高中数学空间向量与立体几何3_用向量方法证明两条直线垂直及求两直线所成的角学案无答案新人教A版

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二) 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.2．求两直线所成的角应注意的问题：在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．探究点一两条直线垂直问题怎样利用向量证明两直线垂直？例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.跟踪1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE ＝BF，求证：A1F⊥C1E.例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．跟踪2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点三探索性问题例3已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由跟踪3 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .问当CD CC 1的值等于多少时，A 1C ⊥BD 且 A 1C ⊥BC 1?【达标检测】1. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．52C ．12D ．33. 在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点， 点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A. 13B. 12C. 23D. 634.如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．【课堂小结】用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错 2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对5．A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510 6．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.二、能力提升7．设ABCD 、ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角为________．8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．9．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明OA 1⊥AM .11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝13，SB＝29，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．。

第3课时 用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.120° B.60°C.30°D.以上均错l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2设四边形ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥平面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于 ( )A.45°B.30°C.90°D.60°,则A (0,0,0),F (0,0,1),B (0,1,0),C (1,1,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. 设异面直线AC 与BF 所成的角为θ, ∴cos θ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12. 又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.3若a =(λ,1,2)与b =(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为( ) A.λ<52B.λ<52,且λ≠-2C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥52,得a ·b =2λ+(-1)-4<0,即λ<52.而|a |=√5+λ2,|b |=3,又<a ,b >为钝角,∴3√5+λ≠-1,即λ≠-2.4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB 与平面α所成角为( ) A.π6 B.π3C.23πD.56πAB 与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=12,则AB 与平面α所成角为π3.5若平面α的一个法向量为n =(4,1,1),直线l 的一个方向向量为a =(-2,-3,3),则l 与α所成角的余弦值为 ( )A.-√11B.√11C.-√110D.√913<a ,n >=√4+9+9√16+1+1=3√11=-4√1133, 故l 与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333.6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,二面角A-BD 1-B 1的大小为 .,以点C 为原点建立空间直角坐标系.设正方体的边长为a ,则A (a ,a ,0),B (a ,0,0),D 1(0,a ,a ),B 1(a ,0,a ), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,a ),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ). 设平面ABD 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,a ,0)=ay=0, n ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,a )=-ax+ay+az=0. ∵a ≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n =(1,0,1),同理,求得平面B 1BD 1的法向量m =(1,1,0),∴cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=12,∴<n ,m >=60°.而二面角A-BD 1-B 1为钝角,故为120°.°7在正四棱锥P-ABCD 中,高为1,底面边长为2,E 为BC 的中点,则异面直线PE 与DB 所成的角为 .,则B (1,1,0),D (-1,-1,0),E (0,1,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√8×√2=12.∴<DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π.∴PE 与DB 所成的角为π.8在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知DA=DC=4,DD 1=3,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 .9如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°,试确定此时动点E 的位置.DA 所在直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系.设E (1,t ,0)(0≤t ≤2),则A (1,0,0),D (0,0,0),D 1(0,0,1),C (0,2,0),D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t-2,0), 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0=√2×√1+(t -2)2·cos 60°, 所以t=1.所以点E 的位置是AB 的中点. 10如图,在四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为AD ⊥平面PAB ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0).因为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即{x +y -2z =0,2y -2z =0. 令y=1,解得z=1,x=1.所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量.从而cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |=√33,所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√33.能力提升1已知E ,F 分别是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1的中点,则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( ) A.23B.√23C.√53D.2√33D 为坐标原点,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),E (12,1,0),F (0,1,12),D 1(0,0,1),∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,1,0). 设平面AEFD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 {n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x +z =0,-x 2+y =0,∴x=2y=z. 取y=1,则n =(2,1,2),而平面ABCD 的一个法向量为u =(0,0,1),∴cos <n ,u >=2,∴sin <n ,u >=√5.2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是A 1B 1,BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A.√32B.√1010C.35D.25,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),M (1,12,1),C (0,1,0),N (1,1,12),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1),CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,12).∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52. ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1252×52=25.3在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,则EF 与BD 1所成的角是( ) A.90°B.60°C.30°D.0°,以D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a ,则A 1(a ,0,a ),D (0,0,0),A (a ,0,0),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),D 1(0,0,a ), ∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,a ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-a ,a ). ∵EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z ), ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(a ,0,a )=ax+az=0, EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,0)=-ax+ay=0.∵a ≠0,∴x=y=-z (x ≠0).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,x ,-x ).∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aEF ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BD 1∥EF. 故EF 与BD 1所成的角是0°.4二面角α-l-β内有一点P ,若点P 到平面α,β的距离分别是5,8,且点P 在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是( ) A.30°B.60°C.120°D.150°,PA ⊥α,PB ⊥β,∠ADB 为二面角α-l-β的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7, 由余弦定理,可得cos ∠APB=52+82-72=1,则∠APB=60°,故∠ADB=120°.5在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a>0),若平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a= .6在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 .,可知∠CB 1C 1=60°,∠DC 1D 1=45°.设B 1C 1=1,则CC 1=√3=DD 1.∴C 1D 1=√3,则有B 1(√3,0,0),C (√3,1,√3),C 1(√3,1,0),D (0,1,√3).∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3). ∴cos <B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√64.7如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=PC=BC ,且∠BAC=π2,则PA 与底面ABC 所成角的大小为 .,∵PA=PB=PC ,∴P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心.又∠BAC=π2,∴O 在BC 上且为BC 的中点.∴AO 为PA 在底面上的射影,∠PAO 即为所求的角.在△PAO 中,PO=√32PB=√32PA ,∴sin ∠PAO=PO =√3.∴∠PAO=π3.8在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是 .,设棱长为1,则B (1,1,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1),D (0,0,0). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面A 1BD 的一个法向量为n =(1,x ,y ),设BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ,n ⊥A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{-1-y =0,-1-x =0,解得{x =-1,y =-1.所以n =(1,-1,-1),则cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=-√63,所以sin θ=√63.所以cos θ=√1-(√63)2=√33.9如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC ,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.,则A (2,0,0),C (0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2).设AC 的中点为M ,连接BM.∵BM ⊥AC ,BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面AA 1C 1C ,即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)是平面AA 1C 1C 的一个法向量.设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),∴n ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x=0,n ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n =(0,1,1).设法向量n 与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为φ,二面角B 1-A 1C-C 1为θ,显然θ为锐角.∴cos θ=|cos φ|=|n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,解得θ=π3.∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为π3.★10四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD=AB=AA 1=2BC ,E 为DD 1的中点,F 为A 1D 的中点. (1)求证:EF ∥平面A 1BC ;(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值.E ,F 分别是DD 1,DA 1的中点,∴EF ∥A 1D 1.又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,∴EF ∥BC ,且EF ⊄平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , ∴EF ∥平面A 1BC.AB ,AD ,AA 1两两垂直,以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,以AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设BC=1,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),C (2,1,0),D (0,2,0),D 1(0,2,2),F (0,1,1),E (0,2,1), 故FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0). 设平面A 1CD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,2,-2)=2y -2z =0,n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-2,1,0)=-2x +y =0.取n =(1,2,2),则sin θ=|cos <n ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√1+4+4·√0+1+0|=23,故直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值等于23.。

