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南京南师附中2022-2023高三上学期数学期中试卷+答案

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南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级期中考试数学试卷命题人:高三数学备课组班级______ 学号______ 姓名______ 得分______一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，集合2={230}A x x x -->，集合2={lg(1),R}B y y x x =+∈，则()R A B =（ B ）A ．{31}x x x ><-或B ．{03}x x ≤≤C ．{01}x x ≤≤D ．{31}x x -≤≤2．已知42i =1i z +-（i 是虚数单位）的共轭复数为z ，则z 的虚部为 （ B ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-3．函数2e ()2xf x x =的图象大致为（ A ）A ．B ．C ．D ．4．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若3564a a =，且5628a a +=，则6S =（ C ）A ．128B ．127C ．126D ．1255．给出下列命题：① 垂直于同一直线的两条直线相互平行；① 如果两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直； ① 如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ① 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直．以上命题中真命题的序号是 （ D ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若16AB =，则PQ = （ D ）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，在正三棱台111ABC A B C -中，3AB =116A B =，142AA =111ABC A B C -的外接球体积为 （B ）A ．2563 B ．256π3C ．64D ．64π 8．已知正实数,x y 满足11410x y x y +++=，则4x y +的最大值为 （ D ） A ．19B ．1C ．2D ．9 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9．设,,a b c 都是实数，下列说法正确的是 （ BC ）A ．22ac bc >是a b >的充要条件B ．ln ln a b >是22a b >的充分不必要条件C ．ABC ∆中，角,,A B C 对应边分别是,,a b c ，则sin sin A B >是a b >的充要条件D ．3tan θ=是3sin 2θ=的必要不充分条件 10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()(2)f x f x =-+，当01x ≤≤时，2()f x x =，则下列结论正确的有 （ ABD ）A ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称B ．函数()f x 是周期函数C ．函数()f x 在[2020,2022]上单调递增D ．函数()f x 有最小值1-11．已知1F ，2F 分别为椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，不过原点O 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．则下列结论正确的有 （ ACD ）A ．椭圆C 的离心率为22B ．椭圆C 的长轴长为2 C ．若点M 是线段PQ 的中点，则MO 的斜率为12- D ．OPQ ∆的面积的最大值为22 12．已知函数2()ln f x x ax =-，则下列结论正确的有 （ BCD ）A ．当12ea <时，()y f x =有2个零点 B ．当12e a >时，()0f x ≤恒成立C ．当12a =时，1x =是()y f x =的极值点 D ．若1x ，2x 是关于x 的方程()0f x =的2个不等实数根，则12e x x >三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知向量=(2,3)a ，(1,2)=-b ，=+k c a b ，若⊥a c ，则k =________．413-14．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x >时，()21x f x =-，且函数(1)y f x =+关于点(1,0)T -对称，则满足2(23)()0f x f x -+≤的x 的取值范围是________．[3,1]-15．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂红色的条件下，4号格子也涂红色的概率是________． 1316．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，若1F PQ ∆是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________． 1422四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 与正项等比数列{}n b ，满足113a b ==，3712b a -=，2214a b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在①11n n n c a a +=，①n n n c a b =，①218(1)()n n n n c a a ++=这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解．若________，求数列{}n c 的前n 项和．（注：若多选，以选①评分）解：设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，（1）由2371112(6)12b a b q a d -=⇒-+=，221114a b a d b q +=++=，将113a b ==代入可解得26270q q +-=，3q =，9q =-（舍），所以2d =，数列{}n a 的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+，…………2分{}n b 的通项公式为(1)333n n n b -=⋅=． …………4分（2）选①，111111()(21)(23)22123n n n c a a n n n n +===-++++， 利用累加法，可得数列{}n c 的前n 项和为111111111111[()()()()]23557792123n n S c c c c n n =++++=-+-+-++-++111111()23233(23)n n n S c c c c n n =++++=-=++． …………10分 选①，(21)3n n n n c a b n ==+⋅，123335373(21)3n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅， 23413335373(21)3n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅， 两式相减，得2341322112332(333)(21)33(13)332(21)32313n n n n n n S n n n +-++-=⋅++++-+⋅-=⋅+-+⋅=-⋅-， 数列{}n c 的前项n 和为13n n S n +=⋅． …………10分选①，2222218(1)8(1)11()(21)(23)(21)(23)n n n n n c a a n n n n +++===-++++， 利用累加法，可得数列{}n c 的前n 项和为1112222222211111111()()()()355779(21)(23)n n S c c c c n n =++++=-+-+-++-++．2119(23)n S n =-+ …………10分 18．(本小题满分12分) 点D 为∆ABC 边AB 上一点，满足2=AD ，8=DB ，记α∠=ABC ，β∠=BAC ．（1）当⊥CD AB ，且2βα=时，求CD 的值；（2）若π4αβ+=，求∆ACD 的面积的最大值． 解：（1）设CD x =，当⊥CD AB ，2=AD ，8=DB ，所以tan 8x α=，tan 2x β=， 因为π202βα>=>，所以tan tan 20βα=>，即22tan tan 01tan αβα=>-， 所以222803221()8x x x x ⋅=>⇒=-，所以x =CD =．…………5分 （2）在∆ABC 中，由π4αβ+=，得3π4ACB ∠=，由正弦定理，得3πsin sin sin 4AC BC AB αβ==， 又10AB AD DB =+=，所以AC α=，BC β=，则∆ABC 的面积13πsin sin 24SBC AC αβ=⋅⋅=，因为π4αβ+=，所以 2π)sin 50(sin cos sin )25(sin 2cos21)4S βββββββ=-=-=+-， π)254S β=+-，…………9分 因为π04β<<，所以ππ3π2444β<+<，所以当ππ242β+=，即π8β=时，S 有最大值1)，由∆ACD 的面积等于15S ，……11分 所以∆ACD 的面积的最大值为1)．………12分19．(本小题满分12分)如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB BC CD ===，4AD =，点E 为线段AD 的中点，将三角形CDE 沿着CE 折起到三角形CPE 位置，M 为EC 的中点．（1）求证：平面BPM ①平面ABCE ；（2）当平面CPE ①平面ABCE 时，求二面角B PC E --的余弦值．