微积分吴传生版高等数学课件.ppt
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微积分-经济数学-吴传生第四章-(4)专题市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
R(P0 )
ab c
ba
/
( a bc )2
ab c
c
例 6 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知
该商品的需求函数为
P
P(
X
)
x
10e 2
，且
最大需求量为 6，其中 x 表示需求量，P 为价
格：
(1)求该商品的收益函数和边际收益函数；
(2)求使收益最大时的产量，最大收益和相应
的价格；
产多少台，才能使利润最大？
解：设利润为L( X ),则 L( X ) R( X ) C( X ) 5X 0.01X 2 200 L( X ) 5 0.02X
令L( X ) 0，解得X 250(台)，由于 L( X ) 0.02 0
所以L(250) 425(万元)为极大值，也就是最大 值.
dQ
dQ
显然，为使总利润到达最大，还应有
d
2
R(Q)
dQ 2
C
(Q
)
0,
(
R(Q
)
C
(Q
)
0)
即
d
2
( R(Q )) dQ 2
d
2
C (Q
dQ 2
)
,
(
R(Q)
C (Q ))
例 1 某厂每批生产 A 商品 X 台的费用为C( X ) 5X 200(万 元)，得到的收入为 R( X ) 10X 0.01X 2(万元)，问每批生
1 40
由C ( x) 0,得x1 1000, x2 1000(舍)， 因C (1000) 50 105 0， 故当x 103时，C ( x)取最小值. 因此，要使平均成本最 小，应生产1000件产品.
吴传生 经济数学 微积分 第二版 第三章 习题课PPT
f (e ) e 1
(9) 设f ( x ) x( x 1)( x 2)( x 1000), f (0) 1000 !
解： f (0) lim f ( x ) f (0)
x 0
x
lim( x 1)( x 2) ( x 1000)
x0
且：f (0) f (0)
f ( x )在x 0点可导
sin x x 0 例7 设f ( x ) , 求 f ( x ) x0 x 解： 0时，f ( x ) (sin x ) cos x x
x 0时，f ( x ) ( x ) 1
x 0
f ( x )在x 0处左连续，
x0
lim f ( x ) lim x 1 1 x )（ 1 1 ) 0 f (0) （
x0
f f ( x )在x 0处右连续，( x )在x 0处连续；
1 x 0 ln( x 1) [设 f ( x ) , 讨 论f ( x )在 x 1 1 x 0 x 1 x 0处的 连续性和 可导性 ]
第三章 习 题 课
一 教学要求
二 内容提要
三 教材习题选解
P113，T3
四 典型例题分析
例1 填空：
x (1) 设f ( x0 ) 1, 则 lim x 0 f ( x 2 x ) f ( x x ) 0 0
1
解： lim f ( x0 2 x ) f ( x0 x ) x 0 x [ f ( x0 2 x ) f ( x0 )] [ f ( x0 x ) f ( x0 )] lim x 0 x f ( x0 2 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) lim lim x 0 x 0 x x f ( x0 2 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) 2 lim lim 2 x 0 x 0 2x x 2 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 1 原式 1
微积分 经济数学 吴传生第四章 (3)
定理3(第二充分条件) 设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导
证 (1) f ( x0 ) lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, x 0
x 故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时，有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时，有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
（等号仅在个别点成立！！！！！）
所以f x x sinx在x ,单调增加
3．利用单调性证明不等式
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
x . 证 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 f ( x ) 1 x
f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导，f ( x ) 0,
2．单调区间(monotonical interval)求法
问题: 如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在一些部分区间上单调． 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点．
方法: 用 方 程 f ( x ) 0 的 根 及 f ( x ) 不 存 在 的
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 ,
点 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 , 但函数的驻点却不一定 是极值点.
吴传生 经济数学 微积分 第一章1.6 PPT
四、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C 总 C 固 C 可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
平均成本
总成本 产量
固定成本
可变成本 产量
即 C AC
C (Q ) Q
C
1
Q
C
2
(Q )
3 Q + 4 P = 1 0 0 ,求 总 收
益和平均收益．
解
价格函数为
P
100 3 Q 4
,
100 Q 3 Q 4
100 3Q 4 .