2020年高考数学（理）重难点03 空间向量与立体几何【高考考试趋势】立体几何在高考数学是一个必考知识点，一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，理科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题.前面的重点专题已经对立体几何进行了一系列详细的说明，本专题继续加强对高考中立体几何出现的习题以及对应的题目类型进行必要的加强.本专题包含了高考中几乎所有题型，学完本专题以后，对以后所有的立体几何你将有一个更加清晰的认识.【知识点分析以及满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求.但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．8【答案】B 【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯= 故选B【点睛】：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 2．（2019·天津高考模拟（理））已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．3πB ．C ．D ．12π【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果. 【详解】2BD CD ==Q 且BCD ∆为直角三角形 BD CD ∴⊥又AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD CD AB ∴⊥CD \^平面ABD由此可将四面体ABCD 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即12R == ∴球O 的表面积：2412S R ππ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.3．（2019·河南高考模拟（理））如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．4．（2019·贵州高考模拟（理））设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题：∴若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ∴若//a β，m β⊂，则//m α； ∴若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ∴若//m α，//n β，//m n ，则//αβ其中正确命题的序号是（ ） A ．∴∴ B ．∴∴C ．∴∴D ．∴∴【答案】C 【解析】∴两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于∴，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C.5．（2019·福建高考模拟（理））在三棱锥P ABC -中，3PA PB ==，BC =8AC =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为（ ）．A B C D ．2【答案】A 【解析】 【分析】取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED ，得E 为∴ABC 外接圆的圆心，且OE∴平面PAB ，然后求出∴PAB 的外接圆半径r 和球心O 到平面PAB 的距离等于d ，由勾股定理得R .【详解】解：取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED 因为AB BC ⊥，所以E 为∴ABC 外接圆的圆心因为OE∴PD ，OE 不包含于平面PAB ，所以OE∴平面PAB 因为平面PAB ⊥平面ABC ，3PA PB ==，得PD ⊥AB ，ED ⊥AB 所以PD ⊥平面ABC ，ED ⊥平面PAB且AB =PD 1=所以球心O 到平面PAB 的距离等于ED d ==在∴PAB 中，3PA PB ==，AB =1sin 3PAB ∠=， 所以∴PAB 得外接圆半径2r 9sin PB PAB ∠==，即9r 2=由勾股定理可得球O 的半径R ==故选：A. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，经常用球中勾股定理R =解题，其中R 是外接球半径，d 是球心到截面距离，r 是截面外接圆半径.二、解答题6．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形,//AB AD AB CD ⊥，224AB AD CD ===，4PC =.（1）证明：当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求锐二而角A PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）由PC ⊥底面ABCD ，证得AC PC ⊥，又由勾股定理，得AC CB ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理，可得平面EAC ⊥平面PBC ，即可得到结论；（2）分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面PBC 和平面PAB 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PC ⊥，又因为224AB AD CD ===，所以4AB =，2AD CD ==，所以AC BC ==，所以222AC BC AB +=，从而得到AC CB ⊥．又BC ⊂Q 平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂Q 平面ACE ，所以平面EAC ⊥平面PBC ， 所以当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC. （2）由条件知PC ⊥底面ABCD ，且AB AD ⊥， AB C D ∥所以过点C 作CF CD ⊥交AB 于点F ，分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），所以(0,0,0)C ，(2,2,0)A ，(2,2,0)B -，(0,0,4)P .由（1）知CA u u u r为平面PBC 的一个法向量，因为(2,2,0)CA =u u u r，(2,2,4)PA =-u u u r (2,2,4)PB =--u u u r ，设平面P AB 的一个法向量为(,,)n=x y z r，则(,,)(2,2,4)00(,,)(2,2,4)00x y z n PA x y z n PB ⎧⋅-=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅--=⋅=⎩⎩u uu v r u u u v r ，即02x y z=⎧⎨=⎩，令1z =，则2y =，所以(0,2,1)n =r，所以|||cos ,|5||||CA n CA n CA n ⋅〈〉===uu r ruu r r uu r r ，故锐二面角A PB C --的余弦值5．【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.7（2017·广东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒， PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.(1)设点E 为PD 的中点，求证： //CE 平面PAB ；(2)线段PD 上是否存在一点N ，使得直线CN 与平面PAC 所成的角θ的正弦值为5？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由. 8．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（23）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且FQ =【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC V 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC P 平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,,(1,1,0)PB BC ==-u u u r u u u r.