2019届高考数学二轮复习第一篇考点二函数导数与不等式考查角度4导数的运算及其几何意义突破训练文

专题二 函数与导数必考点一 函数概念与性质[高考预测]——运筹帷幄1．根据函数解析式求解函数的定义域或值域． 2．考查分段函数的求值或已知函数值求自变量取值等． 3．考查函数的性质的判定及应用． [速解必备]——决胜千里 1．有关函数的奇偶性问题(1)若f (x )是奇函数，且x ＝0有意义时，则f (0)＝0；(2)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇，奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶． 2．有关函数的对称性问题(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若f (x ＋a )为奇函数⇒f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称；若f (x ＋a )为偶函数⇒f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 3．有关函数的周期性问题(1)若函数y ＝f (x )的图象有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝2|a －b |；(2)若函数y ＝f (x )的图象有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝2|a －b |；(3)如果函数y ＝f (x )的图象有一个对称中心A (a ，c )和一条对称轴x ＝b (a ≠b )，则函数y ＝f (x )必是周期函数，且一个周期为T ＝4|a －b |.(4)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期为2a 的周期函数； (5)若f (x ＋a )＝1f x(a ≠0)恒成立，则T ＝2a ； (6)若f (x ＋a )＝－1f x(a ≠0)恒成立，则T ＝2a .[速解方略]——不拘一格类型一 函数表示及定义域、值域[例1] (1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析：基本法：由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，选B. 答案：B方略点评：此题型视2x ＋1为整体，使之在fx 的定义域内再求解x .(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：基本法：∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝9.速解法：由f (－2)＝3，∴f (－2)＋f (log 212)＞3排除A. 由于log 212＞1，要用f (x )＝2x －1计算，则f (log 212)为偶数，∴f (－2)＋f (log 212)为奇数，只能选C.答案：C方略点评：1.基本法分段求值．是分段函数的正向求值的一般思路：速解法是巧用了结果的特征排除答案．2．求函数f [g (x )]的定义域问题，要注意g (x )的整体思想的应用．3．对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．1．(2016·高考全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：根据函数解析式特征求函数的定义域、值域． 函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.答案：D2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x， x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78C.34D.12解析：基本法：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝252－b ，即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ， 即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.答案：D类型二 函数的奇偶性 对称性[例2] (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：基本法：由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，则ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(a ＋x 2－x )＝0， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.速解法：根据“奇×奇＝偶”，设g (x )＝ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数即可． 又∵g (0)＝0，∴ln a ＝0，∴a ＝1. 答案：1方略点评：基本法是根据偶函数的定义f －x ＝f x 待定a .速解法是根据奇函数、偶函数的特殊结论快速求解.(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：基本法：由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B.|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C. 速解法：y ＝f (x )是奇函数，则y ＝|f (x )|为偶函数． 故f (x )·g (x )＝奇，A 错，|f (x )|g (x )＝偶，B 错．f (x )|g (x )|＝奇，C 正确．答案：C方略点评：1.函数奇偶性判定主要有①定义法，②图象法，③特殊结论．要注意定义域必须关于原点对称．2．此题基本法利用的是定义法，速解法利用的是特殊结论．1．已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，若g (x )＝f (x )＋2 016，则g (x )的最大值与最小值之和为( ) A ．0 B ．1 C ．2 016 D ．4 032解析：基本法：函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，则f (x )最小值与最大值的关系为f (x )min ＝－f (x )max ，所以g (x )min ＝f (x )min ＋2 016，g (x )max ＝f (x )max ＋2 016，则g (x )max ＋g (x )min ＝0＋2 016＋2 016＝4 032.故选D.速解法：因为函数f (x )为奇函数，所以其图象关于原点对称．而g (x )＝f (x )＋2 016的图象是由f (x )的图象向上平移 2 016个单位长度得到的，故g (x )的图象关于点(0，2 016)对称，所以g xmax＋g xmin2＝2 016，即g (x )max ＋g (x )min ＝4 032.故选D.答案：D2．已知f (x )、g (x )是R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：基本法：把x ＝－1代入已知，得f (－1)－g (－1)＝1，所以f (1)＋g (1)＝1. 答案：C类型三 函数单调性、周期性与对称性的综合应用[例3] (1)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析：基本法：∵函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (2＋x )＝f (2－x )对任意x 恒成立， 令x ＝1，得f (1)＝f (3)＝3， ∴f (－1)＝f (1)＝3.速解法：由题意y ＝f (x )的图象关于x ＝0和x ＝2对称，则周期T ＝4. ∴f (－1)＝f (－1＋4)＝f (3)＝3. 答案：3方略点评：基本法是利用函数关于x ＝a 对称，则f a ＋x ＝f a －x 的性质计算.速解法是利用了周期性，可快速求解.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2] 解析：基本法：∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.速解法：当a ＝2时，log 2a ＝1，a ＝－1，原不等式为f (1)＋f (－1)≤2f (1)，即2f (1)≤2f (1)成立，排除B.当a ＝12时，原不等式为f (－1)＋f (1)≤2f (1)成立，排除A.