OC ，则AF ＝FD ，BG ＝CG.∵AD ＝BC ，∴AF ＝CG. 在Rt △AOF 与Rt △COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝CG ，OA ＝OC ，∴Rt △AOF ≌Rt △COG(HL)，∴OF ＝OG ，∴四边形OFEG 是正方形，∴OF ＝EF.设OF ＝EF ＝x ，则AF ＝FD ＝x ＋1.在Rt △OAF 中，由勾股定理，得x 2＋(x ＋1)2＝52，解得 x ＝3(负值舍去)．则AF ＝3＋1＝4，即AE ＝AF ＋3＝7.20．如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于( D )A ．8B ．4C ．10D ．521．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为__0.8__m.22．某公园新建的圆形人工湖如图所示，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边先取A ，B ，C 三根木桩，使得A ，B 之间的距离与B ，C 之间的距离相等，并测得B 到AC 的距离为3 m ，AC 的长为60 m ，请你帮他们求出人工湖的半径．解：设圆心为点O ，连接OA ，OB ，AB ，BC ，OB 交AC 于点D ，如图．∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴OB ⊥AC.∴AD ＝CD ＝30 m.设OA ＝x m ，则有x 2－(x －3)2＝302，解得x ＝151.5，∴人工湖的半径为151.5 m.知识点5 圆心角及圆心角、弧、弦、弦心距间的关系23．下面四个图中的角，为圆心角的是( D )24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BOC ＝100°，AD ∥OC ，则弧AD 所对圆心角的度数为( A )A ．20°B ．60°C ．50°D ．40°25．已知⊙O 的半径为6，弦AB 的长为6，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝__60°__.26．(安徽淮北相山区四模)如果两个圆心角相等，那么( D )A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对27．(江苏泰州泰兴月考)已知，如图，∠AOB ＝∠COD ，下列结论不一定成立的是( D )A ．AB ＝CD B.AB ︵＝CD ︵C ．△AOB ≌△COD D ．△AOB ，△COD 都是等边三角形28．如图，已知A ，B ，C ，D 是圆上的点，AD ︵＝BC ︵，AC ，BD 交于点E ，则下列结论正确的是( C )A ．AB ＝AD B ．BE ＝CDC ．AC ＝BD D ．BE ＝AD29．圆的一条弦等于其半径，这条弦所对的圆心角是__60__度．30．(安徽合肥一六八中学一模)如图，已知AB 是⊙O 的直径，PA ＝PB ，∠P ＝60°，则CD ︵所对的圆心角等于__60__度．31．如图，在△ABO 中，∠A ＝∠B ，⊙O 与OA 交于点C ，与OB 交于点D ，与AB 交于点E ，F.求证：CE ︵＝DF ︵.证明：如图，连接OE ，OF ，则OE ＝OF ，∴∠OEF ＝∠OFE. ∵∠A ＝∠B ，∠AOE ＝∠OEF －∠A ，∠BOF ＝∠OFE －∠B ，∴∠AOE ＝∠BOF ，∴CE ︵＝DF ︵.知识点6 确定圆的条件32．下列条件中，能确定唯一一个圆的是( C )A ．以点O 为圆心的圆B ．以2 cm 长为半径的圆C ．以点O 为圆心，5 cm 长为半径的圆D ．经过已知点A 的圆33.．已知A ，B ，C 为平面上三点，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，则( C )A ．可以画一个圆，使A ，B ，C 都在圆上 B ．可以画一个圆，使A ，B 都在圆上，C 在圆内C ．可以画一个圆，使A ，C 都在圆上，B 在圆内D ．可以画一个圆，使B ，C 都在圆上，A 在圆内34．如图所示，点A ，B ，C 在同一直线上，点M 在AC 外，经过图中的三个点作圆，可以作__3__个．知识点7 三角形的外接圆35．(浙江金华模拟)如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A ，B ，C ，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞(到三个洞口的距离相等)，这只花猫最好蹲守在( D )A ．△ABC 的三边高线的交点P 处B ．△ABC 的三条角平分线的交点P 处C ．△ABC 的三边中线的交点P 处D ．△ABC 的三边垂直平分线的交点P 处36．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M37．下列说法正确的是( D )A ．三点确定一个圆B ．圆有且只有一个内接三角形C ．三角形的外心到三角形三边的距离相等D ．三角形有且只有一个外接圆38．(广东广州越秀区二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，3)，点B(4，3)，点C(0，－1)，则△ABC 外接圆的半径为__22__.39．如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC ＝24 cm ，O 到BC 的距离是5 cm ，求△ABC 的外接圆的半径．