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =r，则(,,)(1,1,0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v r u u u v r即0,0,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,,y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，得1,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以平面PBC的一个法向量为m =r. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u uv r u u uv r ，据此可得01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP的一个法向量为)n =r，cos ,3m n <>==u r r，于是sin ,3m n 〈〉=r r. 故二面角A PB C --（3）设存在点Q 满足条件.由1,0,,(0,22F E ⎛ ⎝⎭，设(01)FQ FE λλ=u u u r u u u r &剟，整理得1,22Q λλ⎛- ⎝⎭，则1),21,22BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62||||BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅u u u r u ru u u r u r u u u r u r 解得21λ=，由知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q，且FQ EF ==.【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n u r r 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>u r r互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．9．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆为等边三角形，22PA AB ==，AC CD ⊥，PD 与平面PAC 所成角的正切值 为5.(∴)证明：//BC 平面PAD ；(∴)若M 是BP 的中点，求二面角P CD M --的余弦值.【答案】（∴）见解析.（∴ 【解析】 【分析】(∴)先证明DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角，于是可得CD =60CAD ∠=︒．又由题意得到60BCA ∠=︒，故得//BC AD ，再根据线面平行的性质可得所证结论． (∴) 取BC 的中点N ，连接AN ，可证得AN AD ⊥．建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDM 的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值． 【详解】(∴)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥又AC CD ⊥,CA PA A =I , 所以CD ⊥平面PAC ，所以DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角． 在Rt PCD V中，PC ==所以CD =所以在Rt PCD V 中，2AD =,60CAD ∠=︒. 又60BCA ∠=︒，所以在底面ABCD 中，//BC AD , 又AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以//BC 平面PAD ．(∴)解：取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥,由(∴)知//BC AD ， 所以AN AD ⊥，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .则(0,0,2)P，1,022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)D，1,144M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以3,022CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，(0,2,2)PD =-u u ur，9,144DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu u r设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由1100n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vu u u v，即111130220y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得1111x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令11y =，则1,1)n =ur．设平面CDM 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r，由2200n CD n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v，即2222230940y y z ⎧+=⎪-+=，得222232x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令21y =，则232n ⎫=⎪⎭u u r ．所以121212331cos ,||||n n n n n n ++⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r ， 由图形可得二面角P CD M --为锐角， 所以二面角P CD M --． 【点睛】空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论． 10．（2018·吉林高考模拟（理））如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ， M ， N 分别是棱AB ， AD ， 11A B ， 11A D 的中点，点P ， Q 分别在棱1DD ， 1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）1λ=±. 【解析】以D 为原点，射线DA ， DC ， 1DD 分别为x ， y ， z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.由已知得()2,2,0B ， ()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ， ()0,0,P λ， ()1,0,2N ， ()2,1,2M ，则()12,0,2BC =-u u u u r， ()1,0,FP λ=-u u u r ， ()1,1,0FE =u u u r ， ()1,1,0NM =u u u u r ， ()1,0,2NP λ=--u u u r.（1）当1λ=时， ()1,0,1FP =-u u u r ，因为()12,0,2BC =-u u u u r，所以12BC FP =u u u u r u u u r ，即1//BC FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ . （2）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,n x y z =r，则由0{0FE n FP n ⋅=⋅=u u u r ru u u r r，得0{0.x y x z λ+=-+=，于是可取(),,1n λλ=-r. 设平面MNPQ 的一个法向量为()',','m x y z =r，由0{0NM m NP m ⋅=⋅=u u u u r ru u u r r，得()''0{'2'0x y x z λ+=-+-=，于是可取()2,2,1m λλ=--r. 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10m n λλλλ⋅=--⋅-=r r，即()()2210λλλλ---+=，解得1λ=±，显然满足02λ<<.故存在12λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性。