当a ＝14时，原不等式为f (－2)＋f (2)≤2f (1)，即f (2)≤f (1)与f (x )为增函数矛盾，排除D. 答案：C方略点评：1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法． 2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．3．若函数f (x )在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．1．(2016·高考四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.解析：根据周期函数及奇函数的定义求解．∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.答案：－22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧axx ＜，a －x ＋4a x满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是________．解析：基本法：因为对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，所以f (x )是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，a 0a －＋4a ，解得0＜a ≤14，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——概念辨析法限时速解训练五 函数概念与性质(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |解析：选B.y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1和y ＝2－|x |在(0，＋∞)上都是减函数，故选B.2．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2解析：选A.∵f (2x ＋1)是偶函数，∴f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)⇒f (x )＝f (2－x )，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x解析：选D.因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x－e －x，f (－x )＝e －x－e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x为奇函数，故选D.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，f x －＋1，x ≥0，则f (2 016)＝( )A ．2 014 B.4 0292C ．2 015 D.4 0352解析：选D.利用函数解析式求解．f (2 016)＝f (2 015)＋1＝…＝f (0)＋2 016＝f (－1)＋2 017＝2－1＋2 017＝4 0352，故选D.5．已知f (x )是R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2＋3，则f (7)＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－101 D ．101解析：选A.f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝x ＋2，有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，知函数的周期是4；再令x ＝1，有f (3)＝－f (1)，而f (1)＝5，故f (7)＝f (3)＝－f (1)＝－5.6．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.17 B ．－1 C ．1 D ．7解析：选A.∵f (x )为偶函数，∴b ＝0.定义域为[6a －1，a ]则6a －1＋a ＝0，∴a ＝17，∴a ＋b ＝17.7．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：选C.f (－x )＝2－x＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x ＝－2x＋12x－a ，即1－a ·2x ＝－2x＋a ，化简得a ·(1＋2x)＝1＋2x，所以a ＝1，f (x )＝2x＋12x －1.由f (x )＞3得0＜x ＜1.故选C.8．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( ) A ．是增函数且f (x )＜0 B ．是增函数且f (x )＞0 C ．是减函数且f (x )＜0 D ．是减函数且f (x )＞0解析：选D.设－1＜x ＜0，则0＜－x ＜1，f (－x )＝log 12(1＋x )＝f (x )＞0，故函数f (x )在(－1,0)上单调递减．又因为f (x )以2为周期，所以函数f (x )在(1,2)上也单调递减且有f (x )＞0.9．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23 C.43 D ．－43解析：选C.f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，设f (x )＝1＋g (x )，即g (x )＝x x 2＋1＝f (x )－1.g (x )为奇函数，满足g (－x )＝－g (x )．由f (a )＝23，得g (a )＝f (a )－1＝－13，则g (－a )＝13，故f (－a )＝1＋g (－a )＝1＋13＝43.10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝－1，且对任意x ∈R ，有f (x )＝－f (2－x )成立，则f (2 017)的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2解析：选C.由题知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝－f (2－x )，可知函数f (x )为周期为4的周期函数．令x ＝1得，f (1)＝－f (2－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，所以f (2 017)＝f (4×504＋1)＝f (1)＝0，故选C.11．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23 解析：选A.函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53， 当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1单调递减，所以由43＜32＜53，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，故选A. 12．已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选A.由函数f (x )为偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，得函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，于是将不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13转化为f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.根据单调性，知|2x －1|＜13，解得13＜x＜23，故选A. 二、填空题(把答案填在题中横线上)13．函数y ＝2－x ＋lg x 的定义域是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x ＞0得0＜x ≤2.因此，函数y ＝2－x ＋lg x 的定义域是(0,2]．答案：(0,2] 14．已知函数f (x )＝a －xx －a －1的图象的对称中心是(3，－1)，则实数a 的值为________．解析：函数f (x )＝a －x x －a －1的图象的对称中心是(3，－1)，将函数的表达式化为f (x )＝a －xx －a －1＝－1＋－1x －a －1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2.答案：215．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3]16．