因式分解的方法练习题

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）a xabxacxaxm m mm 2213（2）a ab a b a ab b a ()()()32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：a xabxacxaxax axbx c x m m mm m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n 222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a ab a b a ab ba ()()()32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b babab aa b b a a b a b a a b a ab b a a b a a 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987987136813689875、中考点拨：例1。

因式分解322x x x ()()解：322x xx ()()322231x x xxx ()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

因式分解【知识要点】1 •因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

2因式分解的方法：①提公因式法；(1)多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

(2)公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂。

②.公式法：(1)常用公式平方差：a2 _ b2 = (a b)(a _ b)完全平方：a2 _2ab b2 (a_b)23 3 2 2立方和：a +b =(a+b)(a -ab+b )；立方差：a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式：2 2 2 2⑸a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；3.3 3 2.2 2 (6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c - ab-bc-ca)；(7) a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+,+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；n n n-1 n-2 n-3 2(8) a -b =(a+b)(a -a b+a b -,+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；n . n n-1 n-2 . n-3 .2(9) a +b =(a+b)(a -a b+a b -,-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例1分解因式：5n-1 n 3n-1 n+2 n-1 n+4(1) -2x y +4x y -2x y ；(2) x 3-8y 3-z 3-6xyz ；2 2 2⑶a +b +c -2bc+2ca-2ab ；(4)a 7-a 5b2+a2b5-b7.解(1)原式=-2x n-1y n(x 4n-2x 2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x 2n)2-2x 2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y 2)2=-2x n-1y n(x n-y) 2(x n+y)2.⑵原式=x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)(-Z)2 2 2=(x-2y-z)(x +4y +z +2xy+xz-2yz).(3) 原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2=(a-b) +2c(a-b)+c=(a-b+c)本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b) 2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c) 2(4) 原式=(a7-a5b2)+(a 2b5-b7)5 2 2 5 2 2、=a (a -b )+b (a -b )=(a 2-b 2)(a 5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a 3b+a2b2-ab 3+b4)=(a+b) 2(a-b)(a 4-a 3b+a2b2- ab3+b4) 例2分解因式：a3+b3+c3-3abc .本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).分析我们已经知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+6的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b) 3-3ab(a+b).这也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c 3-3abc =[(a+b)3+c3] -3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b) 2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c-ab-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc =* Ca + b + e)(备鼻+2b*+2c，*2曲-=j (a + b + D)L Ca b) 3 + Cb-c) : - (c -B O2],显然，当a+b+c=0 时，则a3+b3+c3=3abc ；当a+b+c > 0 时，贝U a3+b3+c3- 3abc > 0，即a3+b3+c3> 3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.如果令x=a3>0，y=b3>0，z=c3> 0，则有等号成立的充要条件是x=y=z .这也是一个常用的结论.例3 分解因式：x15+x14+x13+, +x2+x+1.分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0, 由此想到应用公式a n-b n来分解.解因为x16-1=(x-1)(x 15+x14+x13+,x2+x+1)，所以原天二------------------------- H -------- TK -1間+1)聞+1)(『町血+ 1)虻1)= n・(K9+I)(X'+1)[22+1)(X +1).说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.(2)常见的两个二项式幂的变号规律：①(a-b)2n =(b-a)2n；②(a_b)2n° =~(b_a)22. (n 为正整数)【课前热身】1 •计算下列各式：(1)(m 4)(m - 4) = ___________(2)(y-3)2= _____________________(3)3x(x _ 1) = ____________(4)m(a b c) = ______________________2 •根据上题填空：(1)3X2_3X= ______________2(2)m -16= _______________(3)ma mb mc= ____________________2(4)y - 6y 9 = _____________【典型题】1把下列各式分解因式32(1)4q(1 - p) 2(p-1)(2) 3m(x_ y) _ n(y _ x)(3) m(5ax ay -1) - m(3ax- ay - 1)1 2 2 1 3(4)a (x - 2a) a(2a - x)2 42把下列各式分解因式(1)25_16x2_____________2 1 2(2)9a2__________ b2=42 2(3)9(m n) _(m_n) = __________(4)2x -8x= _____________3把下列各式分解因式(1)(m n)2 - 6(m n) 92 2(2)3ax 6axy 3ay2 23 3•观察下列各组式子，其中有公因式的是/八m n 2mn 4(4) n ()① 2y x 与x y ；9 3= ② 3a(m - n)与-m n ；4〒算③a—b与2(a b)；1 x2x3 +3工6工9 +5xl0>d5+7xl4x21 ④ x? _y?与(y _x)21 3 5 3 9 15 5 15 25 7 21 35A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 4•多项式b2n -b n提公因式b n后，另一个因式是()n 2n』2n』nA. b -1B.b -1c. b D• b5•下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解因式的是( )A. -x2 z2B . X2 -162 . x2(a b)2 2x(a2-b2) (a-b)2四、解答1 .求证：对于任意的正整数n,3「2 -2nJ 3n - 2n一定是10 的倍数。

因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：(a+b)(a -b) = a 2-b 2(2) 完全平方公式：(a ±b)2= a 2±2ab+b 2(3) 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)(4) 立方差公式：a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2) （5）完全立方公式：(a±b)³＝a ³±3a ²b ＋3ab ²±b ³ 下面再补充两个常用的公式： (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 三、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652++x x 672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

常用因式分解公式：2 2 2 21、(x a)(x b) =x (a b)x ab2、(a_b) =a - 2ab b33 2 2 3 2 23、(a 二b) =a 二3a b 3ab 二b4、a -b =(a b)(a-b)3 3 2 35、a二b 二(a 二b)(a fab b )6、a3 b3 c3 _ 3abc = (a b c)(a2 b2 c2 _ ab _ be _ ac)2 27、(x ay)(x by)二x (a b)xy aby常用因式分解方法：一、公式法：例1分解下列因式：2 2①x -5x 6 ② x -5x-6③ 4x2 4xy y2④ x2-y2 2x 2y解：①因为6=(-2) (「3),- 5二(- 2) •(- 3)所以公式(x • a)(x b) = x2 (a b)x - ab 中的2 2a--2,b--3。

故x -5x6=[x (-2 - 3)x (-2) (-3)] = (x - 2)(x - 3)②因为-6 =1( -6 ) r圧1，所以公式(x • a) (x b>2x (a b中的a b2 2a=1b = —6 故x —5x—6=[x +(1—6)x + 1 x (—6)] = (x+1)(x—6)③因为4x2 =(2x)2,4xy =2 (2x) y，所以4x2 4xy y2 =(2x)2 2 (2x)讨寸二(2x y)2④因为x2-y2的公式中含有因式(x，y),(x-y) ，2x 2^ 2(x y)，也含有因式(x • y)，所以x2 - y2 2x 2y = (x y)(x - y) 2(x y) = (x y)(x - y 2)练习：2① x 4x-212② x -6x-16④4x 2 _y 2 4x_2y⑤ x 3 -3x 23x-1③ x 2 -6x 93⑥ a -27二、十字相乘法(一)二次项系数为 1的二次三项式2直接利用公式 x (p q)x pq =(x • p)(x q)进行分解。