高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面
面角
时间过的飞快，距离高考的时间就只剩76天了，同学和老师也越来越紧张了，有些地方欠缺的同学开始寝食难安，老师也赶快奉献点干货来帮助几何证明欠缺的学生。

立体几何其实难度不大，只要你会空间向量，会建系，一切就自然而然水到渠成了。

在这先分析这些立体几何的解题思路。

在立体几何中，第一问一般会让你证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
1、证明线面平行的方法1、平移的方法，找到直线与平面内一条直线平行
2、利用面面平行、证明线面平行
2、证明线面垂直的方法1、证明直线与平面内相交的两直线垂直
3、证明面面平行的方法1、证明一个平面内两相交的直线与另一个平面内两相交的直线互相平行
2、证明平面内两相交的直线分别平行另一个平面
4、证明面面垂直的方法1、先证明一条直线垂直于一个平面，这条直线还在另一个平面内
利用这些方法第一问就可以轻松解决了。

在立体几何第二中，会求线面角、面面角，在第二步中，利用空间向量解决就可以
利用空间向量解决第二问的步骤1、找三垂，建立空间直角坐标系
2、写出各个点的坐标
3、求出直线向量、面的法向量
4、利用夹角公式算出余弦值
下面通过两个例题说明一下这个空间几何。

空间向量与立体几何(角度问题)教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

3、探究题型，掌握解法。

二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。

探究题型，掌握解法。

三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。

在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。

四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。

设计意图我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置①点→空间直角坐标系下点的坐标②线→直线的方向向量③面→平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差平面的法向量→①设；②找；③列；④求。

所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。

因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。

在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.、间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。