关于函数，给出下列命题：①若函数f (x )是R 上周期为3的偶函数，且满足f (1)＝1，则f (2)－f (－4)＝0； ②若函数f (x )满足f (x ＋1)f (x )＝2 017，则f (x )是周期函数；③若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，f x ，x ＜0是偶函数，则f (x )＝x ＋1；④函数y ＝log 13|2x －3|的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①因为f (x ＋3)＝f (x )且f (－x )＝f (x )，所以f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝f (1)＝1，f (－4)＝f (－1)＝f (1)＝1，故f (2)－f (－4)＝0，①正确．②因为f (x ＋1)f (x )＝2 017，所以f (x ＋1)＝2 017f x，f (x ＋2)＝2 017f x ＋＝f (x )．所以f (x )是周期为2的周期函数，②正确．③令x ＜0，则－x ＞0，g (－x )＝－x －1.又g (x )为偶函数，所以g (x )＝g (－x )＝－x －1.即f (x )＝－x －1，③不正确．④要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 13|2x －3|≥0，|2x －3|＞0，即0＜|2x －3|≤1，所以1≤x ≤2且x ≠32，即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2，④不正确．答案：①②必考点二 指数函数、对数函数、幂函数图象与性质[高考预测]——运筹帷幄1．考查指数幂及对数式的化简与运算．2．以指数函数、对数函数、幂函数为原型进行复合而成的函数的图象与性质． 3．指数型、对数型、幂型的方程式不等式的求解问题． [速解必备]——决胜千里1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数⇔b ＝0.2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小； 即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．对数函数图象在同一直角坐标中的相对位置与底数的大小关系如图所示．0＜d ＜c ＜1＜a ＜b ，在第一象限顺时针方向底数变大．4．y ＝log a x ，当x ∈(1，＋∞)且a >1时，y >0，当x ∈(0,1)且0<a <1时，y >0，记忆：“真底同，对数正”． 5．log a b ＝1log b a，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 6．y ＝axy ＝log a x定义域R 值域R值域(0，＋∞)定义域(0，＋∞)7．对于函数，y ＝ax ＋b x ，(a >0，b >0)的单调分界点是ax ＝b x ，即x ＝±b a. [速解方略]——不拘一格类型一 比较函数值的大小[例1] (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b解析：基本法：∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 52＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1， ∴c ＞a ＞b .故选D.速解法：分别作出y ＝log 3x ，y ＝log 2x ，y ＝log 5x 的图象，在图象中作出a 、b 、c 的值，观察其大小，可得c ＞a ＞b .答案：D方略点评：基本法是利用了每个对数值的范围的估算.,速解法是利用不同底的对数函数图象的相对位置关系，只要能作出其图象，便可容易得出大小关系.(2)已知x＝ln π，y＝log52，z＝，则( )A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x解析：基本法：由已知得x＝ln π＞1，y＝log52∈(0,1)，z＝∈(0,1)，又2＜e＜3，∴2＜e＜3，∴1e＞13＞12，得z＝＞12，而y＝log52＜log55＝12，∴y＜z＜x，故选D.答案：D方略点评：利用指数函数、对数函数的单调性，利用插值法来比较大小.对于多个数的大小比较，可插入0，分出正数与负数，正数中再插入1，分出，间与，＋的数；也可直接利用单调性或数形结合法比较大小.1．(2016·高考全国丙卷)已知a＝，则( )A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：利用幂函数的性质比较大小．∵y＝在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.答案：A2．设a＝，b＝2，c＝3，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞c＞a D．c＞a＞b解析：基本法：∵b＝－log32∈(－1,0)，c＝－log23＜－1，a＝＞0，∴a＞b＞c，选A.答案：A类型二 指数函数、对数函数图象的变换与应用[例2] (1)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：基本法：设(x ，y )是函数y ＝f (x )图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，可知(－y ，－x )在y ＝2x ＋a的图象上，即－x＝2－y ＋a，解得y ＝－log 2(－x )＋a ，所以f (－2)＋f (－4)＝－log 22＋a －log 24＋a ＝1，解得a ＝2，选C.速解法：设y 1＝f (－2)，则(－2，y 1)关于y ＝－x 的对称点为(－y 1,2)在y ＝2x ＋a上，∴2＝2－y 1＋a ，∴－y 1＋a ＝1，即y 1＝a －1 同理设y 2＝f (－4)，∴4＝2－y 2＋a ，即y 2＝a －2. ∴y 1＋y 2＝1，∴a －1＋a －2＝1，∴a ＝2 答案：C方略点评：两种方法都采用了关于y ＝－x 对称点的特征.基本法是具体求出对称函数，速解法是间接求出f －及f －(2)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)解析：基本法：易知0＜a ＜1，则函数y ＝4x与y ＝log a x 的大致图象如图，则只需满足log a 12＞2，解得a ＞22， ∴22＜a ＜1，故选B.速解法：若a ＞1，∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，显然log a x ＜0，原不等式不成立，∴0＜a ＜1. 若a ＝12，当x ＝12时，log a x ＝1,4x＝412＝2，显然不成立，∴故只能选B.答案：B方略点评：1.基本法是利用图象的变换关系，速解法是特值检验．2．作函数图象，要注意各个函数图象的相对位置及变化，要做到即“形似”又“神似”．1．(2016·高考全国乙卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )解析：利用导数研究函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断．∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C. 答案：D2．(2016·山西太原质检)若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：基本法：不等式4a x －1＜3x －4等价于ax －1＜34x －1. 令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.答案：B类型三 关于指数、对数的方程、不等式的求解方法[例3] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2x ＋， x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：基本法：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，∴a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.速解法：当x ≤1时，f (x )＝2x －1－2∈(－2，－1]，不可能f (x )＝－3.故－log 2(a ＋1)＝－3，∴a ＋1＝23，a ＝7. ∴f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，选A.答案：A方略点评：基本法是分别使用两段解析式进行求值验证.速解法是分析第一段的值域来确定f a ＝－3的可能性.