证明：（1）在等腰梯形ABCD 中，因为BC AD ≠，所以//BC AD ，连结BE ，因为点E 为线段AD 的中点，所以2BC ED ==，所以四边形BCDE 为平行四边形，又因为2BC CD ==，所以四边形BCDE 为菱形，2分连结BD ，则BD 与CE 相互平分且垂直，故BD 与CE 交于点M ，且BM ①CE ，PM ①CE ，又因为BM ∩PM=M ，BM PM BPM ⊂、平面，所以CE BPM ⊥平面，又因为CE ⊂平面ABCE ，所以平面BPM ①平面ABCE ．……5分（2）因为平面CPE ①平面ABCE ，且PM ①CE ，且PM PCE ⊂平面，平面CPE 平面=ABCE CE ，所以PM ABCE ⊥平面，又BM ABCE ⊂平面，所以PM BM ⊥， 以111,MB ME MP MB ME MP ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭,为单位正交基底，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)M ，0)B ，，(0,1,0)C-，P ，所以(BP =-，CP =， 设平面BCP 的法向量为(,,)m x y z =，则00m BP mCP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令=1z ，则=1x ，=y -，所以(1,m =-是平面BCP 的一个法向量…………7分又因为平面PCE 在yOz 坐标平面内，所以(1,00)n =，是平面PCE 的一个法向量 所以cos ,11m nm n m n ⋅<>===⋅⋅， …………10分 设二面角B PC E --的平面角为θ，则5cos cos ,5m n θ=<>=即二面角B PC E --． …………12分 20．(本小题满分12分)学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行．近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查．根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100（1）求这1000份试卷成绩的平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；（2）假设此次测试的成绩X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均值x ，2σ 近似为样本方差2s ，已知s 的近似值为6.61，以样本估计总体．假设有84.135%的党员的测试成绩高于市委宣传部预期的平均成绩，则市委宣传部预期平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？（3）该市宣传部准备从成绩在[90,100]内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份做进一步分析．设Y 为抽取的3份试卷中测试成绩在[95,100]内的份数，求Y 的分布列和数学期望．参考数据：若2~(,)X N μσ，()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈．解：（1） 67.540+72.59077.520082.540087.515092.58097.540=82.151000x ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 答：这1000份试卷成绩的平均数为82.15． …………3分 （2）=82.15μ，=6.61σ，界限75.54=82.15 6.61=μσ--，所以1111(X 75.54)()()0.68270.8413584.135%2222P P X P X μσμσμσ>=>-=+-<<+=+⋅=≈ 答：市委宣传部预期平均成绩大约为75.5． …………7分 （3）因为成绩在[90,95]和[95,100]内的份数比例为80:40=2:1，所以，抽取的6份中测试成绩在[95,100]内的份数为2份，即从6份中随机抽取3份，Y 服从超几何分布(3,2,6)H ， 随机变量Y 可取数值有0，1，2343641(0)205C P Y C ====，122436263(1)205C C P Y C ⋅⋅====，212436141(2)205C C P Y C ⋅⋅====，…………10分131()0+1+21555E X =⨯⨯⨯=， 答：X 的均值为1． …………12分 21．(本小题满分12分)已知抛物线214y x Γ=：的焦点为F ． （1）求抛物线Γ的准线方程；（2）若过点F 的直线l 与抛物线Γ交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与抛物线Γ的准线交于点C ，请问：是否存在直线l ，使得4tan =3ACB ∠成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）由22144y x x y =⇒=，所以2p =，准线方程为1y =-． …………2分 （2）当直线l 的斜率不存在时与抛物线只有一个交点，不满足题意，由焦点(0,1)F ，可设直线1l y kx =+：，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，1222121444044y kx x x k x kx x x x y=++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩，（恒有0∆>） 设点M 为线段AB 的中点，则21212(,)(2,21)22x x y y M M k k ++=+，…………4分 则线段AB 的中垂线方程为：21(2)21y x k k k=--++， 整理得：2123y x k k =-++，23123241C y x k x k k k y ⎧=-++⎪⇒=+⎨⎪=-⎩，…6分 由弦长公式，得2124(1)AB x k =-+，3242)M C MC x k k k k =-=+-=+，………8分 由题意可知ABC ∆为等腰三角形，AC BC =，由242tan tan =tan 231tan ACM ACB ACM ACM∠∠=∠=-∠，可解得 1tan 2ACM ∠=，tan 2ACM ∠=-（舍），所以12AM MC =，即AB MC =，所以2224(1))23k k k k +=+⇒=⇒=⇒=11分故直线1l y =+：． …………12分22．(本小题满分12分) 设函数3()sin 3m f x x x x =-+． （1）若12=m ，求函数'()f x 在[0,)+∞上的最小值； （2）若对任意的[0,)x ∈+∞，有()0f x ≥，求m 的取值范围．解：（1）21'()cos 12f x x x =-+，''()sin f x x x =-+，则'''()1cos 0f x x =-≥，所以''()f x 在[0,)+∞上单调递增， …………2分 所以当0x ≥时，''()''(0)0f x f ≥=，所以'()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以函数'()f x 在[0,)+∞上的最小值为min '()'(0)0f x f ==． ………4分（2）2'()cos 1f x x mx =-+，''()sin 2f x x mx =-+，则'''()2cos f x m x =-，①当12m ≥时，则'''()0f x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以''()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以当[0,)x ∈+∞时，''()''(0)0f x f ≥=，所以'()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以当[0,)x ∈+∞时，'()'(0)0f x f ≥=，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以当[0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ≥=． ………6分 ②当0m ≤时，则2'()cos 10f x x mx =-+≤，所以()f x 在[0,)+∞上单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f <=．故不成立 ………8分（另解：存在0π3x =，使得000π()sin 023f x x x ≤-=-<， 所以当[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥不恒成立．）③当102m <<时，'''()f x 在π[0,]2上单调递增， π'''()202f m =>，'''(0)210f m =-<，存在1π(0,)2x ∈，使得1'''()0f x =， 故当1(0,)x x ∈时，'''()0f x <，所以''()f x 在1(0,)x 上单调递减，当1π()2x x ∈，时，'''()0f x >，所以''()f x 在1π()2x ，上单调递增，所以当1(0,)x x ∈时，''()''(0)0f x f <=，所以'()f x 在1(0,)x 上单调递减，所以当1(0,)x x ∈时，'()'(0)0f x f <=，所以()f x 在1(0,)x 上单调递减，所以当1(0,)x x ∈时，()(0)0f x f <=，不满足条件． ………11分 综上，m 的取值范围是1[,)2+∞． ………12分。

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南京师大附中 2022-2023 学年度第 1 学期期中考试数学试卷及参考答案

南京师大附中 2022-2023 学年度第 1 学期期中考试数学试卷及参考答案