立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010例2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ） A.3 B.22 C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A ．85B ．97C ．12D ．2302．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB =4,AC =6,BD =6，则线段CD 的长为（ ）A ．29B ．10C ．241D ．2133．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（ ） A ．313B ．95C ．18D ．214．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．()0,63D ．()63,+∞5．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（ ）A ．3 B ．23C ．3πD ．2π 6．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A 3B 2C ．1D 32-7．在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15B ．56C ．5 D ．228．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．89．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1PA AB BC ===，则二面角A PCB --的大小是（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒10．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C11．已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，11114AE AC =，若1BE xAB yAD zAA =++，则x 的值为（ ）A ．14B ．34-C ．1D ．1212．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．13C ．3 D ．23二、填空题13．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为________.15．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,2b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 16．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -中，M 为棱11D C 的中点，则直线BM 和平面11AC B 所成角的正弦为_____________________.17．如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-中，1,2,AB AD AA BAD BAA ===∠=∠''60DAA =='∠，则AC '的长为__________18．已知向量=211a -（，，），(,1,1)b λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.19．已知点()121A --，，，()222B ，，，点P 在Z 轴上，且点P 到,A B 的距离相等，则点P 的坐标为___________．20．在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,AB ACAA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，E 为PD 中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角P AC E --的余弦值；22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.（1）若P 是线段1A B 的中点，求直线MP 与平面11ABB A 所成角的大小； （2）若N 是1CC 的中点，平面PMN 与平面CMN 所成锐二面角的余弦值为537，求线段BP 的长度.23．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为1BB 的中点.（1）证明：1//BC 平面1AD E ； （2）求直线1BC 到平面1AD E 的距离； （3）求平面1AD E 与平面ABCD 夹角的余弦值.24．如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC折起，得到四棱锥P ABCD -，连结MN .（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求二面角B PC D --的余弦值. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ∠=∠=∠=︒，4PB PD BC CD ====，6AP =.（Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）求PC 与平面PAD 所成角的正弦值.26．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △为等腰直角三角形，90APC ∠=︒，ABC 为正三角形，D 为AC 的中点，2AC =.（1）证明：PB AC ⊥； （2）若三棱锥P ABC -的体积为33，求二面角A PC B --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=AC '=． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．D解析：D 【解析】 【分析】CD CA AB BD =++，利用数量积运算性质可得2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++．根据CA AB ⊥，BD AB ⊥，可得0CA AB =，0BD AB =，由60︒二面角可得；cos120CA BD CA BD =︒，代入计算即可得出． 【详解】解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，1cos12066182CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-．∴222264621852CD =++-⨯=， ∴213CD =故选：D ． 【点睛】本题考查了利用向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3．C解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.4．C解析：C 【分析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】 如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30AOOB ∴==.在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.故选C. 【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度． 【详解】由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12， 如图当E 与C 重合时，4=12，取O 为AD′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=3π，∴∠K0D'=23π， 其所对的弧长为1223π⨯=3π， 故选：C 【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K 的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．6．D解析：D 【分析】由DB ED FE BF =++，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】BD ED FE BF =++,22222221112BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED ∴=+++++=++故32BD =- 故选D 【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．