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：基本法：f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ≤ln 2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤8⇒x ＜1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．速解法：当x ＜1时，f (x )＝e x －1为增函数，当x ≥1时，f (x )＝x 13为增函数．∴f (x )在R 上为增函数，且e x －1＜1.∴令x 13≤2，∴x ≤8.答案：(－∞，8] 方略点评：基本法是分段讨论f x 的解，速解法是利用了整个函数f x 的单调性.对数函数、指数函数性质的应用，首先明确底数的取值来确认单调性及图象特征. 分段函数要分段讨论处理，同时注意整体性和分段点.1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋x ＞，x 2＋x ，若f (a )＝5，则a ＝________.解析：基本法：利用分段函数求解．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＋3＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＋1＝5，解得a ＝4或－2.答案：4或－22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：基本法：|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≤0，x ＋， x ＞0，其图象如图．由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|， 则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x ≤0)， 即a ≥x －2对x ≤0恒成立，所以a ≥－2. 综上，－2≤a ≤0，故选D. 答案：D[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——估算法限时速解训练六 指数函数、对数函数、幂函数图象与性质(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知a ＝50.5，b ＝0.55，c ＝log 50.5，则下列关系中正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a解析：选A.因为a ＝50.5＞50＝1,0＜b ＝0.55＜0.50＝1，c ＝log 50.5＜log 51＝0，所以a ＞b ＞c .故选A.2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的一个零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B.因为f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，所以f (x )在(1,2)上必存在零点．故选B.3．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )解析：选B.要使函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 有意义，需满足x －1x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞1，所以排除A 、D ；当x ＞10时，x －1x一定大于1，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 大于0，故选B.4．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1B ．ex －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析：选D.依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度之后得到的曲线对应的函数应为y ＝e －x，于是f (x )的图象相当于曲线y ＝e －x 向左平移1个单位长度的结果，∴f (x )＝e－x －1，故选D.5．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：选B.f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)是单调递增(减)函数(原因是y ＝a x与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值之和为f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＋1＝0， ∴a ＝12.6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0，f x －，x ＞0，则f (2 019)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选D.∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D. 7．设12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜1，那么( )A ．a a＜a b＜b aB ．a a＜b a＜a bC ．a b＜a a＜b aD ．a b＜b a＜a a解析：选C.由于指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，由已知12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜1，得0＜a ＜b ＜1.当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，所以a b ＜a a ，排除A 、B ；又因为幂函数y ＝x a 在第一象限内为增函数，所以a a ＜b a ，选C.8．下列四个命题：①∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0；②∃x 0∈(0,1)，③∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞x ； ④∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜x .其中真命题是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④解析：选C.根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的，②④是正确的，故选C. 9．若a ＝2x，b ＝x ，c ＝x ，则“a ＞b ＞c ”是“x ＞1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B.如图，可知“x ＞1”⇒“a ＞b ＞c ”，但“a ＞b ＞c ”⇒x ＞1”，即“a ＞b ＞c ”是“x＞1”的必要不充分条件．故选B.10．若不等式4x 2－log a x ＜0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1256，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1256D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256解析：选A.∵不等式4x 2－log a x ＜0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14时，函数y ＝4x 2的图象在函数y ＝log a x 的图象的下方．如图，∴0＜a ＜1.再根据它们的单调性可得4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142≤log a 14，即log a≤log a 14，∴≥14， ∴a ≥1256.综上可得1256≤a ＜1，故选A.11．已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0解析：选C.在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f (x )＝－1x 的图象(如图)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)＞0，f (x 2)＜0，故选C.12．