南京师大附中2022－2023学年度第1学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x∈A且x∈B}，集合A＝{3，4，5，6，7}，集合B＝{2，4，6，8}，则M＝A．{4，5，6}B．{5，6，7}C．{2，8}D．{3，5，7} 2．已知α为实数，使“∀x∈[3，4]，x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A．a≥4B．a≥5C．a≥3D．a≤53．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是A．若a＜b，1a＞1bB．若a＞b＞0，则b＋1a＋1＜baC．若a＞b，ac2≥bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b 4．设a log29＝3，则9－a＝A．181B．19C．18D．165．设m为实数，若二次函数y＝x22x＋m在区间(1，＋∞)上有且仅有一个零点，则m的取值范围是A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．R6．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg2≈0．3010，lg3≈0．4771，设，N＝45×910，则N所在的区间为A．(1010，1011)B．(1011，1012)C．(1012，1013)D．(1013，1014) 7．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，在下列不等式中，一定成立的是A．f(－1)＞f(－2)B．f(－1)＜f(－2)C．f(－2)＞f(1)D．f(－2)＜f(1) 8．已知函数f(x)是定义域为区间[－1，3]，且图象关于点(1，1)中心对称．当1＜x≤3时，f (x )＝x ＋1－1x，则满足f (x －1)＋f (x )≤2的x 的取值范围是A ．[－1，1]B ．[32，＋∞]C ．[0，32]D ．[32，3]二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9．若“∃x ∈M ，x ＜0”为真命题，“∃x ∈M ，x ≥3”为假命题，则集合M 可以是A ．(－∞，1)B ．[－1，3]C ．[0，2)D ．(－3，3)10．下列说法正确的是A ．“a ＞1”是“1a＜1”的充分不必要条件B ．命题“∀x ＞1，x 2＜1”的否定是“∃x ≤1，x 2≥1”C ．“x ≥1”是“x ＋2x －1≥0”的既不充分也不必要条件D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件11．设a ，b 为正实数，ab ＝4，则下列不等式中对一切满足条件的a ，b 恒成立的是A ．a ＋b ≥4B ．a 2＋b 2≤8C ．1a ＋1b ≥1D ．a ＋b ≤2212．已知函数f (x )＝|x |x ＋1，则A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在[0＋∞)上单调递增C ．方程f (x )－x ＝0有两个实数根D ．函数f (x )的值域是(－∞，－1)∪[0，＋∞)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．命题“∃x ∈R ，x ＜1或x ≥2”的否定是．14．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc ＞ad ．以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则共可组成个正确命题．15．lg(4＋15＋4－15)的值为_____16．已知函数f (x )＝[x 2＋(λ－1)x ](x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝1对称．若λ＝2，则a ＋b ＝．，若λ∈[3，4]，函数y ＝f (x )的最小值记为g (λ)，则g (λ)的最大值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)化简求值(需要写出计算过程) (1)若100a＝4，10b＝25，求2a＋b的值；(2)(827)－23＋e ln2＋log142－log332 log23．18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合B＝{x|x－5x≤0}．(1)设a为实数，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1，且C⊆(A∩B)，求a的取值范围：(2)设m为实数，集合D＝{x|x2－(2m＋12)x＋m(m＋12)≤0}，若x∈(A∪B)是x∈D的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由．设a，b，c为实数，且a≠0，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝－2x－1．(1)求函数f(x)的解析式：(2)设t∈R，当x∈[t，t＋2]时，求函数f(x)的最大值g(t)(用t表示)．20．(本小题满分12分)某高校为举办百年校庆，需要40L氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氮气8L，按计划社团必须在30天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天x L的速度制备氮气．已知每制备1L氦气所需的原料成本为1百元．若氮气日产量不足4L，日均额外成本为W1＝4x2＋16(百元)；若氨气日产量大于等于4L，日均额外成本为W2＝17x＋9x－3(百元)．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．(1)写出总成本W(百元)关于日产量x(L)的关系式(2)当社团每天制备多少升氮气时，总成本最少?并求出最低成本．设定义在R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，恒有f(x－y)＝f(xy－f(y)．若x＞0时，f(x)＜0．(1)判断f(x)的奇偶性，并加以说明；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；(3)设k为实数，若∀t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)＞0恒成立，求k的取值范围．22．(本小题满分12分)设a为实数，已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x2－1|x|为偶函数．(1)求a的值；(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并加以证明；(3)已知λ为实数，存在实数m，n0＜n＜m，当函数f(x)的定义域为[1m，1n]时，函数f(x)的值域恰好为[2－λm，2－λn]，求所有符合条件的λ的取值集合．南京师大附中2022－2023学年度第1学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x∈A且x∈B}，集合A＝{3，4，5，6，7}，集合B＝{2，4，6，8}，则M＝A．{4，5，6}B．{5，6，7}C．{2，8}D．{3，5，7}2．已知α为实数，使“∀x∈[3，4]，x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A．a≥4B．a≥5C．a≥3D．a≤53．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是A．若a＜b，1a＞1bB．若a＞b＞0，则b＋1a＋1＜baC．若a＞b，ac2≥bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b4．设a log29＝3，则9－a＝A．181B．19C．18D．165．设m为实数，若二次函数y＝x2－2x＋m在区间(1，＋∞)上有且仅有一个零点，则m的取值范围是A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．R6．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg2≈0．3010，lg3≈0．4771，设，N＝45×910，则N所在的区间为A．(1010，1011)B．(1011，1012)C．(1012，1013)D．(1013，1014)7．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，在下列不等式中，一定成立的是A．f(－1)＞f(－2)B．f(－1)＜f(－2)C．f(－2)＞f(1)D．f(－2)＜f(1)8．已知函数f(x)是定义域为区间[－1，3]，且图象关于点(1，1)中心对称．当1＜x≤3时，f(x)＝x＋1－1x，则满足f(x－1)＋f(x)≤2的x的取值范围是A．[－1，1]B．[32，＋∞]C．[0，32]D．[32，3]二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9．若“ x∈M，x＜0”为真命题，“∃x∈M，x≥3”为假命题，则集合M可以是A．(－∞，1)B．[－1，3]C．[0，2)D．(－3，3)10．下列说法正确的是A．“a＞1”是“1a＜1”的充分不必要条件B．命题“∀x＞1，x2＜1”的否定是“ x≤1，x2≥1”C．“x≥1”是“x＋2x－1≥0”的既不充分也不必要条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件11．设a，b为正实数，ab＝4，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是A．a＋b≥4B．a2＋b2≤8C．1a＋1b≥1D．a＋b≤2212．已知函数f(x)＝|x|x＋1，则A．f(x)是奇函数B．f(x)在[0＋∞)上单调递增C．方程f(x)－x＝0有两个实数根D．函数f(x)的值域是(－∞，－1)∪[0，＋∞)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．命题“ x ∈R ，x ＜1或x ≥2”的否定是．14．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc ＞ad ．以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则共可组成个正确命题．15．lg(4＋15＋4－15)的值为_____16．已知函数f (x )＝[x 2＋(λ－1)x ](x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝1对称．若λ＝2，则a ＋b ＝．