高中数学 第二章《2.2.1 直接证明--综合法与分析法》教案 新人教A版选修2-2

§2. 2 .1 直接证明--综合法与分析法1．教学过程:学生探究过程：1.综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列,,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是 A + B + C =； a , b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是2b ac ．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知,,R b a 求证.a b b a b a b a 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a,对称，不妨设.0b a 0)(0b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设,0b a ,0,1b a b a .1)(ba ab ba b a b a b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

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直接证明与间接证明综合法与分析法学习目标：1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法．分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异．1。

教学重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点．2。

教学难点：综合法和分析法的应用．方法：合作探究一新知导学综合法证明不等式1．定义利用__________和某些数学__________、__________、__________等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2．综合法的特点从“已知"看“________"，逐步推向“________",其逐步推理,是由______导_______,实际上是寻找“已知”的_________条件．用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理,它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题,有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“__________”和有效的__________是有效利用综合法证明数学问题的关键．3．综合法的基本思路用__________表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，__________表示所要证明的结论,则综合法的推理形式为错误!→错误!→错误!→…→错误!课堂随笔：其逻辑依据是三段论式演绎推理．牛刀小试1．a>0，b〉0，则下列不等式中不成立的是（)A．a＋b＋错误!≥2错误!B．(a ＋b）错误!≥4C．错误!≥a＋b D．错误!≥错误!2．设a〉0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则错误!＋错误!＋错误!的最小值为__________.3．设a≥b>0,求证:3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2。

综合法和分析法教学目标：知识与技能：理解综合法和分析法的概念及它们的区别；能熟练的运用综合法、分析法证明题目。

过程与方法：通过综合法和分析法的学习，体会两种方法的相辅相成，辩证统一的关系。

情感态度与价值观：（1）通过本节的学习和运用实践，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；（2）通过本节的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的思维习惯。

教学重难点：重点：（1）了解综合法和分析法的思考过程和特点；（2）运用综合法和分析法证明数学问题。

难点：根据问题特点，结合综合法和分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。

内容分析：综合法和分析法是思维方向相反的两种思考方式。

在数学解题中，综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证结论或需求问题；分析法则是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件。

对于解答证明题来说综合法表现为“由因导果”，分析法表现为“执果索因”，它们是寻求解题思路的两种基本思想方法，应用十分广泛。

教学方案设计：在以前的学习中，学生积累了较多的用综合法证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，他们也没有进行过综合法这一知识的较系统的学习。

因此，借助学生熟悉的数学实例引导学生归纳总结这两种方法的特点，促使他们形成对这两种方法的较完整的认识。

所以，本节课我将采用自助探究和合作交流（师生交流、生生交流）相结合的教学模式，充分发挥学生的主动性、体现学生的主体性，锻炼学生的数学思维，让学生归纳、总结出综合法何分析法的定义，特点等。

在教学时，我会充分考虑学生已有的知识体系，利用、结合学生已学过的数学知识，通过具体例题，充分暴露学生解决问题时的思维过程，帮助他们查缺补漏，进而，概括两种方法的思考特点，使重点突出，难点化解。

