第六章 机械振动基础(大学物理)------曹不正

解：
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6.1.4 简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 1. 动能
1 2 1 2 Ek mv kA sin 2 ( t ) 2 2
1 Ek T
Ek max 1 2 kA 2
Ek min 0
平均动能 2. 势能

t T t
1 2 Ek dt kA 4
m O x
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大学物理学
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第六章
机械振动基础
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第6章
6.1 6.2 6.3
机械振动基础
简谐振动 简谐振动的合成 阻尼振动 受迫振动
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6.1 简谐振动
6.1.1 简谐振动的基本概念及特征
1．简谐振动的运动学特征
物体振动时，其位置的坐标对平衡位置 的位移按余弦（或正弦）函数规律随时间 变化．这样的振动称为简谐振动，简称谐 振动．若以平衡位置为坐标原点，沿质点 运动方向建立坐标，则简谐振动的运动方 程为
x A cos(t )
式中A、ω、φ是由系统初始条件及振动系统本身性质所决 定的常量
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2．简谐振动的动力学特征:(以弹簧振子为例) 1. 受力特点
线性恢复力
F kx
2. 动力学微分方程
牛顿第二定律
改写为
d2 x k x0 2 dt m
ω k m
d2 x kx m 2 dt
O
x
O
x
A
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例1 物理摆如图所示, 设刚体对轴的转动 惯量为J。设 t = 0 时摆角向右最大为
0。
求 振动频率和振动方程。 解
M J

M mgh sin
mgh 0 J 0 cos(ω t )
mgh sin 0 J
(第二象限)
(第一象限)
（ 第 四 象 限 ）
=
(第三象限)
= 3/2
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2．两个不同频率相互垂直的简谐振动的合成 李萨茹图形
x A1 cos(1t 1 )
频率之比 有理数 无理数 轨迹
y A2 cos(2t 2 )
周期性 周期性运动 非周期性运动
1 2 1 2 Ep kx kA cos2 ( t ) 2 2
3. 机械能
1 2 E Ek Ep kA 2
（简谐振动系统机械能守恒）
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例3: 将弹性系数为3.16N/m的轻弹簧一端固定，另一端连接一 质量为2.0*10-2kg的物块，物块置于光滑的水平桌面上．现 将弹簧压缩2.4×10-2m的距离后释放，任其振动
A
a
o
x
a 2 A cos( t )
A 2 cos( t )
x A cos(t )
位置
x 轴投影
坐标
圆周运动小球
速度
加速度
速度
加速
谐振动物体
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t 时刻
A
x v
v A cos( t π / 2) A sin( t )
x1 A cos1t
x2 A cos 2t
2. 合振动
x x1 x2 A cos1t A cos 2t
2 1 2 1 2 A cos( ) t cos( )t 2 2
振幅
当 2 1 时 , 随 t 缓变 随 t 快变
2 1 2 + 1。
令
解得
d2 x 2x 0 dt 2 x(t ) A cos(ω t )
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位移
x(t ) A cos(ω t )
v(t ) x Aω sin(ω t )
速度
加速度
a(t ) Aω 2cos(ω t ) x
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求:(1)物块的振动方程； (2)弹簧伸长1.2×10-2m时弹簧振子的动能、势能和总能量 解： 以物块的平衡位置为坐标原点建立x轴，如图所示，释放时 刻作为计时起点 物块做简谐振动，其运动 方程形式为
x A cos(t )
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x0 2.4 102 cos 2.4 102
闭合曲线 非闭合曲线
李萨如图形
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李萨茹图形
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李萨茹图形
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6.3 阻尼振动 受迫振动
6.3.1 阻尼振动
1. 受力特点
F
f
线性恢复力 F kx
阻尼力
f μ x
μ k x x x 0 m m
2. 振动的微分方程(以弹簧振子为例)
m kx μ x x
A2
ω2
x x1 x2 A A1 A2
• 当 A1 、 A2 方向相同时， A 有最大值
A
ω1
• 当A1 、 A2 方向相反时， A 有最小值
A A1 A2
合振动 x 不再是简谐振动
O
A1
x
x x1 x2
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振幅相同频率不同的简谐振动的合成
1. 分振动
2. 合振动

x x1 x2 A cos(t )
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A2
A
1
A1
x
2
O
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
x x1 x2
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A1 sin 1 A2 sin 2 arctan 0 A1 cos1 A2 cos 2
合成振动的方程为
x 2 cos(3t ) cm
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6.2.2 同方向不同频率简谐振动的合成 拍现象 1. 分振动
x1 A1 cosω1 t
2. 合振动
x2 A2 cosω2t
v (ω2 ω1 ) / 2π v2 v1
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6.2.3 两个相互垂直的简谐振动的 1. 分振动 x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 ) 2. 合运动轨迹 x2 y2 x y 2 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A1 A2 A12 A2 讨论 (1) = 2 1=k 时
所以 故物块的振动方程为
（2）据题意
Ek

(rad)
x A cos(t ) 2.4 102 cos(4 t )(m)
x 2.4 10 cos(4 t ) 1.2 10
2 2
t
可得弹簧振子的动能为
1 2 1 1 mv 2.0 10 2 [2.4 10 2 4 sin( 4 )] 2 6.8 10 4 (J) 2 2 6 1 2 1 1 kx 3.16 [2.4 10 2 cos( 4 4 )] 2 2.3 10 4 (J) 2 2 6
合振动 x可看作是振幅缓变的近似简谐振动。
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3. 拍的现象 x1 x2
x1 A cos1t
t
x2 A cos 2t
t
x
x x1 x2
t
x x1 x2 2 A cos(
拍频 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即
2 1 2 1 ) t cos( )t 2 2

速度 加速度
v A sin( t )
a 2 A cos( t )
相位反映了物 体某一时刻的 运动状态
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两个振动 x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
相位差
1. 超前和落后
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
1 s 6
可得弹簧振子的势能为
Ep
E Ek E p 6.8 104 2.3 104 9.1104 (J)
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6.2 简谐振动的合成
6.2.1 同方向同频率简谐振动的合成
1. 两个分振动
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
(2) 大阻尼和临界阻尼
大 阻 尼:
临界阻尼:
2 n2 0 2 n2 0
在临界阻尼状态下，物体回到并停 留在平衡位置，所需时间最短。
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6.3.2 受迫振动 1.受力特点 弹性力
kx
F
阻尼力 周期性策动力F F0 cost
x
F1 kx
F F0 cost
x2 y2 x y 2 2 0 2 A1 A2 A1 A2
(2) = k + /2 时
x y 0 轨迹为直线 A1 A2
轨迹为正椭圆
x2 y2 2 1 2 A1 A2
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= 0
(3) =k 时 轨迹为直线 • = k + /2 时 轨迹为正椭圆 = /2
A
2

t = 0 时刻
t+
a
o
x
a 2 A cos( t )
x A cos( t )
A 2 cos( t )
振幅 角频率 相位
半径
圆周运动小球
角速度
谐振动物体
A与x 轴夹角
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例2: 弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，A为振幅，t=0时刻 情况如图所示，O为原点 求: 图中各种情况下振子的初相