设函数f (x )＝2x1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,1}D ．{1}解析：选B.f (x )＝2x 1＋2x －12＝12－11＋2x ，∵2x＞0，∴1＋2x＞1,0＜11＋2x ＜1，∴－1＜－11＋2x ＜0，∴－12＜12－11＋2x ＜12，即－12＜f (x )＜12，∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}，故选B. 二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，∴lg(ab )＝1， ∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2lg(ab )＝2. 答案：214．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.结合图象知函数f (x )＝2|x －1|在[1，＋∞)上单调递增，故实数m 的最小值为1.答案：115．已知函数f (x )＝则不等式f (x )＞1的解集为________．解析：若x ≤0，则不等式f (x )＞1可转化为3x ＋1＞1⇒x ＋1＞0⇒x ＞－1，∴－1＜x ≤0；若x ＞0，则不等式f (x )＞1可转化为log 13x ＞1⇒x ＜13，∴0＜x ＜13.综上，不等式f (x )＞1的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，1316．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －1|的图象如图(1)，此时y ＝2a ＞2，只有一个交点，不成立．当0＜a ＜1时，函数y ＝|a x－1|的图象如图(2)，此时0＜2a ＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12必考点三 导数及其应用[高考预测]——运筹帷幄1．利用导数研究函数的单调性或求单调区间或求参数． 2．利用导数求函数的极值、最值，由函数极值求参数． 3．利用导数研究函数切线问题． [速解必备]——决胜千里1．闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．2．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 有两个极值点，且x 1<x 2， 当a >0时，f (x )的图象如图，x 1为极大值点，x 2为极小值点，当a <0时，f (x )图象如图，x 1为极小值点，x 2为极大值点．3．若函数y ＝f (x )为偶函数，则f ′(x )为奇函数， 若函数y ＝f (x )为奇函数，则f ′(x )为偶函数， 4．y ＝e x在(0,1)处的切线方程为y ＝x ＋1. [速解方略]——不拘一格类型一 导数的几何意义及应用[例1] (1)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 解析：基本法：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.速解法：∵f (1)＝2＋a ，由(1，f (1))和(2,7)连线斜率k ＝5－a 1＝5－a ，f ′(x )＝3ax 2＋1，∴5－a ＝3a ＋1，∴a ＝1. 答案：1方略点评：基本法是先由切点求切线方程再代入，，求a .速解法是利用斜率的求法建立a 的方程.(2)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：基本法：令f (x )＝x ＋ln x ，求导得f ′(x )＝1＋1x，f ′(1)＝2，又f (1)＝1，所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.设直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1的切点为P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋a ＋2＝2，得a (2x 0＋1)＝0，∴a ＝0或x 0＝－12，又ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，即ax 20＋ax 0＋2＝0，当a ＝0时，显然不满足此方程，∴x 0＝－12，此时a ＝8.速解法：求出y ＝x ＋ln x 在(1,1)处的切线为y ＝2x －1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝ax 2＋a ＋x ＋1得ax 2＋ax ＋2＝0，∴Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8或a ＝0(显然不成立)． 答案：8 方略点评：基本法是用导数的方法，速解法利用了判别式法，也较简单.曲线y ＝f x 在点P x 0，y 0处的切线，P x 0，y 0为切点，其切线斜率为f x 0，其切线方程为y －y 0＝fx 0x －x 0如果fx 0不存在，则切线为x ＝x 0.1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：基本法：y ′＝a －1x ＋1，当x ＝0时，y ′＝a －1＝2， ∴a ＝3，故选D. 答案：D2．(2016·高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．解析：首先求出x >0时函数的解析式，再由导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式得切线方程．设x >0，则－x <0，f (－x )＝ex －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝ex －1＋x .∴当x ＞0时，f (x )＝exe ＋x ，∴f ′(x )＝e x·e e2＋1＝e x －1＋1，∴f ′(1)＝2，所以所求切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x . 答案：y ＝2x类型二 导数与函数的极值、最值[例2] (1)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1) 解析：基本法：a ＝0时，不符合题意．a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a.若a ＞0，则由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．则a ＜0，由图象结合f (0)＝1＞0知，此时必有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞0，即a ×8a 3－3×4a2＋1＞0，化简得a 2＞4，又a＜0，所以a ＜－2，故选C.速解法：若a ＞0，又∵f (0)＝1，f (－1)＝－a －2＜0， 在(－1,0)处有零点，不符合题意．∴a ＜0，若a ＝－43，则f (x )＝－43x 3－3x 2＋1f ′(x )＝－4x 2－6x ＝0，∴x ＝0，或x ＝－32.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32为极小值且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜0，有三个零点，排除D. 答案：C方略点评：基本法是直接求解a ，并使极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞0.速解法是用特值检验排除.(2)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0解析：基本法：由三次函数的值域为R 知，f (x )＝0必有解，A 项正确；因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象可由y ＝x 3平移得到，所以y ＝f (x )的图象是中心对称图形，B 项正确；若y ＝f (x )有极值点，则其导数y ＝f ′(x )必有2个零点，设为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则有f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3(x －x 1)(x －x 2)，所以f (x )在(－∞，x 1)上递增，在(x 1，x 2)上递减，在(x 2，＋∞)上递增，则x 2为极小值点，所以C 项错误，D 项正确．选C.速解法：联想f (x )的图象模型如图显然C 错． 答案：C方略点评：1.