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微专题六 解不等式及线性规划一、填空题1. 不等式|x 2－2|<2的解集是________．2. 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤3，2x ＋y ≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．3. 已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ |x |≤1，|y |≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－|x ＋1|，x ≤1，(x －1)2，x >1，函数g (x )＝f (x )＋f (－x )，则不等式g (x )≤2的解集为________．5. 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥3，y ≤3，x ≤3，则z ＝5－x 2－y 2的最大值为________．6. 已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集是________．7. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4≤0，2x －y ＋1≥0，x ＋4y －4≥0，则z ＝|x |＋|y －3|的取值范围是________．8. 已知函数f (x )＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1,3]，不等式f (x )≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．9. 设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则m 4－n 4m 4n 的最小值为________．10. 已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范围是________．二、解答题11. 解下列不等式：(1) |x 2－2|<2； (2) x －12x ＋1≤0.12. 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1) 求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值； (2) 若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．13. 十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020年底全面脱贫. 现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作. 经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植， 2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数. 从 2018年初开始，若该村抽出 5x 户(x ∈Z,1 ≤x ≤ 9) 从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x 20，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据： 1.13＝ 1.331,1.153≈ 1.521，1.23＝ 1.728)． (1) 至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至 2018 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．14. 已知函数f (x )＝2x 2＋ax －1，g (log 2x )＝x 2－x2a －2. (1) 求函数g (x )的解析式，并写出当a ＝1时，不等式g (x )＜8的解集；(2) 若f (x )，g (x )同时满足下列两个条件：①∃t ∈[1,4]，使f (－t 2－3)＝f (4t )； ②∀x ∈(－∞，a ]，g (x )<8.求实数a 的取值范围．。
• •)必过数材美不等式表示区域Ax+ By + C> 0直线Ax+ By+ C= 0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax+ By + O 0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.名称意义约束条件由变量x, y组成的不等式(组)线性约束条件由x, y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x, y的函数解析式，如z—2x+ 3y等线性目标函数关于x, y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x, y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题［小题体验］1. (2018宿迁期末)若点A(1,1), B(2, - 1)位于直线x + y—a= 0的两侧，贝U a的取值范围为________ .解析：•••点A(1,1), B(2,—1)位于直线x+ y— a = 0的两侧，•••(1 + 1—a)(2 —1 —a)v 0, 即(2 —a)(1 —a)v 0,则(a —1)(a—2)v 0，解得1< a v 2.答案：(1,2)2•如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为 __________ .y~o ~次不等式组与简单的线性规划问题解析：平面区域的边界线方程为；+ y=1，即 x+y -1=。