解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则OD ＝5 cm ，BD ＝12BC ＝12 cm.在Rt △OBD 中，OB ＝OD 2＋BD 2＝52＋122＝13(cm)．即△ABC 的外接圆的半径为13 cm.知识点8 反证法40．(教材P24，练习，T4改编)用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( D )A ．a 不垂直于cB ．a ，b 都不垂直于cC ．a ⊥bD ．a 与b 相交41．用反证法证明“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离d<r ，则点P 在⊙O 的内部”，首先应假设( D )A ．d ≤rB ．d ≥rC ．点P 在⊙O 的外部D ．点P 在⊙O 上或点P 在⊙O 的外部42．用反证法证明：若∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A ，∠B ，∠C 都大于60°，则有∠A ＋∠B ＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，因此假设不成立，即∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个角不大于60°.【易错盘点】1．（不能准确理解弦、弧、半圆、直径的概念）下列命题中正确的有( B )①直径是圆中最长的弦；②半圆是弦；③过圆心的直线是直径；④半圆是圆弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”）下列说法中错误的有( C )①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；②弦的垂线平分它所对的两条弧；③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.（不能正确理解弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系）已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上四点，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB与弦CD 的关系是( C )A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CD D ．不能确定【能力培优提升】1．若⊙O 所在的平面内有一点P ，它到⊙O 上的点的最大距离是6，最小距离是2，则这个圆的半径为( C )A ．2B ．4C ．2或4D ．不能确定2．(安徽安庆期末)在平面直角坐标系中，⊙O 的圆心为点(1，0)，半径为2，则下面各点在⊙O 上的是( C )A ．(2，0)B ．(0，2)C ．(0，3)D ．(3，0)3．(山东泰安中考)如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3，4)，点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA ，PB 与x 轴分别交于A ，B 两点．若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为( C )A ．3B ．4C ．6D ．84．(广西梧州中考)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD的长是( C )A ．2 6B ．210C ．211D ．4 35．(安徽合肥庐阳区二模)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AC 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F.若BD ＝12 cm ，AE ＝4 cm ，则OF 的长度是( A )A.13 cm B ．213 cm C.10 cm D ．3 cm6．(江苏扬州邗江月考)如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于AB ︵上，则α的取值范围是( B )A ．36°≤α≤45°B ．45°≤α≤54°C ．54°≤α≤72°D ．72°≤α≤90°7．(浙江舟山中考)用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( D )A ．点在圆内B ．点在圆上C ．点在圆心上D ．点在圆上或圆内8．(山东济宁汶上期末)如图，小明为检验M ，N ，P ，Q 四点是否共圆，用尺规分别作了MN ，MQ 的垂直平分线交于点O ，则M ，N ，P ，Q 四点中，不一定在以O 为圆心，OM 为半径的圆上的点是( C )A.点M B ．点N C ．点P D ．点Q9 ．(重庆期中)如图，O 是△ABC 的外心，则∠1＋∠2＋∠3＝( C )A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°10．(安徽马鞍山二中一模)在平面直角坐标系xOy 中，⊙P 的圆心是(2，a)(a ＞2)，半径为2.函数y ＝x 的图象截得⊙P 的弦AB 的长为23，则a 的值是__2＋2__.11．(湖北孝感中考)已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是__2或14__ cm.12.