7．C解析：C 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),D A B D ,所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=,因为111111cos ,2AD DB AD DB AD DB ⋅===⨯，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余 C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.8．A解析：A 【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2i AB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i AB BP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+， 因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅， 故集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1， 故选：A. 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.9．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，因为1PA AB BC ===，所以()0,0,0A ，()0,2,0C ，22,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,2,1CP =-，22,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭显然面APC 的一个法向量可以为()1,0,0n =， 设面BPC 的法向量为(),,m x y z =则·0·0m CP m BC ⎧=⎨=⎩，即2022022y z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =则2z =，1x =，所以()1,1,2m = 设二面角A PC B --为θ，则()2221cos 21112n m n mθ===⨯++所以60θ=︒ 故选：C【点睛】本题考查利用空间向量法求二面角，属于中档题.10．B解析：B 【分析】将问题转化为动点P 到直线MN 的距离最小时，确定点P 的位置，建立空间直角坐标系，取MN 的中点Q ，通过坐标运算可知PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ 后，利用二次函数配方可解决问题. 【详解】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为2221||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+-25334z z =-+2221||(11)(10)()2PN z z z =--+--+-25334z z =-+所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得22231||(1)(10)()44PQ z z z =--+--+-29338z z =-+2133()28z =-+所以当12c =时，||PQ 取得最小值64P 为线段1CA 的中点， 由于2||MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.11．B解析：B【分析】根据向量运算得到1113144BE BA AA A E AB AD AA =++=-++，得到答案. 【详解】()11111111131444BE BA AA A E AB AA A B A D AB AD AA =++=-+++=-++，故34x =-.故选：B . 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12．B解析：B 【分析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，计算夹角得到答案. 【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅，故1sin 3α=， 直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13．【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC 的中点即为BD 的中点AC 的中点设D(xyz)则∴x ＝5y ＝13z ＝－3故D(513－3)解析：(5,13,3)- 【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点7(,4,1)2O - ，设D (x ，y ，z )， 则7251,4,12222x y z +-++==-= ∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．14．【分析】以为原点分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解点N 到平面的距离得到答案【详解】由题意以为原点分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则可得设平面的一个法向量为则令可得所以点N 5【分析】以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解点N 到平面1D EF 的距离，得到答案. 【详解】由题意，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则13(2,0,1),(2,,2),(2,,),(0,0,2),(2,2,1)22E M N DF λλ， 可得11(0,2,0),(0,,),(2,0,1)22EF EN ED λ===-， 设平面1D EF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则12020n EF y n ED x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，可得(1,0,2)n =，所以点N 到平面1D EF 的距离555n EN d n⋅===. 故答案为：5.【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，以及空间中点、线、面的位置关系等知识的应用，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.15．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题 解析：22【分析】设空间向量(),,c m n z =，由已知条件可得m 、n 的值，由对任意x ，y R ∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b -+-+=得：||1z =，进而得到答案．【详解】 解：空间向量(1,0,0)a =，13(,2b =， 设空间向量(),,c m n z =，2c a ⋅=，52c b ⋅=， 2m ∴=，1522m = 2m ∴=，3n =，∴空间向量()2,3,c z =，又由对任意x ，y R ∈，()()001c xa yb c x a y b -+≥-+=， 则||1z =， 故(22c =+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．16．【分析】以为原点建立空间直角坐标系写出相应点的坐标从而表示出和平面的法向量根据向量的夹角公式得到答案【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系如图所示设正方体棱长为则所以设面的法向量为所以取得设 【分析】以D 为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，从而表示出BM 和平面11AC B 的法向量，根据向量的夹角公式，得到答案. 