复杂函数单调性

知识导航对于简单的函数单调性问题，我们一般直接分析函数的解析式和图象，利用函数单调性的定义，便能快速求得问题的答案.对于较为复杂的函数单调性问题，如函数中含有高次式、指数式、对数式，我们常借助导数法来解题.而运用导数法来解答较为复杂的函数单调性问题，能将复杂问题简单化，提高解题的效率.运用导数法解答函数单调性问题，一般有以下几个步骤：1.根据已知条件，明确函数y =f ()x 的定义域；2.对函数f ()x 求导，求出其导函数y '=f '()x ;3.解不等式f '()x <0或f '()x >0.f '()x <0的解集为函数的单调递减区间；f '()x >0的解集为函数的单调递增区间；4.根据函数的单调性建立关系式，求得问题的答案.值得注意的是，运用导数法求解函数单调性问题，一定要先考虑函数的定义域，否则可能得到错解.例1.已知函数f ()x =x 4-3x 2+6，试判断函数f ()x 的单调性.解：∵f ()x =x 4-3x 2+6，∴f '()x =4x 3-6x =4x (x+x-，令f '()x >0，解得<x <0或x.令f '()x <0，解得0<x <或x <.∴函数f ()x 在区间æèçöø÷和+∞)上为增函数；在区间æèçø-∞,和上为减函数.该函数式为4次式，需采用导数法来求解，先对函数求导，然后讨论导函数与0之间的关系，根据导函数与函数单调性之间的关系，判定函数的单调区间及单调性.例2.已知函数f ()x =13x 3+x 2+ax ，试判断函数f ()x 的单调性.解：∵f ()x =13x 3+x 2+ax ，∴f '()x =x 2+2x +a ,当∆=4-4a ≤0，即a ≥1时，x 2+2x +a ≥0恒成立，∴f '()x ≥0，函数f ()x 在R 上恒成立.当∆=4-4a >0，即a <1时，f '()x =x 2+2x +a =0存在两个不同的实根：x 1=-1-1-a ;x 2=-1+1-a ，且x 1<x 2.由f '()x =x 2+2x +a >0,得当x ∈(-∞,-1-1-a )或x ∈(-1+1-a ,+∞)时函数f ()x 单调递增.由f '()x =x 2+2x +a <0,得当-1-1-a <x <-1+1-a 时函数f ()x 单调递减.综上可知：当a ≥1时，f ()x 在R 上单调递增；当a <1时，f ()x 在(-∞,-1-1-a )和(-1+1-a ,+∞)上单调递增；在(-1-1-a ,-1+1-a )上单调递减.该函数的解析式中含有参数.在运用导数法求解时，要先运用求根公式求出导函数的零点，再用零点将函数的定义域划分为三个区间段，分别讨论每个区间段上函数的单调性即可解题.例3.若f ()x =-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上为减函数，则b 的取值范围是.解：∵f ()x =-12x 2+b ln(x +2)，∴f '()x =-x +b x +2≤0在(-1,+∞)上恒成立，即b ≤x (x +2)在(-1,+∞)上恒成立，∵x ()x +2=()x +12-1>-1，∴b ≤-1.该函数式中含有对数式，我们需运用导数法来解题，先对函数求导，使在(-1,+∞)上f '(x )≤0，便可确保函数在区间在(-1,+∞)上单调递减.解不等式即可解题.可见，导数法是解答复杂函数单调性问题的重要工具.在运用导数法解答函数单调性问题时，同学们要明确导函数与函数单调性之间的关系，运用导数法解答函数单调性问题的步骤，灵活运用导数来解题.（作者单位：甘肃省陇南市宕昌县第一中学)何发科40。

有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

函数的单调性证明函数的单调性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数的增减关系。

在数学证明中，为了证明一个函数的单调性，我们通常需要使用导数的概念和相关的数学性质。

下面将从定义单调性开始，介绍函数单调性的证明方法和常用的技巧。

一、定义和性质在数学中，对于定义在区间上的函数f(x)，我们说它是单调递增的，如果对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)小于或等于f(b)，即f(a)<=f(b)。