如图，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，CD ＝CE ，则AC ︵与BC ︵的关系是__相等__．13．(浙江杭州下城区二模)已知C 是优弧AB 的中点，若∠AOC ＝4∠B ，OC ＝4，则AB ＝__43__.14．(山东济宁期中)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝110°，将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在AB︵上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则AD ︵的度数为__50°__.15．若AB ＝4 cm ，则过点A ，B 且半径为3 cm 的圆有__2__个．16．已知点P ，Q ，且PQ ＝4 cm.(1)画出下列图形：到点P 的距离等于2 cm 的所有点组成的图形；到点Q 的距离等于3 cm 的所有点组成的图形．(2)在所画图形中，到点P 的距离等于2 cm ，且到点Q 的距离等于3 cm 的点有几个？请在图中将它们表示出来． 解：(1)如图，到点P 的距离等于2 cm 的所有点组成的图形是⊙P ；到点Q 的距离等于3 cm 的所有点组成的图形是⊙Q.(2)到点P 的距离等于2 cm ，且到点Q 的距离等于3 cm 的点有2个，即图中的点C 和点D.17．如图所示，BD ，CE 是△ABC 的高，求证：E ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．证明：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，EF.∵BD ，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF ，EF 分别为Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线，∴DF ＝BF ＝CF ＝EF.∴E ，B ，C ，D 四点在以点F 为圆心，12BC 为半径的圆上． 18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以BC 为直径的半圆交AB 于点D ，P 是CD ︵上的一个动点，连接AP ，求AP 的最小值．解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，交半圆于点P 2，在CD ︵上任意取点P 1，连接AP 1，EP 1，则AP 1＋EP 1≥AE ＝AP 2＋EP 2，即AP 2是AP 的最小值．∵AE ＝22＋12＝5，P 2E ＝1，∴AP 2＝5－1， ∴AP 的最小值为5－1. 19．如图，在半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是 AB ︵上的一个动点(不与点A ，B 重合)，且OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E.(1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵OD ⊥BC ， ∴BD ＝12BC ＝12×6＝3. ∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4. (2)存在．DE 保持不变．连接AB ，如图．∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5，∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2.∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ， ∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点，∴DE ＝12AB ＝522， ∴DE 保持不变．20．如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AE ＝CD.证明：如图，连接AC. ∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD ＝30°，AC ＝CD.又OA ＝OC ，∴∠ACE ＝75°.∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°，∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°，∴∠ACE ＝∠AEC ，∴AE ＝AC ，∴AE ＝CD.21．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点．(1)求证：AB 平分∠OAC ；(2)延长OA 至点P ，使得OA ＝AP ，连接PC ，若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．解：(1)证明：如图，连接OC.∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°.∵OA ＝OB ＝OC ， ∴△OAC 和△OBC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝OB ＝BC ，∴四边形AOBC 是菱形，∴AB 平分∠OAC.(2)由(1)可得△OAC 是等边三角形，OA ＝AC.