•所以平面区域满足不等式是x+ y — 1 > 0.答案：x + y — 1 > 0答案：6必过易措美1 •画出平面区域•避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为 0(a > 0) •2.线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不 定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有. 3.在通过求直线的截距 b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距b 取最大值时，z 也取最大值；截距z 取最小值时，z 也取最小值；当b v 0时，截距7取最大值时,b b z 取最小值；截距 学取最小值时，z 取最大值.［小题纠偏］yw x，1.已知实数x ，y 满足x + y w 1， 则目标函数z = 2x — y 的最大值为vy >- 1，3. (2018南京高三年级学情调研)已知实数x , y 满足条件2W x < 4,y > 3, x + y w 8,则 z = 3x — 2y的最大值为解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示, 当 z = 3x — 2y 经过点 A(4,3)时，z 取得最大值，所以 z max = 3x 4— 2X 3= 6.ax + by + c >4 x=2x=4答案：52•实数x, y满足f y> 0，使z= ax+ y取得最大值的最优解有2个，则z i = ax+ yl|x+ y| w 1,+1的最小值为 _________ .解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为z= ax+ y取得最大值的最优解有2个，所以一a = 1, a=- 1,所以当x= 1, y= 0 或x=0, y=- 1 时，z= ax+ y=- x+ y 有最小值—1，所以ax+ y+ 1的最小值是0.答案：0考点一二元一次不等式组表示平面区域基础送分型考点一一自主练透［题组练透］x> 1 ,1 .已知约束条件妆+ y—4W 0, 表示面积为1的直角三角形区域，则实数k =kx —y w 0x> 1,解析：先作出不等式组* 对应的平面区域，如图.x+ y w 4,要使阴影部分为直角三角形，当k = 0时，此时三角形的面积为3X 3= 9工1，所以不成立.当k = 1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为 1.答案：1x —y> 0,2. (易错题)若满足条件x + y—2w 0, 的整点(x, y)恰有9个，其中整点是指横、纵iy> a坐标都是整数的点，则整数 a = ________ .解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a= 0时,只有 4 个整点(1,1), (0,0), (1,0), (2,0);当a =—1 时,正好增加(—1, —1), (0, —1), (1, —1), (2, —1), (3, —1)共5 个整点.答案：—1x> 0,3. (2018 •州五校联考)设不等式组x + 2y> 4, 所表示的平面区域为 D ,则区域D〔2x+ y w 4的面积为解析：如图，画出可行域•易得A ［4, 4 ］,B (0,2) , C(0,4),答案：4［谨记通法］确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1) “直线定界，等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域; 殊点异侧的平面区域.(2) 当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原 占八、、♦考点二求目标函数的最值 题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、 解析几何等问题交叉渗透.常见的命题角度有：(1) 求线性目标函数的最值； ⑵求非线性目标函数的最值； (3) 线性规划中的参数问题.［题点全练］角度一：求线性目标函数的最值x — y > 0,1.(2018苏北四市一模)设实数x,y 满足t x + y w 1, 则3x + 2y 的最大值为 ________________LX + 2y > 1,所以可行域D特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组•若满足不否则就对应与特的面积为解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，令z=3 z3x+ 2y,则y= —2X+［,故当目标函数z= 3x + 2y经过点A(1, 0)时，z 巧x+2yl取得最大值，故Z max = 3.答案：3"x + 2y W 1,2. (2017全国卷I )设x , y 满足约束条件』2x + y >- 1,/—y w 0,x + 2y < 1,解析：画出不等式组 2x + y > — 1,x — y w 0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线=2x — 2过点 A 时，在 y 轴上的截距最大，此时z 最小,所以 Z min =— 5. 答案：—5角度二：求非线性目标函数的最值x + y w 2,3•设实数x , y 满足不等式组」y — x w 2, 则x 2+ y 2的取值范围是 ______________-y > 1,解析：如图所示，不等式组表示的平面区域是厶ABC 的内部（含边界）,x 2+ y 2表示的是此区域内的点（x , y ）到原点距离的平方.从图 中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1;最远的距离为AO ,其值为2,故x 2+ y 2的取值范围是[1,4].