函数图象是研究函数单调性、极值、最值最有利的工具．2．可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f (x )＝x 3，当x ＝0时就不是极值点，但f ′(0)＝0.3．极值点不是一个点，而是一个数x 0，当x ＝x 0时，函数取得极值；在x 0处有f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x 0处取得极值的必要不充分条件．4．f ′(x )在f ′(x )＝0的根的左右两侧的值的符号，如果“左正右负”，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果“左负右正”，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值．1．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，若不等式f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，且f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( ) A ．－8122 B.13C ．2D ．5解析：基本法：由已知可知f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}可知a ＞0，且－2,3是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系知－2b 3a ＝(－2)＋3，c3a ＝－2×3，∴b ＝－3a 2，c ＝－18a ，此时f (x )＝ax 3－3a 2x 2－18ax －34，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；当x ∈(－2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，∴f (3)为f (x )的极小值，∵f (3)＝27a －27a2－54a －34＝－115，∴a ＝2，故选C.答案：C2．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·b x 在R 上有极值，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3 解析：基本法：设a ，b 的夹角为θ，则f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋|a |·|b|cos θ·x ＝13x 3＋12|a |·x 2＋12|a |2cos θ·x ，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋12·|a |2cos θ，∵函数f (x )有极值，∴f ′(x )＝0有2个不等的实根，∴Δ＝|a |2－2|a |2cos θ＞0，即1－2cos θ＞0，∴cos θ＜12，又0≤θ≤π，∴π3＜θ≤π，故选C. 答案：C类型三 导数与函数的单调性[例3] 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)解析：基本法：由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞恒成立，又f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，所以2x＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞恒成立，分离参数得a ≥1x 2－2x ，若满足题意，需a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x max .令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.因为h ′(x )＝－2x 3－2，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，故a ≥3. 速解法：当a ＝0时，检验f (x )是否为增函数，当a ＝0时，f (x )＝x 2＋1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋2＝94，f (1)＝1＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (1)与增函数矛盾．排除A 、B 、C.故选D.答案：D方略点评：基本法采用分离参数法来研究单调性.速解法采用特值法，结合图象求解集. (2)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D．[1，＋∞)解析：基本法：依题意得f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立，∵x ＞1，∴0＜1x＜1，∴k ≥1，故选D.速解法：若k ＝1，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x在(1，＋∞)上有f ′(x )＞0，f (x )＝kx －ln x 为增函数．答案：D 方略点评：基本法是采用fx 在，＋恒成立，直接求解.速解法采用特值验证法排除答案.①若求单调区间或证明单调性，只需在函数f x的定义域内解或证明不等式f x 或f x即可.②若已知f x 的单调性，则转化为不等式f x 或f x 在单调区间上恒成立问题求解.1．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf x≤0，则必有( )A．f(0)＋f(2)＞2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)＜2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)解析：基本法：选A.当x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)递减，当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)，故选A.2．(2016·高考北京卷)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________．解析：基本法：先利用导数判断函数的单调性，再进一步求解函数的最大值．f′(x)＝x －－xx －2＝－1x －2，当x≥2时，f′(x)＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上是减函数，故f(x)max＝f(2)＝22－1＝2.答案：2[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——构造法限时速解训练七 导数及其应用(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e) D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0. 由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有根，故Δ＝(－4c )2－12≥0，从而c ≥32或c ≤－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1]解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝ax＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18解析：选D.x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18，故选D.6．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－2) C ．(－2，－1) D ．(－2,0)解析：选D.设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数单调减区间为(－2,0)故选D.7．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2解析：选C.f ′(x )＝4x －1x＝x －x ＋x，∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝12.∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.故C 正确．8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③。