如果不等号取等号即为单调递增严格的定义。

类似地，函数f(x)是单调递减的，当且仅当对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)大于或等于f(b)，即f(a)>=f(b)。

同样，当不等号取等号时，为单调递减严格的定义。

对于一个单调递增的函数f(x)，我们有以下性质：1.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上任意一点的左极限总是小于或等于右极限，即f(a-)≤f(a+)≤f(b-)≤f(b+)；2.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其必须在该区间内是有界的；3.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上是可积的；4.若函数在区间[a,b]上连续，则其在该区间上的函数值区间是连续的。

二、证明方法在证明函数的单调性时，我们常常使用导数的相关性质。

导数可以表示函数的变化率，而单调性对应于导数的正负性。

具体的证明方法主要有以下几种。

1.利用导数的定义证明利用导数的定义f'(x) = lim(h->0)(f(x+h) - f(x))/h来证明函数的单调性。

首先计算导数f'(x)，然后判断f'(x)在给定区间内的正负性来推断函数的单调性。

2.利用导数的性质证明利用导数的性质来证明函数的单调性，包括导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减，以及导数恒为0表示函数是常数等。

这种方法通常适用于已知函数的导数形式的情况。

3.利用导数的比较性质证明对于两个函数f(x)和g(x)，如果在给定区间内f'(x)>=g'(x)，那么我们可以推断f(x)>=g(x)，即f(x)单调递增；如果f'(x)<=g'(x)，那么我们可以推断f(x)<=g(x)，即f(x)单调递减。

-1-常用函数单调性知识点总结判断函数单调性的常用方法有：图像法、性质法、复合函数法、定义法、导数法等.利用函数图象确定函数单调性及单调区间是一种直观又简单的方法，而对于较复杂函数的单调性和单调区间，往往利用一些基本函数的单调性、函数单调性定义或利用导数法来求.注：1.函数的单调区间应该用区间表示，不宜用集合或不等式表示。

2.如果一个函数有多个单调区间，则注意要分别写，往往不能用“ ”和“或”连接.3.“函数的单调区间”指的是函数所有单调增或单调减的最大区间。

“函数在某区间上单调”中的“区间”既可以是函数的某个最大的单调区间，也可以是函数的某个最大的单调区间的子区间.一、抽象函数单调性1.（1）()y f x =-与()y f x =的单调性相反.（2）()y f x c =+（其中c 为常数）与()y f x =的单调性相同.（3）()y c f x =⋅与()y f x =的单调性关系①当0c >时，两者的单调性相同.②当0c <时，两者的单调性相反.（4）设()y f x =在某区间D 上的函数值恒正或恒负，则有()y f x =在区间D 上具有单调性时，()1y f x =也在区间D 上具有单调性，且()1y f x =与()y f x =在该区间上的单调性相反.（5）若()0f x ≥，则()y f x α=（0α>）与()y f x =的单调性相同.（6）具有公共定义域的两个单调函数中，常用到以下结论：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-增函数=减函数.二、复合函数的单调性1.定义设()(),y f u u u x ==，则函数()()y f u x =叫做复合函数.2.复合函数单调性口诀：“同增异减”.（1）内外两层函数单调性相同时，复合函数为增函数.即：①内 ，外 ⇒ ；②内 ，外 ⇒ .（2）内外两层函数单调性相反时，复合函数为减函数.即：①内 ，外 ⇒ ；②内 ，外 ⇒ .注：1.注意复合函数与两函数的四则运算的区别.2.运用复合函数口诀判定单调性时，一定要分清内外层函数对应的函数形式.三、函数单调性相关问题的常见类型和解题策略（1）比较大小。

第四讲 函数单调性的判断与证明一、基本知识1、函数的分类：基本函数：解析式参数是已知的复杂函数：由多个基本函数的混分而成的。

抽象函数：参数是未知数的函数复合函数：自变量中含有代数式或基本函数的函数。

2．函数的单调性的定义（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时（x1-x2<0)，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时（x1-x2<0)，都有，那么就说函数在区间上是减函数. 3、对于一些常用的关于函数单调的性质判别结论： ⑴．f(x)与f(x)+C 单调性相同。