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体棱长为2，则()12,0,2A ，()10,2,2C ，()2,2,0B ，()0,1,2M所以()10,2,2BA =-，()12,0,2BC =-，()2,1,2BM =--， 设面11BAC 的法向量为(),,m x y z =， 所以1100BA m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，220220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取1z =，得()1,1,1m =，设直线BM 和平面11AC B 所成的角为θ， 所以sin cos ,m BM m BMm BMθ⋅==⋅()()()22222221112139212111-⨯+-⨯+⨯==-+-+⨯++，所以直线BM和平面11AC B所成角的正弦值为39.故答案为：39.【点睛】本题考查利用空间向量的方法求线面角，属于中档题.17．【解析】所以解析：11【解析】22222||222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC =++=+++⋅+⋅'''⋅'+'222000112211cos60221cos60212cos6011=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=所以11AC='18．【解析】即解析：12λλ<≠-且【解析】a b a b⋅<且与不共线，即212110,1λλ---<≠⇒12λλ<≠-且19．（003）【解析】试题分析：设由题意所以解得考点：两点间的距离公式解析：（0,0,3）【解析】试题分析：设，由题意，所以，解得考点：两点间的距离公式20．【分析】建立空间直角坐标系分别求得再利用即可得到所求角大小【详解】三棱柱为直三棱柱且以点为坐标原点分别以为轴建立空间直角坐标系设则又异面直线所成的角在异面直线与所成的角等于【点睛】本题考查了异面直线 解析：60【分析】建立空间直角坐标系分别求得1=(0,1,1)BA ，1(1,0,1)AC ，再利用111111,cos BA AC BA AC BA AC 即可得到所求角大小．【详解】三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,且BAC 90︒∠=∴ 以点A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，1AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设1=1AB AC AA ==，则(0,0,0)A ,(0,1,0)B ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)C1=(0,1,1)BA ，1(1,0,1)AC ∴11111101co 2,s 22BA AC BA AC BA AC 又异面直线所成的角在（0,90]∴ 异面直线1BA 与1AC 所成的角等于60︒ ．【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．三、解答题21．（1）证明见解析；（26【分析】（1）本题首先可根据PA ⊥平面ABCD 得出PA BD ⊥，然后根据底面ABCD 为正方形得出AC BD ⊥，最后根据线面垂直的判定即可得出结果；（2）本题首先可建立空间直角坐标系，然后求出平面EAC 的法向量n 以及平面PAC 的法向量BD ，最后通过cos ,n BD n BD n BD⋅=⋅即可得出结果.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥， 因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥， 因为=APAC A ，所以BD ⊥平面PAC .（2）如图，以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A 、(2,0,0)B 、(2,2,0)C 、(0,2,0)D 、(0,0,2)P ， 则(2,2,0)BD =-，(2,2,0)AC =，因为E 为PD 中点，所以(0,1,1)E ，(0,1,1)AE =， 设平面EAC 的法向量为(,,)n x y z =，则00AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2200x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则(1,1,1)n =--，因为BD ⊥平面PAC ，所以BD 为平面PAC 的法向量， 则6cos ,3322n BD n BD n BD⋅===⋅⋅， 故结合图像易知，二面角P AC E --6【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定以及二面角的余弦值的求法，若平面外一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直，可通过建立空间直角坐标系的方式求二面角，考查数形结合思想，是中档题.22．（1）4π；（2）42. 【分析】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，由已知条件知1//PH AA 且112PH AA =，即PM 与面11ABB A 所成角为MPH θ=∠，即可求其大小. （2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识,,M N C 的坐标，令(,0,2)P a a -，由向量坐标表示NP ，MN ，NC ，MC ，进而求得面PMN 与面CMN 的法向量，由二面角余弦值即可求参数a ，即可求BP 的长度. 【详解】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，又AB AC ⊥ ，∴//MH AC ，M 是棱BC 的中点，所以H 是AB 的中点，而P 是线段1A B 的中点， ∴1//PH AA 且112PH AA =， PM 与面11ABB A 所成角为MPH ∠，设MPH θ=∠则12tan 12ACMHAA PHθ===，[0,]2πθ∈，∴4πθ=，（2）构建以A 为原点，1,,AB AC AA 分别为x 、y 、z 轴正方向，则(1,1,0),(0,2,1),(0,2,0)M N C ，由等腰1Rt A AB ，可令(,0,2)P a a -，∴(,2,1)NP a a =--，(1,1,1)MN =-，(0,0,1)NC =-，(1,1,0)MC =-， 若(,,)m x y z =为面PMN 的一个法向量，则2(1)00ax y a z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩，令1y =，有(3,1,2)m a a =--，若()111,,n x y z =为面CMN 的一个法向量，则110{0z x y -=-+=，令11x =，有(1,1,0)n =， ∴由题意，知：253737||||221014m n m n a a ⋅==⋅-+，整理得22168360a a -+=，解得187a =或23a =，而P 在线段A 1B 上，有23a =则24(,0,)33P ，∴423BP =.【点睛】 关键点点睛：（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP 与平面11ABB A 所成角的平面角，进而求角. （2）构建空间直角坐标系，设(,0,2)P a a -，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a ，进而求线段长. 23．（1）证明见解析；（2）23；（3）23. 【分析】建立空间直角坐标系A xyz -，设正方体的棱长为2（1）求出平面1AD E 的法向量和1BC ，由11BC n ⊥可得答案；（2）直线1BC 到平面1AD E 的距离即为点B 到平面1AD E 的距离，利用AB n d n⋅=可得答案；（3）求出平面ABCD 的一个法向量设平面1AD E 与平面ABCD 夹角为θ，111cos cos n n n n n n θ⋅=⋅=可得答案.【详解】如图建立空间直角坐标系A xyz -，设正方体的棱长为2则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)D ，1(2,2,2)C ， (0,2,1)E ，（1）设平面1AD E 的法向量为1111(,,)n x y z =，100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩22020x z y z +=⎧∴⎨+=⎩，令1x =，则1,z =-1,2y =111,,12n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，1(2,0,2)BC =， 111(2,0,2)1,,12202C n B ⎛⎫⋅=⋅-=-= ⎪⎝⎭，∴11BC n ⊥，1C B ⊄面1AD E 1//BC ∴平面1AD E .