答案：[1,4]角度三：线性规划中的参数问题2,4. （2018苏州质检）已知x , y 满足*x + y w 4,若目标函数 z = 3x + y 的最大值为i2x — y — m w 0.2 2(2) 距离型：形如 z = (x — a) + (y — b). (3) 斜率型：形如 z = y —.x + 2y = 1, 2x + y =— 1,解得x=— 1即 A(— 1,1).则z = 3x — 2y 的最小值为10,则z 的最小值为 ___________解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作 直线I : 3x + y = 0，平移I ,从而可知经过 C 点时z 取到最大值,3x + y = 10, 由］ x + y = 4,解得r = 3,ly = 1,所以 2 x 3—1 —m= 0, m= 5.由图知，平移I经过B点时，z最小，所以当x= 2, y= 2 x 2—5=—1 时，z最小，為^= 3 x 2—1 = 5.答案：5x+ 2y—4< 0,5. 当实数x，y满足x—y—K 0, 时，K ax+ y w 4恒成立，则实数a的取值范围Ix> 1是________ .x + 2y—4w 0,解析：作出不等式组x —y—1w 0, 表示的平面区域如图中x > 1阴影部分所示，由1w ax+ y w 4恒成立，结合图可知，a> 0且在A(1,0)处取得最小值，在B(2,1)处取得最大值，所以 a > 1，且2a + 1w 4，故a的取值范围为1, 2 3 .答案：1,2［通法在握］1. 求目标函数的最值3步骤(1) 作图一一画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2) 平移一一将I平行移动，以确定最优解的对应点的位置；⑶求值一一解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.2. 常见的3类目标函数(1) 截距型：形如z= ax+ by.求这类目标函数的最值常将函数z= ax+ by转化为直线的斜截式：y= —7x+Z通过求b b直线的截距z的最值间接求出z的最值.b［提醒］注意转化的等价性及几何意义.［演练冲关］2x+ y> 2,1已知点P（x, y）的坐标满足x —3y< 1, 则当3x+ 2y取最大值时，点P的坐标为解析：作出不等式组表示的可行域如图所示.作出直线3x + 2y= 0,平移该直线，当直线经过x —3y= 1与x+ y =2的交点时，3x+ 2y取得最大值.联立x —3y=1，x+ y= 2, 解得7x=4,所以点P的坐标为4, 1 .答案：--答案：4’ 4x —y+ 1> 0,2. （2018连云港质检）已知实数x, y满足x—3y—i w 0, ［xw1.若z= kx—y的最小值为—5,则实数k= _________ .解析：不等式组对应的平面区域是以点（1,2）, （1,0）和（一2,—1）为顶点的三角形及2x + y—2w 0,3. (2018无锡质检股实数x, y满足3x—y+ 1>0, iX—2y—1w 0.则y~-的最小值是___________ x —1解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域,而片表示区域内一点（x, y）与点D（1,1）连线的斜率,答案：—2考点三线性规划的实际应用重点保分型考点一一师生共研 ［典例引领］某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序•已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工 8个工作时，漆工1个工作时.生 产一把椅子的利润为 1 500元，生产一张桌子的利润为 2 000元•该厂每个月木工最多完成8 000个工作时，漆工最多完成1 300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润为 _________ 万元.解析：设该厂每个月生产 x 把椅子，y 张桌子，利润为z 元，4x + 8y w 8 000,则得约束条件 * 2x + y W 1 300,z = 1 500x + 2 000y.x , y € N ,作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 画出直线3x + 4y = 0，平移该直x + 2y = 2 000,x = 200, 线，可知当该直线经过点 P 时，z 取得最大值.由| 7得/即P(200,|2x + y = 1 300 ,|y = 900,900)，所以z max = 1 500 X 200 + 2 000X 900 = 2 100 000.故每个月所获得的最大利润为 210万元.答案：210［由题悟法］1. 解线性规划应用题 3步骤(1) 转化一一设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2) 求解—— 解这个纯数学的线性规划问题； (3) 作答一一将数学问题的答案还原为实际问题的答案. 2.求解线性规划应用题的 3个注意点(1) 明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号.(2) 注意结合实际问题的实际意义， 判断所设未知数 x , y 的取值范围，特别注意分析x , y 是否是整数、是否是非负数等.所以当x =1，y =4时，巴有最小值为—i 2.(3) 正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.［即时应用］某旅行社租用 A , B 两种型号的客车安排 900名客人旅行，A , B 两种车辆的载客量分 别为36人和60人，租金分别为 1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21辆，且B 型车不多于 A 型车7辆，求租金最少多少元？解：设旅行社租用 A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z,「x + y w 21, y — x w 7,则线性约束条件为36x + 60y > 900, x , y € N.