，若λ∈[3，4]，函数y ＝f (x )的最小值记为g (λ)，则g (λ)的最大值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)化简求值(需要写出计算过程)(1)若100a ＝4，10b＝25，求2a ＋b 的值；(2)(827)－23＋e ln2＋log 142－log 332 log 23．18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x ||x |－2≤0}，集合B ＝{x |x －5x≤0}．(1)设a 为实数，若集合C ＝{x |x ≥3a 且x ≤2a ＋1，且C ⊆(A ∩B )，求a 的取值范围：(2)设m 为实数，集合D ＝{x |x 2－(2m ＋12)x ＋m (m ＋12)≤0}，若x ∈(A ∪B )是x ∈D 的必要不充分条件，判断满足条件的m 是否存在，若存在，求m 的取值范围：若不存在，请说明理由．19．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为实数，且a ≠0，已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝－2x －1．(1)求函数f (x )的解析式：(2)设t ∈R ，当x ∈[t ，t ＋2]时，求函数f (x )的最大值g (t )(用t 表示)．20．(本小题满分12分)某高校为举办百年校庆，需要40L 氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氮气8L ，按计划社团必须在30天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天x L 的速度制备氮气．已知每制备1L 氦气所需的原料成本为1百元．若氮气日产量不足4L ，日均额外成本为W 1＝4x 2＋16(百元)；若氨气日产量大于等于4L ，日均额外成本为W 2＝17x ＋9x－3(百元)．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．(1)写出总成本W (百元)关于日产量x (L)的关系式(2)当社团每天制备多少升氮气时，总成本最少?并求出最低成本．21．(本小题满分12分)设定义在R 上的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，恒有f (x －y )＝f (xy －f (y )．若x ＞0时，f (x )＜0．(1)判断f (x )的奇偶性，并加以说明；(2)判断f (x )的单调性，并加以证明；(3)设k 为实数，若∀t ∈R ，不等式f (t －t 2)－f (k )＞0恒成立，求k 的取值范围．22．(本小题满分12分)设a 为实数，已知函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 2－1|x |为偶函数．(1)求a 的值；(2)判断f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性，并加以证明；(3)已知λ为实数，存在实数m ，n 满足0＜n ＜m ，当函数f (x )的定义域为[1m ，1n]时，函数f (x )的值域恰好为[2－λm ，2－λn ]，求所有符合条件的λ的取值集合．。

江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题(2)

江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题(2)

一、单选题二、多选题1.已知，则以下结论正确的是（ ）A．B．C．D．2. 若，则（ ）A．B ．10C．D．3.双曲线的左、右焦点分别为、，点M 在y 轴上，且为正三角形．若的中点恰好在E 的渐近线上，则E 的离心率等于（ ）A．B ．2C．D．4. 已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n 项和为，给出下列四个命题：①若数列各项单调递增，则首项②若数列各项单调递减，则首项③若数列各项单调递增，当时，④若数列各项单调递增，当时，，则以下说法正确的个数（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15. 双曲线的渐近线方程是（ ）A．B．C．D．6. 已知，则（ ）A．B．C．D．7.如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，一只蚂蚁从点出发沿每个侧面爬到，路线为，则蚂蚁爬行的最短路程是A．B．C．D．8. 志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）A ．240种B ．408种C ．1092种D ．1120种9.已知平面平面，则下列结论一定正确的是（ ）江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题(2)江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三一模适应性考试数学试题(2)三、填空题四、解答题A ．存在直线平面，使得直线平面B ．存在直线平面，使得直线平面C ．存在直线平面，直线平面，使得直线直线D ．存在直线平面，直线平面，使得直线直线10.若函数的图象关于直线对称，则（ ）A．B ．点是曲线的一个对称中心C ．在上单调递增D ．直线是曲线的一条切线11. 2021年4月30日，国家统计局发布了《2020年农民工监测调查报告》.如图，为2016年至2020年的农民工规模及增速图，则以下说法正确的是（）A ．2019年农民工规模达到最大B ．这5年农民工规模的中位数为28836万人C ．2020年农民工规模比2019年减少517万人，下降%D ．5年以来，农民工规模增速逐年递减12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，是的中点，则（）A ．正四棱台的体积为B．平面平面C ．平面D．正四棱台的外接球的表面积为13. 从不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方片”，且，记事件“抽到黑花色”，则______.14. 已知，则_________.15. 若椭圆的焦点在y 轴上，则实数k 的取值范围是___________.16. 设函数在上有定义，实数和满足.若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质P.（1）当，且在区间上具有性质P，求常数C的取值范围；（2）已知，且当时，，判别在区间上是否具有性质P；（3）若对于满足的任意实数和，在区间上具有性质P，且对于任意，当时，有：，证明：当时，.17. 已知函数(1)讨论的单调性.(2)证明:当时,(3)证明:18. 已知中，，，，解此三角形.19.已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且.(1)求B；(2)若，且的面积为，求a，c.20. 已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，．（1）求椭圆的方程；（2）设过的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线，与直线交于点，为线段的中点．证明：直线的斜率为定值．21. 已知函数，且．(1)若，且在R上单调递增，求的取值范围(2)若图像上存在两条互相垂直的切线，求的最大值。

2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x|log 2x ≤2}，B ={x|x 2−x −2＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣∞，4]D ．（﹣1，4]2．若a →，b →是夹角为60°的两个单位向量，λa →+b →与﹣3a →+2b →垂直，则λ＝（ ） A ．18B ．14C ．78D ．743．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3√5π，则原圆锥的母线长为（ ） A ．2B ．√5C ．4D ．2√54．已知x ，y 取表中的数值，若x ，y 具有线性相关关系，线性回归方程为y =0.95x +2.6，则a ＝（ ）A ．2.2B ．2.4C ．2.5D ．2.65．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（t ，﹣1），若cosα=√55，则tan(α+π4)=（ ） A ．﹣3B ．13C ．−13D ．36．已知数列{a n }通项公式为a n ={3n 2−2tn +2，n ≤74n +94，n ＞7，若对任意n ∈N *，都有a n +1＞a n ，则实数t 的取值范围是（ ） A ．t ∈[3，+∞） B ．t ∈[2314，92) C ．t ∈(2314，92)D ．t ∈[2314，+∞)7．已知圆C 1：x 2+y 2=b 2(b ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，若在双曲线C 2上存在一点P ，使得过点P 所作的圆C 1的两条切线，切点为A 、B ，且∠APB =π3，则双曲线C 2的离心率的取值范围是（ ）A ．(1，√52] B ．[√52，+∞) C ．(1，√3] D ．[√3，+∞)8．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）+f （x ）＝0，f （﹣x ）＝f （x +2）；且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3﹣x 2+x ．则方程4f （x ）﹣x +2＝0所有的根之和为（ ） A ．6B ．12C ．14D ．10二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．已知复数z ＝2+i ，z 1＝x +yi （x ，y ∈R ）（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为﹣i B ．z 对应的点在第一象限C ．|z||z|=1D ．若|z ﹣z 1|≤1，则在复平面内z 1对应的点形成的图形的面积为π 10．已知a ＞0，b ＞0，a +2b ＝1，则（ ） A ．2a+1b 的最小值为4B ．