2
所以总收益为
R (Q ) P Q
,
平均收益为
A P (Q ) P (Q )
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
q 2
，
在时间 T 内的总费用 E 为
E 1 2 C 1 Tq C Q
2
q
其中 ，
1 2
C 1 Tq 为贮存费，
C2
Q q
为进货费用
.
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数 y ka
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
b
t
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示
1 .4
2.某 工 厂 对 棉 花 的 需 求 函 数 由
PQ
=0.11 给
出 ,（ 1） 求 其 总 收 益 函 数 R;（ 2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若 工 厂 生 产 某 种 商 品 ， 固 定 成 本 200,000 元 ， 每 生 产 一 单 位 产 品 ， 成 本 增 加 1000 元 ， 求总成本函数。
微积分-经济数学-吴传生第三章-(6)专题市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
又平均函数为
f (x) x
tan ,因而
Ey Ex
tan m tan
若考虑弹性的绝对值， 则 Ey tan m Ex tan
如果我们知道了一条函 数y f ( x)所示的曲线，
则在曲线上任一点 A处对应的弹性，通过 A作
曲线AB的切线和线段OA，就可得夹角 m 和，
进而就可得 Ey . Ex
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其
经济意义.
解 (1)生产900个单位时旳总成本为
C (Q )
1100 9002 1775
Q 900
1200
平均成本为
C (Q)
1775 1.99
Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本旳 平均变化率为
C(Q) C(1000) C(900) 1993 1775 1.58
解： (a)其纵轴截距a 0,故EP 1 (b)此函数与横轴相交(a 0)，故EP 1 (c)此函数与纵轴相交(a 0)，故EP 1
4. 收益弹性
ER dR P EP dP R
例1 某需求曲线为：Q 100P 3000，求 当P 20时的弹性．
解 dQ 100
dP
当P 20时，Q 1000
所以EP
100 20 1000
2.
(一)几种特殊旳价格弹性 从理论上来说，有下列四种特殊旳需求弹性：
(1)需求的价格弹性等于 0．也就是说，这种商品 完全 没有弹性，不管价格如 何变化，其需求量都不 发生 变化．这种商品的需求 曲线的图形是一条垂直 的直 线(图2 3a).
P
D
P
O
P
(a)
O QP
A
微积分吴传生版高等数学课件ppt课件
练习题
1.在空间直角坐标系中，指出下列 各点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
E(2,3,1). F(1, 2, 3).
解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ; E：Ⅱ；F：Ⅵ
2、点 p (3 , 2 , 1) 关于平面 xoy 的对称点是 ________，关于平面 yoz 的对称点是 ______, 关于平面 zox 的对称点是 ________，关于 x 轴 的对称点是 _________，关于 y 轴的对称点是 _________，关于 z 轴的对称点是 _________；
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
微积分_经济数学_吴传生第五章_(4)
练习题答案
一、1. 3.
1 , 1 , 2；
2u 2du , ； 2 2 1 u 1 u
1 1 2. -1, , ； 2 2
4. 初等函数 .
1 ( x 2) 4 二、1. ln C； 3 2 ( x 1)( x 3) 1 x4 1 arctan x C ； 2. ln 2 2 4 (1 x ) (1 x ) 2 2 x 2 2x 1 2 3. ln 2 arctan( 2 x 1) 8 x 2x 1 4 2 arctan( 2 1) C ； 4
( n 2) 可用递推法求出
5.
6.
※二、待定系数法举例
有理函数化为部分分式之和的一般规律： k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地： k 1, 分解后为 xa
x x 3 x 3 ln(1 e ) ln(1 e 3 ) 3 arctan( e 6 ) C . 2 x 6
三、小结
有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式）
思考题
任何有理函数都有原函数吗？ 任何初等函数都有原函数吗？
都能求出其原函数吗？
思考题解答
1 x x 1 例 x 2 . 2 x 1 x 1
3
难点 将有理函数化为部分分式之和.