目标函数为z = 1 600x + 2 400y.画出可行域如图中阴影部分所示,可知目标函数过点 N(5,12)时，有最小值z min = 36 800(元).故租金最少为 36 800元.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 x — y + 2> 0,1. (2018 •阴期中)不等式组*x + y >0,iXW 3所表示的平面区域的面积是 __________解析：作出不等式组表示的平面区域如图中厶ABC 所示.即A( —x = 3, x = 3, 由i 得 <即B(3,5).x —y + 2= 0, y = 5, I —I0 o I —】由x— y + 2= 0,x +y = 0,则 BC = 5— (— 3) = 8,点 A 到直线 x = 3 的距离 d = 3 — (— 1) = 4,答案：16得产3,y=— 3,即 C(3,— 3).故 S A ABC =8x 4= 16.由x + y = 0,"x + y — 5W 0,2. (2018南京、盐城一模)已知实数 x , y 满足』2x — y + 2> 0,则目标函数 z = x — y0,的最小值为 _________ .解析：作出不等式组所表示的平面区域 (如图中阴影部分所示)，作出直线y = x ,则当目标函数 y = x — z 过点 C(1,4)时，Z min = — 3.T - 2s-y+2=0弋// 4” LO 2Ai+y-5-0答案：—3x + y w 4,3. (2019泰州中学高三学情调研)已知点P(x , y)满足彳y >x ,则z = y 的最大值为Lx > 1,解析：作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示. z = 丫表示x 过平面区域的点(x , y)与(0,0)的直线的斜率，由图知当直线过点 A 时斜率x = i , 最大，由 <得A(1,3)，显然直线过点 A(1,3)时，z 取得最大值，x +y = 4, Z max=3.答案：3x — y + 1 > 0,4. (2019四川德阳月考)设变量x , y 满足+ y — 3>0,则目标函数z = 2x + 3y 的Qx — y — 3< 0,最大值为 ________ .x — y + 1 > 0,解析：由约束条件*x + y — 3> 0,作出可行域如图中阴影部分，Ex — y — 3 w 0x — y + 1 = 0, x = 4,2N由解得则B(4,5)，将目标函数z = 2x + 3y 变形为y = — ；x+；.2x — y — 3 = 0 y = 5,33由图可知，当直线 y = — ；x + ；过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2X 4 + 3 X 5= 23.r答案：235. （2018昆山期中）若点（a,1）在直线y=- 2x + 2的下方，则实数a的取值范围是解析：因为直线y=—2x+ 2下方的点的坐标满足不等式y v —2x + 2,1又点（a,1）在直线y=—2x + 2的下方，所以1 v—2a + 2,解得a v-.答案：―汽1x—y+ 5> 0,6. （2018昆明七校调研）已知实数x, y满足仪< 4, 则z= x+ 3y的最小值为以 + y> 0.解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x+ 3y= 0,如图，平移直线y= —x,当直线经过点（4, —4）时，3在y轴上的截距达到最小，此时z= x + 3y取得最小值4+ 3 x （—4）=—&答案：—8二保咼考，全练题型做到咼考达标y w x —1,1. （2018苏州期末）已知实数x, y满足x< 3, 则目标函数、x+ y> 4,解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x —y= 0，平移直线2x—y= 0，当直线过点A时，z= 2x —y取得最大值,联立 |x — 3， 得 A(3,1)，所以 Z max = 5.x + y = 4, 答案：5x -2W 0,2. (2019宿迁调研)已知点P(x , y)在不等式组i y - 1< 0,[x + 2y - 2 > 0动，贝H Q x 2+ y 2的最小值为 ________解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所 示.，x 2+ y 2的几何意义是可行域内的点与坐标原点0的距离，由图 知，点0(0,0)到直线x + 2y -2= 0的距离是x 2+ y 2的最小值，其最小值为」昙=罕x + 3y > 4,3. (2018徐州二模)若不等式组i3x + y w 4,所表示的平面区域被直线y = kx+ £分为3〔X 》0面积相等的两部分，则 k 的值是 ___________ 解析：作出不等式组所表示的可行域如图中厶ABC所示，解得 A(1,1),易得 B(0,4), C 0, 3，又直线 y = kx + 3过 点C 且把△ ABC 的面积平分，所以直线y = kx + 4过AB 的中点 k =答案：7x > a ,4. (2018湖南东部六校联考)实数x , y 满足y 》x ,(a v 1)，且z = 2x + y 的最大值以 + y w 2是最小值的4倍，贝U a = ______ ,y解析：如图所示，平移直线 2x + y = 0,可知在点 A(a , a)处z\ \ x-a取最小值，即Z min = 3a ，在点B(1,1)处z 取最大值，即Z max = 3,所'1 % hi.J\ \ ’'、2cv+y-0所表示的平面区域内运答案: 2 ,55 x + 3y = 4, 3x + y = 4,2，所以1 以 12a = 3,即 a = 一.41答案：145. （2019南通模拟）甲、乙两种食物的维生素含量如表:维生素A （单位/kg ）维生素B （单位/kg ）甲 3 5 乙42优解不唯一，则实数 a 的值为解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，将分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素 A , B 的含量分别不低于 100,120单位，则混合物质量的最小值为 kg. 