经济数学—微积分第4章内容总结
- 格式:pptx
- 大小:85.00 KB
- 文档页数:6
大一微积分每章知识点总结微积分是数学的重要分支之一,用于研究变化率与累积效应。
在大一微积分课程中,我们学习了许多重要的知识点,这些知识点为我们进一步学习高级数学打下了坚实的基础。
本文将对大一微积分每章的知识点进行总结,以帮助读者巩固所学内容。
第一章:函数与极限在这一章中,我们学习了函数的概念与性质,以及极限的定义与运算法则。
函数是一种将一个数集映射到另一个数集的规则,可以用数学公式或图形表示。
极限是函数在某个点无限接近于某个值的情况,是微积分的基础概念之一。
第二章:导数与微分导数是用来描述函数变化率的概念,它表示函数在某一点处的切线斜率。
我们学习了导数的计算方法,包括基本导数公式、加减乘除法则、链式法则等。
微分则是导数的应用,用于计算函数在某一点的近似值,并研究函数的局部特征。
第三章:微分中值定理与导数的应用在这一章中,我们学习了微分中值定理和导数的应用。
微分中值定理是描述函数在某个区间内存在某点的斜率等于该区间的平均斜率的定理,包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
导数的应用包括函数的单调性、极值点、凹凸性等的判断与求解。
第四章:不定积分不定积分是导数的逆运算,用于求解函数的原函数。
我们学习了不定积分的基本性质和常用的积分公式,包括换元法、分部积分法、有理函数的积分等。
通过不定积分,我们可以求解函数的面积、曲线长度等问题。
第五章:定积分与定积分的应用定积分是用来计算曲线下面积的工具,也可以表示变化率与累积效应。
我们学习了定积分的定义和性质,以及计算定积分的方法,如换元法、分部积分法和定积分的几何应用等。
定积分的应用包括计算曲线的弧长、质量、物体的质心等。
第六章:微分方程微分方程是用导数和未知函数构成的方程,研究函数之间的关系。
我们学习了常微分方程的基本概念和解法,包括一阶线性微分方程和可分离变量的方程等。
微分方程是实际问题建模与求解的重要工具,应用广泛于物理、化学、工程等领域。
通过对大一微积分每章的知识点进行总结,我们回顾了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、微分方程等内容,巩固了所学知识,并为之后学习高级数学打下了坚实的基础。
第四章 微分中值定理与导数应用(Median theory of differentiate and the application of derivative)导数和微分在现实世界中有着十分广泛的应用,从上一章所述的导数的概念及其几何意义可以知道,用导数可以求运动物体的瞬时速度、瞬时加速度,并可解决曲线的切线和法线等问题。
但是,在自然科学和工程技术中,经常会遇到很多更为复杂的问题,例如求炮弹的最大射程、行星离开太阳的最近和最远距离、经济问题中的最大效益、工程设计中精确度较高的估算、求00或∞∞型的极限、研究复杂函数曲线的性态等等,这就需要进一步研究导数在各方面的应用。
本章首先介绍微分中值定理,然后利用这些定理进一步研究导数在各方面的应用。
§4-1 微 分 中 值 定 理(Mediam theory of differentiate )一、费马Th.()()()()()()()()()'000'0,,()0.f x f x x f x f x f x f x f x ∈≥≤=00设在U x 内有定义,且存在,若对于任意的U x 都有或则:证 费马Th.定理------一般的,使 ()00='x f 的点0x 称为()x f y =的驻点(或稳定点、静止点) 使()x f '不存在的点0x 称为()x f y =的奇异点(举例说明:x y x y ==,3)二、三个中值定理及其相互关系罗尔(Rolle ,1652—1719,法国)。
拉格朗日(.J L Lagrange -,1736—1813,意大利)。
柯西(Gauchy ,1789—1851,法国)。
罗尔(Role )定理 如果函数()y f x =满足条件: (1)在闭区间[],a b 上连续 (2)在开区间(),a b 内可导 (3)()() f a f b =那么在(),a b 内至少存在一点ξ , 使得()0f ξ'=.拉格朗日中值定理 如果函数()f x 满足(1)在闭区间[,]a b 上连续 (2)在开区间(,)a b 内可导那么在(,)a b 内至少存在一点ξ()a b ξ<<, 使得等式()()() ()f b f a f b a ξ'-=- (1)成立.柯西(Cauchy )中值定理 如果函数()f x 及()g x 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且()g x '在(,)a b 内的每一点处均不为零, 那么在(,)a b 内至少存在一点ξ , 使等式()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-成立.证拉氏定理 引进辅助函数()()()()()f b f a x f x b x b aφ-=+--容易验证函数()x φ适合罗尔定理的条件: ()x φ在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, ()()()a b f b φφ==, 且()()()()f b f a x f x b aφ-''=--.根据罗尔定理可知,在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ, 使()0φξ'=, 即()()()0f b f a f b aξ-'-=-.由此得()()()f b f a f b aξ-'=-,即()()()()f b f a f b a ξ'-=-.定理证毕.拉格朗日中值公式的其他形式:设x 为区间[,]a b 内的一点,x x +∆为这区间内的另一点(0x ∆>或0x ∆<), 则在[,]x x x +∆ (0x ∆>)或[,]x x x +∆ (0x ∆<)上应用拉格朗日中值公式, 可得()()()f x x f x f x x x θ'+∆-=+∆∆,01θ<<. (2) 如果记()f x 为y , 则上式又可写为()y f x x x θ'∆=+∆∆,01θ<<. (3)把(3)式与微分()dy f x x '=∆比较,微分()dy f x x '=∆是函数增量y ∆的近似表达式, 一般来说,以dy 近似代替y ∆时所产生的误差只有当0x ∆→时才趋于0. 