ab 的最大值为18C ．a 2+b 2的最小值为15D ．2a +4b 的最小值为2√211．函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）在区间[−π2，π2]上为单调函数，图象关于直线x =2π3对称，则（ ） A ．ω=34B ．将函数f （x ）的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称C ．若函数f （x ）在区间(a ，14π9)上没有最小值，则实数a 的取值范围是(−2π9，14π9) D ．若函数f （x ）在区间(a ，14π9)上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是[−4π3，0) 12．已知椭圆C ：x 24+y 2b 2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P(√2，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（ ） A ．离心率e 的取值范围为(0，√22)B ．当e =√24时，|QF 1|+|QP |的最大值为4+√62 C ．存在点Q ，使得QF 1→•QF 2→=0D ．1|QF 1|+1|QF 2|的最小值为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．14．设(2x −1)6=a 6x 6+a 5x 5+⋯+a 1x +a 0，则a 1+a 3+a 5＝ ．（用数字作答）15．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为 ． 16．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，AC ＝2，AA 1＝4，AB ＝6，点E ，F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么C 1E +EF +FB 1的长度最小值是 ，此时三棱锥B 1﹣C 1EF 外接球的表面积为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 2+a n ＝2S n +2，数列{b n }满足b n =a n ⋅3a n ．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝c （a +c ）． （1）若B =π4，求ca 的值；（2）若△ABC 是锐角三角形，求√3sinB +2cos 2C 的取值范围．19．（12分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A 类试题中有7道题能答对，而他答对各道B 类试题的概率均为23．（1）若该同学只抽取3道A 类试题作答，设X 表示该同学答这3道试题的总得分，求X 的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．20．（12分）已知在多面体ABCDE 中，DE ∥AB ，AC ⊥BC ，BC ＝2AC ＝4，AB ＝2DE ，DA ＝DC 且平面DAC ⊥平面ABC ．（Ⅰ）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)经过点P （4，6），且离心率为2．（1）求C 的方程；（2）过点P 作y 轴的垂线，交直线l ：x ＝1于点M ，交y 轴于点N ．设点A ，B 为双曲线C 上的两个动点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2＝2，求S △MAB S △NAB．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x −a3x 3−x 22−2ax ．（1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若f （x ）在[0，+∞）上单调递增，求a 的取值范围； （3）若f （x ）的最小值为1，求a ．2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x|log 2x ≤2}，B ={x|x 2−x −2＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣∞，4]D ．（﹣1，4]解：因为A ＝{x |log 2x ≤2}＝（0，4]，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}＝（﹣1，2），所以A ∪B ＝（﹣1，4]． 故选：D ．2．若a →，b →是夹角为60°的两个单位向量，λa →+b →与﹣3a →+2b →垂直，则λ＝（ ） A ．18B ．14C ．78D ．74解：a →，b →是夹角为60°的两个单位向量， 则|a →|=|b →|=1，a →⋅b →=|a →||b →|cos60°=12， λa →+b →与﹣3a →+2b →垂直，则(λa →+b →)⋅(−3a →+2b →)=−3λa →2+(2λ−3)a →⋅b →+2b →2=−3λ+λ−32+2=0，解得λ=14． 故选：B ．3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3√5π，则原圆锥的母线长为（ ） A ．2B ．√5C ．4D ．2√5解：设圆台的母线长为l ， ∵该圆台的侧面积为3√5π，∴由圆台侧面积公式可得πl （1+2）＝3πl ＝3√5π，解得l =√5， 设截去的圆锥的母线为l ′， 由三角形相似可得l′l′+l=12，则2l ′＝l ′+√5，解得l ′=√5，∴原圆锥的母线长为l ′+l =√5+√5=2√5． 故答案为：2√5． 故选：D ．4．已知x ，y 取表中的数值，若x ，y 具有线性相关关系，线性回归方程为y =0.95x +2.6，则a ＝（ ）A ．2.2B ．2.4C ．2.5D ．2.6解：易知x =0+1+3+44=2，y =a+4.3+4.8+6.74=a+15.84， 所以样本点中心为(2，a+15.84)， 因为线性回归方程为y =0.95x +2.6， 所以a+15.84=0.95×2+2.6，解得a ＝2.2．故选：A ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（t ，﹣1），若cosα=√55，则tan(α+π4)=（ ） A ．﹣3B ．13C ．−13D ．3解：由任意角的三角函数公式可知cosα=t√t +1=√55，解得t =12，所以tanα=y x =−2，所以tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−2+11−(−2)×1=−13， 故选：C ．6．已知数列{a n }通项公式为a n ={3n 2−2tn +2，n ≤74n +94，n ＞7，若对任意n ∈N *，都有a n +1＞a n ，则实数t 的取值范围是（ ） A ．t ∈[3，+∞） B ．t ∈[2314，92) C ．t ∈(2314，92) D ．t ∈[2314，+∞) 解：根据题意，数列{a n }通项公式为a n ={3n 2−2tn +2，n ≤74n +94，n ＞7，即当n ∈{1，2，3，4，5，6，7}时，a n+1−a n =3(n +1)2−2t(n +1)+2−3n 2+2tn −2=6n +3−2t ＞0恒成立，所以2t ＜6n +3对n ∈{1，2，3，4，5，6，7}恒成立，故2t ＜9⇒t ＜92， 又当n ＞7，n ∈N 时，a n ＝4n +94为单调递增的数列，故要使对任意n ∈N *，都有a n +1＞a n ，则a 8＞a 7，即4×8+94＞3×72﹣14t +2，解得t ＞2314， 综上可得t ∈(2314，92)． 故选：C ．7．已知圆C 1：x 2+y 2=b 2(b ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，若在双曲线C 2上存在一点P ，使得过点P 所作的圆C 1的两条切线，切点为A 、B ，且∠APB =π3，则双曲线C 2的离心率的取值范围是（ ） A ．(1，√52] B ．[√52，+∞) C ．(1，√3] D ．[√3，+∞)解：连接OA 、OB 、OP ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，由切线长定理可知，|P A |＝|PB |，又因为|OA |＝|OB |，|OP |＝|OP |，所以，△AOP ≌△BOP ， 所以，∠APO =∠BPO =12∠APB =π6，则|OP |＝2|OA |＝2b ，设点P （x ，y ），则y 2=b 2x 2a2−b 2，且|x |≥a ，所以，|OP|=2b =√x 2+y 2=√x 2+b 2x 2a 2−b 2=√c 2x 2a 2−b 2≥√c 2a2⋅a 2−b 2=a ， 所以，ba ≥12，故e =c a =√c 2a 2=√1+(b a )2≥√1+14=√52，故选：B．8．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，f（﹣x）＝f（x+2）；且当x∈[0，1]时，f（x）＝x3﹣x2+x．则方程4f（x）﹣x+2＝0所有的根之和为（）A．6B．12C．14D．10解：定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），可得函数为奇函数，而f（﹣x）＝f（x+2），可得对称轴为x＝1，所以﹣f（x）＝f（x+2），可得﹣f（x+2）＝f（x+4），可得f（x）＝f（x+4），所以函数f（x）的周期T＝4，又因为x∈[0，1]时，f（x）＝x3﹣x2+x，所以f'（x）＝3x2﹣2x+1＝3（x−13）2+23＞0，所以f（x）在x∈[0，1]单调递增，且f（0）＝0，f（1）＝1，由题意如图所示：可得直线y=14（x﹣2）与y＝f（x）的交点的横坐标为4f（x）﹣x+2＝0的根，可得在（﹣2，2）与（2，6）上均有两个交点，且关于（2，0）点对称，加上（2，0）点，共有5个点，所以这5个交点的和为2×2×2+2＝10；故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．已知复数z＝2+i，z1＝x+yi（x，y∈R）（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣iB．z对应的点在第一象限C ．|z||z|=1D ．若|z ﹣z 1|≤1，则在复平面内z 1对应的点形成的图形的面积为π 解：z ＝2+i ，则z =2−i ，故复数虚部为﹣1，故A 错误； z 对应的点（1，2）在第一象限，故B 正确；|z||z|=|2−i||2+i|=√5√5=1，故C 正确； |z ﹣z 1|≤1⇔（x ﹣2）2+（y ﹣1）2≤1，则在复平面内z 1对应的点的集合确定的图形是半径为1的圆及其内部，面积为π，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知a ＞0，b ＞0，a +2b ＝1，则（ ） A ．2a+1b 的最小值为4B ．ab 的最大值为18C ．a 2+b 2的最小值为15D ．2a +4b 的最小值为2√2解：对于A ，a ＞0，b ＞0，2a+1b=(2a+1b)(a +2b)=4+4b a+a b≥4+2√4b a⋅a b=8，当且仅当4ba =ab，即a =12，b =14取等号，故A 错误， a +2b =1≥2√2ab ⇒ab ≤18，当且仅当a ＝2b ，即a =12，b =14取等号，故B 正确，a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15，故当b =25时，取到最小值15，此时a =15，满足题意，故C 正确，2a +4b ≥2√2a 4b =2√2a+2b =2√2，当且仅当2a ＝4b ，即a =12，b =14时等号成立，所以D 正确． 故选：BCD ．11．函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）在区间[−π2，π2]上为单调函数，图象关于直线x =2π3对称，则（ ） A ．ω=34B ．将函数f （x ）的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称C ．若函数f （x ）在区间(a ，14π9)上没有最小值，则实数a 的取值范围是(−2π9，14π9) D ．若函数f （x ）在区间(a ，14π9)上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是[−4π3，0)解：选项A ：根据题意函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）在区间[−π2，π2]上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则−π2≤−π2ω，π2ω≤π2， 解得0＜ω≤1； 又因为图象关于直线x =2π3，则2π3ω=π2+kπ，k ∈Z ， 解得ω=34+3k2，k ∈Z ， 当k ＝0时，ω=34符合条件．则A 正确； 选项B ：由A 可知f(x)=sin 34x 向右平移2π3个单位长度后，解析式变成g(x)=sin(34x −π2)=−cos 34x ，则图象关于y 轴对称．B 正确； 选项C ：函数f （x ）在区间(a ，14π9)没有最小值， 则令t =34x ，x ∈(a ，14π9)，则t ∈(34a ，7π6)， 当−π2≤34a ＜7π6，即−2π3≤a ＜14π9时，没有最小值．C 错误； 选项D ：函数f （x ）在区间(a ，14π9)上有且仅有2个零点，因为t ＝π时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可． 所以−π≤34a ＜0，即−4π3≤a ＜0，D 正确． 故选：ABD ． 12．已知椭圆C ：x 24+y 2b 2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P(√2，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（ ） A ．离心率e 的取值范围为(0，√22) B ．当e =√24时，|QF 1|+|QP |的最大值为4+√62C ．存在点Q ，使得QF 1→•QF 2→=0D ．1|QF 1|+1|QF 2|的最小值为1解：对于A 项：因为点P(√2，1)在椭圆内部，所以24+1b 2＜1，得2＜b 2＜4，所以得：e =c a =√c 2a 2=√1−b 2a2=√1−b24∈(0，√22)，故A 项正确；对于B 项：由椭圆定义知|QF 1|+|QP |＝4﹣|QF 2|+|QP |，当Q 在x 轴下方时，且P ，Q ，F 2三点共线时，|QF 1|+|QP |有最大值4+|PF 2|，由e =√24=c 2，得c =√22，F 2(√22，0)，所以得|PF 2|=√(√2−√22)2+1=√62， 所以|QF 1|+|QP |最大值4+√62，故B 项正确；对于C 项：设Q （x ，y ），若QF →1⋅QF 2→=0，即：（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）＝0， 则得x 2+y 2＝c 2，即点Q 在以原点为圆心，半径为c 的圆上， 又由A 项知：e =ca ∈(0，√22)，得c =ea =∈(0，√2)， 又因为2＜b 2＜4，得b ∈(√2，2)，所以得：c ＜b ，所以该圆与椭圆无交点，故C 项错误； 对于D 项：由椭圆定义得|QF 1|+|QF 2|＝2a ＝4， 所以1|QF 1|+1|QF 2|=14⋅(1|QF 1|+1|QF 2|)(|QF 1|+|QF 2|)=14(2+|QF 2||QF 1|+|QF 1||QF 2|)≥14(2+2√|QF 2||QF 1|×|QF 1||QF 2|)=1， 当且仅当|QF 1|＝|QF 2|＝2时取等号，故D 项正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 12 （用数字作答）． 解：由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为A 22A 33=12种．故答案为：12．14．设(2x −1)6=a 6x 6+a 5x 5+⋯+a 1x +a 0，则a 1+a 3+a 5＝ ﹣364 ．（用数字作答） 解：因为(2x −1)6=a 6x 6+a 5x 5+⋯+a 1x +a 0， 令x ＝1，则1＝a 0+a 1+⋯+a 5+a 6①，令x ＝﹣1，则729＝a 0﹣a 1+⋯+a 4﹣a 5+a 6②， ∴①﹣②得2（a 1+a 3+a 5）＝﹣728， 所以a 1+a 3+a 5＝﹣364． 故答案为：﹣364．15．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为28．解：设没剪之前正方形的边数为a1，即a1＝4，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到一个三角形和一个四边形，无论是选择三角形四边形，剪一次后边数均增加3，即可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，故经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为：a9＝4+8×3＝28．故答案为：28．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AC＝2，AA1＝4，AB＝6，点E，F分别是AA1，AB上的动点，那么C1E+EF+FB1的长度最小值是8√2，此时三棱锥B1﹣C1EF外接球的表面积为44π．解：把平面AA1C1C沿AA1展开到与平面ABB1A1共面的AA1C1'C'的位置，延长B1B到B1'，使得BB1'＝B1B，连结B1'F，如图1所示，则B1F＝B1'F，要使得C1E+EF+FB1的长度最小，则需C1'，E，F，B1'四点共线，此时C1E+EF+FB1＝C1'E+EF+FB1'＝C1'B1'，因为C1'B1＝8，B1B1'＝8，∠B1'B1C1'=π2，所以B1′C1′＝8√2，即C1E+EF+FB1的长度最小值是8√2．又因为∠B1'＝∠B1'C1'B1=π4，所以BF＝BB1'＝4，A1E＝A1C1'＝2，所以AE＝AF＝2，∠AFE＝∠BFB1=π4，所以∠B 1FE =π2，EF ＝2√2，B 1F ＝4√2，EB 1＝2√10，所以Rt △B 1FE 的外接圆是以EB 1的中点O 为圆心，12EB 1=√10为半径的圆，所以三棱锥B 1﹣C 1EF 外接球的球心O '过点O 且与平面EFB 1垂直的直线上，如图2所示：且点O ′到点E 、C 1的距离相等，则OO ′=12AC ＝1，所以O ′E 2=(B 1E2)2+O ′O 2＝10+1＝11，所以三棱锥B 1﹣C 1EF 外接球球面的表面积为4πR 2＝4π×11＝44π． 故答案为：8√2；44π．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 2+a n ＝2S n +2，数列{b n }满足b n =a n ⋅3a n ．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）由题意，当n ＝1时，a 12+a 1=2S 1+2=2a 1+2， 化简整理，得a 12−a 1﹣2＝0，解得a 1＝﹣1（舍去），或a 1＝2，当n ≥2时，由a n 2+a n ＝2S n +2， 可得a n−12+a n−1=2S n−1+2，两式相减，可得a n 2+a n −a n−12−a n ﹣1＝2a n ，化简整理，得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）＝0， ∵a n ＞0，n ∈N *， ∴a n +a n ﹣1＞0，∴a n ﹣a n ﹣1﹣1＝0，即a n ﹣a n ﹣1＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝2+（n ﹣1）×1＝n +1，n ∈N *．（2）由（1），可得b n =a n ⋅3a n =(n +1)×3n+1，则T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝2×32+3×33+4×34+⋯+（n +1）×3n +1， 3T n =2×33+3×34+4×35+⋯+(n +1)×3n+2， 两式相减，可得−2T n =2×32+33+34+35+⋯+3n+1−(n +1)×3n+2，＝18+33−3n+21−3−（n +1）×3n +2，=92−(n +12)×3n+2， ∴T n =2n+14⋅3n+2−94． 