解析：由题意，设混合物中甲为x kg ,乙为y kg ,混合物为z = x + y , 3x + 4y > 100, 则得约束条件』5x + 2y > 120, 作出其平面区域如图所示, K > 0, y > 0, 平移直线 x + y = 0,可知当直线经过点A 时，z 取得最小值.由 *X\ ■3i+4y=lOOfi®+2y =l2i 0 3x + 4y = 100,5x + 2y = 120, 解得 x = 20, y = 10,即 A(20,10)，所以 Z min = x + y = 30. 答案：30 6•已知实数x , x + y > 3, y 满足约束条件彳y w 3,则z = 5— (x 2 + y 2)的最大值为 iXw 3, 解析：作出满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，求 目标函数z = 5— （x 2+ y 2）的最大值，即求.x 2+ y 2的最小值•由几何意 义知就是求可行域内的点 P （x , y ）到原点距离的最小值•易知点 O 到 直线x + y — 3 = 0的距离最短，为 节，所以z max = 5— 1 2. y3t3[\1厂工=37. （2019靖江模拟）x , y 满足约束条件 x + y — 2w 0, x — 2y — 2< 0,i2x — y + 2> 0,z = y —a x 取得最大值的最=y — ax 化为y = ax + z , z 相当于直线 y = ax + z 的纵截距，由题意可得，当 y= ax + z 与2x — y + 2= 0或与x + y — 2= 0平行时符合题意, 故a = 2或一1. 答案：2或—1x + y — 1 w 0,x — y — 1 w 0,iX — a > 0,成立，则实数a 的取值范围是8. （2018启东中学测试）已知变量x , y 满足约束条件 y x — 2解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,y x —表示区域内的点（x , y ）与定点A （2,0）连线的斜率k ,由图易知BC 与y 轴重合时,1 1|k|w k AC = 2，此时 a = 0,当 BC 向右移动时，|k|w k Ac <f ,此时a w 1, 综上，a € [0,1].答案: [0,1]7x — 5y — 23w 0, 9.已知x , y 满足条件S x + 7y — 11w 0,〔4x + y + 10> 0.（1）求u = x — 2y 的最大值和最小值;⑵求z =总的最大值和最小值. 解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.(1)由7x— 5y — 23= 0，得点 B 的坐标为(—1,— 6),4x + y + 10= 0x + 7y — 11= 0,1 得点C 的坐标为(一3,2), 4x + y + 10= 0 -1y4jc+y+10-0所以 U m in =— 3 — 2X 2=— 7, U max =— 1 — 2X ( — 6) = 11.⑵z =煮=x —"—5，求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点连线斜率k 的最大值和最小值.设点M 的坐标为（—5,0）,由（1）知点B 的坐标为（一1,— 6），点C 的坐标为（一3,2）, 2— 0所以 k max = k MC = — 3. — 5 = 1 ,平移直线u = x — 2y 可知，直线过 C 点时，z 取最小值，过B 点时,z 取最大值.(x , y)与点(—5,0)■ = k = — 6— 0 = 3 k min =kMB= ― ― 5 =—Q ,所以x +5勺最大值是1最小值是—1.x —y +2>0,10. (2019苏北四市调研)已知x , y 满足约束条件x + y — 4>0, 2x — y — 5W 0,(1) z = x + 2y — 4的最大值； (2) z = x 3 + y 4— 10y + 25 的最小值;(3)z =2y+ 5的取值范围. x + 1解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示, 并求出顶点坐标分别为 A(3,1), B(1,3), C(7, 9).(1)作出直线x + 2y = 0,平移该直线，当直线经过点 C 时,Z 取得最大值，Z max = 7+ 2X9— 4=21・(2)z = x 2 + y 2 — 10y + 25= x 2+ (y — 5)2 表示可行域内任一点(x , y)到定点M(0, 5)的距离的平方，由图知点M 到直线x — y + 2= 0的距离的平方为所求 小值，所以加=|7212=9.y+2 、一=2 •2的几何意义是可行域内的动点 x + 1¥»-y+2=0/y/f0 /备 g求:z 的最P(x , y)与定点 D — 1, —1连线斜率的2倍.■3 7故z 的取值范围是 3, 7A 2三上台阶，自主选做志在冲刺名校x > 2,1.(2018无锡期末)已知变量x, y 满足x+y w 4,2x — y w c ,则c 的值为由图象可知, kDB = 4, kDA = 84 8即 8wk < 7, 所以4< z w 2,2y + 1 (3)z= x + 1 目标函数z = 3x + y 的最小值为5,解析：作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示,作出直线3x + y= 0，平移该直线，当直线经过点A时，z取得最小值.3x+ y= 5,联立* 解得A(2, —1),代入y= 2x —c,得c= 5.x= 2,答案：5x—4y+ 3< 0,2. (2018南通调研)已知变量x, y满足』3x + 5y—25 < 0, !_x>=x2+ y2,贝U z的取值1.范围是解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.