教学流程展示：（一）综合法的教学：通过实例，概括综合法的特点。

2.2.1 直接证明：综合法与分析法（第1课时）一、教学目标（1）知识目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.（2）情感目标：分析法与综合法是数学直接证明的主要方式，通过例题的讲解让学生认识到分析法与综合法在数学证明中的重要作用，养成善于分析、善于综合、严谨思考的良好数学品质．（3）能力目标：使学生能更熟练地利用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，通过例题讲解着重培养学生的分析、综合能力．二、教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.三、教学难点: 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.四、教学过程1、请同学们写出下列两个基本不等式10. 如果,a b R∈, 那么 a2+b2当且仅当 a b时, 等号成立.20. 如果,a b R+∈, 那么.2ba+当且仅当a b时, 等号成立.30. ㏒a b㏒b a例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc2、思考本例题 是如何证明出结论，用了哪些知识并看课本p 85回答综合法定义 框图表示： 探究1、例2：a 、b 、c 为不全相等的正数求证:a a cb -++b bc a -++cc b a -+﹥3探究2、在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a 、b 、c ，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．探究3、求证：课堂练习1下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ）A ．x y 2sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．xx y -+=)1ln(拓展：设f(x)=ax 2+bx+c(a 不等于0），若函数f(x+1)与f(x)的图像关于y 轴对称，求证：f(21+x )为偶函数 5321232log 19log 19log 19++<证明：f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c=ax²+(2a+b)x+a+b+c 因函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称则f(-x)=f(x+1)=>ax²-bx+c=ax²+(2a+b)x+a+b+c=>(2a+2b)x+a+b=0故a+b=0f(x+1/2)=a(x+1/2)²+b(x+1/2)+c=ax²+(a+b)x+a/4+b/2+c（因a+b=0）=ax²-a/4+c故f(x+1/2)为偶函数五、板书设计：六、教后反思：直接证明：综合法与分析法（第1课时）教学设计。

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B +=，求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +） ② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c +≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 100 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 102 A 组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P 97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例3：见教材P 99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。

第二章第2节直接证明与间接证明一、综合法与分析法课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。

二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。

3．综合法是从推导到的方法。

而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。

综合法是由导，分析法是执索。

三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+，求证：例2．已知a,b∈R+，求证：例3.已知a,b,c ∈R ，求证（I ）课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．1,2-或D ．1,22．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ） A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。

2.2.1 综合法和分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． [知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 2．必修五中基本不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． [预习导引] 1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 2．分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．要点一 综合法的应用例1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．跟踪演练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.证明 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2 已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 证明 要证a b ＋ba≥a ＋b ， 只要证a a ＋b b ≥ab ·(a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )， 因为a ，b 是正实数， 即证a ＋b －ab ≥ab ， 也就是要证a ＋b ≥2ab ， 即(a －b )2≥0. 该式显然成立，所以a b ＋ba≥a ＋b . 要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明 要证明： log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋cy＝2.证明 由已知条件得b 2＝ac ， ① 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y ，故选D. 2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3， 只需证：(2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明 因为1log b a＝log a b ，所以左边 ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.一、基础达标1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错；对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错；对于C ：若a 3>b3且ab <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0b <0，则D 不成立．2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sinB ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <1答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab .又因为a ＋b ＝2>2ab ， 故ab <1，a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab 2＝2－ab >1，即a 2＋b22>1>ab .5．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法6．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a >c >b解析 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a >c .∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2＞1，∴c ＞b .7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.证明 法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0， 只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0.∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立． 二、能力提升8．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定答案 C解析 ∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x21－x <0，∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a <b <c .9．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．ab <0 C ．a >0，b <0 D ．a >0，b >0答案 C解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，b a<0， 即ab <0.又若ab <0，则a b <0，b a<0. ∴a b ＋b a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2， 综上，ab <0是a b ＋b a ≤－2成立的充要条件，∴a >0，b <0是a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件． 10．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 答案 对角线互相垂直解析 本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可． 11．已知a ＞0，b ＞0，1b －1a＞1.求证：1＋a ＞11－b.证明 要证1＋a ＞11－b成立，只需证1＋a ＞11－b，只需证(1＋a )(1－b )＞1(1－b ＞0)，即1－b ＋a －ab ＞1， ∴a －b ＞ab ，只需证：a －b ab ＞1，即1b －1a＞1. 由已知a ＞0，1b －1a＞1成立，∴1＋a ＞11－b成立．12．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．证明如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．三、探究与创新13．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n 整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n n＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明 因为1a n ＝1n2＜1n －n ＝1n －1－1n (n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。