18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝c （a +c ）． （1）若B =π4，求ca 的值；（2）若△ABC 是锐角三角形，求√3sinB +2cos 2C 的取值范围． 解：（1）由余弦定理得，b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2−√2ac ， 又b 2＝c （a +c ）， 所以a 2＝（√2+1）ac ，由于a ＞0，所以a =(√2+1)c ，即ca =√2−1．（2）由余弦定理得，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 因为b 2＝c （a +c ）， 所以a 2﹣2ac cos B ＝ac ， 又a ＞0，所以a ﹣2c cos B ＝c ， 由正弦定理得，a sinA=c sinC，所以sin A ﹣2sin C cos B ＝sin C ，因为sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ，所以sin B cos C +cos B sin C ﹣2sin C cos B ＝sin C ，即sin B cos C ﹣cos B sin C ＝sin C ， 所以sin （B ﹣C ）＝sin C ，因为A ，B ，C ∈（0，π2），所以B ﹣C ∈（−π2，π2），所以B ﹣C ＝C 或B ﹣C +C ＝π，即B ＝2C 或B ＝π（舍），所以√3sinB +2cos 2C =√3sin2C +cos2C +1=2sin(2C +π6)+1，且A ＝π﹣（B +C ）＝π﹣3C ，因为△ABC 是锐角三角形，所以{ 0＜π−3C ＜π20＜2C ＜π20＜C ＜π2，解得π6＜C ＜π4，所以π2＜2C +π6＜2π3，所以sin(2C +π6)∈(√32，1)，2sin(2C +π6)+1∈(√3+1，3)， 故√3sinB +2cos 2C ∈(√3+1，3)，19．（12分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A 类试题中有7道题能答对，而他答对各道B 类试题的概率均为23．（1）若该同学只抽取3道A 类试题作答，设X 表示该同学答这3道试题的总得分，求X 的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 解：（1）易知X 的所有可能取值为0，10，20，30，此时P(X =0)=C 33C 103=1120，P(X =10)=C 71C 32C 103=21120=740，P （X ＝20）=C 72C 31C 103=63120=2140，P(X =30)=C 73C103=35120=724，则X 的分布为：故E(X)=0×1120+10×740+20×2140+30×724=21； （2）记“该同学仅答对1道题”为事件M ， 此时P(M)=710×(13)2+310×C 2113⋅23=1990， 所以这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为1990．20．（12分）已知在多面体ABCDE 中，DE ∥AB ，AC ⊥BC ，BC ＝2AC ＝4，AB ＝2DE ，DA ＝DC 且平面DAC ⊥平面ABC ．（Ⅰ）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值．解：（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， 由在△DAC 中DA ＝DC ，所以DO ⊥AC ，由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，得DO ⊥平面ABC ， 因为OF ∥AB ，且AB ＝2OF ，又DE ∥AB ，AB ＝2DE ，所以OF ∥DE ，且OF ＝DE ， ∴四边形DEFO 为平行四边形，∴EF ∥DO ， ∴EF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：由DO ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与BC 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A （1，0，0），C （﹣1，0，0），B （﹣1，4，0），由EF ⊥平面ABC ，所以直线BE 与平面ABC 所成的角为∠EBF ＝60°， 所以DO ＝EF ＝BF tan60°＝2√3，∴D （0，0，2√3）， 取平面ADC 的法向量m →=(0，1，0)，设平面ADB 的法向量n →=(x ，y ，z)，AB →=(−2，4，0)，AD →=(−1，0，2√3)，由{n →⋅AB →=0n →⋅AD →=0，得{−2x +4y =0−x +2√3z =0，故n →=(2√3，√3，1)， ∴cos ＜m →，n →＞=√31⋅12+3+1=√34，故二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为√34． 21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)经过点P （4，6），且离心率为2． （1）求C 的方程；（2）过点P 作y 轴的垂线，交直线l ：x ＝1于点M ，交y 轴于点N ．设点A ，B 为双曲线C 上的两个动点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2＝2，求S △MAB S △NAB．解：（1）∵离心率为2，∴ca=2，即c ＝2a ，则a 2+b 2＝c 2＝4a 2，即b 2＝3a 2，则双曲线方程为x 2a 2−y 23a 2=1∵双曲线经过点P （4，6）， ∴16a 2−363a 2=16a 2−12a 2=4a 2=1，得a 2＝4，∴C 的方程为x 24−y 212=1．（2）由题意，点M 坐标为（1，6），点N 坐标为（0，6）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 法一：①若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y ＝kx +m ，{x 24−y 212=1y =kx +m，消去y 可得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣12＝0，则3﹣k 2≠0且Δ＝12（m 2﹣4k 2+12）＞0， 且x 1+x 2=2km 3−k2，x 1x 2=−m 2+123−k2．k 1+k 2=y 1−6x 1−4+y 2−6x 2−4=(kx 1+m−6)(x 2−4)+(kx 2+m−6)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)=2 整理可得（m ﹣4k +2）（x 1+x 2）+（2k ﹣2）x 1x 2﹣8m +16＝0， 即(m −4k +2)⋅2km 3−k2+(2k −2)⋅(−m 2+123−k2)−8m +16=0，化简得m 2﹣12m ﹣8k 2﹣12k +2km +36＝0， 即（m ﹣2k ﹣6）（m +4k ﹣6）＝0，因为直线AB 不过点P （4，6），所以m +4k ﹣6≠0，所以m ﹣2k ﹣6＝0， 所以直线AB 的方程为y ＝k （x +2）+6，恒过定点Q （﹣2，6）． ②若直线AB 斜率不存在，则x 1＝x 2，y 1+y 2＝0．则k 1+k 2=y 1−6x 1−4+y 2−6x 2−4=y 1+y 2−12x 1−4=−12x 1−4=2， 解得x 1＝x 2＝﹣2，所以直线AB 的方程为x ＝﹣2，过定点Q （﹣2，6）． 综上，直线AB 恒过定点Q （﹣2，6）．法二：∵直线AB 不过点P （4，6），∴可设直线AB 方程为m （x ﹣4）+n （y ﹣6）＝1． 由x 24−y 212=1可得[(x−4)+4]24−[(y−6)+6]212=1，即（y ﹣6）2﹣3（x ﹣4）2+12（y ﹣6）﹣24（x ﹣4）＝0，即（y ﹣6）2﹣3（x ﹣4）2+[12（y ﹣6）﹣24（x ﹣4）]•[m （x ﹣4）+n （y ﹣6）]＝0， 得（12n +1）（y ﹣6）2+（12m ﹣24n ）（x ﹣4）（y ﹣6）﹣（24m +3）（x ﹣4）2＝0，等式左右两边同时除以（x ﹣4）2得(12n +1)(y−6x−4)2+(12m −24n)y−6x−4−(24m +3)=0， Δ＝（12m ﹣24n ）2+4（12n +1）（24m +3）＞0，k 1+k 2=y 1−6x 1−4+y 2−6x 2−4=−12m−24n12n+1=2，解得m =−16． 所以直线AB 方程为−16⋅(x −4)+n(y −6)=1，恒过定点Q （﹣2，6） 设点M 到直线AB 的距离为d 1，点N 到直线AB 的距离为d 2，S △MAB S △NAB=12⋅AB⋅d 112⋅AB⋅d 2=d 1d 2=MQ NQ=32．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x −a3x 3−x 22−2ax ．（1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若f （x ）在[0，+∞）上单调递增，求a 的取值范围； （3）若f （x ）的最小值为1，求a ．解：（1）a ＝0时，f （x ）＝e x −x 22，则f （1）＝e −12，f ′（x ）＝e x ﹣x ，所以f '（1）＝e ﹣1， 所以y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ﹣（e −12）＝（e ﹣1）（x ﹣1）， 即2（e ﹣1）x ﹣2y +1＝0．（2）因为f （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以f ′（x ）＝e x﹣ax 2﹣x ﹣2a ≥0在区间[0，+∞）上恒成立，所以a ≤（e x −x x 2+2）min ，令g （x ）=e x −x x 2+2，则g ′（x ）=(e x −1)(x 2+2)−(e x −x)⋅2x (x 2+2)2， 令h （x ）＝（e x ﹣1）（x 2+2）﹣（e x ﹣x ）•2x ，则h ′（x ）＝x 2e x +2x ，当x ≥0时，h ′（x ）≥0，h （x ）单调递增，h （x ）≥h （0）＝0， 所以g ′（x ）≥0，所以g （x ）单调递增， 所以g （x ）min ＝g （0）=12，所以a ≤12， 所以a 的取值范围为（﹣∞，12]．