（C 为常数）⑵．当k>0时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当k<0时， f(x)与kf(x)具有相反的单调性。

⑶．当f(x)恒不等于零时，f(x)与1/f(x)具有相反的单调性。

⑷．当f(x)、g(x)在D 上都是增（减）函数时，则f(x)＋g(x)在D 上是增（减）函数。

⑸．当f(x)、g(x)在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，f(x)g(x)在D 上是增（减）函数；当f(x)、g(x)在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，f(x)g(x)在D 上是减（增）函数。

⑹．设y=f(x),x ∈D 为严格增（减）函数，则f(x)必有反函数，且反函数在其定义域f(D)上也是严格增（减）函数。

4.复合函数单调性的判别结论：以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t ＝g (x )(常称内层函数)的值域，否则无法确定f (t )(常称外层函数)的单调性．5.用定义证明函数单调性中的变形策略由定义证明函数f (x )在区间D 上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号→写结果．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f (x 1)－f (x 2)的符号的关键所在．常见变形方法有因式分解、配方、同分、有理化等，下面举例说明.I ()D D I ⊆1x 2x 12x x <()()12f x f x <()f x D I ()D D I ⊆1x 2x 12x x <()()12f x f x >()f x D二、例题精讲：1：定义法（定义法证明或判断函数单调性的方法步骤）一般地，设f(x)为定义在D上的函数。

复合函数单调性口诀函数的单调性是数学分析的基本概念，它是描述函数由低到高或从高到低变化的一个重要概念。

对于复合函数，其单调性也是一个重要概念，而它的口诀更是数学分析中一个重要内容。

下面就为大家介绍一下复合函数单调性的口诀。

1.凡函数单调性：左减右减，右加左加，分号改号，号码倒置。

2.函数单调性：单调转为元函数，号码调整，分号改号，右加左加。

3.函数单调性：原函数单调，反函数分号倒置，左减右减，号码调节。

4.函数单调性：分号改号，右加左加，号码倒置，分母分子全反。

通过上面的口诀，我们不难发现，复合函数的单调性判断主要是改变号码，即分号改号，左减右减，右加左加，号码倒置等。

因此，对于复合函数的单调性可以用口诀的方式记住，使用时也更加方便，更加容易记忆。

首先，先来讲讲平凡函数单调性。

平凡函数单调性指的是平凡函数的单调性。

平凡函数指的是一种把一个函数映射到另一个函数的函数，即f（g（x））的形式。

关于平凡函数的单调性，可以用口诀“左减右减，右加左加，分号改号，号码倒置”进行记忆。

一般情况下，如果这个口诀中的号码都是正数，则说明该函数是单调递减的；如果这个口诀中的号码都是负数，则说明该函数是单调递增的。

这句口诀使人们更加清晰的理解了平凡函数的单调性。

其次，关于元函数单调性的口诀，其核心就是“单调转为元函数，号码调整，分号改号，右加左加”，它的意思是如果原函数是单调的，那么元函数就是反过来的，即号码要调整，分号要改号，右加左加。

如果原函数是单调递减的，则元函数就是单调递增的，反之亦然。

随后，还有反函数单调性的口诀“原函数单调，反函数分号倒置，左减右减，号码调节”。

它的意思是如果原函数是单调的，则反函数就要把原函数的分号倒置一下，左减右减，号码要调整。

同样，如果原函数是单调递减的，则反函数就是单调递增的，反之亦然。

最后，再谈一下幂函数单调性的口诀，它的口诀是“分号改号，右加左加，号码倒置，分母分子全反”，即当原函数的分号改号，右加左加，号码倒置，分母分子全反时，幂函数就是从低到高或从高到低变化的。