又OA ＝AP ，∴AP ＝AC ，∴∠P ＝∠ACP .又∠OAC ＝60°，∴∠APC ＝30°，∴△POC 是直角三角形，∴OP ＝2OC ＝2，∴PC ＝OP 2－OC 2＝ 3.22．如图，在△ABC中．(1)若∠A是钝角，作△ABC的外接圆(只需作出图形，并保留作图痕迹)；(2)若△ABC是直角三角形，两直角边长分别为6，8，求它的外接圆的半径．解：(1)如图所示．(2)∵两直角边长分别为6和8，∴斜边长为62＋82＝10.∵圆心在斜边中点处，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5.23．(安徽中考)如图，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．解：(1)如图，AE即为所求．(2)CE＝30.24．某城市广场有一块圆形场地，市政府拟在此区域内修建一个菱形花坛(如图)．花坛中心A与圆形场地的圆心重合，A到菱形的顶点B的距离为6 m，B到圆周上C点的距离为4 m，点A，B，C在同一条直线上，四边形DEFG 为矩形，且菱形的四个顶点分别位于它四条边的中点上，则花坛的边长是多少米？解：如图，连接AF.由题意知⊙A的半径AC＝AB＋BC＝6＋4＝10(m)．由菱形的性质得AC⊥AM于点A.∵四边形DEFG为矩形，∴四边形AMFB为矩形．又∵矩形的对角线相等，∴BM＝AF＝AC＝10 m，即花坛的边长是10 m.24．某地有一座圆弧形拱桥，如图所示，桥下水面宽度AB 为7.2 m ，拱顶高出水面2.4 m ，现有一艘宽3 m ，顶部为长方形并且高出水面2 m 的货船要经过这里．问此货船能顺利通过拱桥吗？解：如图所示，设AB ︵所在圆的圆心为点O ，作OD ⊥AB ，垂足为点D ，OD 的延长线交MN 于点H ，交AB ︵于点C.连接OA ，ON.由题意知DC ＝2.4 m ．设OA ＝r m ，则OD ＝OC －CD ＝(r －2.4)m ，AD ＝12AB ＝3.6 m. 在Rt △OAD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即r 2＝3.62＋(r －2.4)2，∴r ＝3.9.∵EF ＝3 m ，∴DF ＝NH ＝12×3＝1.5(m)． 在Rt △ONH 中，OH ＝ON 2－NH 2＝ 3.92－1.52＝3.6(m)，∴FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．∵2<2.1，∴此货船能顺利通过拱桥．25．如图，在⊙O 中，AB ，DE 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，且AD ︵＝CE ︵.(1)BE 与CE 有什么数量关系？说明理由；(2)若∠1＝60°，则四边形OACE 是菱形吗？若是，请说明理由．解：(1)BE ＝CE.理由如下：如图，∵∠1＝∠2，∴BE ︵＝AD ︵.∵AD ︵＝CE ︵，∴BE ︵＝CE ︵，∴BE ＝CE.(2)四边形OACE 是菱形．理由如下：如图，连接OC.∵BE ＝CE ，∴∠3＝∠1＝60°.在△COE 中，∵∠3＝60°，OE ＝OC ，∴△COE 为等边三角形，∴CE ＝OE.∵∠1＋∠3＋∠4＝180°，∠3＝∠1＝60°，∴∠4＝60°，∴AC ＝CE.∴OE ＝CE ＝AC ＝OA ，∴四边形OACE 是菱形．25．(1)如图1，圆内接△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，OD ，OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G.求证：四边形OFCG(即阴影部分)的面积是△ABC 面积的13. (2)如图2，若∠DOE 保持120°角不变，求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形(即阴影部分)面积始终是△ABC 的面积的13.证明：(1)如图1，连接OA ，OB ，OC.∵AB ＝BC ＝CA ，∴△ABC 是等边三角形．又OA ＝OB ＝OC ，∴△BOC ≌△AOC ≌△AOB ， ∴S △AOC ＝13S △ABC .∵点O 是等边三角形ABC 的外心，OF ⊥BC ，OG ⊥AC ，∴CF ＝CG ＝12AC ，∠OFC ＝∠OGC ＝90°，∴在Rt △OFC 和Rt △OGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CG ，OC ＝OC ，∴Rt △OFC ≌Rt △OGC.同理可得Rt △OGC ≌Rt △OGA. ∴Rt △OFC ≌Rt △OGC ≌Rt △OGA ，∴S 四边形OFCG ＝2S △OGC ＝S △OAC .又S △OAC ＝13S △ABC ，∴S 四边形OFCG ＝13S △ABC. (2)如图2，连接OA ，OB 和OC ，设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G.由(1)知△AOC ≌△COB ≌△BOA ，∠1＝∠2.∵∠AOC ＝∠3＋∠4＝120°，∠DOE ＝∠5＋∠4＝120.∴∠3＝∠5.在△OAG 和△OCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠2＝∠1，OA ＝OC ，∠3＝∠5，∴△OAG ≌△OCF ，∴S △OAG ＝S △OCF ，∴S △OAG ＋S △OGC ＝S △OCF ＋S △OGC ，即S 四边形OFCG ＝S △OAC ＝13S △ABC .。