第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T142017Ⅰ卷线性规划求最值·T14Ⅱ卷线性规划求最值·T5Ⅲ卷线性规划求最值·T132016Ⅰ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2Ⅲ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T6线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c 同号，那么其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，那么其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·某某一模)a >b >0，c <0，以下不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确；B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c <b c，故B 不正确； C 项，假设a ＝12，b ＝14，c ＝－12，那么log a (a －c )＝1＝0，log b (b －c )＝34>1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 那么A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c <b c，排除B ；C 项，log a (a －c )＝log 4(4＋2)＝log 4 6，log b (b －c )＝log 2(2＋2)＝2，显然log 4 6<2，即log a (a －c )<log b (b －c )，排除C.综上，选D. 答案：D2．(2018·某某四校联考)不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2，那么m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52. 答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，那么实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，那么可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋tt2，故只要求解h (t)＝－1＋tt 2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，那么使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的X 围，谁就是变量，求谁的X 围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正〞“二定〞“三相等〞．所谓“一正〞指正数，“二定〞是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·某某模拟)x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.答案：B2．(2017·高考某某卷)假设a ，b ∈R ，ab >0，那么a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考某某卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：假设无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝x －y 的取值X 围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值X 围是[－3,2]．答案：B2．平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34解析：建立如下图的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，应选D. 答案：D3．(2018·某某模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一X 桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一X 桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y X 桌子，利润为z 元，那么得约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，那么(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.应选A. 答案：A2．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，那么a ＝________.解析：如下图，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)假设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，那么以下等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：假设a >b >0，那么a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.应选B. 答案：B2．b >a >0，a ＋b ＝1，那么以下不等式中正确的是() A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1<b ，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，应选C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C 4．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，那么a 的取值X 围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.应选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (xx <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，那么实数m 等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13.故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．假设对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，那么实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.答案：C9．(2018·某某一模)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，那么z ＝x 2＋y 2的取值X围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，应选C.答案：C10．(2018·某某二模)假设关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，那么x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63 B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·某某模拟)点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，那么OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，应选C.答案：C二、填空题13．(2018·某某模拟)假设a >0，b >0，那么(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋2 2.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，那么z ＝x ＋y的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·某某模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，那么z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，那么有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12516．a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，那么a ＋1b 2－1的最小值为________． 解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。