学 习 资 料 专 题2．2.1 综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论) 知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件1．综合法是执果索因的逆推证法．( × ) 2．分析法就是从结论推向已知．( × )3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ )类型一 综合法的应用例1 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12⎝⎛⎭⎪⎫a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b2＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .反思与感悟 综合法证明问题的步骤跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a－3>6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc>3. 类型二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪训练2 已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ， 求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2， 只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0， 即证(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证． 类型三 分析法与综合法的综合应用例3 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其对边分别为a ，b ，c .求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，即证ca ＋b ＋ab ＋c＝1.即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac .所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证． 引申探究本例改为求证a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c .证明 要证a ＋b 1＋a ＋b >c1＋c，只需证a ＋b ＋(a ＋b )c >(1＋a ＋b )c ， 即证a ＋b >c . 而a ＋b >c 显然成立，所以a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c.反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程． 跟踪训练3 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 要证log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证 log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )，由已知0<x <1，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc ，由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．类比法考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 B2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．随x 取值不同而不同考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0，∴c >b >a . 3．要证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 C解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， 只需证2＋7<6＋3， 即证(2＋7)2<(3＋6)2.4．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的值为________． 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案π3解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.5．已知a ，b ，c 都为正实数，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3.考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32， 只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的， 所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( )A ．x >0，y >0B ．x <0，y <0C ．x >0，y <0D ．x <0，y >0考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，xy >1，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0.2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件 答案 D解析 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证a 2b 2－(a 2＋b 2)＋1≥0， 即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.3．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( ) A ．b 2＋c 2≥a 2B ．b 2＋c 2>a 2C ．b 2＋c 2≤a 2D ．b 2＋c 2<a 2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 D解析 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵A 为钝角，∴cos A <0，则b 2＋c 2<a 2.4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题 答案 C解析 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)，又A ，B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 5．设a ，b >0，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab ，又因为a ＋b ＝2>2ab ， 故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题 答案 C解析 利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2， ∴当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 又a ＝ln 44，∴b >a >c .7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)单调递减．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负B．恒等于零C．恒为正D．无法确定正负考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案 A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数．由x1＋x2>0，可知x1>－x2，所以f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)<0.二、填空题8．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程为“对函数f(x)＝x－x ln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案综合法9．如果a a＋b b>a b＋b a，则正数a，b应满足的条件是________．考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案a≠b解析∵a a＋b b－(a b＋b a)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴只要a≠b，就有a a＋b b>a b＋b a.10．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案a>c>b解析∵a2－c2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，a>0，c>0，∴a>c.∵c >0，b >0，c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b .∴a >c >b . 11．比较大小：设a >0，b >0，则lg(1＋ab )____________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 ≤解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝2ab －(a ＋b )≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )，即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 12.如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．三、解答题 13．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2. 考点 分析法及应用题点 利用分析法解决不等式问题证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 从而只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 四、探究与拓展14．若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 解析 当n 为偶数时，a <2－1n， 而2－1n ≥2－12＝32，所以a <32； 当n 为奇数时，a >－2－1n， 而－2－1n<－2，所以a ≥－2. 综上可得，－2≤a <32. 15．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C .①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3， 所以△ABC 为等边三角形．。

第二章推理与证明直接证明与间接证明1一、教学目标：知识与技能：1结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神二、教学重点、难点重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点难点：分析法和综合法的思考过程、特点三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即一知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程典例解析例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：ab2c2bc2a2ca2b2 > 6abc分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）→ 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立框图表示：要点：顺推证法；由因导果例2分析：如何下手，可以得到此结论？→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；学生板书：探究一 综合法的应用已知,a b 是正数，且1,a b +=求证：114a b +≥变式一：已知,,a b c R ∈，且1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥探究二 分析法的应用当0a b +>)2a b ≥+变式二： 已知6a ><探究三：请大家先自学课本第85至86页例1，在尝试如下一道题：综合法与分析法的综合应用已知三角形的三个内角,,A B C 为等差数列，且,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，求证： 111()()3()a b b c a b c ---+++=++通过此题来巩固本节课所学，注意综合法的顺推，分析法的逆推，以及左右开工的两者结合五、小结 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”分析，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径 （框图示意）六、作业1课时检测七、课后记分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。