理论上，任何一个有理函数(真分式)都可分为 以下六个类型的基本积分的代数和: 1.
dx ln x a c xa
dx 1 c n n 1 ( x a ) (1 n)( x a )
经济数学微积分吴传生PPT文档45页
经济数学微积分吴传生
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。—于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。—于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
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A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
例1 求点
关于(1) 面;(2) 轴;
(3)坐标原点; (4)点
对称点的坐标.
设对称点的坐标为
(1)
(2) (3) (4)
2. 空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1
P o
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
F(x, y, z) 0
z S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, O y x
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
PQ y1 x12 y2 x2 2 yn xn 2 .
练习题
1.在空间直角坐标系中，指出下列 各点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2பைடு நூலகம்3,4), D(2,3,1) .
E(2,3,1). F(1, 2, 3).
解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ; E：Ⅱ；F：Ⅵ
M2
Q N
y
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
ｎ维实空间
Rn (x1, x2 ,, xn ) | xi R,i 1,2,, n
两点P(x1, x2 ,, xn )和 Q( y1, y2,, yn )的距离
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程
第七章向量代数现空间解析几何
第一节 空间直角坐标系
第一节 空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
z z 轴(竖轴)
• 坐标原点
• 坐标轴 • 坐标面
yoz面 o xoy面
y
y轴(纵轴)
x
x轴(横轴)
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
M
表示上(下)球面 . O y x
例2. 研究方程 的曲面.
例1. 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
方程.
解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
M0
x2 y2 z2 R2
2、点 p (3 , 2 , 1) 关于平面 xoy 的对称点是 ________，关于平面 yoz 的对称点是 ______, 关于平面 zox 的对称点是 ________，关于 x 轴 的对称点是 _________，关于 y 轴的对称点是 _________，关于 z 轴的对称点是 _________；
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) (称为点 M 的坐标)
特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
练习：在空间直角坐标系中，指出 下列各点在哪个卦限？
A(1, 2,3),
B(2,3, 4),
C(2, 3, 4), D(2,3, 4),
M (1,3, 7), N(6, 9, 5), P(1, 6, 4), P(1, 6, 4),
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；
3. 曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
例1 求点
关于(1) 面;(2) 轴;
(3)坐标原点; (4)点
对称点的坐标.
设对称点的坐标为
(1)
(2) (3) (4)
2. 空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1
P o
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
F(x, y, z) 0
z S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, O y x
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
PQ y1 x12 y2 x2 2 yn xn 2 .
练习题
1.在空间直角坐标系中，指出下列 各点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2பைடு நூலகம்3,4), D(2,3,1) .
E(2,3,1). F(1, 2, 3).
解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ; E：Ⅱ；F：Ⅵ
M2
Q N
y
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
ｎ维实空间
Rn (x1, x2 ,, xn ) | xi R,i 1,2,, n
两点P(x1, x2 ,, xn )和 Q( y1, y2,, yn )的距离
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程
第七章向量代数现空间解析几何
第一节 空间直角坐标系
第一节 空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
z z 轴(竖轴)
• 坐标原点
• 坐标轴 • 坐标面
yoz面 o xoy面
y
y轴(纵轴)
x
x轴(横轴)
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
M
表示上(下)球面 . O y x
例2. 研究方程 的曲面.
例1. 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
方程.
解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
M0
x2 y2 z2 R2
2、点 p (3 , 2 , 1) 关于平面 xoy 的对称点是 ________，关于平面 yoz 的对称点是 ______, 关于平面 zox 的对称点是 ________，关于 x 轴 的对称点是 _________，关于 y 轴的对称点是 _________，关于 z 轴的对称点是 _________；
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) (称为点 M 的坐标)
特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
练习：在空间直角坐标系中，指出 下列各点在哪个卦限？
A(1, 2,3),
B(2,3, 4),
C(2, 3, 4), D(2,3, 4),
M (1,3, 7), N(6, 9, 5), P(1, 6, 4), P(1, 6, 4),
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；
3. 曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,