（2）1//BC 平面1AD E ，直线1BC 到平面1AD E 的距离即为点B 到平面1AD E 的距离，(0,2,0)AB =，111,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11AB n d n ⋅==10120(1)21114⨯+⨯+⨯-++=23， ∴直线1BC 到平面1AD E 的距离为23.（3）平面ABCD 的一个法向量为(0,0,2)n =，设平面1AD E 与平面ABCD 夹角为θ，111,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，111cos cos n n n n n n θ⋅=⋅==10102(1)212114⨯+⨯+⨯-++=23，所以平面1AD E 与平面ABCD 夹角的余弦值23. 【点睛】方法点睛：本题考查空间中线面平行关系、线面距离、面面角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，考查学生的空间想象力和运算能力. 24．（1）证明见解析；（2）6- 【分析】（1）取AB 的中点E ，连结EM ，EN ，根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理，先证明平面//MNE 平面PAD ，进而可证//MN 平面PAD ；（2）根据题中条件，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取AB 的中点E ，连结EM ，EN . 因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC . 所以//ME PA ，//EN AD .因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ， 所以//ME 平面PAD ， 同理，//EN 平面PAD .又因为ME NE E ⋂=，ME 、NE ⊂平面MNE ， 所以平面//MNE 平面PAD . 因为MN ⊂平面MNE ， 所以//MN 平面PAD ；（2）因为在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，//AD BC ， 所以BC PA ⊥，即在四棱锥P ABCD -中，BC PB ⊥，BC AB ⊥. 因为//AD BC ，所以AD PB ⊥，AD AB ⊥， 因为PB AB B ⋂=，PB 、AB平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，所以PA AD ⊥.又因为8AD =，3AB =，4PA =，所以5PB =. 所以222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥.以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B ，()0,0,4P ，()0,8,0D ，()3,5,0C ， 所以(3,0,4)PB =-，(3,5,4)PC =-，(0,4)8,PD =-. 设()1111,,x n y z =为平面PBC 的一个法向量，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，令14x =，得1(4,0,3)n =；设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量，则2200n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令21y =，得2(1,1,2)n =.所以1212212cos ,34n n n n n n⋅<>===. 因为二面角B PC D --是钝角， 所以二面角B PC D --的余弦值是 【点睛】 方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可. 25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ 【分析】（Ⅰ）由线面垂直证得线线垂直；（Ⅱ）根据条件证得ED ，EA ，EP 两两垂直，以此建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【详解】解：（Ⅰ）因为60APB APD ∠∠==︒，PD PB =， 所以APB APD △≌△，所以AD AB =. 取BD 的中点E ，连接AE ，PE ， 所以AE BD ⊥，PE BD ⊥， 又AE PE E ⋂=,所以BD ⊥平面PAE . 又AP ⊂平面PAE ，所以AP BD ⊥.（Ⅱ）在APB △中，根据余弦定理得2222cos6028AB AP PB AP PB =+-⋅⋅⋅︒=， 所以27AB =，又因为2BE =，所以26AE =，23PE =， 所以222AP AE PE =+，即AE PE ⊥.又因为PE DB ⊥，AE DB E ⋂=，AE ，DB ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD .如图，以E 为原点，分别以ED ，EA ，EP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,26,0A ，()2,0,0D ，(0,0,23P ，()0,23,0C -，()2,26,0AD =-，(2,0,23DP =-，(0,23,23PC =--.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2260,2230,x y x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则6x =2z =， 所以(6,1,2n =.设PC 与平面PAD 所成角为θ，2sin cos ,PC n θ===，所以PC 与平面PAD 所成角的正弦值为26+. 【点睛】利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).（2）通过平面的法向量来求.若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β，则2πθβ=-或2πθβ=-，故有sin cos l n l nθβ⋅==⋅.26．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）根据PAC △为等腰直角三角形，D 为中点，得到PD AC ⊥，再根据ABC 为正三角形，D 为中点，得到BD AC ⊥.然后利用线面垂直的判定定理证明.（2）设三棱锥P ABC -的高为h ，由 1132P ABC V AC BD h -=⨯⨯⨯⨯==， 求得h ，由以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设为平面PBC 的一个法向量(),,n x y z =，又DB 是平面PAC 的一个法向量，然后由cos ,DB n DB n DB n⋅=求解..【详解】（1）∵PAC △为等腰直角三角形，D 为中点，. ∴PD AC ⊥，又ABC 为正三角形，D 为中点， ∴BD AC ⊥.又PD BD D ⋂=，PD ，BD ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD . 又PB ⊂平面PBD ， ∴PB AC ⊥.（2）设三棱锥P ABC -的高为h ，sin60BD BC =︒=∴113233P ABC V AC BD h -=⨯⨯⨯⨯==， ∴1h =. 又112PD AC ==，∴PD ⊥平面ABC .如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0C -，()0,0,1P∴()0,3,0=DB ，()1,0,1CP =，()1,3,0CB =. 设(),,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则00CP n CB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即030x z x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，得31y z ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴31,1n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 又DB 是平面PAC 的一个法向量， ∴7cos ,DB n DB n DB n⋅==-∴二面角A PC B --的余弦值为77. 【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．。