而()f x x x θ'+∆∆则给出了自变量取得有限增量x ∆ (x ∆不一定很小)时,函数增量y ∆的准确表达式. 因此拉格朗日中值定理又称为有限增量定理,(3)式又称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中,当自变量x 取得有限增量x ∆且需要求函数增量y ∆的准确表达式时, 拉格朗日中值定理就显出其重要价值.例1) 设()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,证明在(),a b 内至少存在一点ξ,使()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-.( 令()()F x xf x =),则由题设可得()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导且有--------------例2) 设0a b <<,函数()f x 在闭区间[],a b 上可导,证明在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使等式()()()lnb f b f a f aξξ'-=成立.证明 令()ln g x x =,则函数()f x 和()g x 满足柯西中值定理的条件,由柯西中值定理可知---------三、2个推论1 、若f(x) 在(a,b )上恒有('x f =0 ,则f ( x ) = c (常数)。
微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1.1函数定义与符号1.2极限概念与运算法则1.3求极限的方法1.4函数的连续性1.1函数的定义(P1)1.若变量x、y之间存在着确定的对应关系,即当x的值给定时,唯一y值随之也就确定,则称y是x的函数,记为y=f(x)。
2.确定函数有两个要素:函数的定义域和对应关系。
例如:y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数,因为它们的定义域不同。
一旦在问题中设定函数y=f(x),记号“f”就是表示确定的对应规则,f(3)就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
P6)称幂函数x k(k为常数),指数函数a x ,对数函数loga x (a为常数,a﹥0,a≠1)三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次...加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数,称为初等函数。
(1)有界性:(P5)对于函数f(x),若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界,既有上界又有下界简称有界。
(2)奇偶性:(P3)若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间,又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
(3)单调性:(P4)若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘(4)周期性:(P5)若存在常数a(a≠0),使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数,称常数a 为f(x)的周期。
1.2极限概念与运算法则P11)当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ,则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。
称常数b 为它的极限,记为ax →lim f(x)=b 否则就称极限不存在。
微积分的力量第四章总结在微积分的力量这本书的第四章呀,可真是充满了神奇又有趣的东西呢。
这一章就像是一场奇妙的冒险。
就好像我们去探索一个神秘的城堡,里面有好多意想不到的宝贝。
它主要讲了积分的一些特别厉害的作用。
比如说呀,我们可以把积分想象成是收集小碎片的魔法。
想象一下,我们有好多形状奇怪的小碎片,这些小碎片就像是生活里各种各样的小事情或者小物件。
积分呢,就像是把这些小碎片一点一点地收集起来,最后变成一个大的、完整的东西。
就像我们要知道一个不规则形状的花园到底有多大。
这个花园可不是那种方方正正的,它的边边弯弯扭扭的,像小蛇一样。
要是按照我们以前学的那些简单的计算长方形、正方形面积的方法可就不行啦。
但是积分就像一个超级聪明的小助手,它能把这个弯弯扭扭的花园分成好多好多特别特别小的小块块。
这些小块块呢,就可以近似看成小长方形或者小正方形啦。
然后把这些小块块的面积都加起来,就得到了整个花园的面积。
这是不是超级神奇呀?还有呢,在生活里有一些东西是一直在变化的。
就像水在水管里流,它不是一直流得一样快的。
有时候流得快,有时候流得慢。
那我们怎么知道在一段时间里一共流了多少水呢?这时候积分又发挥大作用啦。
我们可以把时间分成一小段一小段的,在每一小段时间里,水的流速虽然也有变化,但是我们可以近似看成是不变的。
然后把每一小段时间里流的水量算出来,再把这些水量加起来,就知道总的流水量了。
这就好像是把很多个小水滴汇聚成了一大桶水一样呢。
这一章还让我们知道,积分就像是一个耐心的小工匠。
它慢慢地把那些分散的、不容易计算的东西,通过把它们分成小部分,再组合起来的方式,变成我们能知道、能计算的结果。
它就像是把散落在地上的珍珠一颗一颗串起来,最后变成了一条漂亮的珍珠项链。
总的来说,这一章的积分就像一个超级工具,能解决好多我们以前觉得很难很难的问题。
它让我们看到,那些看起来乱七八糟、不好计算的东西,只要用对了方法,就可以轻松搞定。
就像在黑暗里找到了一盏明亮的灯,有了积分这个小助手,我们就能在数学这个充满奇妙的世界里走得更远,发现更多好玩的东西啦。