联立1, 得C(1,1).x—4y+ 3 = 03x+ 5y—25= 0, 联立得B(5,2).x—4y+ 3 = 0z= x2+ y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方•结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min = OC =■ 2, d max= OB =.內，故z的取值范围是[2,29].答案：[2,29]3•医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐•甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质•试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足宫养，又使费用最省?解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g,总费用为z,5x + 7y> 35,则」10x+ 4y> 40,<x> 0, y> 0,目标函数为z= 3x+ 2y,作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.把z= 3x + 2y变形为y=—；；,随z变化的一族平行直线.由图可知，当直线y=- 3x +彳经过可行域上的点A时，截距2最小，即z最小. 由『Ox+4y= 40，得人啓，3［所以布=彳晋十2 x 3= 72.5x+ 7y= 35 5 5 514所以当使用甲种原料学X 10= 28(g)，乙种原料3x 10= 30(g)时，费用最省.5。
京方严学学科教师一对一辅导讲义模块一：不等式知 识 梳 理一． 不等式的基本性质；不等式的比较方法。
二． 不等式的类型：一元二次不等式；绝对值不等式；三角不等式；基本不等式 三． 基本不等式：推广形式：a b c ++≥.（,,a b c 均为正数）最值问题：一正二定三相等——积定值，和最小；和定值，积最大。
四． 公式的正用逆用例如 逆用就是 ，注意 “添、拆、项、”技巧和公式等号成立的条件等．五． 两个变形(1) ,调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数；（当且仅当 时成立）(2)（当且仅当 时取等号 )．热 身 训 练1.已知ln 2ln 3,23a b ==，则a b 与的大小关系是 .2．已知0,0a b >>，3a b +=，则的最大值为 . 3.已知110,0,lg 2lg8lg 2,3x y x y x y>>+=+则的最小值是 .题 型 分 类1.基本不等式的运用及推广例1． 设，则 的最小值是 .变式训练：1.若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。
2.函数212()3(0)f x x x x=+>的最小值为_____________。
2.常数代换——“1的代换”例2．已知0,0,2a b a b >>+=，则 ＝的最小值是 .变式训练：1.设,x y 是正实数，35x y xy +=，则34x y +的最小值为 .2. 设,x y 是正实数满足1x y +=，则4121x y +++的最小值为 .3．齐次式分离常数法 齐次式分离常数；对一次进行整体换元。
例3．设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值为 .变式训练：已知,x y 是正实数满足(1)(1)36x y -+=，则x y +的最小值为 .4.三个未知数的情形结合问题，整体思想，转换成两个未知数。
微专题六 解不等式及线性规划不等式解法的考察载体主要是函数、导数、数列，并且都转化为一元二次不等式的解法．线性规划要求也很低，主要考察常见目标函数的问题．目标1 解不等式例1 (1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，则不等式f (f (x ))≤3的解集为________． (2) 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m的取值范围是________．(3) 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．(4) 设a ∈R ，若x ＞0时均有(x 2＋ax －5)·(ax －1)≥0成立，则a ＝________. 点评：【思维变式题组训练】1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0，x 2，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是________．2.已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集是________．3.若关于x 的不等式(ax －20)lg 2a x≤0对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．4.已知函数f (x )＝x ＋4sin x ，若不等式kx ＋b 1≤f (x )≤kx ＋b 2对一切实数x 恒成立，则b 2－b 1的最小值为________．目标2 线性规划的基本问题例2 (1) 已知抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．(2) 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．(3) 已知x ，y ∈R ，满足2≤y ≤4－x ，x ≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1的最大值为________． 点评：【思维变式题组训练】1.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．。