（3）f （x ）＝e x−a 3x 3−x 22−2ax ，f （0）＝1，所以f ′（x ）＝e x ﹣ax 2﹣x ﹣2a ，f ′（0）＝1﹣2a ， 所以f ″（x ）＝e x ﹣2ax ﹣1，f ″′（x ）＝e x ﹣2a ，当a =12时，f （x ）＝e x −16x 3−x 22−x ，则f ′（x ）＝e x −x 22−x ﹣1，令g （x ）＝e x−x 22−x ﹣1，则g ′（x ）＝e x ﹣x ﹣1，g ″（x ）＝e x ﹣1，当x ＜0时，g ″（x ）＜0，g ′（x ）单调递减， 当x ≥0时，g ″（x ）≥0，g ′（x ）单调递增，g ′（x ）≥g ′（0）＝0，g （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，且g （0）＝0， 所以，当x ＜0时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ＞0时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）min ＝f （0）＝1，所以a =12适合， 当a ＞12时，当0＜x ＜ln 2a 时，f ″′（x ）＜0，f ″（x ）在（0，ln 2a ）上单调递减，f ″（x ）＜f ″（0）＝0， f ′（x ）＜f ′（0）＝1﹣2a ＜0， 所以f （x ）在（0，ln 2a ）上单调递减， 此时f （x ）＜f （0）＝1，舍去，当a ≤0时，当x ＜0时，f ″（x ）＝e x ﹣2ax ﹣1＜0，f ′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减，f ′（x ）＞f ′（0）＝1﹣2a ＞0， f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，f （x ）＜f （0）＝1，舍去，当0＜a ＜12时，当ln 2a ＜x ＜0时，f ″′（x ）＞0，f ″（x ）在（ln 2a ，0）上单调递增， f ″（x ）＜f ″（0）＝0，f ′（x ）在（ln 2a ，0）上单调递减， f ′（x ）＞f ′（0）＝1﹣2a ＞0，f（x）在（ln2a，0）上单调递增，所以f（x）＜f（0）＝1，舍去，综上所述，a=1 2．。

江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

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江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{}2,6 B ．{}3,5C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,4,62．已知复数1i1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．-13．设α，β是两个平行平面，若α内有3个不共线的点，β内有4个点（任意3点不共线），从这些点中任取4个点最多可以构成四面体的个数为（ ） A ．34B ．18C ．12D ．74．在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线.如图，“举”是屋架BC 的高度h ，点1234,,,B B B B 是屋宽AB 的五等分点，连接AC ，在1B 处下“折”10h安置第一榑1C ，连接1AC ，在2B 处下“折”20h安置第一榑2C ，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑4C 的高度44B C 为（ ）A ．5hB ．8hC ．320h D ．215h 5．已如,,A B C 是表面积为16π的球O 的球面上的三个点，且1,120AC AB BAC ∠===o ，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．112B C ．14D 6．若直线l 与曲线3y x =和圆2225+=x y 都相切，则l 的方程可能为（ ）A ．21y x =+B ．32y x =-C ．1y x =+D ．1133y x =+7．已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（ ）A ．25B C ．35 D 8．已知函数()()ππsin 2,64f x x g x f x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若对任意的[],π,a b m m ∈-，当a b >时，()()()()f a f b g a g b -<-恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．π19π,224⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π17π,224⎛⎤⎥⎝⎦C ．7π19π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7π17π,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（ ）A ．若“*1,n n a a n +>∈N ”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B ．“n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列”是“{}n a 为等差数列”的必要不充分条件C ．若{}n a 为等比数列，则36396,,S S S S S --成等比数列D ．若{}n a 为等比数列，则{}n S 可能是等差数列10．已知函数()()πsin 0,0π2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭，则()f x 在区间()0,1上可能（ ）A ．单调递增B ．有零点C ．有最小值D ．有极值点11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A ．若O 为线段PQ 中点，则2PF =B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ⊥D ．△PFQ 面积的最小值为212．已知点A ，B 是函数()()232f x x x ax a =-+∈R 图象上不同的两点，则下列结论正确的是（ ）A ．若直线AB 与y 轴垂直，则a 的取值范围是4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．若点A ，B 分别在第二与第四象限，则a 的取值范围是(),0∞-C ．若直线AB 的斜率恒大于1，则a 的取值范围是7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．不存在实数a ，使得A ，B 关于原点对称三、填空题13．在ABC V 中，已知点D 满足BC CD λ=u u u r u u u r ，若32AD AC AB =-u u u r u u u r u u u r，则λ=.14．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边.若222225a b c +=，则cos C 的最小值为.15．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为 16．若函数()21ln 2f x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()00f x <，则b 的最大值为.四、解答题17．已知ABC V 的三内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 分别为，()cos 2cos C b A =. (1)求A ；(2)若a =ABC V 周长的最大值.18．如图，矩形BCDE 所在平面与ABC V 所在平面垂直，90ACB ∠=o ，2BE =(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)若平面ADE 与平面ABC 4AE =，求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值.19．已知等比数列{}n a 公比为2，数列{}n b 满足112b =，若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12n n +⋅. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在正整数(),,2p q p q ≠，使得2,,p q b b b 成等差数列，若存在，请求出所有满足条件的正整数,p q ，如不存在，请说明理由.20．随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取. (1)求第二天获得优惠金额的数学期望；(2)记“第i 天抽取1张奖券”的概率为i P ，写出i P 与1i P +的关系式并求出i P .21．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，直线l 过抛物线28y x =的焦点和点()0,b .已知C 的焦距为6且一条渐近线与l 平行. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线m 过双曲线C 上的右焦点，若m 与C 交于点,A B （其中点A 在第一象限），与直线43x =交于点T ，过T 作平行于OA 的直线分别交直线,OB x 轴于点,P Q ，求TP PQ . 22．已知函数()()()322e ,23x f x x g x x x =-=-.(1)求曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程； (2)已知实数0a >，设()()()h x af x g x =-. （i ）若3a =，求()h x 的极值； （ii ）若()h x 有3个零点，求a 的值.。