函数的单调性(局部性质)及最值1、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.习 题1、判断函数单调性（1）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A. y=-x+1B. y=xC. y=x2-4x+5D. y=x 2（2）已知f(x)是R 上的增函数，若令F （x ）=f(1-x)-f(1+x)，则F （x ）是R 上的（ ）A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 (3) 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y=2x ＋1B ．y=3x2＋1C ．y=x 2D ．y=2x2＋x ＋1（4）下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝3x2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x|(5) 下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )A.y=3xB.y=-x2C.y=︱x ︱D.y=2x+1(6) 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．（7）定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，e －x ，x <0以下注意复合函数单调性的判断（8）已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数答案：（1）B （2）B (3) C （4）C (5) C (6) D （7）C （8）A2、 求函数的单调区间（1） 函数y=542)21(--x x 的递减区间是__________________.（2） 函数y ＝－(x －3)|x|的递增区间是________．（分段函数作图） （3） 函数|1|ln )(-=x x f 的单调递减区间为 ________．（分段函数作图） （4） 函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)（5）函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞（6） 求函数f (x )＝x ＋a 2x (a >0)的单调区间．答案：（1）［2，+∞］ （2）[0，32] （3）)1,(-∞ （4）B （5）C（6）解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2x 2＝(x 1－x 2)＋a 2x 2－x 1x 1·x 2＝x 1－x 2x 1·x 2－a 2x 1·x 2.(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数．(2)当－a ≤x 1<x 2<0或0<x 1<x 2≤a 时，x 1－x 2<0， 0<x 1·x 2<a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－a,0)和(0，a ]上都是减函数．3、 根据函数单调性求得参数的取值范围（x 的取值范围）（1）函数y=(2k+1)X+b 在(-∞，+∞)上是减函数，则（ ）A.k>21 B.k<21 C.k>-21 D.k<-21 (2) 函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2 (3) 函数y ＝2x2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是( )A ．1B ．3C ．5D ．－1（4）已知函数f(x)=ax+logax （a ＞0且a ≠1）在［1，2］上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a 的值为________．（5）已知关于x 的函数y=loga(2-ax)在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是________ （6）函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．(21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（7）已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3(8) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)(9)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)(10) 若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．(11)设函数f(x)=x+xa(a>0). ①求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之； ②若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围.(12) 已知函数f (x )＝a －1|x |.①求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；②若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(13) 函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．答案：(1)D (2)C (3)C (4) 2 （5）（1，2） （6）B （7）A (8)C(9)B (10) 12<a ≤23（11）解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a ,+∞］，减区间为（0，a ）. 证明：∵f ′(x)=1-2xa,当x ∈［a ,+∞］时， ∴f ′(x)>0,当x ∈（0，a ）时，f ′(x)<0.即f(x)在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减.（或者用定义证） （2）［a-2,+∞］为［a ，+∞］的子区间，所以a-2≥a ⇒a-a -2≥0⇒(a +1)( a -2)≥0⇒a -2≥0⇒a ≥4.（12）解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0. f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]． （13）解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.4、根据函数单调性求x 的取值范围（1）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f(x)>f(8x-16)的解集为_______________. （2）已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（3）已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）（4）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23）B ．（∞-，23）C ．（12，23）D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32答案：（1）（2，716） （2）D （3）D （4）C5、根据函数单调性求函数最值（1）已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在区间[3,5]上单调递增，则函数f(x)在区间[1,3]上的( )A ．最大值是f(1)，最小值是f(3)B ．最大值是f(3)，最小值是f(1)C ．最大值是f(1)，最小值是f(2)D ．最大值是f(2)，最小值是f(3)（2）定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)， x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12（3）函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a ，则a ＝________.（4）已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．Ⅰ求f (0)的值； Ⅱ求f (x )的最大值；Ⅲ若对于任意x ∈[0,1)，总有4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围．答案：（1）A （2）C （3）12（4）解：Ⅰ对于条件③，令x 1＝x 2＝0得f (0)≤0， 又由条件①知f (0)≥0，故f (0)＝0. Ⅱ设0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0,1)，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)≥0. 即f (x 2)≥f (x 1)，故f (x )在[0,1]上递增，从而f (x )的最大值是f (1)＝1.Ⅲ因f (x )在[0,1]上是增函数，则f (x )∈[0,1]，又4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0⇒a ≤4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )对x ∈[0,1)恒成立，设y ＝4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )＝1－f (x )＋14[1－f (x )]≥1，则a ≤1.6、 根据函数单调性判断函数值大小（1）设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）A.f(2a)<f(a)B.f(a 2)<f(a) C.f(a 2+a)<f(a) D.f(a 2+1)<f(a) 答案：D（2）定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)（3）已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) （4）已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ． f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) （5）定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负答案：（1）D （2）A （3）C （4）B （5）A。