高三第二轮知识点总结数学一、函数与导数1. 函数的概念函数是自变量与因变量之间的对应关系。

如果每个自变量对应唯一的因变量，并且每个因变量都由自变量确定，则称这种对应关系为函数。

2. 函数的性质（1）定义域：一个函数的定义域是指所有可能的自变量的取值，是函数的合法输入值的范围。

（2）值域：一个函数的值域是指所有可能的因变量的取值，是函数的合法输出值的范围。

3. 导数的概念函数的导数，简称导数，是函数在某一点处的变化率。

导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，例如速度，加速度等。

如果函数y=f(x)在点x=x0处可导，则称函数在该点可导。

如果函数在某一点处可导，那么导数就是这个点处函数的斜率。

4. 导数的计算导数的计算是通过极限的概念来定义的。

对于一个函数y=f(x)，它的导数$f'(x)$可以通过以下公式来计算：$$f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$5. 导数的性质（1）导数与函数的关系：如果函数f(x)在任意一点可导，则称f(x)是可导的。

（2）可导函数的性质：如果函数f(x)在某一点可导，则它在该点处必然连续。

6. 导数的应用导数在很多实际问题中都有着重要的应用，如切线与切线方程、极值与最优化问题、微分与微分方程等。

二、不等式1. 绝对值不等式（1）绝对值函数：$|x|$表示x的绝对值。

绝对值函数的性质有：a. $|x|\geq 0$；b. $|ab|=|a|\cdot |b|$；c. $|x-y|\leq |x|+|y|$。

（2）绝对值不等式：绝对值不等式是带有绝对值的不等式，解题时会对不等式的两边取绝对值，然后分类讨论。

2. 一元二次不等式一元二次不等式是指一元二次函数的不等式，它的解法主要通过构造零点法，求不等式的根，或者使用图像法，构造抛物线的图像来求解。

3. 二元一次不等式二元一次不等式是指两个变量的一次不等式，通常使用图像法，分析直线在坐标轴上的位置以及不等式的解集。