函数单调性与值域【教学目标】一、函数单调性【知识点】 函数的单调性（1）函数单调性的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为x ，如果对于定义域()f x −内的某个区间y 内的任意两个自变量()f x ，当y 时，都有()f x −（()f x ），那么就说()f x −−在区间x 上是增函数（减函数）。

如果一个函数在某个区间M 上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性. 其中，区间M 称为单调区间.增(减)函数定义中的y ，x 的三个特征：一是任意性；二是有大小，即()1xf x x =−−；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可。

（一）定义法证明函数单调性【知识点】用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取1212x x D x x ∈<，，且； 2.作差: 12()()f x f x －；3.变形:通常是通分、因式分解和配方；4.定号:判断差12()()f x f x －的正负；5.结论:指出函数()f x 在给定的区间D 上的单调性.【例题讲解】★☆☆例题1．根据定义证明函数1y x x=+在区间1,)+∞（上单调递增。

证明：1212,(1,),,x x x x ∀∈+∞<且有12121212,(1,),1, 1.1,10x x x x x x x x ∈+∞>>>−>由得所以★☆☆练习1．已知函数[]()0,21f x x =−∈+（，x ，用定义证明()f x 在区间[]0,2上是增函数.由1202x x ≤≤＜ ，得()()21120110x x x x －＞，＋＋＞ ，所以()()120f x f x －＜ ，即()()12f x f x ＜ ， 故()f x 在区间[]0,2 上是增函数. 知识点要点总结：定义法证明函数单调性的步骤是比较固定的，需要注意的就是第3步变形过程中注意，变形的目的是化成一个能够判断正负的形式，结合12x x <能够判断正负。

函数单调性判断方法要判断一个函数的单调性，我们需要先了解什么是单调函数。

在数学中，如果函数的定义域为一个实数集，函数的值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的减小而减小，那么这个函数就是单调函数。

简单来说，单调函数要么是递增的，要么是递减的。

接下来，我们将介绍三种常见的方法来判断函数的单调性。

第一种方法是使用导数的概念。

如果函数在定义域上连续，并且在每个点处的导数大于零，那么函数是递增的；如果函数在定义域上连续，并且在每个点处的导数小于零，那么函数是递减的。

要判断函数的导数符号，可以先求出函数的导数表达式，然后找出导数表达式的零点。

在零点的左侧，导数为负，函数递减；在零点的右侧，导数为正，函数递增。

如果函数的导数在某个区间上恒为正（或恒为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。

第二种方法是使用二阶导数的概念。

如果一个函数的二阶导数大于零，那么函数是凹的，也就是递增的；如果一个函数的二阶导数小于零，那么函数是凸的，也就是递减的。

要判断函数的二阶导数的符号，可以先求出函数的二阶导数表达式，然后找出二阶导数表达式的零点。

在零点的左侧，二阶导数为负，函数凸；在零点的右侧，二阶导数为正，函数凹。

如果函数的二阶导数在某个区间上恒为正（或恒为负），则函数在该区间上凹（或凸），即单调递增（或单调递减）。

第三种方法是使用区间端点的值来判断单调性。

对于函数f(x)，如果在一个区间(a, b)上，当x逐渐从a增加到b时，有f(a) < f(b)，那么函数在该区间上单调递增；如果在一个区间(a, b)上，当x逐渐从a增加到b时，有f(a) > f(b)，那么函数在该区间上单调递减。

这种方法主要适用于一些简单的函数，例如多项式函数、指数函数、对数函数等。

需要注意的是，这三种方法都是相对简化的判断方法，适用于一些简单的函数。

对于复杂的函数，我们可能需要综合运用多种方法来判断函数的单调性。

举个例子，我们来判断函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的单调性。